浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法
数学期望概念的教学方法研究
数学期望概念的教学方法研究1. 引言1.1 背景介绍数统计等。
数学期望是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量的平均值。
它在金融、统计学、工程等领域都有着重要的应用价值。
随着现代教育理念的不断更新和发展，针对数学期望概念的教学方法也越来越受到重视。
传统的教学方法往往以理论为主，缺乏实际案例和实践操作的引导，导致学生对数学期望概念的理解和掌握程度有限。
如何通过案例教学、实践操作和跨学科融合等教学方法，来提高学生对数学期望概念的理解和应用能力，成为当前教学研究的重要课题之一。
本文将从数学期望概念的概述开始，分析传统教学方法的局限性，然后探讨基于案例教学、实践操作和跨学科融合的教学方法，最后比较和总结各种教学方法的优缺点，展望未来的研究方向。
部分为重点内容，对理解整个研究内容具有重要意义。
1.2 研究意义数统计、排版等。
谢谢！数学期望是概率论中一个极为重要的概念，它可以用来描述一个随机变量的平均值或预期值。
深入理解数学期望的概念不仅有助于学生掌握概率论的基础知识，还能帮助他们在日常生活中更好地理解事件的发生规律，从而提高分析和解决问题的能力。
本研究旨在探讨不同的教学方法对于数学期望概念的传授效果，通过比较传统教学方法、案例教学方法和实践操作教学方法的优缺点，可以为教师提供更灵活多样的教学策略。
尤其是跨学科融合教学方法的探讨，将数学期望概念与其他学科知识相结合，有助于拓展学生的思维方式和视野，提高他们的综合能力。
本研究不仅对于提升数学教学的有效性和效率具有重要的指导意义，更能够促进教育教学改革和创新，推动教育教学质量不断提升。
深入研究数学期望概念的教学方法，具有重要的理论和实践意义。
2. 正文2.1 数学期望概念概述数、样式、格式等等。
以下是关于数学期望概念概述的内容：数学期望是概率论和统计学中一个非常重要的概念，通常用来描述随机变量的平均值。
在现实生活中，我们经常需要对一些随机事件进行预测和分析，而数学期望可以帮助我们更准确地理解和预测这些事件的平均结果。
数学期望在实际问题中的应用探讨
数学期望在实际问题中的应用探讨摘要：数学期望是概率论中的一个重要概念，是随机变量的数字特征之一，体现了随机变量总体取值的平均水平，本文主要阐述了数学期望的定义和性质，讨论了实际生活中的某些应用问题，从而使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果。
关键词：数学期望；实际问题；应用在经济生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决，风险决策中的期望值法便是处理风险决策问题常用的方法。
数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平。
1 期望的概念及性质1.1 离散型随机变量的数学期望设X 是离散型随机变量，其分布律为P(X =i x )= i p （i=1，2……），若级数1i i i x p ∞=∑ 绝对收敛，则称该级数的和为X 的数学期望，记作)(X E ，即： ∑∞==1)(i i i p x X E1.2 连续型随机变量的数学期望设)(x f 为连续型随机变量X 的概率密度，若积分()xf x dx +∞-∞⎰绝对收敛，则称它为X 的数学期望，记作)(X E ，即： ⎰∞∞-=dx x xf X E )()( 1.3 期望的性质1）c c c E ,)(=为任意常数；2）c X cE cX E ),()(=为常数，X 为变量；3）Y X Y E X E Y X E ,),()()(+=+为变量；4）若Y X ,独立，则)()()(Y E X E XY E =。
2 期望的应用2.1 求职面试问题假如你得到三个有可能成为你的雇主的面试通知，每个雇主都有不同的空缺职位：一般的，好的，极好的，其工资分别为Y2500，Y3000，Y4000．你估计你得到一般的职位可能为0.4，而得到好的和极好的职位的可能性分别为0.3和0.2，有0.1的可能性使你得不到任何职位．每家公司都要求你在面试结束时表态接受或拒绝他们提供给你的职位你应遵循什么策略呢？分析：一般来说，你可以采取的每个行动方案的期望值把决策建立在第一次面试该做什么的基础上，就本问题而言要这样做是困难的，因为一种决策方案(继续去做第二次面试)会由于在第一次面试结束时我们可以做出另一个决策而有不确定的结果。
