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大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
微积分PowerPoint 演示文稿 (3)
则
x →0
x →0
y
lim f ( x) = lim 1 = 1, + +
x →0
y = sgn x
1
lim f ( x) = lim (−1) = −1, − −
x →0
所以 lim f ( x ) 不存在.
x →0
O −1
x
例7
1 说明极限 lim x→0 1 + e1/ x 1 lim = 0, 1/ x + x→0 1 + e
1 x0
x − x0 < ε,
所以
x→ x0
lim x = x0 .
g
左、右极限
前面讨论的是函数 f ( x ) 在某一点 x0的极限, 它反映的 的极限 是当 x 在该点两侧趋近于x0 时, 函数有一个确定的变化 趋势, 但某种情况下, 趋势 但某种情况下 函数在 两侧的趋势是不同的, 这就需 两侧的趋势是不同的 要分别加以讨论. 考虑函数: 要分别加以讨论 考虑函数
x2 −1 f (x) = x −1 0
则
x →1
x ≠1, x =1,
2
lim f ( x ) = 2,
O 1−δ 1 1+ δ
x
事实上, 的取值毫无关系. 但 f (1) = 0. 事实上 极限与 f (1) 的取值毫无关系
y
x2 − 1 f (x) = x −1
2
O 1−δ 1 1+ δ
g
例5 设 x0 证 因
> 0, 证明 lim x = x0 .
x→x0
f (x) − A = x − x0 =
x − x0 x + x0
x →0
x →0
y
lim f ( x) = lim 1 = 1, + +
x →0
y = sgn x
1
lim f ( x) = lim (−1) = −1, − −
x →0
所以 lim f ( x ) 不存在.
x →0
O −1
x
例7
1 说明极限 lim x→0 1 + e1/ x 1 lim = 0, 1/ x + x→0 1 + e
1 x0
x − x0 < ε,
所以
x→ x0
lim x = x0 .
g
左、右极限
前面讨论的是函数 f ( x ) 在某一点 x0的极限, 它反映的 的极限 是当 x 在该点两侧趋近于x0 时, 函数有一个确定的变化 趋势, 但某种情况下, 趋势 但某种情况下 函数在 两侧的趋势是不同的, 这就需 两侧的趋势是不同的 要分别加以讨论. 考虑函数: 要分别加以讨论 考虑函数
x2 −1 f (x) = x −1 0
则
x →1
x ≠1, x =1,
2
lim f ( x ) = 2,
O 1−δ 1 1+ δ
x
事实上, 的取值毫无关系. 但 f (1) = 0. 事实上 极限与 f (1) 的取值毫无关系
y
x2 − 1 f (x) = x −1
2
O 1−δ 1 1+ δ
g
例5 设 x0 证 因
> 0, 证明 lim x = x0 .
x→x0
f (x) − A = x − x0 =
x − x0 x + x0
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
高等数学微积分第一章函数及其图形(共44张PPT)
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。
解: 要使函数有意义，必须x 0，且x2-4³0。
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
1
O
x
3．对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为
y=logax(a>0，a 1)． 对数函数的定义域是区间(0，+ )．
单调性：
若a>1，则logax单调增加； 若0<a<1，则logax单调减少．
性质见书P34
y y=ax
1
O
y=logxax
a>1
4．三角函数
U(a)。 设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，
即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。
其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
左（右）邻域、M领域的概念见书中第七页。
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a， b]
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
半开区间。 [a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx
大学微积分课件(PPT版)
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
《微积分》PPT课件
公式.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
10
说明: ① 使用公式 (1) 必须是 X－ 型域, 使用公式 (2) 必 须是 Y － 型域. ② 若积分区域既是 X － 型区域又是 Y－ 型区域,
则有
f ( x, y ) d x d y
dx
a
d
y
y 2 ( x)
D b
x 1 ( y)
微积分Ⅰ
第九章
重积分
6
在 [a, b] 上任意取定一点 x0, 作平行于 yOz 面的平
面 x = x0, 则该平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区 间 [ 1 (x0), 2 (x0) ] 为底、曲线 z = f (x0 , y) 为曲边的 曲边梯形.
z
z f ( x, y)
y
A( x0 )
2
R
它的底为 D {( x, y ) | 0 y R2 x 2 , 0 x R},
微积分Ⅰ
第九章
重积分
23
∴所求体积为
8
R
0
R 2 x 2 dx
R2 x 2
0
dy
8 ( R 2 x 2 )dx
0
R
16 3 R . 3
微积分Ⅰ
第九章
重积分
24
1 x
y x
1
微积分Ⅰ
第九章
重积分
21
说明: ① 计算二重积分时, 选择积分次序是比较重要的 一步, 积分次序选择不当, 可能会使计算繁琐, 甚至无
法计算. 一般地, 既要考虑积分区域 D 的形状, 又要考
虑被积函数 f (x, y) 的特性. ② 应遵循 “能积分, 少分快, 计算简” 的原则.
