第3章 平面应力和平面应变
x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
O
u
P
dx
x u u dx x
v P A
dy
v v dx x
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
y
v v dy y
P点两直角线段夹角的变化 xy
B
A
B
u u dy y
tan
v
v x
dx
v
dx
v x
tan
u
u y
dy
dy
u
u y
xy
v x
xy
cos(N, x) l cos(N, y) m
dx ds m y dy ds l
B
s
YN
N
外法线
由微元体平衡：
Fx 0, xdy 1 yxdx 1 X N ds 1 0
xds l 1 yxds m1 X N ds 1 0
整理得：
X N l x m yx
（3）
Fy 0, ydx 1 xydy 1 YN ds 1 0
O
y x
yx
yx
y
xy
y
P D
yxA
X
x
x
x
dx
xyB
Y
C
xy
xy
x
dx
dy
y
y
y
dy
xy dx
x
BC面：
y
y
y
dy
yx
yx
y
dy
注： 这里用了小变形假定，以变形前 的尺寸代替变形后尺寸。
x O
由微元体PABC平衡，得
MD 0
(
xy
xy
x
dx)dy 1
dx 2
y
yx
整理得： YN m y l xy
（4）
X N l x m yx YN m y l xy
（3） （4）
（2）斜面上的正应力与剪应力
N lX N mYN
O
y
x
yx
P dx x dy ds
A XN
N lYN mX N
将式（2-3）（2-4）代入，并整理得： y
N l 2 x m2 y 2lm xy （5）
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另
两个方向的尺寸大得多， 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。
水坝
—— 近似认为无限长
(2) 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。
约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
(3) 变形特征
滚柱
厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
应力主向的计算公式：
tan 1
1 xy
x
tan 2
xy 2
y
（8）
由 1 2 x y 得
2 y (1 x )
tan 2
xy 1
x
显然有 tan1 tan2 1
表明： σ1 与 σ2 互相垂直。
结论
任一点P，一定存在两 互相
垂直的主应力σ1 、 σ2 。
（3）σN 的主应力表示
第三章 平面问题
要点 —— 建立平面问题的基本方程
包括：平衡微分方程；几何方程；物理方 程；变形协调方程；边界条件的描 述；方程的求解方法等
§3.1 平面应力问题与平面应变问题
1. 平面应力问题
(1) 几何特征
b
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
t a,t b —— 平板
x
z
t
y
y
a
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
不能确定u、v。
（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）
（3） xy —— 以两线段夹角减小为正，增大为负。
求解得： m x
l
yx
m yx l y
2
(
x
y
)
(
x
y
2 xy
)
0
O
y
x
yx
P dx x dy ds
A XN
xy N
N
y
B
s
YN
N
X N l x m yx YN m y l xy
N lX N mYN
N lYN mX N
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 xy
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
d
y
y
y
dy
xy
xy
x
dx
§ 3.2.1 平衡微分方程
取微元体PABC（P点附近），
x
PA dx PB dy
Z 方向取单位长度。
设P点应力已知： x , y , xy yx
体力：X ，Y
AC面：
xxyxxxxyddxx212!1!2x2x2xx2xy(d(dxx)x2)x2dx
O
x
2
1
P
dy
dx ds
A
y
N
N
B
sN
由 N l 2 x m2 y 2lm xy
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy
N l 21 m2 2
l 2 (1 2 ) 2
N lm( 2 1)
σ1 与 σ2 分别为最大和最小应力。
（4）最大、最小剪应力
由 N lm( 2 1)
N l 21 m2 2 l 2 (1 2 ) 2
N lm( 2 1)
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y （18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 xy
（7）
tan 1
dy)dx 1
ydx 1 ( xy
xy
x
dy)dx 1
xydy 1 Ydx dy 1 0
两边同除以dx dy，并整理得：
y xy Y 0
y x
平面问题的平衡微分方程：
x yx X 0
x y
xy y Y 0 （2）
