山东省德州市2020届高三第二次(6月)模拟考试数学试题
广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理科)试题含答案
2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1．设21(1)iz i +=-则|z|=（ ）A ．12B C ．1D2．已知集合{}{}023,22<+-===x x x B y y A x ，则（ ） A ．A∩B=AB ．A ∪B=RC ．A ⊆BD ．B ⊆A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C D ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S = A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.n n n a ⎡⎤=-⎥⎦(设n是不等式(1211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论：①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立 其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
【精准解析】山东省日照市2020届高三6月校际联合考试数学试题
2020年高三校际联合考试数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则MN =（ ）．A. ∅B. {}1C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】 【分析】首先求出集合M ，然后再利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{}{}22002M x x x x x =-<=<<，{}2,1,0,1,2N =--，所以M N ={}1.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.已知复数13aiz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A. 3- B. 3 C. 13- D.13【答案】A 【解析】 【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.3.己知0a b >>，1c >，则下列各式成立的是（ ） A. ln ln a b <B. c c a b <C. a b c c >D.11c c b a--< 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性和特殊值法，逐一对选项进行判断即可. 【详解】解：对于A 选项：因为函数ln y x =在0,上单调递增，所以0a b >>时，ln ln a b >，故A 选项错误；对于C 选项：因为()1xy c c =>在R 单调递增函数，所以0a b >>，a b c c >，故C 选项正确；对于B 选项：因为0a b >>，1c >，可取2a =，1b =，2c =，此时，2224,11cca b ====，所以c c a b >，故B 选项错误；对于D 选项：因为0a b >>，1c >，可取2a =，1b =，2c =，此时，12112111,122c c b a ----====，所以11c c b a，故D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题主要考查利用对数函数与指数函数的单调性比较大小，属于基础题.4.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（）A.15B.625C.825D.25【答案】A【解析】【分析】根据阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，利用古典概型的概率求法求解. 【详解】∵阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有()1,6，()3,8，()5,10，()7,2，()9,4共5个，则其差的绝对值为5的概率为51255p==.故选：A.【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.5.函数||1()e sin28xf x x=的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项. 【详解】()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1⊂ 0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x ∈，排除A ，C 符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()22xf x x a =+-，则()1f -=（ ）A. 3B. -3C. -2D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由(0)10f a =-=，可求a ，代入可求(1)f ，然后结合奇函数的定义得(1)(1)f f -=-，进而求得()1f -的值.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x 时，()22x f x x a =+-，(0)10f a ∴=-=，1a ，(1)43f a =-=，则(1)(1)f f -=-3=-. 故选：B.【点睛】本题考查奇函数性质，即若函数()f x 为奇函数且在0x =有定义，则(0)0f =，理解这一知识点是求解本题的关键．7.如图，已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）23B.54C.5332【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，可得直线2AF 的方程为()by x c a=-，联立双曲线的方程可得A 的坐标，设1||AF m =，2||AF n =，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a ，c 的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n ac θ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b c θ==， 可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=， 即为(35)()0c a c a -+=， 可得35c a =，则53c e a ==． 故选：C.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．8.如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，1V 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是A. 12V V =B. 22V V =C. 12V V >D. 12V V <【答案】D 【解析】 【分析】先设大球半径为R ，小球半径为2R，根据题中条件，分别表示出21,,V V V ，进而可作差比较大小．【详解】设大球半径为R ，小球半径为2R，根据题意3312444()332R V R V V ππ==⋅-+， 所以333214424()033232R VV V R R πππ-=-⋅==>． 故选：D ．【点睛】本题主要考查球的体积的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.2019年10月31日，工信部宣布全国5G 商用正式启动，三大运营商公布5G 套餐方案，中国正式跨入5G 时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G 设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（ ）A. P 设备商的研发投入超过Q 设备商与R 设备商B. 三家设备商的产品组合指标得分相同C. 在参与评估的各项指标中，Q 设备商均优于R 设备商D. 