(完整版)小学奥数中的数论问题
小学奥数讲解 关于数论的问题
奥数题讲解数论问题所用知识不超过小学5年级，题目难度5颗星。
a,b,c,d都是个位数，由它们组成的四位数abcd和两位数ab、cd满.足(ab+cd) *(ab+cd)=abcd。
请问满.足条件的四位数abcd共有多少个?答案: 3个。
辅导办法:将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答,由家长进行讲解。
讲解思路:这种类型的题目,关键是要寻找ab和cd的关系,再根据关系寻找满足条件的数。
步骤1:先思考第一个问题,ab+cd的范围是什么?这个问题很简单, 由于ab+cd的平方是四位数,而32*32=1024 ,99*99=9801,因此ab+cd在32到99之间。
步骤2:再思考第二个问题,db和cd满足什么关系?由题意，(ab+cd) *(ab+cd) =100*ab+cd,化简有(ab+cd)*(ab+cd-l)=99*ab 因此，(ab+cd) *(ab+cd-1)是99的倍数。
步骤3:再思考第二个问题,ab+cd可能的取值是多少?由于99=3*3*11,而(ab+cd)和(ab+cd-1)不可能同时是9的倍数,因此只可能有3种情况,结合步骤1中ab+cd的范围讨论。
情况一：ab+cd是9的倍数,ab+cd-1是11的倍数,此时只有ab+cd 是45才满足条件;情况二:ab+cd是11的倍数,ab+cd-1是9的倍数,此时只有ab+cd是55才满足条件;情况三:ab+cd或ab+cd-1是99的倍数,此时只有xb+cd是99才满足条件。
步骤4:综合上述几个问题,代入验证，45*45=2025=(20+25)*(20+25)55*55=3025= (30+25)*(30+25)99*99=9801= (98+1) *(98+1),都满足条件,所以满足条件的数是3个。
小学五年级奥数题：数论问题
小学五年级奥数题：数论问题
小学五年级奥数题：数论问题
小学五年级奥数题及答案：数论问题(中等难度)
有9个袋子里分别装有9,12,14,16,18,21,24,25,28只球。若甲取走ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ干袋，乙取走若干袋，最后剩下一袋，已知甲取走的球数总和是乙的两倍，剩下一袋内装有( )个球。
数论答案：
数论中的整除问题：
9+12+14+16+18+21+24+25+28=167.
设乙取的数量是X,则甲的`数量是2X，剩下的为a,则有，2X+X+a=167即
3X+a=167.利用同余的知识，167÷3余2，所以a÷3也要余2.即a=14.
【小结】利用整除的性质，能够快速的找到突破口。
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(完整版)小学奥数知识点大全数论
(完整版)学校奥数学问点大全数论学校奥数学问点大全：数论问题1．奇偶性问题奇+奇=偶奇×奇=奇奇+偶=奇奇×偶=偶偶+偶=偶偶×偶=偶2．位值原则形如：abc=100a+10b+c3．数的整除特征：整除数特征2末尾是0、2、4、6、83各数位上数字的和是3的倍数5末尾是0或59各数位上数字的和是9的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25末两位数是4（或25）的倍数8和125末三位数是8（或125）的倍数7、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数4．整除性质①假如c|a、c|b，那么c|(ab)。
②假如bc|a，那么b|a，c|a。
③假如b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。
④假如c|b,b|a,那么c|a.⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5．带余除法一般地，假如a是整数，b是整数（b≠0）,那么肯定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。
用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜ba=b×q+r6.唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n=p1×p2×...×pk7.约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)n的全部约数和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）8.同余定理①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm)②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差肯定能被c整除。
小学奥数数论问题50道详解(一)
小学奥数数论问题50道详解(一)
1. 问题描述
这是一份详细解答小学奥数数论问题的文档，包含了50道数论问题的解答方法和策略。
2. 解答内容
以下是其中的一些问题的解答概要：
1. 问题1：某数的末两位数是7，这个数能否被3整除？
解答：对于一个数能否被3整除，可以通过判断其所有位上数字之和是否能被3整除。
这里，末两位为7，所以无法确定这个数能否被3整除。
2. 问题2：某数的末两位数是12，这个数能否被4整除？
解答：对于一个数能否被4整除，可以通过判断它的末两位是否能被4整除。
这里，末两位数为12，12不能被4整除，所以该数也不能被4整除。
