矩母函数

通常称上式数
定理：一函数L(s) (s≥0)是某一分布函数的 Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷 次可导，且满足
(-1)nL(n)(s) ≥0, (s≥0, n≥0)
现代精算风险理论
矩母函数（Moment Generating Functions）
定理：对随机变量X和Y，
V (Y )=EV (Y | X )+ VE (Y | X )
现代精算风险理论
V (Y | X ) + V 轾 E (Y | X ) 证明： V (Y ) = E 轾 臌 臌
根据定义，
2 2 轾 轾 V (Y ) = E 犏 (Y - E Y ) = E 犏 (Y - E (Y | X ) + E (Y | X )- E Y ) û 臌 ë 2 2 轾 = E轾 Y E Y | X + E E Y | X E Y + 2E 轾 Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- E Y ) ( )) ( ) ( ( ) ( 犏 犏 犏 臌 臌 臌
E ( X ) ：数字 E ( X | Y = y)：y的函数。在知道y的值之前，不知道 E ( X | Y = y) E ( X | Y ) ：随机变量，当Y=y时，E ( X | Y = y) 的值 E (r ( X , Y ) | Y )：随机变量
现代精算风险理论
假定对 X ～Uniform(0,1) 采样，在给定x后，在对 Y | X ～Uniform( x,1) 采样 直观地，期望 E (Y | X = x) = (1 + x) / 2 事实上，对x < y < 1 ，有 fY | X ( y | x) = 1/ (1- x) 得到期望
现代精算风险理论
三、矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数的得名起因于下述公式：
E(Xk)=M(k)(0)
对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换
s=-t,LX(s)=MX(t)
LX (s) = E[e- sX ] =
- sX e ò dF ( x)
,"s ? 0
å
n
Xi
pe + q, q = 1- p
t
i= 1
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矩母函数的性质
定理：令X、Y为随机变量，如果对在0附件的一个 d 开区间内所有的t，有M Y (t ) = M X (t )，则 X = Y 。 例：令 X1 : Binomial (n1 , p), X 2 : Binomial (n2 , p)
条件期望、矩母函数
山东财经大学保险学院 谭璐
主要内容
一、条件期望
二、混合分布
三、矩母函数
四、特征函数
现代精算风险理论
一、条件期望 ff X |Y ( x | y )
给定变量Y时，在 X上的概率分布 对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率 分布 也能求期望，称为条件期望
现代精算风险理论
现代精算风险理论
证明：设z是标准正分布的随机变量
当 θ<1/2时，作变换
于是：
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另一方面， 度函数为
的密
其矩母函数为：
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令 X ~ Exp(1) ，对任意 t < 1 ，有
M X (t ) = E (e
tX
e )= 蝌 0
ゥ
tx - x
e dx =
0
e
(t - 1)x
( x) dxdy =
现代精算风险理论
X ～Uniform(0,1)， Y | X ～Uniform( x,1)
怎样计算E (Y ) ？ 一种方法是计算联合密度 f ( x, y)，然后计算
E (Y ) =
ò yf ( x, y)dxdy
另一种更简单的方法是分两步计算 计算 E (Y | X ) = 1 + X 2 骣 骣 (1+ X )÷ 1 + X 计算 E (Y ) =E 轾 ç ÷ ç ÷ E (Y | X ) =E ç = Eç ÷ ÷ 臌 ÷ ç ç
渐增式地定义一个复杂的模型：通过条件分 布与边缘分布 希望知道 ff ( x ) ，至少是其期望和均值（条 件期望和方差）
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混合分布举例
例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个 随机变量，用 f Y ~ Poission (l ) 表示；另外假设每 个蛋的是否存活是独立的，存活的概率为p, 为 Bernoulli分布，用X表示存活的数量，则
1 1 1+ x E (Y | X = x ) = 蝌yf = (1- x) ydy = ( y | x )dy fY = 1/ Y || X X x 1- x x 2 因而 f ( y | x) = 1/ (1- x) E (Y | X ) = (1 + X ) / 2 1
Y|X
注意： E (Y | X ) = (1 + X ) / 2 是随机变量，当 X = x 时， 其值为 E (Y | X = x) = (1 + x) / 2 思考题：当X与Y独立时， E ( X | Y = y) 的值？
桫2 ç 桫 2 ÷ 骣 骣 1÷ 琪 ç 1+ ÷ ÷ ç ç ÷ ç ç 1+ E ( X ) 桫 桫 2÷ = = =3 4 2 2
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条件方差
定义：条件方差定义为
V (Y | X = x) =
ò (y -
m( x)) f ( y | x) dy
2
其中
m( x) = E (Y | X = x)
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矩母函数（Moment Generating Functions）
定 义
X是离散型r. v
X是连续型r. v
矩母函数与分布间的一一对应
唯一性定理：如果，MX(θ)=MY(θ)<∞在θ的某个 区间上成立，则随机变量X与Y同分布。
现代精算风险理论
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矩母函数与随机变量X的各阶矩
fX | Y ~ Binomial (Y , p)
f P ( X = x) =
邋P ( X =
y= 0 ¥
ゥ
x, Y = y ) =
y= 0
P ( X = x | Y = y )P (Y = y )
轾 骣 y÷ x ç 犏 = å ç ? p (1 ÷ 犏 ç x÷ 桫 y= x 臌
p)
y- x
x - l p - l y 轾 e l p ( ) e l 犏 = 犏 y! x! 臌
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fX ~ Poission (l p)
期望： E ( X ) = l p 亦可通过条件期望计算：
E ( X ) = E (E ( X | Y )) = E ( pY ) = pl
方差： V ( X ) = l p 亦可通过条件期望计算：
V ( X ) = E (V ( X | Y )) + V (E ( X | Y )) = E (Yp (1- p )) + V (Yp ) = p (1- p) E (Y ) + p 2 V (Y ) = p (1- p )l + p 2l = l p
定义 给定Y = y时，X 的条件期望是 ì ï xf X |Y ( x | y ) 离散情况 å ï E ( X | Y = y) = ï í ï xf X |Y ( x | y ) dx 连续情况 ï ò ï î 如果r ( x, y )是x和y的函数，那么 ì ï å r ( x, y ) f X |Y ( x | y ) 离散情况 ï ï E (r ( X , Y ) | Y = y ) = í ï r ( x, y ) f X |Y ( x | y ) dx 连续情况 ï ò ï î
E轾 (Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- E Y ) | X û= (E (Y | X )- E Y ) E ((Y - E (Y | X )) | X ) 犏 ë
= (E (Y | X )- E Y )(E (Y | X )- E (Y | X ))
= (E (Y | X )- E Y )? 0 0
= I + II + III 2 2 轾 I = E轾 Y E Y | X = E E Y E Y | X |X ( ) ( ) ( ) ( ) 犏 犏 臌 臌 2 轾 II = E 犏 E (Y | X )- E Y ) = V 轾 E (Y | X ) ( 臌 臌
{
V (Y | X ) }= E 轾 臌
所以
轾 V (Y ) = E 轾 V Y | X + V E (Y | X ) ( ) 臌 臌
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二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定， f q ff ( x | q) 如 ，这些参数 通常又是一个随机变量 （贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)
且 X1 , X 2 独立， Y = X1 + X 2
则M Y (t ) = M X (t ) M X (t ) = ( pe + q) 1 2
t
n1
( pe
t
+ q)
n2
为分布 Binomial (n1 + n2 , p)的MGF，即
X的矩母函数可 以变形为：
于是：
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另一方面：
于是：
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性质1： 例：
从而：
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再考虑：