比赛概率问题及解决方法
比赛概率问题及解决方法比赛概率问题是一个常见的数学问题，涉及到概率论和统计学的知识。
这类问题通常涉及到各种比赛，比如足球、篮球、网球等，需要计算某个事件发生的概率。
解决比赛概率问题的一般步骤如下：1. 确定事件：首先需要明确要计算哪个事件发生的概率，比如进球、胜利、输掉比赛等。
2. 列举所有可能的结果：将所有可能的结果列举出来，并确定每个结果发生的概率。
3. 计算概率：根据概率的定义，概率是某个事件发生的次数与所有可能结果的总数之比。
因此，需要计算出某个事件发生的次数和所有可能结果的总数，然后相除得到概率。
4. 给出答案：将计算出的概率值作为答案，并解释其含义和背景。
以下是一个具体的例子：在一场足球比赛中，甲队和乙队进行比赛，每队有11名球员。
如果一名球员被罚下场，该队将少一人。
假设甲队和乙队都有一名球员被罚下场，那么甲队获胜的概率是多少？首先，我们需要确定事件：甲队获胜。
接下来，列举所有可能的结果：甲队和乙队都有一名球员被罚下场，那么甲队和乙队各有10名球员。
在这种情况下，甲队获胜的情况有：1. 甲队进了1个球，而乙队没有进球；2. 甲队进了2个球，而乙队只进了1个球；3. 甲队进了3个球，而乙队进了1个球；4. 甲队进了3个球，而乙队没有进球；5. 甲队进了4个球，而乙队进了1个球；6. 甲队进了4个球，而乙队没有进球。
根据这些情况，我们可以计算出甲队获胜的概率：1. 甲队进了1个球，而乙队没有进球的概率是P(A)=××××…×（因为总共进行了100次进攻）；2. 甲队进了2个球，而乙队只进了1个球的概率是P(B)=××××…×；3. 甲队进了3个球，而乙队进了1个球的概率是P(C)=×××××…×；4. 甲队进了3个球，而乙队没有进球的概率是P(D)=×××××…×；5. 甲队进了4个球，而乙队进了1个球的概率是P(E)=××××××…×；6. 甲队进了4个球，而乙队没有进球的概率是P(F)=××××××…×。
数学期望在体育比赛中的应用
数学期望在体育比赛中的应用摘要:文章介绍了离散型随机变量数学期望的概念。
并利用离散型随机变量对NBA季后赛火箭对爵士的比赛场数进行预测,最后给出预测结果;另外,就乒乓球比赛中的两种赛制,以中国队和韩国队为例,利用离散型随机变量分析不同赛制对中国队的优劣。
关键词:数学期望;二项式定理;乘法公式1离散型随机变量的数学期望我们知道,随机变量的分布函数或密度函数能完整的描述随机变量的统计规律性,但在许多实际问题中,确定随机变量的分布并不容易。
因此,讨论实际问题有时并不需要强求随机变量的分布,而只需要知道它的某些数字特征就够了。
下面给出离散型随机变量X数学期望的定义[1]。
设离散型随机变量X的分布律为:X X1X2……Xk……P P1P2……pk……若级数∑∞k=1xkpk绝对收敛,则称级数∑∞k=1xkpk为X的数学期望,记为E(X)。
所谓的求数学期望其实就是去求随机变量的以概率为权数的加权平均值。
而平均值这一概念又是我们在实际应用中最常用的一个指标,在预测中使用是很具有科学性的2利用数学期望预测NBA比赛的场数随着姚明和易建联在NBA中取得成功,现在NBA比赛越来越多地受到中国观众的青睐。
而由于体育比赛结果的偶然性,使得大家对比赛结果的预测越来越感兴趣。
以2008年爵士队和火箭队在NBA季后赛的第一轮相遇为例。
根据NBA规则,比赛是七场四胜制。
现在我们就可以提出这样一个问题,假设火箭对爵士每场比赛的获胜的概率都为50%,那么第一轮比赛结束时两队所需比赛的场数是多少。
很容易想到,两个队比赛结束的前提就是其中一个队已经获得四场比赛的胜利。
所以上述问题可能的结果有4、5、6、7场四种结果。
我们下面应用数学期望的知识对其进行预测。
首先,计算四种结果所对应的概率。
由于每场比赛双方获胜概率一样,所以只需计算其中一队最后乘以二即可。
以两队比赛结束时共赛五场为例,假设火箭最终胜利。
即火箭第五场胜利,且前面四场恰好胜三场。
竞赛所存在的问题以及解决措施
竞赛所存在的问题以及解决措施竞赛所存在的问题以及解决措施序号一、引言竞赛是一种广泛应用于各个领域的活动，可以促进个人和团队的成长与进步。
