高考等比数列专题及答案百度文库

一、等比数列选择题

1．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（）参考数据：lg38≈1.58 A ．34

B ．35

C ．36

D ．37

2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

77b a =，则3810b b b =（ )

A ．1

B ．8

C ．4

D ．2

3．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（） A ．

503

B ．

507

C ．

100

D ．

200

4．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078

a a a a +=+（） A

．3-

．3+5．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）

A ．有最大项，有最小项

B ．有最大项，无最小项

C ．无最大项，有最小项

D ．无最大项，无最小项

6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（） A ．40

B ．81

C ．121

D ．242

7．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，66771

a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．681a a >

B ．01q <<

C ．n S 的最大值为7S

D ．n T 的最大值为7T

8．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *

∈，m n m n a a a +=?，若

1262n a a a ++???+=，则n =（）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

9．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝

（） A ．4

B ．5

C ．8

D ．15

10．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则4

S S =（） A ．76

B ．32

C ．

2132

D ．

11．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（） A ．16

B ．16-

C ．20

D ．16或16-

12．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，31

4a =，则q =（） A ．1- B ．4

C ．12-

D ．12

13．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（） A ．

B ．1

C ．

D ．

14．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（） A ．1或1-

B ．1

C ．2或2-

D ．2

15．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6

D ．3

16．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（） A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

17．正项等比数列{}n a 的公比是1

，且241a a =，则其前3项的和3S =（） A ．14

B ．13

C ．12

D ．11

18．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a

14a =，则

m n

+的最小值为（） A ．

B ．

C ．

D ．

116

19．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层

中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（） A ．3盏

B ．9盏

C ．27盏

D ．81盏

20．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂. A ．55989

B ．46656

C ．216

D ．36

二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！

23．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（）

A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件

B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件

C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态

D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 24．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确

的有（）

A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列

B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列

C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列

D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列 25．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（） A ．10a >

B ．1q >

C ．1

n a a +< D ．当10a >时，

1q >

26．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（） A ．1

13()

n n a -=?-

B ．36n n S a =+

C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a

3a =，则19p s +的最小值为83

D ．若1n n t S m S ≤-

≤恒成立，则m t -的最小值为116

27．记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2410a a +=，23464a a a =，则（）

A ．1

12n n n S S ++-= B ．12n n a

C ．21n

n S =-

D ．1

21n n S -=-

28．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ??

????

的前n 项和，则下列结论中正确的是（） A ．()21121n n

S n a -=-? B ．212

n n S S =

C ．2311222

n n n S S ≥

-+ D ．212

n n S S ≥+

29．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，671a a >，

671

a a -<-，则下列结论正确的是（） A ．01q <<

B ．8601a a <<

C ．n S 的最大值为7S

D ．n T 的最大值为6T

30．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设213

n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若1

4q =-

，则n n T S > D ．若3

q =-

，则n n T S > 31．已知数列{}n a 满足11a =，()*123n

n n

a a n N a +=

∈+，则下列结论正确的有（） A ．13n a ??

???

为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123

n n a +=-

C ．{}n a 为递增数列

D ．1n a ???

???

的前n 项和2

234n n T n +=-- 32．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为

n S ，则（）

A ．2q

B ．2n

n a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<

33．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（） A ．数列2

{}n a 是等比数列

B ．若32a =，732a =，则58a =±

C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列

D ．若数列{}n a 的前n 和1

3n n S r -=+，则1r =-

34．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7a

B ．8a

C ．15S

D ．16S

35．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列

{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若9

8n a n n =+-，下面

哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”？（） A ．3

B ．2

C ．7

D ．5

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等比数列选择题 1．D 【分析】

假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】

设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，

所以 3.81000n

n a =>，解得 3.8333

log 1000 5.17lg3.8lg3810.58

n >=

=≈≈-，而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19?=．故选：D .

关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算. 2．B 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】

因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，

所以2

7720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；

又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，

所以3

3810371178b b b b b b b ===.

