03.奥数第三讲.除法与余数(答案)
小学四年级奥数教程第三讲(共8张PPT)
积与变化后的积的差数平均分成3份即找到其中的一 个乘数；再用两个乘数的积286，除以求出的一个 乘 数，即可求出另一个乘数。
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练习3：⑴两数相乘，假设一个乘数增加，另一个乘数不变， 积增加168，假设另一个乘数增加14，这个乘数不
变，积增加420。那么原来的积是多少？
分析：因为积=乘数×乘数〔10〕，那么积应是第一个乘数 的10倍，比第一个乘数多9倍，弄清这个关系是解
本 题的关键。
练习4：⑴一个乘数是6，另一个乘数比积小140，这个乘法
算式是多少？
⑵一个乘数是9，积比另一个乘数多720，另一个乘
数是多少？
⑶一道乘法算式中，一个乘数是9，把两个乘数 和
乘得的积相加得319，另一个乘数是多少？
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例3：两数之积是286，如果把其中一个乘数减去3，积
就等于220，原来这两个数分别是多少？ 分析：假设两个乘数分别为a和b。根据题意得：
a×b=286……⑴ 〔a-3〕×b=220……⑵
利用乘法分配律将⑵化简得： a×b-3b=220……⑶ 比较⑴与⑶，其中一个因数减少了3，积就比原来减
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例1：在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于
240，而减数是差的2倍，差是多少？
分析：被减数、减数、差之和为240，因为被减数的2
倍正好是240，于是可以求出被减数：240÷2=120。 乘⑶数一是 道多乘少法？算式中再，一个把乘数差是9，看把两作个乘1数倍和 数，那么减数为2倍数，120相当于差的
是a×3b2=×248=6注1…2…8意。⑴：在有余数的除法中，余数一定比除数小。
分析：被减数、减数、差之和为240，因为被减数的2 再用两个乘数的积286，除以求出的一个乘 除数×商=被除数 ⑶一道乘法算式中，一个乘数是9，把两个乘数和 减法各局部之间的关系：被减数-差=减数 减数小28，被减数是多少？ 算式是多少？ 的10倍，比第一个乘数多9倍，弄清这个关系是解本 例4：一个乘数是10，积比另一个乘数多630，另一个 号，得到的结果是120，正确的商是多少？ 数，即可求出另一个乘数。 加4得来的，那么这个数是36-4=32，所以正确的积 a×b-3b=220……⑶
四年级奥数专题之整除与余数
四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
三年级奥数--除法与余数
一个数除以5余3，除以7也余3，这个数最小是几？一个数除以18余12，将这个数扩大5倍，余数是几？一个除法算式，商8余2。
已知被除数与除数的和是65，被除数和除数分别是多少？安安在做有余数除法时，把除数8错看成3，求出商15余2，正确的余数应该是几？不相等的两个两位数，它们的和除以3余数是2，它们的差除以3余数是0。
这两个数的和最小是几？n为任意一个整数，那么n×(n＋1)×(n＋2)×…×(n＋10)除以24的余数是几？现有生梨若干个，如果每次拿走5个，最后还剩2个；如果每次拿走7个，最后还剩1个，这堆生梨最少有多少个？三（1）班和三（2）班学生一起开展游戏活动。
如果5人一组，还剩下4人；如果4人一组，还剩下3人；如果3人一组，还剩下2人。
这两个班级至少有多少人？城隍庙的节日彩灯按以下顺序摆放，一盏红灯、二盏黄灯、一盏红灯、二盏蓝灯、一盏红灯、二盏绿灯、一盏红灯、二盏黄灯、一盏红灯、二盏蓝灯、一盏红灯、二盏绿灯……在一排100盏彩灯中，最后一盏灯是什么颜色？1．一个数除以7，商16余5，这个数除以9的余数是几？2．一个数除以6余2，除以9也余2，这个数最小是多少？3．一个两位数除以9余3，除以7也余3，这个两位数最大是多少？4．23除以一个一位数，余数是3，这样的算式有哪几个？5．一个数除以23余11，将这个数扩大3倍，余数是几？6．在A÷B＝14……9中，A最小等于几？7．一个出发算式，商7余5.已知被除数与除数的差是41，被除数和除数分别是多少？8．某雏鹰中队的人数，被7除正好除尽，除以6余5，这个雏鹰中队最少有多少人？9．荣荣在做有余数除法时，把被除数274看作了247，商比原来小3，余数正好相同，这个余数是几？10．从一个四位数中减去8，连续减了若干次后，还剩6，这个四位数最小是几？最大是几？11.有一堆苹果，如果每次拿走5个，最后还剩下2个；如果每次拿走3个，最后还剩下1个，那么这堆苹果至少有多少个？12.有黑球和白球共100个（排列如下），第60个是黑球还是白球？○●○○○●○○●○○○●○○●○……。
小学五年级奥数题目及答案：带余除法
小学五年级奥数题目及答案：带余除法教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.