除产品组合外，P 设备商其他4项指标均超过Q 设备商与R 设备商 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知ABD 均正确. 【详解】雷达图中是越外面其指标值越优，P 设备商的研发投入在最外边，即P 设备商的研发投入超过Q 设备商与R 设备商，故A 正确； 三家设备商的产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B 正确；R 设备商的研发投入优于Q 设备商，故C 错误；除产品组合外，P 设备商其他4项指标均在最外边，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】本题主要考查对数表的综合观察能力，属于基础题.10.已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =⋅⋅⋅，12,,FP FP 3,FP ⋅⋅⋅组成公差为()0d d >的等差数列，则（ ）A. 该椭圆的焦距为6B. 1FP 的最小值为2C. d 的值可以为310 D. d 的值可以为25【答案】ABC 【解析】 【分析】先由椭圆2212516x y +=，得到焦距，判断A 是否正确，椭圆上的动点P ，分析1||PF 的取值范围，判断BCD 是否正确，得到答案.【详解】由椭圆2212516x y +=，得5a =，4b =，3c =，故A 正确； 椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有12||8PF ≤≤， 故1FP 的最小值为2，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12,8n a a ≥≤， 又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310， 故C 正确，D 错误. 故选：ABC.【点睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题.11.对于四面体ABCD ，下列命题正确的是（ ） A. 由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD 的垂心B. 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点C. 若分别作ABC 和ABD △的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面D. 最长棱必有某个端点，由它引出另两条棱的长度之和大于最长棱 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意画出图形，数形结合一一分析可得；【详解】解：如图取AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、DC 的中点,,,,,F E I J H G对于A .三角形的垂心是三条高线的交点，而A 点的位置可以任意变化，故A 错误；对于B.////EI CD JH ，////JE AB IH ，JEIH 为平行四边形，同理EFGH 也是平行四边形，FG ，EH 的交点为平行四边形EFGH 对角线EH 的中点，EH ，JI 的交点为平行四边形JEIH 对角线EH 的中点，故三条线段交于一点，故B 正确；若四面体为正四面体，则两条高线刚好相交于AB 的中点，故C 为错误； 对于D.假设D 错误，设AB 最长，则AC AD AB +≤，BC BD AB +≤，相加得2AC AD BC BD AB +++≤，在ABC ，ABD △中，AC BC AB +>，AD BD AB +>，所以2AC AD BC BD AB +++>矛盾，故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题考查异面直线，棱锥的结构特征，考查空间想象能力逻辑思维能力，属于中档题．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=.己知函数()421xxe f x e=-+，则（ ） A. x R ∀∈，[][]1x x x ≤<+ B. ()()g x f x =⎡⎤⎣⎦是偶函数 C. ,x y R ∀∈，[][][]x y x y +≤+D. 若()f x 的值域为集合M ，t M ∃∈，使得31t ⎡⎤=⎣⎦，42t ⎡⎤=⎣⎦，53t ⎡⎤=⎣⎦，…，2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】ACD【解析】 【分析】由取整函数的定义判断.【详解】由定义得[][]1x x x ≤<+，故 A 正确；因为()442211x x xe f x e e =-=-++.易知()421x f x e =-+在R 上是增函数； ∵0x e >，∴11x e +>，∴()22f x -<<，∴()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的值域为{}2,1,0,1--，故B 错误.,x y R ∀∈，[]x x a =+，[]y y b =+，[),0,1a b ∈，∴[][]x y x a y b +=+++，[][][]x y x y +=++[]a b +， ∴[][][]x y x y +≤+，故C 正确；若t M ∃∈，()2,2M =-，使得31t ⎡⎤=⎣⎦，42t ⎡⎤=⎣⎦，53t ⎡⎤=⎣⎦，…，2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立，则1t ≤<t <t ≤<t ≤<…t ≤<=6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t ≤<.只有5n ≤时，存在t ∈故D 正确； 故答案为：ACD .【点睛】本题主要考查函数的新定义，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知tan 1α=，则2cos sin cos 3sin αααα+=+______.【答案】34【解析】 【分析】利用商数关系，由tan 1α=得到sin cos αα=代入2cos sin cos 3sin αααα++求解.【详解】方法一：sin tan 1sin cos cos ααααα==⇒=，则2cos sin 2cos cos 3cos 3sin cos 3cos 4αααααααα++==++.方法二：分子分母同除cos α，得2cos sin 2tan 213cos 3sin 13tan 134αααααα+++===+++. 故答案为：34【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知单位向量a ，b 满足3a b -=，则向量a 与b 的夹角为______. 【答案】23π 【解析】 【分析】首先根据平面向量的运算律求出a b ⋅，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：由单位向量a ，b 满足3a b -=，得23a b -=，所以2223a a b b -⋅+=，12a b ⋅=-，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅， 又[],0,πa b ∈,所以2,3a b π=. 故答案为：23π 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律以及夹角的计算，属于基础题.15.设函数()()142302x x xf x x +-+=≤的最小值为m ，且()()()1101112mx x a a x +++=+++()()()2101121011222a x a x a x ++⋅⋅⋅++++，则m =______，1a =______.【答案】 (1). 2 (2). 9 【解析】 【分析】化简函数()f x ，换元后利用32y t t=+-的单调性求出最小值即可得出2m =，将()()21111x x +++转化为()()2112121x x +-++-，再利用展开式的通项即可得到答案.【详解】由()142332222x x xx xf x +-+==+-，令(]20,1xt =∈，因为函数32y t t=+-，(]0,1t ∈为减函数， 所以当1t =时，min 2y =， 即2m =，所以()()()()11211112121mx x x x +++=+-++-，因为()1121x +-的展开式通项为：()()111121rrrC x -+⨯-，所以当111r -=，即10r =时，展开式的项为()112x +， 又()()()22212221x x x +-=+-++，所以11129a =-=. 