故选：B. 3．D 【分析】

设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】

5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，

由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则(

11212

a --＝50，

解得a 1＝507

，所以牛主人应偿还粟的量为2

3120027a a ==

故选：D 4．D 【分析】根据1a ，

312a ，22a 成等差数列可得3121

222

a a a ?=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将

910

a a a a ++化简即可求解.

【详解】

因为{}n a 是正项等比数列且1a ，31

a ，22a 成等差数列，所以

3121

222

a a a ?=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，

解得：1q =+

1q =

(

2910787878

13a a a q a q q a a a a ++====+++，

5．B 【分析】

首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】

设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比41

4141

328a q a -=

==，所以12

q =，则其通项公式为：1

6113222n n n n a a q ---??

=?=?= ?

，

所以()

()

561154

622

n +n n n n n T a a

a ---==?==，

令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 6．C 【分析】

根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出

5S 的结果.

【详解】

因为12234,12a a a a +=+=，所以23

3a a q a a +=

=+，所以1134a a +=，所以11a =，所以()5515113121113

a q S q

--===--，故选：C. 7．B 【分析】

根据11a >，66771

1,01

a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】

若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ?<与671a a ?>矛盾，若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与671

a a -<-矛盾，所以01q <<，故B 正确；

因为

671

a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误；因为0n a >，01q <<，所以1

11n n a q a S q q

---单调递增，故C 错误；因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误；故选：B 【点睛】

关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<. 8．C 【分析】

令1m =，可得112+=?=n n n a a a a ，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列前n 项和公式，求解即可. 【详解】

因为对任意的,m n N *

∈，都有m n m n a a a +=?，

所以令1m =，则112+=?=n n n a a a a ，因为10a ≠，所以0n a ≠，即

2n n

a a +=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以2(12)6212n -=-，解得n =5，

故选：C 9．C 【分析】

由等比中项，根据a 3a 11＝4a 7求得a 7，进而求得b 7，再利用等差中项求解. 【详解】 ∵a 3a 11＝4a 7， ∴2

7a ＝4a 7， ∵a 7≠0， ∴a 7＝4， ∴b 7＝4， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8．故选：C 10．B 【分析】

由5312a a a +=，解得q ，然后由4142

422

12(1)111(1)11a q S q q q a q S q q

---===+---求解. 【详解】

在等比数列{}n a 中，5312a a a +=，所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=，解得2

q =

所以4142

42212(1)1311(1)12

1a q S q q q a q S q q

---===+=---，故选：B 【点睛】

本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题, 11．A 【分析】

根据等比数列的通项公式得出6

18a q =，10

132a q

=且10a >

，再由

819a a q ==.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，则6

18a q =，10

132a q

=且10a >

则81916a q a ====

故选：A 12．C 【分析】

利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案；【详解】

()21114

221

11111

22211121644a a q a q q q q a q a q ??=-=--??????=?=-????=?=

????

，故选：C. 13．D 【分析】

根据241a a =，由2

243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.

【详解】

因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，

由于2

243a a a =，

所以2

31a =，31a =，211a q =.

因为313S =，所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q

=++-

得2

131q q q =++，即2

1210q q --=，解得13q =，或1

q =-（舍去）. 故选：D 14．C 【分析】

根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

因为12a =，且53a a =，所以2

1q =，解得1q =±，所以9

1012a a q ==±.

故选：C. 15．D 【分析】

由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】

k a 是1a 与2k a 的等比中项

212k k a a a ∴=，()()2

111121a k d a a k d ??∴+-=+-??????

()()2

23423k d d k d ∴+=?+，3k ∴=.

故选:D 【点睛】

本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 16．C 【分析】

根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】

因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得3

78a =，

所以72a =，因此2

31174a a a ==.

故选：C. 17．B 【分析】

根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ；【详解】

解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以2

31a =. 所以31a =，2

11a q ∴=，因为1

q =

，所以19a =. 因此()3131131a q S q

-==-.