带余除法
69、90和_5被某个正整数N除时，余数相同，试求N的值。
分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：_除以2余1，_除以2余1，即_和_被2除余数相同（余数都是1）。
但是_-_能被2整除.由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。
反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。
解答：
∵三个整数被N除余数相同，
∴N｜（90-69），即N｜_，N｜（_5-90），即N｜35，
∴N是_和35的公约数。
∵要求N的值，
∴N是_和35的公约数。
∵_和35的公约数是7，
∴N是7。
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奥数余数问题带余除法
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带余除法
被除数=除数×商+余数
被除数—余数=除数×商
余数=被除数—除数×商
商=（被除数—余数）÷除数
要注意以下几点：
1. 余数总是小于除数的整数。
2. 只要
3. 整除例1、 例2、 数是多
1、 被
2、一个
3、两个
4、1705
5、如果例3、 1、被除2、被除3、两个4、一个5、1492
6、从
7、两个例4、 1、一个
2、一个
3、有一个两位数被3除或被4除，余数都是1，符合这一条件的最大三位数和最小三位数各是多少？
4、有一个最小的两位数，除以5余数是3，除以13余数是5，这个最小的两位数除以11余数是多少？
5、一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8.被除数、除数、商及余数的和是多少？
6、一个两位数除329，这个两位数与商相等，余数是5，求这个两位数。
7、一个三位数，它除以19，所得的商和余数相等，符合这个条件的三位数有多少个？其中最大的是多少？最小的是多少？
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8、五年级同学去西湖划船，若每船坐8人，则余下7人；若每船坐12人，则余下11人，若每船坐14人，则余下13人，五年级至少有同学多少人？
9、实验小学五年级的同学在操场上做游戏，每组5人则多1人，每组6人则多1人，每组7人则多1人，五年级做游戏的同学至少有多少人？
10、筐子里有一些皮球，三个三个地数余2个，四个四个地数余3个，五个五个地数余4个，筐子里至少有多少个皮球？。
小学奥数精讲：带余除法(同余式和同余方程)知识点及典型例题
小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程）一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r 均为整数) 从中我们应该得到：（1）b>r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。
2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。
即：两数和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。
例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3 的余数就等于（1+2）÷3 的余数0。
（2）可减性：差的余数等于余数的差。
即：两数差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。
例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3 的余数就等于（2-2）÷3 的余数0。
（3）可乘性：积的余数等于余数的积。
即：两数积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。
例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3 的余数就等于（1×3）÷7 的余数3。
二、同余式在生活中，若两个自然数 a 和 b 都除以同一个除数m 时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。
即：a 与b 同余于模m。
意思就是自然数a 和b 关于m 来说是余数相同的。
用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a 与b 同余于模m，则a 与b 的差一定被m 整除。
（余数的可减性）三、例题。
例1、当2011 被正整数N 除时，余数为16，请问N 的所有可能值有多少个？例2、（1）求多位数1234567891011…20102011除以9的余数？（2）将1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113…9799101103，则数a共有多少位？数a除以9 的余数为几？（3）一个多位数1234567……979899，问除以11 的余数是多少？例3、（1）用一个数除200 余5，除300 余1，除400 余10，求这个数？（2）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69 人，85 人、93 人、97 人。
小学奥数 余数问题 完整版教案带解析和答案
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
二年级奥数：巧用余数(一)教案含解析答案
练习3
1.慢羊羊把54张扑克牌依次发给喜洋洋、美羊羊、沸羊羊和懒羊羊，问：第24张扑克牌发给谁？谁会拿到最后一张扑克牌？
2.学校大门上挂有一串彩灯，按“红、绿、白、黄”的规律排列起来，请你算一算，第18只彩灯是什么颜色？第25只彩灯是什么颜色？
3.植树节那天，同学们按一棵松树，2棵香樟树和3棵广玉兰的顺序依次栽树，那么第15棵是什么树？第31棵是什么树？
解：余数可以是1、2、3、4、5，最大余数是5.