故答案为：2；9【点睛】本题主要考查了函数的单调性，二项展开式，项的系数，换元法，转化思想，属于中档题.16.已知函数()cos2f x x =，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，所得的图象上每一点的纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y g x ，己知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,n π内恰有2021个零点，则n =______.【答案】1347 【解析】 【分析】先求出()sin g x x =，()22sin sin 1F x x x λ=-++，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t ，2t ，又1212t t =-，则1t 、2t 异号，再对1t 、2t 分四种情况讨论得解. 【详解】将函数()cos2y f x x ==的图象向右平移4π个单位，得到函数cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =， 令()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>， 则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t ，2t ， 又1212t t =-，则1t 、2t 异号， （ⅰ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()*0,n n π∈N 均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,n n π∈N 有偶数个根，不合题意；（ⅱ）当101t <<且21t >时，则方程1sin x t =在区间()()*0,n n π∈N 有偶数个根，2sin x t =无解，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,n n π∈N 有偶数个根，不合题意；（ⅲ）当11t =，则2102t =-<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在0,2上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1347ππ上只有一个根，在区间()1347,1348ππ上无实解，方程2sin x t =在区间()1346,1347ππ上无实数解，在区间()1347,1348ππ上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合题意；（ⅳ）当11t =-时，则212t =， 当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在0,2上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1347ππ上无实数根，在区间()1347,1348ππ上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346,1347ππ上有两个实数解，在区间()1347,1348ππ上无实数解，因此关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，在区间()0,1348π上有2022个根，此时，()()2211110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-. 所以1347n =. 故答案为：1347.【点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换，考查正弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749.S = （Ⅰ）求{}n a 的通项公式（Ⅱ）设数列{}n b 满足(3)3nn n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) 3.n a n =+(2) 1(21)334n n n T +-⨯+=.【解析】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a ，然后由已知36a =可得公差，进而求出通项；（2）先明确()33nn n b a =-⋅= 3n n ⋅，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论. 解析：（Ⅰ）由()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a因为36a =所以1d =14,3n a a n ==+所以（Ⅱ）()33=3nnn n b a n =-⋅⋅()12313233331n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯所以 ()234+1313233332n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯()()123+1+13312233333=313n nn n n T n n +---=++++-⨯-⨯-由得： ()+121334n nn T -⨯+=所以18.在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足()())sin sin sin b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）已知______，______，若ABC 存在，求ABC 的面积；若ABC 不存在，说明理由.【答案】（1）6A π=；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】 【分析】（1）由题中的条件，根据正弦定理，得到222b c a +-=，再由余弦定理，即可求出结果；（2）方案一：选条件①和②，先由正弦定理求出b =712C π=，进而求出7sin12π=①和③，先由余弦定理求出2b =，进而得到c =，进而可求出三角形的面积；方案三：选条件②和③，由条件得sin 1C >，不成立，所以三角形不存在. 【详解】（1）因为()())sin sin sin b a B A c B C -+=-，又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()())b a b ac c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 222b c A bc bc a +===-，因为0A π<<， 所以6A π=.（2）方案一：选条件①和②.由正弦定理sin sin a b A B=，得2sin sin sin 4sin 6a b B A ππ===76412C A B πππππ=--=--=. 71sinsin 124322224πππ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭ 所以ABC的面积11sin 2122S ab C ==⨯⨯=. 方案二：选条件①和③.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =.所以c ==，所以ABC的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=方案三：选条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下：在三角形中，因为=c由正弦定理得sin 142C B π====>，不成立，所以这样的三角形不存在.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、面积公式，考查学生的计算能力及对公式的掌握程度，属于中档题.19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，60BCD ∠=︒，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，2PA =.（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ；（2）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）15. 