故选：B 18．B 【分析】

设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得2

2q q =+，解得2q

，

根据存在两项m a 、n a 14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出．【详解】

解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，满足：7652a a a =+，

22q q ∴=+，

解得2q

，

存在两项m a 、n a 14a =，

∴14a =，

6m n ∴+=，

m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，

则

14m n

+的最小值为143242+=．

故选：B ． 19．C 【分析】

根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，1

为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案．

【详解】

根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，1

为公比的等比数列，

则有51(1)

3363

x S ?-

=-，解可得：243x =，

所以中间一层共有灯2

1243()273

?=盏. 故选：C 【点睛】

思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 20．B 【分析】

第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量．【详解】

设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1

6n n n a -=?=

到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂．故选：B ．

二、多选题 21．无 22．无

23．ABC 【分析】

设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则

()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=?，即可判断四个选项的正误.

【详解】

设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则

()121n n a S +=+，且12a =，

由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，

所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，

所以1

23n n a -=?，

在第3分钟内，该计算机新感染了31

32318a -=?=个文件，故选项A 正确；

经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313

a a a a a ?-+++++=+==-个病毒文

件，故选项B 正确；

10分钟后，计算机感染病毒的总数为

()

1010512102131

11310132

a a a ?-+++

+=+

=>?-，

所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确；故选：ABC 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得

n a .

24．AD 【分析】

利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ；利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】

对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ，

则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-，则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=????，所以{}n A 是等差数列，故A 正确；对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，

()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列，

奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确. 对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ，当1q ≠-时，则

11111n n n n n n n n n n

a q a A a a a q

q a A a a --+--+=+++==，

当1q =-时，则10n n n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确；故选：AD 【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题. 25．ABC 【分析】

由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则

111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.

【详解】

由题意，设数列{}n a 的公比为q ，

因为1

1n n a a q -=，

可得1

11(1)0n n n a a a q

q -+-=->，

当10a >时，1q >，此时1

01n

n a a +<<，当10a <时，1

01,1n

n a q a +<<>，故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】

本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 26．ABD 【分析】

根据等差中项列式求出1

q =-

，进而求出等比数列的通项和前n 项和，可知A ，B 正确；

3a =求出15p s =??=?或24p s =??=?或42p s =??=?或5

p s =??=?，可知19p s +的最小值为114

，C 不正确；利用1n

n y S S =-关于n S 单调递增，求出1n n S S -的最大、最小值可得结果. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

由13a =，21344a a a -=+得2

43343q q -?=+?，解得1

q =-

，所以11

3()2

n n a -=?-，

3(1())

1221()121()2

n n n S --??==-- ???--；

1111361()66()63()63222n n n n n S a -?

?=--=--=+?-=+ ??

?；所以A ，B 正确；

3a =，则23p s a a a ?=，1122111()p s p s a a a q a q a q --?==，

所以11

4p s q q

q --=，所以6p s +=，

则15p s =??

=?或24p s =??=?或42p s =??=?或51p s =??=?

，此时19145p s +=或114或194或465；C 不正确，

122,2121()2122,2n

n n n

n S n ???

+? ?????

?=--=? ?????

?- ?????

为奇数为偶数，当n 为奇数时，(2,3]n S ∈，当n 为偶数时，3

[,2)2

n S ∈，

又1n n y S S =-

关于n S 单调递增，所以当n 为奇数时，138

(,]23

n n S S -

∈，当n 为偶数时，153

[,)62n n S S -

∈，所以83

m ≥，56t ≤，所以8511366m t -≥-=，D 正确，故选：ABD . 【点睛】

本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题. 27．BC 【分析】

根据数列的增减性由所给等式求出1a d 、，写出数列的通项公式及前n 项和公式，即可进行判断. 【详解】

数列{a n }为单调递增的等比数列，且24100a a +=>，0n a ∴>

23464a a a =，2364a ∴=，解得34a =，

2410a a +=，4

410q q

∴+=即22520q q -+=，解得2q

或

，又数列{a n }为单调递增的等比数列，取2q

，3124

a a q =

==，

n n

a ，212121

n n n S -==--，()1121212n n n

n n S S ++-=---=.