然而，竞赛也存在一些问题，如激烈竞争导致人们过度追求荣誉、压力过大、不公平竞争等。
本文将探讨竞赛所存在的问题，并提出一些解决措施，以期能更好地改善竞赛环境。
序号二、竞赛存在的问题1.1 过度追求荣誉在很多竞赛中，个人和团队往往会过度追求荣誉，将荣誉视为唯一的目标，而忽视了真正的学习和成长。
这种心态会使得一些人为了取得好成绩，不择手段地作弊、抄袭或者不公平竞争。
1.2 压力过大竞赛中的竞争压力常常给参与者带来巨大的心理负担。
有些人为了取得好成绩，不断地加大自己的学习负担，忽视了身心健康。
长期承受高强度的学习和竞争压力，容易导致焦虑、抑郁等心理问题。
1.3 不公平竞争在一些竞赛中，存在着不公平竞争现象。
一些参赛者可能会利用家庭、财务等优势来取得不公平的竞争优势，导致其他参赛者无法公平竞争。
1.4 忽视团队合作一些竞赛偏重个人的表现，而忽视了团队合作的重要性。
这种情况下，参赛者会更注重自己的个人成绩，而忽视与团队成员合作和沟通的能力。
序号三、解决措施2.1 培养正确的竞争观念为了解决过度追求荣誉的问题，我们需要从教育入手，培养学生正确的竞争观念。
要让学生明白，竞争不是唯一的目标，更重要的是通过参与竞赛，提升自己的技能和能力，培养自身的创新思维和团队合作精神。
2.2 强调综合素质的培养竞赛评价体系应该更加注重综合素质的培养，而不仅仅是片面追求分数的高低。
应该鼓励学生积极参与社会实践、团队合作、创新能力等方面的培养，使其在竞赛中展示全面发展的素质。
2.3 加强监管和执法为了解决不公平竞争问题，我们需要加强竞赛的监管和执法力度。
对于违规行为，应该进行严肃处理，同时要建立公平透明的竞赛评价机制，确保竞赛的公平性和公正性。
2.4 改变评价体系竞赛评价体系需要更加注重综合能力和创新精神，而不仅仅是记忆和应试能力的考核。
高中数学联赛常用的解题方法与技巧
引言
构造法
反证法
数学归纳法
课外思考一 课外思考二课外思考三
1
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
有固定求解模式的问题不属于竞赛中的数学，通 常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数 学基础知识去进行探索与尝试、 选择与组合。 这当中， 经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证 法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原 理……） ，同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味 的奥林匹克技巧。有人说： “竞赛的技巧不是低层次 的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学 技巧的技巧， 又是创造数学技巧的技巧， 更确切点说， 这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平 的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。 ”
17
构造一个隔板模型,取 18 个相同的小球排成一列,用 9 块隔板将 18 个小球分隔成 10 个空间,第 i (1 ≤ i ≤ 10) 个空 间的小球对应第 i 个班级的学生的名额,因此,名额分配方 案的种数与隔板的插入数相等.
17
课外思考二: 构造 f ( x) ax 2 bx c 1.设 abc 是十进制中的素数,求证: b2 4ac 不是完全平方数 2.( 第 19 届 IMO 试题(1977 年))在一个有限的实数列中,任意 7 个连续项之和都是负数,而任意 11 个连续项之和都是正数 试问:这样的数列最多有多少项?
构造一次函数 f ( x ) (b c ) x bc 1
还有没有其他方法
5
思考 4: 1 1 1 4 2 已知 2 3 0, n n 3 且 n2 , m m m 4 2 mn n 3 构造一元二次方程 . 求 的值. 2 m 思考 5: 已 知 x , y , z 为正数 且 xyz( x y z ) 1 , 求表达 式 ( x y )( y z ) 的最小值. 构造三角形的面积.
