矩母函数
两个随机变量相乘 矩母函数
两个随机变量相乘矩母函数随机变量的矩母函数在概率论和统计学中经常用于描述随机变量的性质和特征。
本文将介绍两个随机变量相乘时的矩母函数。
首先，我们先回顾一下随机变量的矩母函数。
设X是一个随机变量，其概率质量函数为P(X=x)，则X的矩母函数定义为M(t)=E(e^tX)，其中E(·)表示期望值运算符。
矩母函数可以用来计算各阶矩，包括均值、方差、偏度和峰度等。
同时，矩母函数的性质和变换公式也可以通过矩母函数进行推导和证明。
接下来，假设有两个随机变量X和Y，它们相互独立，并且它们的矩母函数分别为Mx(t)和My(t)。
我们想要计算这两个随机变量相乘的矩母函数。
根据随机变量相乘的定义，我们有Z=X*Y。
要求Z的矩母函数，可以利用随机变量的矩母函数的性质和变换公式。
首先，我们知道对于独立的随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数为P(X=x, Y=y)=P(X=x)*P(Y=y)。
这样，我们可以得到Z的概率质量函数为P(Z=z)=∑P(X=x, Y=z/x)，其中∑表示对所有可能的x求和。
根据相互独立的性质，我们可以将联合概率分解为边缘概率的乘积，即P(Z=z)=∑P(X=x)*P(Y=z/x)。
然后，我们可以计算Z的矩母函数。
根据矩母函数的定义，我们有Mz(t)=E(e^tZ)=∑e^tz*P(Z=z)。
将概率质量函数的表达式代入矩母函数的定义中，我们可以得到Mz(t)=∑e^tz*∑P(X=x)*P(Y=z/x)。
接下来，我们可以利用独立性的性质将上式展开。
由于X和Y是独立的，所以P(Y=z/x)=P(Y=z)。
因此，我们可以将P(Y=z/x)提出来，得到Mz(t)=∑P(Y=z)∑e^tz*P(X=x)。
再进一步，我们可以将两个求和符号合并，得到Mz(t)=∑e^tz*∑P(X=x)*P(Y=z)。
由于内层求和是X的概率质量函数的矩母函数Mx(t)，所以我们可以将其代入，得到Mz(t)=∑e^tz*Mx(t)。
特征函数和矩母函数
例6：设随机变量Y~N( , 2) ，求Y的特征
函数为gY(t)。 解：X~N(0 , 1)
，X的特征函数为 g X
(t)
t2
e2
设Y= X + ，则Y~N( , 2) ，
Y的特征函数为
gY (t) eit g X ( t)
e e e it
2t2 2
it 2t2 2
三、常见随机变量的数学期望、方差、特征 函数和母函数
P(s) k(k 1) pk sk1 k2
P(1) k(k 1) pk k(k 1) pk
k2
k 1
k 2 pk kpk EX 2 EX
k 1
k 1
DX EX 2 (EX )2 P(1) EX (EX )2
P(1) P(1) [P(1)]2
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
解:
g(t)
1
eitx
e
x2 2
dx
2
g(t)
1
ixeitx
e
x2 2
dx
2
i
2
eitxd
x2 e 2
e e itx
x2 2
dx
tg(t),
g '(t) tg(t) 0, dg tdt, ln g(t) 1 t2 C
g
2
g (t )
ab 2
b a 2 e ibt e iat
12 i(b a)t
ebt eat (b a)t
2
e e it 12 2t 2
t
1 2
2t
2
指数分布 1
1
2
it
t
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
矩母函数
因而
Y |Xx x 1 y f fY Y||X X y y||x xd y 1/1 1- 1 -x x x 1 y d y1 2 x
Y|X 1 X/2
fY|X y|x 1/ 1-x
注意： Y|X 1 X/2是随机变量，当X x 时， 其值为
Y|X x 1 x/2
思考题：当X与Y独立时， X |Y y 的值？
定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为
Xt
etX
其中t在实数上变化。
etxdF Xx
若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期 望操作，所以有：
0 de tX
d t
t0
d e tX d t t0
X e tX t0
X
取k阶导数，可以得到 k 0
Xk 方便计算分布的矩
.
.
6
X ～ U n ifo r m 0 ,1 ， Y |X ～ U n ifo r m x ,1
怎样计算 Y ？ 一种方法是计算联合密度 f x , y ，然后计算
Y yf x,ydxdy
另一种更简单的方法是分两步计算
计算 Y| X =1 X
计算 Y =
2 Y|X =
1
X
1+ X
2
2
= 1+
Y |X Y Y |X Y |X Y|X Y 0 0
所以
Y Y |X Y |X
.