故选：BC 【点睛】

本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题. 28．CD 【分析】

根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：

22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.

【详解】

因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈，所以1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，

所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()13

22122

?-?=，故错误； B. 令1n =时， 213122

S =+

=，而 111

22S =，故错误；

C. 当1n =时， 213122

S =+=，而 3113

2222-+=，成立，当2n ≥时，

211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以

11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)

n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n

-=+++++++，令()1111

...1232f n n n n n

=+++++++，因为

()11111

1()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，

所以()()1

f n f ≥=，故正确；

故选：CD 【点睛】

本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题. 29．ABD 【分析】

先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】

若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾；若1q ≥，则

11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与671

a a -<-矛盾；因此01q <<，所以A 正确；

667710101

a a a a -<∴>>>-，因此2

768(,1)0a a a =∈，即B 正确；因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；

因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确；故选：ABD 【点睛】

本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题. 30．BD 【分析】

先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】

由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠，当1q =时，10n S na =>，符合题意；当1q ≠时，()1101n n a q S q

>-，即

101n

q q ->-，上式等价于1010

n q q ?->?->?①或10

n q q ?-

-.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.

综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.

2213322n n n n b a a a q q ++??=-=- ???，所以232n n T q q S ?

?=- ??

?，所以

()2311222n n n n T S S q q S q q ???

?-=?--=?+?- ? ????

?，而0n S >，且()()1,00,q ∈-?+∞.

所以，当1

q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当1

2(0)2

q q -

<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12

q =-

或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.

综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】

本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 31．ABD 【分析】由()*123n

n n

a a n N a +=

∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】因为

112323n n

n n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11

340a +=≠，所以13n a ??+?

???

是以4为首项，2位公比的等比数列，1

1342n n a -+=?即1123n n a +=-，故

选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1

n n a +=

-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.

因为1

231n n

a +=-，所以 1n a ??????的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-+

+-=++

22(12)2312

234n n n n +-?-=?-=--.选项D 正确，

故选：ABD 【点睛】

本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题. 32．ABD 【分析】

由条件可得32242q q q =+，解出q ，然后依次计算验证每个选项即可. 【详解】

由题意3

242q q q =+，得2

20q q --=，解得2q

（负值舍去），选项A 正确；

1222n n n a -=?=，选项B 正确；

()12212221

n n n S +?-=

=--，所以102046S =，选项C 错误；

13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．

故选：ABD 【点睛】

本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 33．AC 【分析】

在A 中，数列{}

n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，

数列{}n a 是递增数列；在D 中，13

r =-. 【详解】

由数列{}n a 是等比数列，知：在A 中，

22221n n a a q -=，

22221122221n

n n n a a q q a a q

+-∴==是常数， ∴数列{}

2n a 是等比数列，故A 正确；

在B 中，若32a =，732a =

，则58a =，故B 错误；

在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则

01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；

在D 中，若数列{}n a 的前n 和1

3n n S r -=+，

则111a S r ==+，

()()221312a S S r r =-=+-+=，

()()332936a S S r r =-=+-+=，

1a ，2a ，3a 成等比数列， 2213a a a ∴=，

()461r ∴=+，

解得1

r =-

，故D 错误.

故选：AC . 【点睛】

本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 34．BC 【分析】

根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】

由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，

()

11515815152

a a S a +=

=为定值，但()

()11616891682

a a S a a +=

=+不是定值.

故选：BC. 【点睛】

本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 35．AD 【分析】

计算到12a =，232

a =

，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，89

8a =，根据

“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案. 【详解】

98n a n n =+

-，故12a =，232

a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898

a =

. 故23a a <，3不是“谷值点”；12a a >，32a a >，故2是“谷值点”；

67a a >，87a a >，故7是“谷值点”；65a a <，5不是“谷值点”.

故选：AD . 【点睛】

本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.