平面应力状态
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(仅供参考)平面应力状态分析-主应力主平面详细推导
平面应力状态分析--主应力主平面详细推导老和尚小方丈（storylee_dut@）大连理工大学+哈尔滨电机厂有限责任公司平面应力状态有一个主应力为0，全部应力分量假设位于一个平面，鉴于市场上材料力学教材关于平面应力状态分析公式推导不尽详细，在此进行详细推导，为广大力学人士提供参考，敬请批评指正。
任意斜截面上的应力公式为：ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx y x --++=（1）ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（2）式中，α为斜截面外法线n 与x 轴正向的夹角。
对于主平面方位的确定，根据主平面定义可知，主平面上的切应力为0，由（2）式得：02cos 2sin 2000=+-=ατασσταxy yx （3）即yx xyσστα--=22tan 0（4）方程（4）有两个解，主平面方位角0α与 900+α，说明两个主平面互为垂直关系。
将公式（3）的解回代公式（1），可得另外两个主应力，代数值较大的记为max σ，较小的记为min σ，则22max 22xy y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=（5）22min22xyy x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=（6）关于公式（3）的解诸多材力教材没有此部分推导，本文列如下：对于方程yx xyσστα--=22tan 0更改等效形式002cos 22sin ασσταyx xy--=（7）添加方程12cos 2sin 0202=+αα（8）联立（7）、（8）求得：2220222cos xy y x y x τσσσσα+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±=（9）222022sin xy y x xyτσστα+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（10）注意（9）、（10）公式正负号的对应，再将（9）、（10）代入公式（3）推得主应力计算公式（5）、（6），至此，详细推导完成！。
材料力学8-3-平面应力状态分析-课件
02
平面应力状态分析的基本概念
应力状态
1 2
定义
应力状态是指物体在某一点处的应力分布情况。
表示方法
通常采用主应力、应力张量和应力矩阵来表示。
3
分类
根据应力分量的变化规律，可分为平面应力状态、 空间应力状态和轴对称应力状态。
平面应力状态
定义
平面应力状态是指物体在某一平面内 的应力分布情况，其应力分量只有三 个，即σx、σy和τxy。
材料力学8-3-平面应力状 态分析-课件
• 引言 • 平面应力状态分析的基本概念 • 平面应力状态的分类与表示 • 平面应力状态的平衡方程与几何方程 • 平面应力状态分析的实例 • 总结与展望
01
引言
平面应力状态分析的定义
平面应力状态分析是材料力学中一个重要的概念，它主要研究物体在受力时，其内 部应力的分布情况。
特点
在平面应力状态下，物体内的剪切力分 量τxy与正应力分量σx、σy成比例关系， 即剪切力分量与正应力分量成正比。
应力分量与主应力
定义
主应力与材料性质的关系
应力分量是指物体在某一点处各个方 向的应力值，而主应力则是应力分量 中的最大和最小值。
主应力的大小反映了材料在该点所受 的应力和应变状态，与材料的弹性模 量、泊松比等性质有关。
应力集中系数
为了描述应力集中的程度，引入了应力集中系数，该系数反映了孔 边应力和平均应力的比值。
弯曲梁的平面应力状态分析
弯曲梁
当梁受到垂直于轴线的力矩作用时，梁发生 弯曲变形。
平面应力状态
在弯曲梁的横截面上，剪应力和正应力的分布情况 。
弯矩和剪力的关系
通过分析剪应力和正应力的分布和大小，可 以确定梁的弯矩和剪力之间的关系，从而进 行受力分析和设计。
材料学 平面应力状态分析
α
ayx
f
y
t
e
dA
dAcos α
a dAsinf
3.任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane)
设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为 dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
化简以上两个平衡方程最后得
的方位.
m
m a
l
A
解： 把从A点处截取的单元体放大如图
A
1 3
因为 x < y ，所以 0= 27.5°与min对应
3
0
A
x
1
例题5 图示单元体,已知 x =-40MPa,y =60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情
况及主应力和主单元体的方位.
解:（1）求 e-f 截面上的应力
不难看出 即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
二、最大正应力及方位 （Maximum normal stress and it’s direction）
1.最大正应力的方位（The direction of maximum normal stress ） 令
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
y n
e
x
a
yx
x xy
f
e
x
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
e
x
a
y
yx x
xy
f
n
x
2.符号的确定（Sign convention）
e
ayx
f
y
t
e
dA
dAcos α
a dAsinf
3.任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane)
设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为 dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
化简以上两个平衡方程最后得
的方位.
m
m a
l
A
解： 把从A点处截取的单元体放大如图
A
1 3
因为 x < y ，所以 0= 27.5°与min对应
3
0
A
x
1
例题5 图示单元体,已知 x =-40MPa,y =60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情
况及主应力和主单元体的方位.