x y
x O
y
yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
y y (x, y)
—— 平面应变问题
xy yx xy (x, y)
水坝
(1)平面应变问题中 z 0 但是， z 0 z ( x y )
注：
(2)平面应变问题中应力分量： x , y , z , xy ( zx zy 0)
可近似为平面应变问题的例子：
—— 仅为 x y 的函数。
1 xy
x
tan 2
xy 2 y
（8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
max 1 2
min
2
τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。
§3.2.3 几何方程 刚体位移
建立：平面问题中应变与位移的关系 —— 几何方程
1. 几何方程
O
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动；
m x
l
yx
tan 1
sin 1 cos1
cos(90 1) cos1
m1 l1
1 x xy
(或 xy ) 1 y
设σ2 与 x 轴的夹角为α2， σ2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、
m2，则
tan 2
sin 2 cos2
cos(90 2 ) cos2
m2 l2
2 x xy
(或 xy ) 2 y
Fx 0
x O
(
x
x
x
dx)dy 1
xdy 1
(
yx
yx
y
dy)dx 1
yxdx 1
Xdx dy 1 0
两边同除以dx dy，并整理得：
x yx X 0
y
yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
x y
Fy 0
(
y
y
y
u y
整理得：
O
x
u x
P
v
y
v y
（9）
dy
xy
v x
u y
——几何方程
y
说明：
v v dy y
（1） 反映任一点的位移与该点应变间的 关系，是弹性力学的基本方程之一。
x
u
dx
P A
B
B
u u dy y
u u dx x
v v dx x
A
（2） 当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反之，已知 x , y , xy，
设 z方向为无限长，则 x, x, u, 沿 z 方向都不变化，
仅为 x，y 的函数。 任一横截面均可视为对称面
因为任一横截面均可视为对称面，则有
w0
所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。
—— 平面位移问题
z 0 zy yz 0 zx xz 0
弹性力学-平面应力-平面应变问题
平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
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04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。
试述平面应力问题和平面应变问题的特点。
试述平面应力问题和平面应变问题的特点。
平面应力问题和平面应变问题是固体力学中的两个重要概念，用于描述材料在二维平面内受力和变形的行为。
它们具有以下特点：
平面应力问题特点：
1.二维平面：平面应力问题假设材料在一个平面内受力，即只考虑材料在平
面内的应力分布，忽略沿垂直于该平面的应力分量。
2.平行应力：在平面应力问题中，只考虑平行于平面的应力分量，即沿着平
面的两个方向上的应力分量。
3.垂直应力：由于假设材料在平面外的应力分量为零，因此平面应力问题中
不考虑垂直于平面的应力分量。
4.线性弹性：平面应力问题通常基于线性弹性理论，即假设材料的应力-应
变关系是线性的。
平面应变问题特点：
1.二维平面：与平面应力问题类似，平面应变问题假设材料在一个平面内变
形，只考虑材料在平面内的应变分布，忽略垂直于该平面的应变分量。
2.平行应变：平面应变问题中，只考虑平行于平面的应变分量，即沿着平面
的两个方向上的应变分量。
3.垂直应变：与平面应力问题不同，平面应变问题中考虑垂直于平面的应变
分量。
4.线性弹性：平面应变问题通常基于线性弹性理论，假设材料的应力-应变
关系是线性的。
这些问题的特点使得对材料在二维平面内受力和变形行为进行简化和分析成为可能。
它们在工程学和材料科学中有广泛的应用，例如在结构力学、材料设计和应力分析中的应用。
midas有限元理论-3 平面应力单元&平面应变单元
For triangular element
fi
(ξ
,η
)
=
1 2 1 4
(1+η ) (1+ ξiξ
)
(1
−
η
)
for i = 3 for i = 1, 2
For quadrilateral element
fi
(ξ
,η
)
=
1 4
(1+
ξiξ
)
(1
+
ηiη)
for i = 1, 2,3, 4
σ = Dε = DBq
where, D is the elasticity matrix defining mechanical properties of the material. Also, the matrix D is the
only difference that distinguishes plane stress elements from plain strain elements in finite element
∂v ∂x
=
∂x 0
∂ ∂y
∂
0
∂x
∂ u