高等数学(微积分)ppt课件
目录•绪论•函数与极限•导数与微分•微分中值定理与导数的应用•不定积分与定积分•微分方程与级数绪论01020304古代数学算术、几何与代数的起源与发展中世纪数学数学与哲学的交织文艺复兴时期数学解析几何与微积分的萌芽现代数学抽象化、公理化与结构化的趋势数学的发展历程微积分的创立与意义01微积分的创立牛顿与莱布尼兹的贡献02微积分的意义解决现实问题的有力工具，推动科学技术的发展03微积分的应用领域物理学、工程学、经济学等高等数学的研究对象与内容研究对象01函数、极限、连续、微分、积分等基本概念与性质研究内容02一元函数微积分学、多元函数微积分学、常微分方程等高等数学与其他学科的联系03为其他数学分支提供基础，为其他学科提供数学工具函数与极限函数定义设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。
如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中的每一个数$x$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应，则称$f$为定义在$D$上的函数，记作$y=f(x),x in D$。
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性、周期性等。
常见函数类型一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
010203函数的概念与性质设函数$f(x)$在点$x_0$的某个去心邻域内有定义。
如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$epsilon$(无论它多么小)，总存在正数$delta$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<epsilon$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x to x_0$时的极限，记作$lim_{x tox_0}f(x)=A$或$f(x) to A(x to x_0)$。
极限的性质唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性、迫敛性等。
极限定义极限的定义与性质VS极限的运算法则极限的四则运算法则若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两个函数极限的和、差、积、商。
微积分讲解ppt课件
3.2.1 原函数和不定积分的概念
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[路程函数]
已知物体的运动方程为 s(t) t2 ，则其速度为 v(t) s(t) (t 2 ) 2t
这里速度2t是路程t2的导数，反过来，路程t2又称为速 度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如 何求物体的运动方程s(t)呢？
f xdx f x C 或 df x f x C
3.2.2 基本积分表
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[幂函数的不定积分]
因为
x 1
1
x
x 1
1 是 x 的一个原函数
于是
x dx x 1 C
32微积分基本公式321原函数和不定积分的概念322基本积分表323微积分基本公式321原函数和不定积分的概念一案例二概念和公式的引出一案例路程函数已知物体的运动方程为又称为速度2t的什么函数呢
3.2 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式
1
1
类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．
二、概念和公式的引出
1.基本积分表
(1)
kdx kx C ( k 为常数）
(2) x dx x 1 C
1
1
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(4) a xdx a x C
即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)． 性质１可推广到有限个函数的情形．
(2) 性质2 kf xdx k f xdx k为常数
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学而优则用 , 学而优则创 .
华罗庚 由薄到厚 , 由厚到薄 .