【解析】 【分析】（1）连接BD ，根据ABCD 是菱形且60BCD ∠=︒，得到BCD 是等边三角形，由E 是CD 的中点，得到AB BE ⊥，再由PA ⊥平面ABCD ，得到PA BE ⊥，利用线面垂直的判定定理证明得到BE ⊥平面PAB ，然后利用面面垂直的判定定理证明即可.（2）在平面ABCD 内，过点A 作AB 的垂线，以A 为原点建立空间直角坐标系.分别求得平面PBE 的一个法向量()1111,,n x y z =和平面PAD 的一个法向量()2222,,n x y z =，由公式121212cos ,n n n n n n ⋅=求解.【详解】（1）如图所示，连接BD ，因为ABCD 是菱形且60BCD ∠=︒，所以BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE CD⊥，又//AB CD，所以AB BE⊥.又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA BE⊥.而PA AB A=，所以BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.（2）在平面ABCD内，过点A作AB的垂线，如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则()0,0,0A，()1,0,0B，33,22C⎛⎫⎪⎪⎝⎭，13,,022D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()002P,,，31,,02E⎛⎫⎪⎪⎝⎭. 所以()1,0,2PB=-，3BE⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()0,0,2PA=-，132AD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭设()1111,,n x y z=是平面PBE的一个法向量，则由11n PBn BE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111111020,3000.2x y zx y z+⨯-=⎧⎪⎨⨯++⨯=⎪⎩令11z=，得()12,0,1n=.设()2222,,n x y z=是平面PAD的一个法向量，则由2200n PA n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2222220020,1300.2x y z x y z ⨯+⨯-=⎧⎪⎨++⨯=⎪⎩， 所以20z =，223x y =-. 故可取()23,1,0n =-.于是1212122315cos ,552n n n n n n ⋅===⨯.所以平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的余弦值为155. 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理以及向量法求二面角问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线上异于原点的任意一点，以AO 为直径作圆Ω，当直线OA 的斜率为1时，||42OA =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过焦点F 作OA 的垂线l 与圆Ω的一个交点为M ，l 交抛物线于P ，Q （点M 在点P ，Q 之间），记OAM △的面积为S ，求23||2S PQ +的最小值. 【答案】（1）24y x =（2）23 【解析】 【分析】（1）求得直线OA 的方程y x =，联立抛物线方程，解得A 的坐标，由两点的距离公式可得p ，进而得到所求抛物线方程；（2）求得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，0(M x ，0)y ，2(P x ，2)y ，3(Q x ，3)y ，且2114y x =，由向量垂直的坐标表示可得22001x y x +=，由三角形的勾股定理和三角形的面积公式可得221111(3)4S x x x =+，设:1PQ x ky =+，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得||PQ ，再由两直线垂直的条件，以及构造函数法，求得导数和单调性，计算可得所求最小值．【详解】（1）当直线OA 的斜率为1时，可得直线OA 的方程为y x =，联立抛物线方程22y px =，解得2x p =，即(2,2)A p p，||OA ==2p =， 抛物线的方程为24y x =； （2）由（1）可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，00(,)M x y ，22(,)P x y ，33(,)Q x y ，且2114y x =，由题意可得0OA FM ⋅=，即101010x x y y x +-=，又0OM AM ⋅=，即220100100x x x y y y -+-=，整理可得22001x y x +=，又22222222110011||||||()3AM OA OM x y x y x x =-=+-+=+，则1||||2S AM OM =⋅=221111(3)4S x x x =+， 又PQ 的斜率存在且不为0，:1PQ x ky =+，联立抛物线方程可得2440y ky --=， 可得234y y k +=，234y y =-，则2||4(1)PQ k ===+，由PQ OA ⊥，可得11PQx k y =-，即11y k x =-，可得212114||4(1)4(1)y PQ x x =+=+，则221111314||(3)6(1)24S PQ x x x x +=+++， 可令214()(3)6(1)4f x x x x x =+++，4323232()4x x f x x+-'=⋅， 显然43()232g x x x =+-在0x >递增，且(2)0=g ， 当02x <<时，()0<g x ，2x >时，()0>g x ，可得()f x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增， 可得2x =时，()f x 取得最小值23． 即求23||2S PQ +的最小值为23． 【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量垂直的坐标表示，考查函数方程思想和化简运算能力，属于难题．21.为了提高某生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造前后的效果，采集了该生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如下茎叶图：（1）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数为m ，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m 的次数填入上面的列联表，试写出a ，b ，c ，d 的值；根据列联表，能否有95％的把握认为生产线技术改造与连续正常运行时间的中位数有关；（2）工厂的一个生产周期为60天，生产线的运行需要进行维护.一个生产周期需设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产线设定维护周期为20天，即从开工运行到第20天()*k N∈进行正常维护，正常维护费为2千元/周期；在每个维护周期内，若生产线能连续运行，则不收取保障维护费；若生产线不能连续运行，则收取保障维护费，保障维护费在一个维护周期内只收费一次，第一个需保障维护的周期收费为1千元，在后面的维护周期中，如出现保障维护，收取的保障维护费在上次收取的保障维护费的基础上增加1千元.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费X 的分布列及其期望.()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++【答案】（1）填表见解析；6a =，14b =，14c =，6d =；有95%的把握认为生产线技术改造与连续正常运行时间的中位数有关；（2）分布列见解析；期望为11116. 