3. 问题3：某数的个位是7，十位是4，这个数能否被9整除？
解答：对于一个数能否被9整除，可以通过判断其所有位上数
字之和是否能被9整除。
这里，个位为7，十位为4，所以7+4=11，11不能被9整除，所以该数也不能被9整除。
4. 问题4：某数的末两位数字是0，这个数能否被5整除？
解答：对于一个数能否被5整除，可以直接判断其末位是否是
0或者5。
这里，末两位数字是0，所以这个数可以被5整除。
3. 结论
这份文档提供了小学奥数数论问题的详细解答，其中包含了50道问题的解答概要。
通过阅读这份文档，学生可以深入了解解决数
论问题的方法和策略，提高他们的数论问题解决能力。
小学奥数关于数论知识点的总结
小学奥数关于数论知识点的总结数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。
整数可以是方程式的解（丢番图方程）。
有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。
透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
以下是无忧考网整理的相关资料，希望对您有所帮助。
【篇一】1. 奇偶性问题奇+奇=偶奇×奇=奇奇+偶=奇奇×偶=偶偶+偶=偶偶×偶=偶2. 位值原则形如：abc =100a+10b+c3. 数的整除特征：整除数特征2 末尾是0、2、4、6、83 各数位上数字的和是3的倍数5 末尾是0或59 各数位上数字的和是9的倍数11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25 末两位数是4(或25)的倍数8和125 末三位数是8(或125)的倍数7、11、13 末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数4. 整除性质①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。
②如果bc|a，那么b|a，c|a。
③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。
④如果c|b,b|a,那么c|a.⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5. 带余除法一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q 为a除以b的不完全商(亦简称为商)。
用带余数除式又可以表示为a ÷b=q……r, 0≤r【篇二】分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p1 ×p2 ×...×pk约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n= p1 ×p2 ×...×pk 那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)n的所有约数和：(1+P1+P1 +…p1 )(1+P2+P2 +…p2 )…(1+Pk+Pk +…pk )同余定理①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(mod m)②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。
小学奥数数论50题
数论50题1．由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少【分析】各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6<那么第3位一定是5，第5位为1该数最大为875413。
2．请用1，2，5，7，8，9这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个【分析】75=3×25^若被3整除，则各位数字和是3的倍数，1+2+5+7+8+9=32所以应该去掉一个被3除余2的，因此要么去掉2要么去掉8先任给一个去掉8的，17925即满足要求1）若去掉8则末2位要么是25要么是75，前3位则任意排，有3！=6种排法~因此若去掉8则有2*6=12个满足要求的数2）若去掉2则末2位只能是75，前3位任意排，有6种排法所以有6个满足要求综上所述，满足要求的五位数有18个。
}3．已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几【分析】根据被13整除的判别方法，用末三位减去前面的部分得到一个两位数，十位是7，个位是（9-□），它应该是13的倍数，因为13|78,所以9-□=8□中的数字是14．@5．某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是（2005全国小学数学奥赛）【分析】可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495。
