平面应力状态分析-主应力主平面详细推导
材料力学8-3-平面应力状态分析-课件
02
平面应力状态分析的基本概念
应力状态
1 2
定义
应力状态是指物体在某一点处的应力分布情况。
表示方法
通常采用主应力、应力张量和应力矩阵来表示。
3
分类
根据应力分量的变化规律，可分为平面应力状态、 空间应力状态和轴对称应力状态。
平面应力状态
定义
平面应力状态是指物体在某一平面内 的应力分布情况，其应力分量只有三 个，即σx、σy和τxy。
材料力学8-3-平面应力状 态分析-课件
• 引言 • 平面应力状态分析的基本概念 • 平面应力状态的分类与表示 • 平面应力状态的平衡方程与几何方程 • 平面应力状态分析的实例 • 总结与展望
01
引言
平面应力状态分析的定义
平面应力状态分析是材料力学中一个重要的概念，它主要研究物体在受力时，其内 部应力的分布情况。
特点
在平面应力状态下，物体内的剪切力分 量τxy与正应力分量σx、σy成比例关系， 即剪切力分量与正应力分量成正比。
应力分量与主应力
定义
主应力与材料性质的关系
应力分量是指物体在某一点处各个方 向的应力值，而主应力则是应力分量 中的最大和最小值。
主应力的大小反映了材料在该点所受 的应力和应变状态，与材料的弹性模 量、泊松比等性质有关。
应力集中系数
为了描述应力集中的程度，引入了应力集中系数，该系数反映了孔 边应力和平均应力的比值。
弯曲梁的平面应力状态分析
弯曲梁
当梁受到垂直于轴线的力矩作用时，梁发生 弯曲变形。
平面应力状态
在弯曲梁的横截面上，剪应力和正应力的分布情况 。
弯矩和剪力的关系
通过分析剪应力和正应力的分布和大小，可 以确定梁的弯矩和剪力之间的关系，从而进 行受力分析和设计。
11.2 平面应力状态分析的解析法
主应力单元体
三
向ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应 力
特例
状
态
y
y
y
x x
平
面
应 力
特例
单向应力状态
σ
状
态
纯剪应力状态
τ
y
y
x
x
x
z
平面应力状态分析的解析法
[例题] 已知:微元体如图，图中应力单位为 MPa 。求: (1)指定斜截面应力；(2) 主平面方位；（3）主应力大小；（4）画出主应力单元体。
20
30°
40 y
已知平面内一点两个互相垂直方向的应力
平面内一点任意方向的应力
y
y
y
x x
x
zz
x
x
n
α
x
y
y
e
xy
x
α
n α
α
α
a yx
y
f
应力的符号规定
1.正应力
y
x
2.切应力
x
y
α角
由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。
y
x
y
x
x
n
α+
x
e
xy
x
α
n α
α
α
a yx
y
f
任意斜截面上的应力
Fn 0
dA ( xydAcos )sin ( xdAcos )cos ( yxdAsin )cos ( ydAsin )sin 0
Ft 0
e
xy
x
α
n α
α
α
ayx y f
e
平面应力状态解析法推导
平面应力状态解析法推导咱们今天来聊聊一个听起来有点高大上，但实际上超有用的东西——平面应力状态解析法。
别紧张，咱们一步步来，保证让你觉得这事儿就像喝杯茶一样轻松。
想象一下，你手里有一块钢板，上面受了各种方向的力，这时候，钢板里的应力状态就复杂了。
咱们要做的，就是用平面应力状态解析法，把这复杂的应力状态给拆解开来，看看它到底是个啥模样。
首先，咱们得明确一下，什么是平面应力状态。
简单来说，就是物体在某个平面上受到的力。
这个平面啊，就像咱们平时用的白纸一样，平平整整的。
而物体在这个平面上受到的力，就像是有人在纸上画画，有直的线、弯的线，还有各种颜色的笔迹。
好，接下来咱们进入正题，看看怎么推导平面应力状态解析法。
一、从基础开始1.1 力的分解咱们知道，力是有方向的。
在平面应力状态下，一个物体受到的力可以分解成两个方向上的分量：一个水平方向，一个垂直方向。
就像是咱们小时候玩的拉力器，你往两边拉，它就有了一个水平方向上的拉力；而如果你往上拉，它就多了一个垂直方向上的拉力。
1.2 应力的概念应力呢，就是物体单位面积上受到的力。
咱们可以把物体想象成一块大蛋糕，应力就像是蛋糕上挤的奶油，越多越厚，就表示受到的力越大。
二、平面应力状态的分析2.1 方向应力方向应力啊，就是物体在某个特定方向上受到的应力。
就像是咱们吃烤肉，肉片上的纹理就是它的方向，而火烤在上面，就是给它加了一个方向应力。
2.2 剪切应力剪切应力呢，就像是咱们用剪刀剪纸一样，纸在两个方向上都受到了力的作用，但它并没有被拉断或者压扁，而是被剪开了。
在平面应力状态下，物体也可能受到这样的剪切应力。
2.3 主应力和主方向主应力和主方向啊，就像是咱们找一个人身上的优点一样。
在平面应力状态下，物体也有一个“优点”，就是它受到的最大的那个应力，叫做主应力；而这个应力的方向呢，就是主方向。
三、推导过程3.1 建立坐标系咱们得先在物体上建立一个坐标系，就像是给地图定位一样。
第十三章平面应力状态分析