∂y
v
=
0
∂
∂
∂x
∂y
0
∂ f1
∂y
0
∂
∂x
0 f1
f2 0
0 ... fn
f2
0
u1
v1
0
平面应力问题和平面应变问题
平面应力问题和平面应变问题
平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。
首先，平面应力是指施加在平面上的外力，它以牛顿力/
千克为单位来表示。
应力分为正应力和负应力，当施加的外力为正时，应力也是正的，反之亦然。
应力的大小由施加的外力的大小决定，如果外力越大，应力越大，反之亦然。
其次，平面应变是指在应力作用下物体的形变，它以百分比表示，一般用“δ”表示。
应变可以分为正应变和负应变，正
应变表示物体受力时膨胀，负应变表示物体受力时压缩，应变的大小与应力的大小成正比，如果应力越大，应变也越大，反之亦然。
最后，平面应力和应变之间的关系是对称的，它们的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系
是线性的，也就是说，如果应力增加一倍，应变也会增加一倍。
总之，平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。
应力和应变之间的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系是线性的，应力增加一倍，应变也会增加一倍。
平面应力和平面应变
Fx 0
x O
(
x
x
x
dx)dy 1
xdy 1
(
yx
yx
y
dy)dx 1
yxdx 1
Xdx dy 1 0
两边同除以dx dy，并整理得：
x yx X 0
y
yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
x y
Fy 0
(
y
y
y
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另
两个方向的尺寸大得多， 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。
水坝
—— 近似认为无限长
(2) 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。
约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
(3) 变形特征
滚柱
厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，
求： x , y , xy x , y , xy u, v
—— 仅为 x y 的函数 需建立三个方面的关系：
整理得： YN m y l xy
（4）
X N l x m yx YN m y l xy
平面应力问题和平面应变问题的基本方程中
平面应力问题和平面应变问题的基本方程中嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个非常有趣的话题——平面应力问题和平面应变问题的基本方程。
别担心，我会用最简单的语言来解释这个话题，让你轻松理解。
让我们来看看什么是平面应力问题和平面应变问题吧。
平面应力问题，就是指在一个平面内，物体受到的力分布不均匀，导致物体内部产生应力。
而平面应变问题呢，就是指在一个平面内，物体的形状发生变化，导致物体内部产生应变。
这两个问题看似复杂，但其实它们都是由一个基本方程组成的。
这个基本方程就是什么呢？嘿嘿，让我慢慢告诉你。
这个方程叫做胡克定律，它是由英国科学家胡克在18世纪发现的。
胡克定律告诉我们，一个物体受到的应力与其形变成正比，与材料的弹性模量成反比。
换句话说，一个物体受到的应力越大，它的形变就越大；而材料的弹性模量越大，它所能承受的应力就越大。
那么，我们如何运用胡克定律来解决平面应力问题和平面应变问题呢？这里我就给大家举个例子吧。
假设我们有一个矩形板子，它的长度是L,宽度是W,材料是弹性模量为E的金属。
现在我们在板子的四个角上分别施加了40牛顿的力，让板子发生形变。
我们想要知道板子发生了多大的形变。
我们需要计算出板子受到的总应力。
因为我们在四个角上分别施加了40牛顿的力，所以总应力就是40 * 4 = 160牛顿。
接下来，我们要用胡克定律来计算板子的形变。
根据胡克定律，我们可以得到：$\Delta L = F times E \div (A * L)$$\Delta W = F \times E \div (A * W)$其中，$\Delta L$表示板子的长度变化，$\Delta W$表示板子的宽度变化，F表示施加在板子上的力，E表示板子的弹性模量，A表示板子的面积。
将已知的数据代入公式，我们就可以得到：$Delta L = 160 times E \div (4 * A) = 40E \div A$$\Delta W = 160 \times E div (4 * A) = 40E \div A$所以，板子的长度和宽度分别发生了$40E \div A$的形变。
什么是平面应变与平面应力
平面应变与平面应力
人们所感受到的，认知到的物质世界是三维的，然而在工程分析中，通常采用合理的二维近似以节省资源。
在众多仿真求解软件中也常常采用二维近似计算。
例如ABAQUS标准分析中的Plane Strain 和Plane Stress单元既是分别采用的平面应变和平面应力的近似假设。
在Plane Strain单元类型中，相关单元的3方向应变E33均为0；在Plane Stress单元类型中，相关单元的3方向应变S33均为0。
上述单元的应力，应变也取决于如下本构方程中的相关假设。
本构方程
在线弹性假设下，胡克定律可以专门用于平面应变和平面应力。