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义直接计算中位数，再填写列联表，并计算2χ，并且和3.841比较大小后解答；（2）由茎叶图可知生产线需保障维护的概率为14p =，设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ次，则13,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，生产维护费为()2162X ξξ=++千元，然后然后列出离散型随机变量的分布列，并求期望. 【详解】（1）由茎叶图知212221.52m +==，根据茎叶图可得：6a =，14b =，14c =，6d =.由于()2240661414 6.4 3.84120202020χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为生产线技术改造与连续正常运行时间的中位数有关.（2）当一个维护周期为20天时，生产周期内有3个维护周期，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为14p =.设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ次，则正常维护费为236⨯=千元，保障维护费为()()2111222ξξξξξ⨯+++⋅⋅⋅+==+千元. 故一个生产周期内需保障维护ξ次时的生产维护费为()2162X ξξ=++千元. 由于13,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，设一个生产周期内的生产维护费为X 千元，则X 的可能取值为6，7，9，12()3033276464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213132774464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22313994464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()3331112464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 则分布列为故()272791111679126464646416E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验的实际应用，以及离散型随机变量的分布和期望，本题的关键是读懂题意，并能抽象出数学问题，属于中档题型.22.已知函数()()210ax f x b bx+=>.（1）求()f x 的单调区间； （2）设()()()()()21ln ln 11x x x x g x f x x --+=⋅+，()0,x ∀∈+∞都有()()12f x f ≥=成立，证明：()0,x ∀∈+∞，都有()21g x e -<+.【答案】（1）当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为,a ⎛-∞-⎝⎦，a ⎫+∞⎪⎪⎣⎭，单调递减区间为⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，⎛ ⎝⎦；当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，()0,∞+，无单调递增区间；（2）证明见解析. 【解析】 分析】（1）求导数，对a 分类讨论即可求解.（2）先由()0,x ∀∈+∞都有()()12f x f ≥=成立，确定1a =，1b =，则可求出()()()1ln ln 1x x x x g x x--+=，则()21g x e -<+转化为证明()()211ln ln 1x e x x x x -+--<+，再证明21ln 1x x x e ---≤+和()1ln 1xx >+即可. 【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()221ax f x bx -'= 当0a ≤时，()2210ax f x bx-'=<，()f x 在(),0-∞，()0,∞+上分别递减. 当0a >时，()221ax f x bx -'==令()0f x '>，得x a<-或x a >，令()0f x '<，得0x a-<<或0x a <<， 所以函数()f x在,⎛-∞ ⎝⎦，⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增，在⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，⎛ ⎝⎦上单调递减. 综上所述：当0a >时，函数()f x的单调递增区间为,a ⎛-∞- ⎝⎦，a ⎫+∞⎪⎪⎣⎭，单调递减区间为a ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭，0,a ⎛ ⎝⎦； 当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，()0,∞+，无单调递增区间. （2）证明：对任意的0x >，都有()()12f x f ≥=成立，即有12a b +=， 由（1）知，若0a ≤，则()f x 对()0,x ∀∈+∞不存在最小值2，必有0a >， 由()11f x ax b x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭2≥，所以1a +≤，即)210≤解得1a =，1b =.所以()1f x x x=+()()()()()()()21ln ln 11ln ln 11x x x x x x x x g x f x xx--+--+=⋅=+，0x >.对任意0x >，()21g x e -<+等价于()()211ln ln 1x e x x x x -+--<+，令()()1ln 0F x x x x x =-->，则()ln 2F x x '=--， 令()ln 20F x x '=--=得2x e -=， 所以当()20,x e-∈时，()0F x '>，()F x 单调递增；当()2,x e -∈+∞时，()0F x '<，()F x 单调递减，所以()F x 的最大值为()221F ee--=+，即21ln 1x x x e ---≤+.设()()ln 1G x x x =-+，则()01xG x x '=>+， 所以当()0,x ∈+∞时，()G x 单调递增，()()00G x G >=，故当()0,x ∈+∞时，()()ln 10G x x x =-+>，即()1ln 1xx >+，∴()()2211ln 1ln 1x e x x x e x --+--≤+<+，所以对任意0x >，都有()21g x e -<+.【点睛】考查求含参数的函数的单调性和证明不等式恒成立，求含参数的函数的单调性通常需要分类讨论；证明不等式通常转化为求函数的最值，这时需要构造新函数，研究新函数的值域；本题是难题.。
山东省枣庄市2020届高三模拟考试(二调)数学试题
秘密★启用前山东省威海市2020届高考模拟考试（4月一模）数学试题2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(1)}A x y x ==+，{}|2,x B y y x ==-∈R ，则A B ⋃=（ ）A ．(1,0)-B ．(1,)-+∞C ．RD ．(,0)-∞ 2．已知i 是虚数单位，1i -是关于x 的方程20(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，则p q +=（ ）A ．4B ．4-C ．2D ．2-3．“cos 0θ<”是“θ为第二或第三象限角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素．数在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ）A ．110B ．421C ．415D ．155．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在11,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．512π是()f x 的一个极值点 6．已知0a b >>，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则a b =（ ）AB ．2C ．D ．4 7．函数6cos ()2sin x f x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．8．