解:（1）求 e-f 截面上的应力
不难看出 即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
二、最大正应力及方位 （Maximum normal stress and it’s direction）
1.最大正应力的方位（The direction of maximum normal stress ） 令
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
y n
e
x
a
yx
x xy
f
e
x
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
e
x
a
y
yx x
xy
f
n
x
2.符号的确定（Sign convention）
e
平面问题中一点的应力状态
px
σN
x
PA面积=mds。
n
B
py
p
➢斜面上y应力 y分x 解为：
ppxpy
X p x d s x ld xm s y fx d ld s/s 2 0 mds
由∑Y=0得：
px xlxym py ymxyl
斜面应力
(1)求（ p x , p y）
由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得
x E1 (x y) y E1(y x) （2-15）
（2）几何方程：
x
u x
y
v y
（2-9）
xy 2(1E)xy
未知量数： x, y, x,yx, y, x,yu,v
Nl21m22 l2(12)2
Nlm(21)
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y （2-18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力
1 2
x
y
2
x
y
2
2
x2y
（2-7）
tan 1
1 xy
x
tan
2
xy 2
y
（2-8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
xy l y
xy y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
1 2
xy
2
x2y 2x2y
y yx
P
xy
A
y x
x
px
1 2
xy
2
x2y
2x2y
注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在
B py
n
两个主应力。二者方向互相垂直。
《平面应力状态》课件
优化方法：采用 有限元分析方法， 对零部件进行应 力分析，找出应 力集中区域
优化结果：通过 优化设计，提高 了零部件的强度 和刚度，降低了 重量和成本，提 高了产品的市场 竞争力
感谢您的耐心观看
汇报人：PPT
纯剪切应力状态：物体在两个相互垂直的平面内受到剪切应力的作用， 应力在两个平面内是均匀分布的。
应力状态与变形关系
应力状态：物体内部受到的力与面 积的比值
应力与变形的关系：应力越大，变 形越大
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
变形：物体在外力作用下产生的形 状和尺寸变化
应力状态与变形的关系：应力状态 决定了物体的变形程度
预防措施：优化设计、选用 优质材料、改进制造工艺等
稳定性准则及判据
稳定性准则：平面应力状态下，结构在受到外力作用下保持稳定状态的条件 判据：根据应力状态、材料性质和几何形状等因素，判断结构是否满足稳定性准则 稳定性分析方法：包括能量法、变分法、有限元法等 稳定性判据的应用：在工程设计中，用于评估结构的稳定性，确保结构的安全性和可靠性
平面应力状态下的应变 分析
应变概念及测量方法
应变：物体在外力作用下产生的形变 应变类型：线应变、面应变、体应变 应变测量方法：光学测量法、机械测量法、电学测量法 应变分析：通过测量应变来研究物体的应力状态和变形规律
应变与应力关系
应变：物体在外力作用下产生的形变
应变与应力的量纲：应变的单位是长度，应力的 单位是力/面积
强度计算方法
应力状态： 平面应力状 态
强度指标： 最大主应力、 最小主应力、 剪应力
强度条件： 最大主应力、 最小主应力、 剪应力均小 于材料的许 用应力
强度计算公
工程力学-应力状态
σ 30 100 50 2 100 50 2
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
材料力学-7-应力状态分析
7.1 应力状态的基本概念
y
y
1 1 4
z
4
Mz
x
x
l
S FP
2
3
Mx
z
3
a
第7章 应力状态分析
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
一、方向角与应力分量的正负号约定
x
正应力
x
x
拉为正
压为负
x
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
？
第7章 应力状态分析 7.1 应力状态的基本概念
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法 7.4 应力圆及其应用——图解法
7.5 三向应力状态的特例分析
7.6 广义胡克定律
7.7 应变能密度
第7章 应力状态分析
tan 2q p＝－ 2 τ
xy
x y
主平面（principal plane）：切应力q＝0的方向面，用 qp表示。 主应力（principal stress）：主平面上的正应力。 主方向（principal directions）：主平面法线方向，用方 向角qp表示。
7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法
第7章 应力状态分析
第7章 应力状态分析
1
3
2
max
max
拉压、弯曲正应力 扭转、弯曲切应力
这些强度问题的共同特点是：
1、危险截面上的危险点只承受正应力 或切应力； 2、都是通过实验直接确定失效时的极限应力，并以此为依据建立强度 设计准则。 复杂受力：危险截面上危险点同时承受正 应力和切应力，或者危险点的其他面上同 时承受正应力或切应力。 → 强度条件
平面应力状态
14.1 平面应力状态
如图 14.1 所示，一点处 的应力状态由作用在该点 处的单元体的面上的六个 独立的正应力和切应力来 表示。
工程实践中并不经常 遇到这种应力状态。相反 的，工程师们经常会对加载 做一些简化，以便在一个平 面内分析结构件或机械零 件中的应力。若物体的表面 没有受力，则在表面的单元 体的面上应力为零。相应 的，与该面相对的面上的应 力也为零，此时，这点的材 料处于平面应力状态。
14.3 主 应 力 和 面 内 最 大切应力
由式 14.1 和 14.2 可知 σx′ 和τx′y′ 取决于θ 的值。通 常工程实践中确定最大和 最小正应力以及最大切应 力的作用面的方位角是重 要的。
59
Stress Transformation
In-Plane Principal Stresses. To determine the maximum and minimum normal stress, equation 14.1 must be differentiated with respect to θ and set the result equal to zero. Solving this equation the orientation θ = θp of the planes of maximum and minimum normal stresses can be obtained as,
σ σ
max min
⎫ ⎬ ⎭
=
σ
x+σຫໍສະໝຸດ y 2±⎜⎜⎝⎛ σ
x
−σ 2
y
⎟⎟⎠⎞ 2
+τ
2 xy
(14.4)
It can be seen that there is no shear stress acts on the planes on which maximum and minimum normal stresses act. The plane that has no shear stress acts on is called the principal plane. The normal stresses that act on the principal planes are called the in-plane principal stresses, namely σ1 and σ2, according to the magnitude. For a general three-dimensional case, there are three principal stresses, σ1≥σ2≥σ3.