6．一次考试中，某班同学有13考了优秀，12考了良好，17考了及格，剩下的人不及格，已知该班同学的人数不超过50，求有多少人不及格【分析】乍一看这应该是一个分数应用题，但实际上用到的却是数论的知识，由于人数必须是整数，所以该班同学的人数必须同时是2，3，7的倍数，也就是42的倍数，又因为人数不超过50，所以只能是42人，因此不及格的人数为（1-12-13-17）×42=1人7．|8．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除（第14届迎春杯考题）【分析】（1）3998/4=999….6所以1-3998中有996个能被4整除的（2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的$因此我们考虑分组的方法我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位然后对这4000个数做如下分组（0000，1000，2000，3000）（0001，1001，2001，3001）《（0002，1002，2002，3002）…….(0999，1999，2999，3999)共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数但注意到我们补充了一个0000进去。
(完整版)小学奥数数论问题余数问题练习题.doc
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】分析：这个题没有告诉我们 ,这三个数除以这个数的余数分别是多少 ,但是因为所得的余数相同 ,根据性质 2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差 ,也就是说它是任意两数差的公约数 .101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有 1,2,7,14,所以这个数可能为 2,7,14.2.已知三个数 127,99 和一个小于 30 的两位数 a 除以一个一位数 b 的余数都是 3,求 a 和 b 的值 .分析： 127-3=124,99-3=96,则 b 是 124 和 96 的公约数 .而(124,96)=4,所以 b=4. 那么 a 的可能取值是 11,15,19,23,27.3.除以 99,余数是 ______.分析：所求余数与 19×100,即与 1900 除以 99 所得的余数相同 ,所以所求余数是 19.4.求下列各式的余数：(1)2461 × 135× 6047 ÷ 11(2)19992000 ÷ 7分析： (1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000与42000除以7的余数相同.然后再找规律 ,发现 4 的各次方除以 7 的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么 3 个一循环 ,所以由 2000÷3 余 2 能够得到 42000 除以 7 的余数是 2,故 19992000÷7的余数是 2.【第二篇】(小学数学奥林匹克初赛 )有苹果 ,桔子各一筐 ,苹果有 240 个,桔子有 313 个,把这两筐水果分给一些小朋友 ,已知苹果等分到最后余 2 个不够分 ,桔子分到最后还余 7 个桔子不够再分 ,求最多有多少个小朋友参加分水果分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说 ,已知一个数除 240 余 2,除 313 余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化 ,因为 240 被这个数除余 2,意味着 240-2=238恰被这个数整除 ,而 313被这个数除余 7,意味着这 313—7=306 恰为这个数的倍数 ,我们只需求 238 和 306 的公约数便可求出小朋友最多有多少个了 .240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .【第三篇】有一个大于 1 的整数 ,除 45,59,101 所得的余数相同 ,求这个数 .分析：这个题没有告诉我们 ,这三个数除以这个数的余数分别是多少 ,但是因为所得的余数相同 , 根据性质 2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差 ,也就是说它是任意两数差的公约数 .101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为 2,7,14.【第四篇】1.已知三个数 127,99 和一个小于 30 的两位数 a 除以一个一位数 b 的余数都是 3,求 a 和 b 的值 .分析： 127-3=124,99-3=96,则 b 是 124 和 96 的公约数 .而(124,96)=4,所以 b=4. 那么 a 的可能取值是 11,15,19,23,27.2.除以 99 的余数是 ______.分析：所求余数与 19×100,即与 1900 除以 99 所得的余数相同 ,所以所求余数是 19.【第五篇】199419941994(1994个 1994)除以 15 的余数是 ______.分析：法 1：从简单情况入手找规律,发现 1994÷15余14,19941994 ÷ 15余 4,199419941994 ÷余15 9,1994199419941994 ÷ 15余 14,......,发现余数 3 个一循环,1994 ÷3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以 15 的余数是 4;法 2：我们利用最后一个例题的结论能够发现199419941994能被 3 整除 ,那么19941994199400 0能被 15 整除 ,1994 ÷3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以 15 的余数是4.。
数论问题(六年级奥数题)
(1)含有数字0的三位数共有多少个?
(2)各位数字乘积能被10整除的三位数共有多少个?