数学期望的计算及应用
数学期望的计算及应用数学与应用数学111 第四小组引言： 我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。
因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。
在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即∑∞==1)(k k kp xX E ；2. 应用随机变量函数的期望公式∑∞==1)())((k k k p x q x q E 3. 利用期望的有关性质。
但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将介绍一些解决这些难题的简单方法。
在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。
如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。
就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。
下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。
1. 变量分解法]1[如果可以把不易求得的随机变量X 分解成若干个随机变量之和,应用)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++再进行求解得值，这种方法就叫做变量分解法。
这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。
例题1 ： 从甲地到乙地的旅游车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X 表示停车次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的)分析 ： 汽车沿途10站的停车次数X 所以可能取值为0，1，….，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X)，则需要分别计算{X=0}，{X=1}，…，{X=10}等事件的概率，计算相当麻烦。
注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1对应起来，映入随机变量i X 每一种结果的概率较易求得。
国家集训队2009论文集浅析竞赛中一类数学期
浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法福建省福州第八中学汤可因摘要期望在我们生活中有着十分广泛的应用，而对于我们信息学奥赛也出现了不少求解期望值的问题。
本文对于竞赛中涉及求离散型随机变量的数学期望的题目所使用的常用方法归纳成为两大类，并进行了总结与分析。
关键字期望递推动态规划方程组目录引言 (3)预备知识 (3)一、期望的数学定义 (3)二、期望的线性性质 (3)三、全概率公式 (4)四、条件期望与全期望公式 (4)一、利用递推或动态规划解决 (4)例题一：聪聪与可可 (5)分析 (5)小结 (6)例题二：Highlander (6)分析 (6)小结 (8)例题三：RedIsGood (8)分析 (8)小结 (9)二、建立线性方程组解决 (10)引入 (10)分析 (10)需要注意的地方 (12)例题四：First Knight (12)分析 (12)例题五：Mario (15)分析 (15)总结 (16)参考文献 (17)引言数学期望亦称为期望，期望值等，在概率论和统计学中，一个离散型随机变量的期望值是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
而期望在我们生活中有着十分广泛的应用。
例如要设计一个彩票或赌博游戏，目标为赢利，那么计算能得到的钱以及需要付出的钱的期望，它们的差则需要大于0。
又例如对于是否进行一项投资的决策，可以通过分析总结得出可能的结果并估算出其概率，得到一个期望值而决定是否进行。
期望也许与每一个结果都不相等，但是却是我们评估一个事情好坏的一种直观的表达。
正因为期望在生活中有如此之多的应用，对于我们信息学奥赛也出现了不少求解期望值的问题。
而其中大多数又均为求离散型随机变量的数学期望。
本文对于这类题目所会涉及到的常用方法进行了归纳，总结与分析。
预备知识一、期望的数学定义如果X 是一个离散的随机变量，输出值为 x 1, x 2, ...， 和输出值相应的概率为p 1, p 2, ... （概率和为1）, 那么期望值 ∑=ii i x p X E )(。
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x
x
Ex, y
方程
未知量
例题：First Knight
[优化]
与开始的mn个方程相比，减少的方程 数和消去的未知量数相等。
y y
x
x
Ex, y
方程
未知量
例题：First Knight
[优化]
满足i < x－1或i = x－1且j < y的方程
Ei , j Pi ,(1) Ei 1, j Pi ,( 2) Ei , j 1 Pi ,(3) Ei 1, j Pi ,( 4) Ei , j 1 1 j j j j
1
0.5 2 1 1 4 0.5 3
Fi , j
( i , k )E
P
i ,k
Fk , j 1 Wi
但若将这张有向图稍作修改
引入模型
可以得到如下的递推式 并按照拓扑序来递推
1
1 2 1 0.5 3 0.5 4
Fi , j
( i , k )E
P
i ,k
Fk , j 1 Wi
Fk , j 1 Wi
引入模型
Fi , j
( i , k )E
Pi,k Fk , j 1 Wi
2
1
1 1 0.5 3
若Fi,j当 j→∞时收敛，设 0.5 4 收敛于Fi 那么答案即为Fs。 可以利用迭代求出满足精度要求的解， 但是时间复杂度无法接受。
引入模型
方程形式：
E (Y ) E ( E (Y | X )) P( X xi ) E (Y | X xi )
i
E(Y | X = 2)=3 P(X = 2)=0.4
E(Y | X = 1)=4
P(X = 1)=0.6
E(Y)=0.4×3 + 0.6×4 = 3.6
引言
一、利用递推或动态规划解决 二、建立线性方程组解决
m, n ≤ 40Accept?