10
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定， 如 f x，| 这些参数 通常又是一个随机变量 （贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)
特征函数和矩母函数概要
P ( s) pk s pk s
k k k 0 k 0
n
k n 1
p s
k
k
, n n! pn
k n 1
k (k 1)(k n 1) p s
令s 0, 则P ( n ) (0) n! pn 故pn P
k 0 l 0
P{ N l} P{Y k}s
l 0 k 0
k
l k P{N l} P X j k s l 0 k 0 j 1
k P{N l} P{ X j k}s l 0 j 1 k 0
k 0 k 0
PZ ( s) ck s k
k 0
PX ( s ) PY ( s ) pk s
k 0
k
q s
l 0 l
l
k ,l 0
p qs
k l r
k l
r pk q r k s r 0 k 0
r
c r s PZ ( s )
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P ( s) E ( s ) pk s
X k 0
k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 (k ) P (0) pk , k 0,1,2, k! (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
概率统计：矩母函数
矩母函数与特征函数在计算随机变量的数字特征和概率分 布起很大的作用,它们使许多繁难的问题得到简化和解决,是证 明概率论中的许多理论问题的有力的工具.
定义 5.1 设 X 为随机变量,I 是一个包含0的(有限或无限的)
开区间,对任意t I ,期望EetX 存在,则称函数
M X (t) E(etX )
5
矩母函数(5)
3) 设U ,V 独立，U ~ B(m, p),V ~ B(n, p),W U V .则 MU (t) ( pet q)m , MV (t) ( pet q)n,
MW (t) MU (t)MV (t) ( pet q)m ( pet q)n ( pet q)mn. 故W ~ B(m n, p).
6
例 5.2 设 X ~ ( , ),则
矩母函数(6)
1) M X (t)
etx x 1e xdx 0 ( )
x 1e( t)xdx. 0 ( )
xu /( t)
(
t) ( )
0
u
1eu
du
t
a
.
2)
M
X
(t)
t
a1,
M
X
(t
)
(
2
1)
t
a2
2
2) M X (t) tet2 / 2, M X (t) t 2et2 / 2 et2 / 2 ,
EX M X (0) 0, EX 2 M X (0) 1, DX EX 2 (EX )2 1.
9
矩母函数(9)
3) M X (t) et2 / 2
(t2 / 2)k k0 k !
MY (t) et M X (t). 证 MY (t) EetY Eet( X ) et Ee(t ) X et M X (t).
常见分布的矩母函数
常见分布的矩母函数为了更好地理解概率统计学中的常见分布，我们需要先了解矩和矩母函数的概念。
在统计学中，矩是数据分布的一个特征，它能够描述数据的中心位置和离散程度。
矩母函数是矩的生成函数，它能够表示矩的所有信息。
在本文中，我们将介绍四种常见分布的矩母函数：正态分布、泊松分布、指数分布和伽马分布。
正态分布是一种常见的连续型分布，也被称为高斯分布。
在统计学中，许多随机现象都可以用正态分布来描述，因为它服从中心极限定理。
正态分布的概率密度函数是：$$f(x)={1\over \sqrt{2\pi}\sigma}\exp \{-{1\over2}[(x-\mu )/\sigma]^{2}\},\quad-\infty <x<+\infty$$$\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是方差。
正态分布的矩母函数是：我们可以通过对矩母函数求导数来得到分布的各个矩，例如：$$\mu_{1}=M'(0)=\mu$$$$\mu_{4}=M^{(4)}(0)=\mu^{4}+6\mu^{2}\sigma^{2}+3\sigma^{4}$$泊松分布是一种常见的离散型分布，它经常用于描述单位时间内事件发生的次数，比如电话呼叫、到达顾客、任务处理等等。
$$P(X=k)={e^{-\lambda}\lambda^{k}\over k!},\quad k=0,1,2,\ldots$$$\lambda$ 是单位时间内事件发生的平均次数。
泊松分布的矩母函数是：指数分布是一种常见的连续型分布，用于描述随机事件发生的等待时间。
对于一个服从指数分布的随机变量 $X$，它的概率密度函数是：$\alpha$ 和 $\beta$ 是分布的参数，$\Gamma(\cdot)$ 是欧拉伽马函数，它是阶乘函数的推广。
伽马分布的矩母函数是：$$\mu_{4}=M^{(4)}(0)={\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)\over\beta^{4}}$$总结除了常见的四种分布，还有许多其他的分布也可以通过矩母函数来描述。
矩和矩母函数
矩和矩母函数
矩和矩母函数是概率论和数学中常用的函数形式。
矩函数是一组与分布函数相关的函数，而矩母函数是一个分布函数的特定生成函数。
矩函数和矩母函数可用于描述分布的各种性质和特征，包括均值、方差、偏度、峰度等。
在统计学和概率论中，我们通常使用矩函数来描述随机变量的一些统计特征。
例如，第一阶矩为随机变量的均值，第二阶矩为方差，第三阶矩为偏度，第四阶矩为峰度。
矩函数的优点是，它们可以通过对数据的简单计算来计算出来，而不需要知道任何有关分布函数的详细信息。
矩母函数则是一种特定的生成函数，它可以用来推导出矩函数的所有信息。
给定一个矩母函数，我们可以通过对其进行微分和求导来得到与矩函数有关的所有信息。
矩和矩母函数是概率论和数学中一些最基本的函数形式之一。
它们被广泛应用于许多领域，包括工程、物理、生物学、经济学等。
无论从理论还是实际应用的角度来看，矩和矩母函数都是十分重要的工具。
- 1 -。
概率统计：矩母函数
et (12
)(12
2 2
)t2
/
2
因而 X
Y
~
N (1
2 ,12
2 2
).