已知点(,)P m n 是函数y =图象上的动点，则|4321|m n +-的最小值是（ ） A ．25 B ．21 C ．20 D ．4二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．2019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图（如图），则下列说法正确的是（ ）A ．第一季度居民人均每月消费支出约为1633元B ．第一季度居民人均收入为4900元C ．第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多D ．第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元10．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论：A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，11AC 始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值11．已知P 为双曲线22:13x C y -=上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，记线段PA ，PB 的长分别为m ，n ，则（ ）A ．若PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则123k k =- B ．12mn >C ．4m n +D ．||AB 的最小值为32 12．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）A ．,[]1x x x ∃∈+R …B ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++R …C ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 同时成立，则正整数n 的最大值是5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．6x⎛ ⎝的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答） 14．在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，点M 满足2DM MC =uuu u r uuu r ，点N 满足12CN DA =uuu r uu u r ，则AM MN ⋅=uuu r uuu r _________．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F 0y -+=过点1F 且与C 在第二象限的交点为P ，若160POF ∠=︒（O 为原点），则2F 的坐标为________，C 的离心率为__________．16．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，14AA =，ABC △是边长为1D 是线段11B C 的中点，点D 是线段11A D 上的动点，则三棱锥D ABC -外接球的表面积的取值集合为_____________（用区间表示）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①4S 是2a 与21a 的等差中项；②7a 是33S 与22a 的等比中项；③数列{}2n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，________________________．（1）求n a ；（2）设34n n n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，是否存在*k ∈N ，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．18．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin a b C B -=．（1）求B ；（2）若2a =，且ABC △为锐角三角形，求ABC △的面积S 的取值范围． 19．如图，侧棱与底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，12AM MA =u u u r u u u r ，12CN NC =uuu r uuu r ．（1）求证：AN ∥平面11MB D ；（2）若22AB AD ==，60BAD ∠=︒，13AA =，求1NB 与平面11MB D 所成角的大小．20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线1:1(0)l y kx k =+>与C 的交点为A ，B ，且当1k =时，/||||5AF BF +=．（1）求C 的方程；（2）直线2l 与C 相切于点P ，且21l l ∥，若PAB △的面积为4，求k ．21．某省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中选择3门作为选考科目，语文、数学、外语三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A ，B +，B ，C +，C ，D +，D ，E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八个分数区间，得到考生的等级成绩． 举例说明：某同学化学学科原始分为65分，该学科C +等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C +等级．而C +等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分计算方法为：设该同学化学学科的转换等级分为x ，696570655861x x --=--，求得66.73x =．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．为给高一学生合理选科提供依据，全省对六个选考科目进行测试，某校高一年级2000人，根据该校高一学生的物理原始成绩制成频率分布直方图（见右图）．由频率分布直方图，可以认为该校高一学生的物理原始成绩X 服从正态分布()2,(0)N μσσ>，用这2000名学生的平均物理成绩x 作为μ的估计值，用这2000名学生的物理成绩的方差2s 作为2σ的估计值．（1）若张明同学在这次考试中的物理原始分为86分，等级为B +，其所在原始分分布区间为82～93，求张明转换后的物理成绩（精确到1）；按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取100人，记Y 表示这100人中等级成绩在区间[81,100]内的人数，求Y 最有可能的取值（概率最大）；（2）①求x ，2s （同一组中的数据用该组区间的中点作代表）；②由①中的数据，记该校高一学生的物理原始分高于84分的人数为Z ，求()E Z ．附：若()2~,(0)X N μσσ>，则()0.6827P X μσμσ-<+=…，(22)0.9545P X μσμσ-<+=…，(33)0.9973P X μσμσ-<+=…．22．（1）若x ∀∈R ，x a e x -…恒成立，求实数a 的最大值0a ；（2）在（1）的条件下，求证：函数0()cos xe f x x a x x=++在区间(,0)π-内存在唯一的极大值点0x ，且()002f x x >．2020届高三模拟考试数学试题参考答案及评分标准2020.4一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．CABD DBAC二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．ACD 10．AD 11．ABD 12．BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．20- 14．0 15．(4,0) 1 16．[25,32]ππ四、解答题：本题共6小题，共70分．17．（1）解：若选①4S 是2a 与21a 的等差中项，则42212S a a =+， 即()()1114324222022a a a ⨯⎛⎫+⨯=+++⨯ ⎪⎝⎭． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+．