时间复杂度O(m3n3)
Time limit exceeded
例题：First Knight
第i行第j列的格子表示了方程：
[优化]
Ei , j Pi ,(1) Ei 1, j Pi ,( 2) Ei , j 1 Pi ,(3) Ei 1, j Pi ,( 4) Ei , j 1 1 j j j j
但若将这张有向图稍作修改 图存在环。
引入模型
所以对于一般的有向图，可 以设Fi,j为从顶点i出发，经 过j步所走路径的路径权 期望。 那么有： Fi , 0 Wi 当j > 0时
1
1 2 1 0.5 3 0.5 4来自Fi , j
( i , k )E
P
i ,k
Fk , j 1 Wi
方程
未知量
例题：First Knight
Ei , j
[优化]
第i行第j列的格子表示了未知量：
方程
未知量
例题：First Knight
[优化]
同样为了避免回代，可以以逆序也就是 Em, n到E1, 1的顺序进行消元。
…… 方程
3
2
1
未知量
例题：First Knight
[优化]
对于方程而言，若当前要消去的未知量 为Ex, y。
y y
x
x
Ex, y
方程
未知量
例题：First Knight
[时空复杂度]
时间复杂度O(n3m3) →O(n3m)。 空间复杂度可优化至O(n2m)。
x x
y
y
Ex, y
方程
未知量
总结
期望模型
有环 无环
有限递推
近似解，效率低
无限递推 方程组 高斯消元
精确解，效率高
总结
具体问题 期望模型
不包含当前要消的和之前消去的未知量
y y
x
x
Ex, y
方程
未知量
例题：First Knight
[优化]
所以最多与n个方程进行消元。
y
y
x
x
Ex, y
方程
未知量
例题：First Knight
[优化]
消元顺序最后的未知量为Ex-2, y。 所以对于增广矩阵来说，每次消元最多 只需要对n行和其中的2n+1列进行操作。
引入模型
所以对于一般的情况，可 以设Fi,j为从顶点i出发，经 过j步所走路径的路径权 若Fi,j当 j→∞时收敛，设 期望。 收敛于F
i
1
1 2 1 0.5 3 0.5 4
那么答案即为Fs。 那么有： Fi , 0 Wi 当j > 0时
Fi , j
( i , k )E
P
i ,k
对应
总结
具体问题
对应
期望模型
选择
解决方法
特点
处理优化
对于这种不存在环的有向图。 0.5 设Fi表示从顶点i出发的路 2 径权期望。 可以分成两类情况。 从顶点i出发经过相邻顶点k的路 径权期望为Fk +Wi ，概率Pi, k 。 停止行动路径权Wi 。
1
0.5 1 1 4 3
引入模型
可以得到如下的递推式 并按照拓扑序来递推
浅析竞赛中一类数学期望问题 的解决方法
福建省福州第八中学 汤可因
预备知识
[什么是数学期望] 如果X是一个离散的随机变量，输出值 为 x1, x2, ...， 和输出值相应的概率为 p1, p2, ... （概率和为1）, 那么期望值
E ( X ) pi xi
i
预备知识
[全期望公式]
例题：First Knight
列出方程直接求解？ Ei, j表示从(i, j)出发的步数期望。
[分析]
Ei , j Pi ,(1) Ei 1, j Pi ,( 2) Ei , j 1 Pi ,(3) Ei 1, j Pi ,( 4) Ei , j 1 1 j j j j
引入模型
例如这张有向图， s = 1 。 0.5 W1 = W2 = W3 = 1，W4 = 0。 2 可以看到有两条路径。两 条路径权分别为3和2，而 走这两条路径的概率均为0.5。 所以得到的期望为 2.5 = 0.5×3 + 0.5×2 。
1
0.5 1 1 4 3
引入模型
Fi
( i , j )E
P
i, j
( F j Wi , j )
例题：First Knight
[问题描述]
题目来源：SWERC 08 一个m×n的棋盘，左上至右下编号为 (1, 1)至 (m, n)，并给定每个格子到周 (k ) 围四个格子的概率 Pi , j 。 一个骑士从(1, 1)开始，按照给定概率 走，问到达(m, n)的期望步数。 题目保证从任一格开始到(m, n)的概率 均为1 。
模型 例题：First Knight 例题：Mario
引入模型
给出一张有向图G = (V, E)。 顶点i的权值为Wi 。 给出Pu, v表示顶点u经过边(u, v)到顶点v 的概率。若某点i发出边概率和为Pi ， 那么在顶点i时有1－Pi的概率停止行动。 定义路径权为这条路径上所有点权之和。 问从一个顶点s开始，在每次按照指定 的概率走的前提下，到某一顶点停止行 动时所走的路径权的期望值。
1
Fi , j
( i , k )E
P
i ,k
Fk , j 1 Wi
1 2 1
0.5 3 0.5 4
对于右图可以得到如下方程组
F1 F2 1 F F 1 2 3 F3 0.5F1 0.5F4 1 F4 0
引入模型
Fi , j
( i , k )E
Pi,k Fk , j 1 Wi
2
1
1 1 0.5 3 0.5
高斯消元
1 0 -0.5 0 -1 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 -0.5 1 1 1 1 0
4
引入模型
方程组中只含有与s相关的点。 方程组没有唯一解的情况。 可以调整消元顺序让所要求的Fs放在最 后，这样就可以不用回代。 若权在边上而不在点上的话，设边(u, v) 的权值为Wu,v，那么同理方程即为