3. 连接DD’交σ轴于点C；
O
C
D'( y , yx )
4. 以点C为圆心，CD为半径作圆。
莫尔应力圆的应用
x
x'y'
b
B 应A用过程中，应当将应力圆
x'45º作x 为思考、分d 析问题c 的2×工45具º ， x'
y
o
a
D y' 而不是计算工具。 2×45º
E e
x
莫尔应力圆的应用
x
x ( ) 0 xy
α σnτα αα该 应力xxxdy圆A2 方y程2最早(由2德y((s国iyn12xx工cso程idnsA师x)ddOcAAott))osyssM2iinnoh4r（x1y8235- 2
横截任面意上一正点应处各力个分方析向和截切面应上力应力分的析集的合结，果表 明称：为同一一点处面的上应不力同状点态。的应力各不相同，此即 应力的点的概念。
x'y' x'
x'y' x'
xy
x
yx
微元平衡分析结果表明：即使同一点不
同方向面上的应力也是各不相同的，此即
应力的面的概念。
13.2应力张量
对于杆件的内力，可以用截面法求得。下面
en表示讨法论物向体单的位任矢一量个。点et表及示其截邻面域内的的受一力个状单态位。切矢量
M
τn
⊿A σn
, n en
nn 分别称为截面上正应力（法
向力）和切应力（剪切力），
p(n)
各自代表应力矢量在截面法向
n和在截面内的分量。
et
p称为点M的应力，或全应力。
平面应力状态分析-解析法
x 70MPa x 0 MPa
y 50 MPa
60
x
y
2
x
y
2
cos(2 60) x
sin(2 60)
70 50 70 (50) cos120 20 MPa
2
2
60
x
y
2
sin(2 60) x cos(2 60)
70 50
sin120 2
51.96 MPa
x
y
2
x
2
y
2
2 x
10 20
2
10
20
2
2
102
3.82 MPa 26.18 MPa
三个主应力按代数值排序为
1 0
2 3.82 MPa 3 26.18 MPa
练习
求主应力?
x 60 MPa y 0 MPa x 40 MPa
max
min
x
y
2
x
2
y
2
y
可确定两个相互垂直的主平面
0 0
限定它们为正的或负的锐角
主应力的计算：
max
min
x y
2
x
2
y
2
2 x
max min x y
校核式
主应力和主平面 之间的对应关系
顺τ转最大
【例 2】 求主应力?
x 10 MPa y 20 MPa x 10 MPa
max
min
主平面和主应力
对于平面应力状态，因为单元体有一对面上没有应力，所 以这一对面就是主平面，且必有一个数值为零的主应力。
下面分析单元体的其余两个主平面和主应力： 确定主平面的位置: 切应力为零的平面为主平面
《平面应力状态》课件
优化方法：采用 有限元分析方法， 对零部件进行应 力分析，找出应 力集中区域
优化结果：通过 优化设计，提高 了零部件的强度 和刚度，降低了 重量和成本，提 高了产品的市场 竞争力
感谢您的耐心观看
汇报人：PPT
纯剪切应力状态：物体在两个相互垂直的平面内受到剪切应力的作用， 应力在两个平面内是均匀分布的。
应力状态与变形关系
应力状态：物体内部受到的力与面 积的比值
应力与变形的关系：应力越大，变 形越大
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
变形：物体在外力作用下产生的形 状和尺寸变化
应力状态与变形的关系：应力状态 决定了物体的变形程度
预防措施：优化设计、选用 优质材料、改进制造工艺等
稳定性准则及判据
稳定性准则：平面应力状态下，结构在受到外力作用下保持稳定状态的条件 判据：根据应力状态、材料性质和几何形状等因素，判断结构是否满足稳定性准则 稳定性分析方法：包括能量法、变分法、有限元法等 稳定性判据的应用：在工程设计中，用于评估结构的稳定性，确保结构的安全性和可靠性
平面应力状态下的应变 分析
应变概念及测量方法
应变：物体在外力作用下产生的形变 应变类型：线应变、面应变、体应变 应变测量方法：光学测量法、机械测量法、电学测量法 应变分析：通过测量应变来研究物体的应力状态和变形规律
应变与应力关系
应变：物体在外力作用下产生的形变
应变与应力的量纲：应变的单位是长度，应力的 单位是力/面积
强度计算方法
应力状态： 平面应力状 态
强度指标： 最大主应力、 最小主应力、 剪应力
强度条件： 最大主应力、 最小主应力、 剪应力均小 于材料的许 用应力
强度计算公
04平面应力状态
应力状态和强度理论§7.1 概述一、应力状态的概念1、问题的提出弯曲时，同一横截面上不同点上的应力是不同的s轴向拉压时，同一点不同方向面上的应力也是各不相同的ss应力取决于：点的位置截面的方向ABmmnn应力状态：构件中任一点所有方向截面上应力的集合。
应力状态的概念应力状态理论：研究构件中任一点应力性质的理论。
二、单元体法单元体（微元体）d x d y d z,, 0由于单元体无穷小，可认为1、单元体各面上的应力均匀分布2、单元体的两个平行面上的应力相同1、单元体法的基本思想dxdydz 结论：对单元体可用截面法，计算任意斜截面上的应力。