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解： s x 100 MPa t x 60 MPa s y 50 MPa a 30
(-100 50) MPa (-100 50) MPa cos(-60 ) 2 2 (-60 MPa)sin(-60 ) -114.5 MPa ( 100 50) MPa sin(60 ) ( 60 MPa)cos( 60 ) 35.0 MPa 2
t a (s x s y )sinacosa t x cos 2a t ysin 2a
由于tx 与 tx 数值相等,并利用三角函数的变换关系,得
sa
ta
s x s y s x s y
2 s x s y 2 2
cos2a t x sin2a
sin2a t x cos2a
2
应力圆的绘制与应用
绘制应力圆
sC
s x s y
2
－ 圆心横坐标
图解法求斜截面应力
2 2 s H OC CD cos2a 0cos2a CD sin2a 0sin2a s x s y s x s y sH cos2a t x sin2a s a 2 2 同理可证： t H t a
上述关系式是建立在静力学基础上，因而所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异 性、非线弹性与非弹性问题
例题
例 2-1 试计算截面 m-m 上的应力
s x s y s x s y sa cos2a t x sin2a 2 2
ta
s x s y
2
sin2a t x cos2a
s a s x cos 2a s ysin 2a (t x t y )sinacosa t a (s x s y )sinacosa t x cos 2a t ysin 2a
s a s x cos 2a s ysin 2a (t x t y )sinacosa
2
ta 0
s x s y
2
应力圆
2
sin2a t x cos2a
2
s x s y 2 s x s y 2 s t 0 t a x a 2 2 s x s y sC 2
s x s y 2 R t x 2
问题：试建立 sa, ta 与 sx, tx, sy, ty 间的关系
斜截面应力公式
Fn 0， s a dA (t x dAcosa )sina - (s x dAcosa )cosa (t ydAsina )cosa - (s ydAsina )sina 0 Ft 0， t a dA (t x dAcosa )cosa - (s x dAcosa )sina (t ydAsina )sina (s ydAsina )cosa 0
材料力学（ Ⅰ） 单辉祖 编著
第 7 章 应力、应变状态分析 本章主要研究： 应力状态分析基本理论 应变状态分析基本理论 应力应变一般关系 应变能分析计算
第 7 章 应力、应变状态分析
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 §9
引言 平面应力状态应力分析 应力圆 平面应力状态的极值应力与主应力 复杂应力状态的最大应力
sm
tm
§3 应力圆
应力圆
应力圆的绘制与应用 例题
应力圆
sa s x s y s x s y
2 2 cos2a t x sin2a
ta
s x s y
2
sin2a t x cos2a cos2a t x sin2a
sa
s x s y
2
s x s y
平面应变状态应变分析
各向同性材料的应力应变关系 复杂应力状态下的应变能
复合材料的应力应变关系简介
§1 引言
实例
应力与应变状态 平面与空间应力状态
实例
微体A
微体abcd
微体A
应力与应变状态
应力状态 通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为 该点处的应力状态 应变状态 构件内一点在各个不同方位的的应变状况，称为该 点处的应变状态 研究方法 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋 于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应 力与应变状态 研究目的 研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件 的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础
平面与空间应力状态
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态 微体各侧面均作用有 应力－空间应力状态 空间应力状态一般形式
平面应力状态 的一般形式
§2 平面应力状态应力分析
斜截面应力分析 例题
斜截面应力分析
问题
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa, ta 符号规定： 切应力 t － 以企图使微体沿 旋转者为正 方位用 a － 以 x 轴为始边、 者为正
t max t min
s x s y 2 t x 2
tx tx s x s min s max s y
s x s y s x s y s a s H OC CD cos(2 cos2 t)x sin2a a0 a 2 a
点、面对应关系
转向相同，转角加
例 3-1 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解：
s m 115 MPa
t m 35 MPa
§4 平面应力状态的极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力
主平面与主应力 纯剪切应力与扭转破坏 例题
平面应力状态的极值应力
s max s x s y s x s y 2 t x s min 2 2
2t x tan2a 0 s x s y tana 0