二、微积分的历史是什么
牛顿与莱布尼茨 数学的真正划分不是分为几何和算术，而是分
，牛顿和莱布尼茨提供的。
1. 牛顿（Newton） 数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在
几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上 的。需要有一个人来走那最高和最后的一步，这 个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理 出前人的有价值的想法，有足够想象力地把这些 碎片重新组织起来，并且能足够大胆地制定一个 宏伟的计划。在微积分中，这个人就是牛顿。
牛 顿 （ 1642~1727 年 ） ， 英 国 数 学 家 、 物理学家、天文学家、自然哲学家。生于英 格兰林肯郡伍尔索普的一个小村庄里。他的 母亲在那里管理着丈夫遗留下来的农庄，他 父亲是在他出生前两个月去世的。
少年时期，牛顿在一个低标准的地方学校接 受教育，而且是一个除了对机械有兴趣以外，没 有特殊才华的青年人。
1671年，他制造了他的计算机。1672年3月作为 梅因兹的选帝侯大使，政治出差导巴黎。这次访问 使他同数学家和科学家有了接触，激起了他对数学 的兴趣。可以说，在此之前（1672年前）莱布尼茨 基本上不懂数学。
1673 年 他 到 伦 敦 ， 遇 到 另 一 些 数 学 家 和 科 学 家，促使他更加深入地钻研数学。虽然莱布尼茨靠 做外交官生活，卷入各种政治活动，但他的科学研 究工作领域是广泛的，他的业余生活的活动范围是 庞大的。
除了是外交官外，莱布尼茨还是哲学家、法学 家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家，他在 逻辑学、力学、数学、流体静力学、气体学、航海 学和计算机方面做了重要工作。虽然他的教授席位 是法学的，但他在数学和哲学方面的著作被列于世 界上曾产生过的最优秀的著作中。他用通信保持和 人们的接触，最远的到锡兰（Ceylon）和中国。
他在物理学上发现了万有引力定律（1666-1684 年），并据此指出行星运行成椭圆轨道的原因。 1666年用三棱镜实验光的色散现象，1668年发明并 亲手制作了第一架反射望远镜。
他在哲学上深信物质、运动、空间和时间的客观 存在性，坚持用观察和实验方法发现自然界的规律， 力求用数学定量方法表述的定律说明自然现象，其科 学研究方法支配后世近300年的物理学研究。
他提出的创造性的材料也没有受到同事们的注 意，只有巴罗及天文学家哈雷认识到他的伟大，并 给他以鼓励。牛顿涉猎的学科很多，知识面很广。 他从事过光学、天体力学、数学、化学、流体静力 学、流体动力学、物理学方面的研究工作，还自己 动手制作实验装置，甚至自己制作了两台反射望远 镜（制作出做架子用的合金、浇铸框架、做底座、 磨光镜头等。）
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
二、如何学习微积分 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学.
聪明在于学习 , 天才在于积累 .
每学期88 学时
答疑、作业、考试
1、答疑； 2、作业星期一交 3、期中考试12月2日上午（2个 小时）
期末考试1月22日上午（两个 半小时，闭卷）
注意课程资料：
练习册（上）练习册（下）
共
期中期末统考试题12套及解答（近3年） 《微积分学》教材习题解答
五 种
《同步辅导》B类题解答
共25元，以班为单位购买
晚年的牛顿变得消沉，精神几乎崩溃。他放 弃研究工作，于1695年接受任命，担任大英造 币厂监察。1705年，封为爵士，享年85岁。牛 顿对于他一生的成就，一直是十分谦虚的。
2. 莱布尼茨（Leibniz）
莱布尼茨（1646~1716年）是在建立微积分中唯 一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩 了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。1666年 以论文《论组合的艺术》获得阿尔特道夫大学哲学 博士学位，同时获得该校的教授席位。
时间：今天、明天下午2：30-5：30， 晚上6：30-9：30
地点：科技楼南楼711室
微积分的学习
1、学习 2、悟道 3、应用
聊天
一、微积分的学习
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
恩格斯
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
他在数学上以创建微积分而著称，其流数法（即 物质的变化率）始于1665年，系统叙述于《流数法 和无穷级数》（1671年完成，1736年出版），首先 发表在《自然哲学之数学原理 》（1687）中。其中 借助运动学中描述的连续量及其变化率阐述他的流数 理论，并创用字母上加一点的符号表示流动变化率 （即导数符号）。
公共邮箱：hsxwjf126, Key:135246
私人邮箱：hanshu_xiayahoo 电话：
请每个小班的数学课代表将电话号码给我
主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
讨论的基本问题是：已知流量间的关系，求它们 的流数的关系以及逆运算，确立了微分与积分这两类 运算的互逆关系，即微积分基本定理。他用级数处理 微分和积分，已对级数的收敛和发散有所认识。他也 研究微分方程、隐函数微分、曲线切线、曲线曲率、 曲线的拐点和曲线长度等。
此外他还论述了有理指数的二项定理（1664年） 以及数论、解析几何、曲线分类、变分法等中的有关 问题。
1661年他进入了剑桥大学的三一学院，安静 而没有阻力地学习着自然哲学。1665年牛顿刚结 束他的大学课程，学校就因为伦敦地区鼠疫流行 而关闭。他离开剑桥，回到家乡，在那里开始了 他在机械、数学和光学上的伟大工作，于16651666年间做出流数术、万有引力和光的分析三大 发明，年仅23岁。
1667年牛顿回到剑桥，获得硕士学位，成为三 一学院的研究员。1669年牛顿接替他的数学老师巴 罗的职位，担任卢卡斯数学教授。他不是一个成功 的教师，听他课的学生很少。