2、基本单元体单元体上的应力可以用基本变形理论求得，称为基本单元体。
AAFl SF 2F 2F As3、主平面，主应力，主单元体主平面：切应力等于零的截面主应力：主平面上的正应力主单元体：主平面构成的单元体对于构件上任意一点，均有唯一的主单元体图示单元体的前、后面，即为主平面3s 1s 2s A有三个主应力，记为（主应力按照代数值大小排列）三、应力状态的分类单向应力状态：二向应力状态：（平面应力状态）三向应力状态：（空间应力状态）A1s 2s 3s 主单元体中有一个主应力等于零，其余两个主应力不等于零。
主单元体中有一个主应力不等于零，其余两个主应力等于零。
主单元体的三个主应力都不等于零。
§7.2 平面应力状态分析一、概述二向应力状态（平面应力状态）：主单元体中有一个主应力等于零，两个主应力不等于零。
A1s 2s 1s 2sAys x s xyyxAys x s xyyx二向应力状态（平面应力状态）的普遍情况：单元体上有一对平行面上没有应力。
二、解析法分析内容：求单元体上任意斜截面上应力，从而确定主平面，主应力，主单元体以及最大切应力大小和所在截面。
ys x s xyyx a b c dαn f αe 已知：斜截面ef 的方位角α1、斜截面ef 上的应力解:用ef截面将单元体截开,取aef为研究对象。
材料力学72平面应力状态应力分析主应力
sin 2
max
x y sin 2
2
x cos 2
cos 2
450
450
max
450
max
450 0
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此， 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 的。
应力圆
一、应力圆的方程式
x y
1
x
y
2
x
2
y
2
2 x
2
切应力等于零的截面为主平面 主平面上的正应力称为主应力
2
x
y
2
x
2
y
2
2 x
tg2(0 900 ) tg20
tg20
2 x x
y
已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及弯矩M=10kNm.绘出 表示1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。
300 600 x y 40MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢 拉伸时发生屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
450
x y
2
x y cos 2
2
x sin 2
x
x
2
y
30MPa
4点
1 100MPa
2 0
3 0
自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示, 3 .试求此点 的主应力及主平面.
a
ay
ad面,db面是该点的主平面.
c 600
x
600 b
d
x
b
Fx 0
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0
x y sin 2 0 xy cos 2 0 0 2
tan 2 0 2 xy
（3） （4）
即
x y
方程（4）有两个解，主平面方位角 0 与 0 90 ，说明两个主平面互为垂直关 系。 将公式 （3） 的解回代公式 （1） ， 可得另外两个主应力， 代数值较大的记为 max ， 较小的记为 min ，则
max min
x y x y 2 xy 2 2 x y x y 2 2 xy 2
2
2
（5）
（6）
关于公式（3）的解诸多材力教材没有此部分推导，本文列如下：
对于方程 tan 2 0
平面应力状态分析--主应力主平面详细推导
老和尚小方丈（storylee_dut@） 大连理工大学+哈尔滨电机厂有限责任公司
平面应力状态有一个主应力为 0，全部应力分量假设位于一个平面，鉴于市 场上材料力学教材关于平面应力状态分析公式推导不尽详细， 在此进行详细推导， 为广大力学人士提供参考，敬请批评指正。 任意斜截面上的应力公式为：
y 2
2 xy
2
（10）
注意（9） 、 （10）公式正负号的对应，再将（9） 、 （10）代入公式（3）推得 主应力计算公式（5） 、 （6） ，至此，详细推导完成！
2 xy
x y
sin 2 0 2 xy
更改等效形式 添加方程 联立（7） 、 （8）求得：
x y
cos 2 0
（7） （8）
sin 2 2 0 cos 2 2 0 1
x y 2 cos 2 0 2 x y 2 2 xy sin 2 0
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
（1）
（2）
式中， 为斜截面外法线 n 与 x 轴正向的夹角。 对于主平面方位的确定，根据主平面定义可知，主平面上的切应力为 0，由 （2）式得：