M X (t) E(etX )， M (n) (0) EX n， M X (t) etM X (t)，
X1, , Xn 独立 M X1 Xn (t) M X1 (t) M Xn (t)，
X 和Y 有相同分布 M X (t) MY (t).
定义 5.1 设 X 为随机变量,I 是一个包含0的(有限或无限的)
开区间,对任意t I ,期望EetX 存在,则称函数
M X (t) E(etX )
etxdF (x), t I
为 X 的矩母函数,常把M X (t)简记为M (t).因此
(离散型)
M X (t)
etxi P( X
i
xi ) ,
10
矩母函数(10)
例 5.4 设 X ~ N (, 2),求 X 的矩母函数.
解 设Y ( X ) / ,则Y ~ N (0,1),MY (t) et2 / 2.因为
X Y ,故
M X (t) et MY ( t) et 2t2 / 2 .
11
作业
• 习题三: 34,35,36
12
命题 6.2
设 X ,Y 独立, X
~ N (1,12 ),
Y
~
N
(2,
2 2
)
,则
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
2 2
)
证 M X (t) et112t2 / 2， MY (t) et2 22t2 / 2 ,故
M
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希望知道 ff (x) ，至少是其期望和均值（条
件期望和方差）
现代精算风险理论
混合分布举例
例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个
随机变量，用 fY ~ Poission(l ) 表示；另外假设每
个蛋的是否存活是独立的，存活的概率为p, 为 Bernoulli分布，用X表示存活的数量，则
条件期望、矩母函数
山东财经大学保险学院 谭璐
主要内容
一、条件期望 二、混合分布 三、矩母函数 四、特征函数
现代精算风险理论
一、条件期望
ffX|Y (x | y)
给定变量Y时，在 X上的概率分布 对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率
分布 也能求期望，称为条件期望
现代精算风险理论
(2) 复数的共轭：a bi a bi (3) 复数的模： a bi a2 b2
现代精算风险理论
性质
|(t)| (0)=1
(t) (t)
aX b(t) eibtX (at)
若 X 与 Y 独立，则
X Y (t) X (t)Y (t)
(k)(0) ik E( X k )
根据定义，
V(Y )=
E 轾 犏 臌(Y -
EY )2
=
E 轾 犏 ë(Y -
E (Y | X )+
E (Y | X )-
EY )2
û
= E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))2 + E 轾 犏 臌(E (Y | X )- EY )2 + 2E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- EY )
= I + II + III
{ } I = E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))2 = E E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))2 | X = E 轾 臌V(Y | X )
II = E 轾 犏 臌(E (Y | X )- EY )2 = V 轾 臌E (Y | X )
{ } III = 2E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- EY ) = E E 轾 臌 犏(Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- EY )| X
现代精算风险理论
矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数：用于计算矩、随机变量和的分布和定理证明
定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为
ò y X (t)= E (etX )= etxdFX (x)
其中t在实数上变化。
若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期
2
2
现代精算风险理论
条件方差
定义：条件方差定义为
2
V(Y | X = x)= ò (y - m(x)) f (y | x)dy
其中
m(x)= E(Y | X = x)
定理：对随机变量X和Y，
V(Y )=EV(Y | X )+ VE(Y | X )
现代精算风险理论
证明： V(Y )= E 轾 臌V(Y | X ) + V 轾 臌E (Y | X )
ò LX (s) = E[e- sX ] = e- sX dF (x)
通常称上式为X的laplace变换。
,"s? 0
现代精算风险理论
拉式变换与概率分布函数
定理：一函数L(s) (s≥0)是某一分布函数的 Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷 次可导，且满足 (-1)nL(n)(s) ≥0, (s≥0, n≥0)
