材料力学梁弯曲时内力和应力第5节 正应力强度计算

m3
176.5 cm3
查附表 B-4 得 18 工字钢Wz 185 cm3 ，满足要求。
例5-10 钢制等截面简支梁如图所示，长 l 8 m，
受到均布载荷 q 4kN/m 的作用。材料的许用应力[ ]
= 150 MPa。试求：
（1）梁竖放（ h1 2b1）时的截面尺寸； （2）梁横放（h2 0.5b2 ）时的截面尺寸。
正应力 强度条件
max

M max Wz
[ ]
对于脆性材料：其抗拉和抗压强度不同，宜选用 中性轴不是截面对称轴的梁，应分别对抗拉和抗 压应力建立强度条件：

m
ax

[

]

m
a
x

[

]
• 梁的正应力强度条件可以解决以下三类问题：强 度校核、截面设计和载荷估计。
例5-8 简支梁如图所示，F 140 kN，梁由空心圆
1 6

2h23
Pa [ ] 150 MPa
h2 3
32 103
1 6

2
150106
m
y
h2 86.2 mm b2 2h2 172 mm
h1
z h2
b1
y
z b2
（3）梁的竖放、横放比较
竖 b1 68.4 mm 放 h1 137 mm
A1 : A2 1:1.58

4b13
Pa [ ] 150 MPa
b1 3
32 103
1 6

4
150
106
m
y
b1 68.4 mm
h1
z h2
h1 2b1 137 mm
b1
y
z b2
（2）梁横放时，由梁的正应力强度条件得
max
M max Wz
32103
1 6
b2
h22
32103

C

C

M C y1 Iz
MC y2 Iz

4.5103 52 103 763 108
4.5103 88 103 763 108
Pa Pa
30.7 MPa
max

51.9 MPa
[
Fra Baidu bibliotek
]
所以，梁不满足弯曲正应力强度条件。
3）计算 B 截面的最大拉、压正应力

B

B

M B y2 Iz
M B y1 Iz

6103 88 103 763 108
6103 52 103 763 108
Pa Pa
69.2 MPa
max
40.9 MPa

[

]
4）计算 C 截面的最大拉、压正应力
• 正应力强度条件：为了保证梁安全地工作，危险
点处的正应力必须小于梁的弯曲许用应力[ ]。
说明
[ ]
对于塑性材料：其抗拉和抗压强度相同，宜选用 中性轴为截面对称轴的梁，其正应力强度条件为
正应力 强度条件
max

M max Wz
[ ]
对于塑性材料：其抗拉和抗压强度相同，宜选用 中性轴为截面对称轴的梁，其正应力强度条件为
32
例5-9 图示为两端受 30kN 作用的外伸梁，采用工
字钢，许用应力 [ ] 150 MPa。试确定工字钢型号。
解：1）作梁的弯矩图
M max 30kN m
2）根据强度条件确定 工字钢型号
max

|
M |max Wz
[ ]
Wz

|
M |max
[ ]

30 103 150106
32
(1 4 )
3）正应力强度条件
max

M max Wz
[
]
3）正应力强度条件
max

M max Wz

[ ]
M max Wz

56103 3.14 D3 (1 0.754 )
Pa
[ ]
170 MPa
32
D
56 103
170 m
3 3.14 (1 0.754 ) 170106
763cm4。梁的抗拉许用应力[+]=40MPa，抗压许用 应力[–]=100MPa。试校核该梁的正应力强度条件。
解：1）计算梁的支座反力
n
M B (Fi ) 0
FB
FD
i 1
4FD 83
1 2
3
22

0
FD 4.5 kN
n
Fiy 0
FB （4.5 3 2 8)kN 0 FB 9.5 kN
截面积
A1 b1h1 93.7cm2
横 h2 86.2 mm 放 b2 172 mm
截面积
A2 b2h2 148 cm2
由于长度相同，所以
y
梁横放时耗材比竖放时多
用58%，故而竖放比较合 h1
z h2
理。实际建筑中，房屋的
横梁基本上都是竖放的。
b1
y
z b2
例5-11 T形截面外伸梁，载荷及尺寸如图所示， 已知截面的中性轴为z轴，z轴到上、下边缘的距离分 别为y1=52mm、y2=88mm，截面对z轴的惯性矩为Iz=
管制成， d/D 0.75，跨度 AB = 16 m，AC = CB。
材料许用应力 [ ] 170 MPa。试确定梁的内径 d、外
径 D。
解：1）作梁的弯矩图 由对称性得：
F AF B 70 kN
C 截面出现最大弯矩
M max 56 kN m
2）梁的抗弯截面系数
WZ

D3
i1
2）作梁的弯矩图
MB


1 2
q
2
AB
6kN m
MC FD CD
4.5kN m
注意


FRB
FRD
如图b) 所示，B 截面处产生最大负弯矩，C 截面 处产生最大正弯矩，B 截面处下侧纤维受压，上侧纤 维受拉；C 截面处下侧纤维受拉，上侧纤维受压，如 图c) 所示。因此，B、C 截面都应进行强度校核。
（3）如何放置比较合理？
解：作梁的弯矩图
M
max

1 8
ql
2

32
kN

m
（1）梁竖放时，由梁的
正应力强度条件得
h1
y z h2
max

M max Wz

[
]
b1
y
z b2
（1）梁竖放时，由梁的正应力强度条件得
max
M max Wz
32103
1 6
b1h12
32103
1 6