若选②7a 是33S 与22a 的等比中项，则237223S a a =⋅， 即()()2111316222122a a a -⎛⎫+⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+．若选③数列{}2n a 的前5项和为65，则2(1)2[2(1)2]24n n a a n n +-=+-⋅=．又212a a =+，所以{}2n a 是首项为12a +，公差为4的等差数列．由{}2n a 的前5项和为65，得()154524652a ⨯++⨯=． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+．（2）33(21)44n n n n b a n ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 1133(23)(21)44n nn n b b n n ++⎛⎫⎛⎫-=+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1133[3(23)4(21)](52)44n nn n n n n -+=+-+=-． 所以110520 2.51,2n n n n b b b b n n n ++>⇔->⇔->⇔<⇔=；110520 2.53,4,5,n n n n b b b b n n n ++<⇔-<⇔-<⇔>⇔=L所以123456b b b b b b <<>>>>L ．所以{}n b 中的最大项为333727(231)464b ⨯⎛⎫=⨯+⋅= ⎪⎝⎭．显然37278272764648b ⨯⨯=<=．所以*27,8n n b ∀∈<N ． 所以不存在*k ∈N ，使得278k b >． 18．（1）山题设条件及正弦定理，得sin sin cos sin A B C C B -=．由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得cos sin sin B C C B =． 由0C π<<，得sin 0C ≠．所以cos B B =．又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0B =，22sin cos 0B B +=．这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan B =．又0B π<<，得6B π=． （2）在ABC △中，由正弦定理，得sin sin c a C A =，即25sin sin 6c C C π=⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以2sin 5sin 6C c C π=⎛⎫- ⎪⎝⎭． ABC △的面积112sin 1sin 25222sin 6C S ac B C π==⨯⨯⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎝⎭2cos sin C C=+． 由ABC △为锐角三角形，得02C π<<，5062B C ππ<=-<，所以32C ππ<<，从而tan C >sin cos C C >．所以cos 0sin 3C C <<S << 所以S的取值范是23⎛ ⎝⎭．19．（1）证法1：取AM 的中点E ，连接1EC 、11AC ．设1111AC B D O ⋂=，连接MO ． 由题意，O 是线段11AC 的中点，E 是线段MA 的中点， 所以MO 是11A C E △的中位线，所以1MO EC ∥． 由题意，113AE AA =，1113NC CC =，11AA CC =， 所以1AE NC =，又1AE NC ∥，所以四边形1AEC N 是平行四边形． 所以1AN EC ∥．又1MO EC ∥，所以AN MO ∥．又AN ⊄平面11MB D ，MO ⊂平面11MB D ，所以AN ∥平面11MB D ．证法2：AN AB BC CN =++uuu r uu u r uu u r uuu r111112A B A D MA =++u u u u r u u u u r u u u r11111111()()MA A B MA D M A B MD =+++=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ．又AN ⊄平面11MB D ，所以AN ∥平面11MB D ．（2）在ABD △中，22AB AD ==，60BAD ∠=︒， 由余弦定理，得22212212cos603BD =+-⨯⨯⨯︒=． 可见222DA DB AB +=，所以DA DB ⊥． 以D 为坐标原点，以DA uu u r ，DB uuu r ，1DD uuu u r 所在方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则(1,0,2)M，1B ，1(0,0,3)D，(N -．所以1(1,0,1)D M =-u u u u r，11D B =u u u u r ，1(1,0,1)NB =u u u r ．设(,,)n x y z =r 为平面11MB D 的法向量，则1110,0,n D M n D B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuuu r r uuuu r即0,0.x z -=⎧⎪= 令1x =，则(1,0,1)n =r ． 可见，1NB uuu r 就是平面11MB D 的一个法向量，所以1NB 与平面11MB D 所成的角为90°．20．（1）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ．由221x py y x ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2220x px p --=．判别式2480p p ∆=+>，122x x p +=．因此1212||||2325AF BF y y p x x p p +=++=+++=+=，解得1p =． 所以C 的方程为22x y =．解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ． 由221x py y x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2(22)10y p y -++=．判别式2(22)40p ∆=+->，1222y y p +=+．由抛物线的定义，12||||325AF BF y y p p +=++=+=，解得1p =． 所以C 的方程为22x y =．（2）方法1：22x y =即为212y x =，求导得y x '=．设2001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，当0x x =时，0y x '=，因此直线2l 的斜率为0x ． 又因为12l l ∥，所以0k x =，因此21,2P k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由221x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2220x kx --=． 2480k ∆=+>，则122x x k +=，122x x =-．因此||AB ==．直线1:1l y kx =+即为10kx y -+=．因此点21,2P k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线1l211k +=． 所以PAB △的面积为21111||22k S AB h +=⋅=⨯312=． 由题意，3142=，即332=2=． 又因为0k >，所以k =方法2：由方法1可得21,2P k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线2l 的斜率为k ．因此直线2l 的方程为21()2y k k x k -=-．令0x =，则212y k =-． 设直线2l 与y 轴交于点Q ，则点Q 的坐标为210,2k ⎛⎫-⎪⎝⎭． 设(0,1)D ，由方法1可知，122x x k +=，122x x =-． 因为12l l ∥，所以PAB △的面积与QAB △的面积相等．PAB △的面积1211||||22S DQ x x DQ =⋅-=231111222k ⎛=+= ⎝由题意，3142=，即332=2=． 又因为0k >，所以k =方法3：设AB 的中点为M ，由方法1可知，122x x k +=，122x x =-． 因此122M x x x k +==，211M M y kx k =+=+． 