当 θ<1/2时，作变换
于是：
现代精算风险理论
另一方面， 的密 度函数为 其矩母函数为：
现代精算风险理论
令 X ~ Exp(1) ，对任意 t < 1 ，有
( ) 蝌 M X (t)= E etX =
ゥ
etxe- xdx =
0
e(t- 1)xdx = 1
0
1- t
当t ³ 1 时，上述积分是发散的。
所以 V(Y )= E 轾 臌V(Y | X ) + V 轾 臌E(Y | X )
现代精算风险理论
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定，
如 ff (x，| q这) 些参数 通常fq 又是一个随机变量
（贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)
性质1： 例：
从而：
现代精算风险理论
再考虑： 于是：
现代精算风险理论
而 从而
特别 性质2：设X,Y是相互独立的随机变量，则：
现代精算风险理论
证明：
系：设X 1…Xn是独立随机变量，则： 例：设Z1 …Z2 是相互独立的标准正 态分布随机变量，则：
现代精算风险理论
证明：设z是标准正分布的随机变量
定
X是离散型r. v
义
X是连续型r. v
矩母函数与分布间的一一对应
唯一性定理：如果，MX(θ)=MY(θ)<∞在θ的某个
区间上成立，则随机变量X与Y同分布。
现代精算风险理论
现代精算风险理论
矩母函数与随机变量X的各阶矩
X的矩母函数可 以变形为：
于是：
现代精算风险理论
另一方面：
于是：
现代精算风险理论
= p(1- p)E (Y )+ p2V(Y )= p(1- p)l + p2l = l p
现代精算风险理论
三、矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数的得名起因于下述公式：
E(Xk)=M(k)(0)
对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换
s=-t,LX(s)=MX(t)
i 1 是虚数单位.
现代精算风险理论
(1) 当X为离散随机变量时，
(t)
eitxk
pk
k 1
(2) 当X为连续随机变量时，
(t) eitx p(x)dx
现代精算风险理论
特征函数的计算中用到复变函数， 为此注意：
(1) 欧拉公式： eitx cos(tx) isin(tx)
现代精算风险理论
矩母函数的性质
定理：令X、Y为随机变量，如果对在0附件的一个
开区间内所有的t，有MY (t)=
d
M X (t)，则 X= Y
。
例：令 X1 : Binomial(n1, p), X2 : Binomial (n2, p)
且 X1, X2 独立，Y = X1 + X2
( ) ( ) 则MY (t)= M X1 (t)M X2 (t)= pet + q n1 pet + q n2
E(X ) ：数字
离散情况 连续情况
E(X |Y = y)：y的函数。在知道y的值之前，不知道
E(X |Y = y)
E(X | Y) ：随机变量，当Y=y时，E(X | Y = y) 的值
E(r(X ,Y )| Y)：随机变量
现代精算风险理论
假定对 X～Uniform(0,1) 采样，在给定x后，在对
( ) = pet + q n1+ n2
为分布 Binomial(n1 + n2, p)的MGF，即
Y ~ Binomial (n1 + n2, p)
现代精算风险理论
多元矩母函数
定义：
性质1 性质2
现代精算风险理论
四、特征函数 定义 设 X 是一随机变量，称 (t) = E{ exp(itX )} 为 X 的特征函数.
E(Y )= ò yf (x, y)dxdy
另一种更简单的方法是分两步计算
计算 E (Y | X )= 1+ X 计算 E (Y )=E 轾臌E (Y2| X ) =E 骣ççç桫1+2X ÷÷÷= E 骣çççç桫(1+2X )÷÷÷÷
= 1+ E (X )= 骣琪çç桫1+ 骣ççç桫21÷÷÷÷÷= 3 4
现代精算风险理论
在给定X的情况下，条件分布为 (Y | X )
，Y为随机变量，因此上式中 E(Y | X ),E(X ) 为常数，因此
E 轾 犏 ë(Y - E(Y | X ))(E(Y | X )- EY)| X û= (E(Y | X )- EY)E((Y - E(Y | X ))| X )
= (E(Y | X )- EY)(E(Y | X )- E(Y | X )) = (E(Y | X )- EY)? 0 0
i Xi ，则
Õ MY (t)= i M Xi (t)
例：X :
n
Binomial(n, p) Xi ~ Bernoulli( p), X = å
Xi
( ) ( ) M Xi (t)= E etXi = p? et
(1-
p)=
pet + q,
i= 1
q = 1-
p
Õ ( ) M X (t)= i M Xi (t)= pet + q n
所以
M '(0)= E (X )= 1,
M ''(0)= E (X 2)= 2 V(X )= E (X 2)- 轾臌E (X ) 2 = 1
现代精算风险理论
矩母函数的性质
引理：MGF的性质
å
若 若XY1X,…1=,…XaXnXn
+ b ，则 MY 独立，且 Y