练习2
1.（）÷7 =（）……（），余数可以是（），最大余数是（）
2.（）÷5 =（）……（），余数可以是（），最大余数是（）
3.（）÷6 = 5……（），余数取最大时，被除数是（）。
【例题3】
新年快到了，青青草原上挂起了彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序挂，一共挂了50盏彩灯，第50盏彩灯是什么颜色？红色的彩灯一共有多少盏？
要解决除数最小，余数最大的问题，就要理解除数和余数之间的关系，余数必须比除数小，即除数必须比余数大，掌握了这一点才能找到准确答案。
要求平均分给几位小朋友，平均每人种多少棵树等类型的问题时，应该首先从总数里去掉多余的部分，使得能够除尽，这样就能符合题意，求出问题的结果。
【例题1】
，除数最小是几？
思路导航：根据余数一定要比除数小的道理，现在余数是4，那么除数的范围就比4大，比4大的数有很多，最小的是几呢？答案是5，因为最小的除数只要比余数大1就可以了。
【例题4】
一张纸很整齐的写着下面这样的两行字：
喜羊羊与灰太狼喜羊羊与灰太狼喜羊羊与灰太狼……
青青草原青青草原青青草原……
如果我们把同一列的上下两个字称为一组，第一组的两个字是（喜，青），第二组的两个字是（羊，青）……那么第25组的两个字是（，）。
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第三讲除法与余数
1．老师带来了12个苹果，要分给4个小朋友，并且想让每个小朋友分得的苹果一样多。
那么有几种不同的分法呢？
王老师这样分：先拿4个苹果，给每个小朋友一个；又拿出4个苹果，给每个小朋友一个苹果；……这样分下去一直到苹果分完为止。
李老师这样分：先拿3个苹果，给第一个小朋友；再拿出3个苹果，给第二个小朋友；……这样一直分到最后一个小朋友为止。
请小朋友们想一想，这两种分法效果一样吗？再想一想，你认为那一种方法好呢？请说出自己的理由。
提示：“平均分”的除法与“包含”除法，这两者既有区别又有联系，是对立统一的。
2．在第1题中的问题中，我们学会了一种平均分配东西的方法，我们给它起一个名字叫做“除法”。
我们想一想，如果时光倒转，把我们平均分配物品的过程反过来的话，是怎样的一个问题呢？
对了，是一个求几个相同数和的问题，要用乘法来解决。
也就是说，除法和乘法是很类似的。
除法只不过是把乘法的过程反过来算而已。
比如：被除数÷除数=商，反过来的话，商×除数=原来的被除数。
这是很有趣的一个规律，请大家牢记。
因此，对于比较简单的除法算式，我们可以利用乘法口诀反推出结果！请列式计算：
(1) 把10块大白兔奶糖平均分给牛牛和壮壮，他们俩每人可以分到几块大白兔奶糖？
(2) 把21本故事书，平均分给小明、小红和小花，他们每人可以分到几本故事书？
(3) 把48台电脑平均分给六个年级，每个年级可以分到几台电脑？
总结：当每份都一样多时：平均分除法——总数÷份数= 每份数；
包含除法——总数÷每份数= 份数；
而对于除法的逆运算：乘法——每份数×份数= 总数。
3．利用乘法口诀计算：
1÷1 = 2÷1 = 2÷2 = 3÷1 = 3÷3 =
4÷1 = 4÷2 = 4÷4 = 6÷2 = 6÷3 =
8÷4 = 12÷3 = 12÷6 = 15÷5 = 18÷3 =
18÷6 = 18÷9 = 24÷3 = 24÷4 = 30÷5 =
36÷6 = 36÷4 = 32÷4 = 81÷9 = 72÷8 =
42÷7 = 63÷9 = 64÷8 = 49÷7 = 45÷9 =
并观察这些算式，你找到了什么规律呢？
提示：既可以联想到乘积不变的性质，也可以联想到商不变的性质。
可见，乘法与除法是相互依赖的。
还有除以1等于自己的规律，除以自己等于1的规律，等等……
4．会算除法算式固然很重要，但是懂得除法的意义更加重要，除法的意义可以帮助我们把口诀里没有的算式也能算出来。
不信的话，请列式计算以下题目：
(1) 把30根铅笔平均分装在两个文具盒中，平均每个文具盒中要装几支铅笔？