三维胡克定律的完整形式如下：
其中，E 是杨氏模量，ν是泊松比，G是剪切模量。
平面应变
平面应变的情况比较简单，从三维公式中删除三个为零的应变分量就是平面应变状态。
通俗来讲，只有平面内有应力，与该面垂直的方向的应力可忽略（如，薄板拉压）。
平面应力
对于平面应力可以使用来消除，从而得到
横向应变(即厚度变化)计算为：。
通俗来讲，只有平面内有应变，与该面垂直的方向的应变可忽略（如，坝体侧向水压）。
平面应力和平面应变
平面应力和平面应变
平面应力和平面应变都是起源于简化空间问题而设定的概念。
平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。
平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。
具体说来：平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τyz，τzx。
平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。
举例说来：平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。
薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
平面应力问题的定义
平面应力问题的基本假设
假设弹性体是连续的，没有空隙或裂缝。
假设弹性体的材料性质在空间中是均匀的，即各向同性。
假设弹性体的材料性质在不同方向上相同。
假设弹性体的变形是微小的，即变形前后的形状和尺寸变化不大。
连续性
均匀性
各向同性
小变形
解析法
01
通过数学公式和定理求解弹性力学问题的精确解。适用于简单形状和边界条件的平面应力问题。
平面问题的定义
02
CHAPTER
平面应力问题
在弹性力学中，平面应力问题是指应变场和应力场在二维平面上变化的问题。这类问题通常涉及到薄板、薄壳等二维结构，其厚度相对于结构的尺寸较小，可以忽略不计。
平面应力问题
平面应力问题具有对称性，即应变和应力在垂直于平面的方向上为零。同时，由于结构厚度较小，平面应力问题通常只考虑平面内的应变和应力分量，忽略垂直于平面的分量。
弹性力学简介
平面问题是指弹性物体在平面内的变形问题，其中物体与平面平行或与平面垂直。
平面应变问题是指物体在平行于平面的方向上发生变形，而垂直于平面的方向上变形较小或忽略不计。
平面问题可以分为平面应变问题和平面应力问题两类。
平面应力问题是指物体在垂直于平面的方向上发生变形，而平行于平面的方向上变形较小或忽略不计。
03
CHAPTER
平面应变问题
平面应变问题
模拟 aword/noun like "bleepileysing前进 on how toilet b. The first time you feel that there is a word-like "bleepilexamples the first time you具有重要的 first time you feel that there is a word's a word-like "bleepilexamples[c. The first time you feel that there is a word's a word-like b. The first time you feel that there is a word's a word's a word-like "bleepilexamples the first time you's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a way toilet's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's
平面应力问题和平面应变问题的异同点
平面应力问题和平面应变问题的异同点平面应力问题和平面应变问题是力学中的重要课题，它们是探索物质承受拉力、压力等外力的变形情况和应力情况的基本方程，也是很多工程的重要参考依据。
不同于立体应力问题和立体应变问题，平面应力问题和平面应变问题是二维问题，具有相对简单的结构，只考虑物体周围两个平面上的力和变形器件。
首先，当讨论平面应力问题和平面应变问题的异同点时，最显著的区别在于他们的物理本质：前者是探索物质在外力作用下的变形特性，后者是探索物质在外力作用下的应力特性。
平面应力及平面应变是机械传动力学最基本的现象，它们是物体承受外力作用而引起的变形和应力之间的密切联系。
其次，当进一步研究它们的异同点时，可以发现，它们在计算方法上也有着不同，平面应变问题一般求解使用平面位移，而平面应力问题则需要利用平面应力的不变量来求解。
此外，从它们的求解结果上来看，由于平面应力问题只考虑物体两个平面上的力，因此它的解析解只有四个方程，而平面应变问题的解析解则有八个方程，不仅考虑了每个平面上的位移量，还考虑到物体的旋转量。
最后，从解决它们问题的作用上来看，平面应力问题和平面应变问题都可以帮助我们研究物质在外力作用下的变形特性和应力特性，让我们对物质的本构关系有更加清晰的认识。
由于两类问题具有不同本质，因此在解决它们时，也需要采用不同的计算方法，从而得到不同的求解结果，进而帮助我们更好的发掘物质在外力作用下的变形和应力的特性。
从上面的分析可以看出，平面应力问题和平面应变问题虽然在物理本质上有着不同，但是它们在求解方法和解决作用上也有着一定的异同点。
因此，在研究物质在外力作用下的变形特性和应力特性时，可以通过求解平面应力问题和平面应变问题，从而更直观的发现物质的本构关系，为用物理方法分析材料的性能、设计新材料提供了重要依据。