解答：
（1）十位上的数字是0的三位数有9×10=90个，各位上的数字是0的三位数也有9×10=90个，十位和个位上的数字都是0的三位数有9个。
90+90-9=171，所以含有数字0的三位数共有171个。
（2）各位数字乘积能被10整除，说明这个三位数含有数字0或者含有数字2的倍数和5。
由(1)可知，含有数字0的三位数共有171个。
然后计算含有数字2的倍数和5，但是不含0的三位数的个数。
百位数字是5时，这样的三位数有4×9×2-4×4=56个。
同理十位数字和个位数字是5时，这样的三位数也有56个。
而其中有两个数字都是5时，这样的三位数有4×3=12个。
所以，这样的三位数一共有56×3-12=156个。
171+156=327，所以各位数字乘积能被10整除的三位数共有327个。
【小结】此题是综合考察排列组合问题与容斥原理问题的题目。
需要同学有良好的分类讨论的习惯。
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小学奥数中的数论问题
在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题目具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。
一、小学数论究包括的主要内容
我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：
整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容）
余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）
（2）同余的性质和运用
奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理）约数倍数：（1）最大公约最小公倍数两大定理
一、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
（2）约数个数决定法则（小升初常考内容）
整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常
出现，属于较难的题型。
二、数论部分在考试题型中的地位
在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。
翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。
在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。
出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。
三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题
数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。
有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如：例1：求36有多少个约数？
这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。
可是小升初考题里则是：例2：求3600有多少个约数？
很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划
算。
这道题其实用约数个数决定法则非常好求，而且省时省力！可是我们的出题老师却振振有词道：“这道题不超纲，也符合教委的精神，因为你就是用普通数学的方法也能做出来，无非多花一些时间而已！”殊不知考试的时间何其宝贵，这道题的解法其实已经将孩子的数学水平分出了高下！
数论的定理背起来简单，但真正理解和掌握却很难。
数论的定理在很多好的奥数辅导书中都有概括，于是有些孩子拿起来蒙头就开始背，终于花了不少时间硬啃下来，却不食其中“滋味”，遇上数论的题目只能一条一条定理的硬套，结果很多题目还是不会做。
这里的原因在于缺乏老师正确的引导，很多定理细心领会比死记更重要！孩子自身的领悟能力有限，站在老师的肩膀上才能看得更远！
单个数论的知识点掌握起来较简单，但综合运用却很难。
数论的题有的时候会和其它知识点综合起来考察，比如和分数，和计数综合等等。
这样的题学生往往感觉无从下手，也有一定难度，因此得分率很低。
比如，例3：一个学校参加某项兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7，女同学的人数超过总数的2/5。
问男女生各多少人？（某中学入学测试压轴题）
这道题兼顾分数主要从数论中的整除特性考查学生。
例4：有一个四位数分别除以它的各位数字得到四个整数商,这四个商的和还是这个四位数,求满足要求的四位数共有多少个?
这道题同样从数论入手考察学生多个知识点的综合运用，题目较难。
四、该如何学习数论知识
数论的知识点较多，在考试中占的比重较大，学生在学习的过程中，熟记定理是必要的，除了熟记以外，更应该知其然，知其所以然。
如果时间允许，可以动手将所有定理和公式一一推导一遍。
比如：为什么能被4（或25）整除的数只需要看末尾两位是否能被4（或25）整除？原来一个数可以分成两部分的和，最后2位和前面若干位的100倍，前一部分能被100整除（当然也肯定能被4或25整除），所以只需看后两位即可。
理解了这个也就不难理解：为什么能被8（或125）整除的数只需要看末三位是否能被其整除即可（想一想？）
这样做的益处是一方面让孩子更深刻的理解了定理和公式来源，举一反三，而不是死记硬背；另一方面当作习题来熟练解题套路，实践证明对于孩子的思维发散是很有帮助的。
要想深刻掌握数论题的解题要领，还需要多做些数论的综合题。
有些解题的常用套路是可以归纳总结的，比如整数表示法，枚举法，反证法，构造法等等在这里不一一
叙述，需要由老师帮助引领完成。
五、哪些参考书数论部分编写的较好
对于数论常用知识点不了解的学生可参看：
《华校课本五年级》上册1～5讲，下册第4讲；《华校课本六年级》上册第8讲，下册第7讲。
（讲解知识点较为详细）六、小学奥数的几大重点
包括：行程问题，数论问题和几何问题。
几道小学数学数论题
1．在43的右边补上三个数字，组成一个五位数，使它能被3，4，5整除，求这样的最小五位数.
2．两个整数A，B的最大公约数是C，最小公倍数是D.已知C不等于1，也不等于A或B，并且C＋D＝187.求A＋B 是多少？
3．某个自然数是3和4的倍数，包括1和它本身在内共有10个约数，那么这个自然数是几？
（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.
（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3
整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，
就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；
又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可
用上述检查7的「割尾法」处理！
过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断
为止。
（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。