(2) 60粒草莓，每20粒装成一袋，一共需要装多少袋？
(3) 学校将50个足球平均分给10个班，请问每个班分到多少个足球？
(4) 100朵鲜花，每10朵扎成一束花，一共可以扎成多少束花？
列式解应用题：
5．(1) 学校鼓乐队购买了9顶单价7元的帽子，一共花掉多少钱？
(2) 学校鼓乐队买8顶相同的帽子用了72元，每顶帽子多少元？
(3) 学校鼓乐队用56元购买单价7元的帽子，可以买回多少顶？
6．(1) 王伯伯今年种了5亩小麦，共收获小麦20吨，求王伯伯今年种小麦的平均亩产量。
(2) 王伯伯今年共收获30吨小麦，平均亩产量为5吨，王伯伯今年种了几亩小麦？
(3) 王伯伯今年种了9亩小麦，平均牧场量为6吨，王伯伯今年共收获小麦多少吨？
7．(1) 一台机器每小时可以生产8件玩具，要完成64件玩具的任务需要几小时？
(2) 一台机器9个小时生产了90件玩具，这台机器平均每小时生产多少件玩具？
(3) 一台机器生产每天工作10小时，平均每小时生产8件玩具，那么这台机器一天可
以生产多少件玩具？
8．(1) 小明骑自行车沿二环行驶一周共用3小时，已知二环路全长15公里，求小明的平均时速。
(2) 小明骑自行车以每小时6千米的速度绕三环行驶一周，共用4小时，求三环路的全
长是多少千米？
(3) 小明骑自行车以每小时8千米的速度绕全长40千米的四环路行驶一周，需要几小
时可以完成？
9．请根据每一个算式，开动脑筋，出一道应用题，要求所出的题目要用所给的算式解答：
(1) 35÷5 = （要求用“平均分”的除法）
(2) 40÷8 = （要求用“包含”除法）
(3) 80÷10 = （要求用“平均分”的除法）
(4) 90÷30 = （要求用“包含”除法）
10．已知：△ + △ + △= 6，○ + ○ + ○= 15；
那么：△ + ○= （）。
（要求用两种方法）
11．光明小学募集爱心捐款，一、二年级共捐来1200元钱，三、四年级共捐来1500元钱，五、六年级共捐来2300元钱，然后再把这笔钱平均捐给5名失学儿童，请问这些失学儿童每人可以得到光明小学的爱心捐款多少元？如果每个失学儿童只需要500元交学费，那么这笔捐款可以帮助几个失学儿童？
12．有余数的情况：
在现实生活中，做除法的时候不一定总是可以除尽，有的时候还会有剩余。
比如：把12个苹果平均分给5个小朋友，每个小朋友最多可以分到几个苹果？会不会用剩余？如果有，剩余几个苹果？
再比如：小明有23元钱，去商店买4元钱的高级冰棍，最多可以买几根？会不会剩余一些钱？如果有，剩余多少钱？
对了，以上两种情况，都无法刚好除干净，从而都会有剩余。
但是通常我们为了分配的尽可能彻底，会得到一个最小的剩余，这个最小的剩余就叫做余数。
我们有一个常识，就是余数一定要小于除数。
同学们想一想，这是为什么呢？
对了，在平均分除法中，如果余数大于或等于除数的话，就还可以给每一份再分一个（你可以给大家举一个例子吗）；在包含除法中，如果余数大于或等于除数的话，就还可以再分一份（你可以给大家举一个例子吗）。
13．列算式解应用题：
(1) 爷爷把32个桃子平均分给6个孙子，每个孙子最多可以分到几个桃子？还会剩下
几个桃子？
(2) 爷爷把一篮桃子平均分给6个孙子，结果每个孙子分到了5个桃子，篮子里还剩下
2个桃子，那么爷爷这篮桃子原来一共有多少个？
然后，请大家比较一下，看看能发现什么规律？
对了，回忆一下我们前面得到的规律：商×除数= 被除数；类似的，在有余数时，我们有这样的规律：商×除数+ 余数= 被除数。
（请注意运算顺序！）
14．(1) 这个月的1号是星期一，那么7天后是星期几？
(2) 这个月的1号是星期一，那么15号是星期几？
(3) 这个月的1号是星期一，那么24号是星期几？
15．趣题：鸡蛋可以用来孵化小鸡（大约26天左右），但却并不是每个鸡蛋都可以孵出小鸡来的，博士大叔做了一个实验，他用30个鸡蛋孵出10小鸡。
那么，我们可以知道，平均大约多少个鸡蛋可以成功孵出一只小鸡？。