又因为21,2P k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭的横坐标也为k ，所以PM y ∥轴．因此PAB △的面积为1211||22M p S PM x x y y =⋅-=-231111222k ⎛=+= ⎝由题意，3142=，即332=2=． 又因为0k >，所以k =21．（1）设张明转换后的物理等级分为x ，由938690868281xx --=--，求得84.27x ≈．所以，张明转换后的物理成绩为84分． 由题意，~(100,0.1)Y B ． 下分两种解法：解法1：由()(1),()(1)P Y k P Y k P Y k P Y k ==-⎧⎨==+⎩……得10011100(1)10010010011100(1)1001000.10.90.10.90.10.90.10.9,.k k k k k k k k k k k k C C C C ------++--⎧⎨⎩…… 解得9.110.1k 剟．又*k ∈N ，所以10k =． 所以，Y 最有可能的取值是10．解法2：1001001110011100()0.10.9101(1)0.10.99kk k k k k P Y k C kP Y k C k-----=-===-，1,2,3,,100k =L ． 所以()1011110.1(1)9P Y k k k P Y k k =->⇔>⇔<=-；()110.1(1)P Y k k P Y k =<⇔>=-．于是，当10.1k <时，(1)()P Y k P Y k =-<=；当10.1k >时，(1)()P Y k P Y k =->=． 所以10k =时，()P Y k =最大．故Y 最有可能的取值是10．（2）①解：300.02400.08500.22600.36700.22800.08900.0260x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．22222(3060)0.02(4060)0.08(5060)0.22(6060)0.36s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯222(7060)0.22(8060)0.08(9060)0.02144+-⨯+-⨯+-⨯=．②由①中的数据，60μ=，12σ=，所以()2~60,12X N ．所以26021284μσ+=+⨯=．所以1(22)10.9545(84)0.0227522P X P X μσμσ--<+->===…由题意，~(2000,0.02275)Z B ． 所以()20000.0227545.5E Z =⨯=．22．（1）解：令xy e x =-，则01xxy e e e '=-=-． 可见，00y x '<⇔<；00y x '>⇔>．故函数xy e x =-在(,0)-∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增． 所以，当且仅当0x =时，函数xy e =，x 取最小值1． 由题意，实数1a …．所以01a =．（2）由（1），2222(1)(1)sin ()sin 1x x e x e x x x x f x x x x ---+'=-+=． 令22()(1)sin xg x e x x x x =--+，则()2()2sin cos 22sin cos 2x xg x xe x x x x x x e x x x '=--+=--+． 令()2sin cos 2x h x e x x x =--+．①当,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，0x e >，2sin 0x ->，cos 0x x -…，所以()0h x >． 可见，()()0g x xh x '=<，所以()g x 在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减． 又22213210222g e ππππ+⎛⎫-=->-> ⎪⎝⎭（由（1），可得212e ππ+<，所以1212ππ+<）， (0)10g =-<，所以存在唯一的0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =．从而，当0[,2)x x π∈-时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,0x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减．②当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，令2()(1)x p x e x x =-+． 则()()220xxp x xe x x e '=+=+<．所以()p x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减． 所以222132()10244p x p e ππππ+⎛⎫>-=->-> ⎪⎝⎭（由（1），可得212e ππ+<，所以2121e ππ+<）． 又当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，20x >，sin 0x <，2sin 0x x ->， 所以当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，2()()sin 0g x p x x x =->，从而()0f x '>．所以()f x 在,2ππ⎛⎤-- ⎥⎝⎦单调递增．综上所述，()f x 在()0,x π-上单调递增，在()0,0x 上单词递减． 所以，函数()f x 在区间(,0)π-内存在唯一极大值点0x ． 关于()002f x x >的证明如下： 由上面的讨论，0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()020000201sin 0x g x e x x x x =--+=，所以()0000001sin x e x x x x --+=，所以()000001sin 1x x x e x x -=-．于是()()00000000001sin cos cos 1x x x e f x x x x x x x -=++=++-．令()sin q x x x =-．当,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()1cos 0q x x '=->．所以()q x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增．所以，当,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()(0)0q x q <=，即sin x x <． 又因为0,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以00sin x x <，0011sin 0x x ->->，所以001sin 011x x -<<-． 所以()()0000000000001sin cos cos 2cos 21x x f x x x x x x x x x x -=++>++=+>-．。
江苏省南通市2020届高三年级6月份模拟测试数学试题含附加题
江苏省南通市2020届高三年级6月份模拟测试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1． 已知集合{}{}0,3,41,0,2,3A B ＝，＝－，则A B ⋂＝______. 2．已知复数341iz i+=-（i 为虚数单位），则z =______. 3． 某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________． 4． 如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________． 5．一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同)，现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为________．6．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．7．已知离心率2e =的双曲线2222:1(0,0)x y D a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，虚轴的两个端点分别为12,A A ，若四边形1122A F A F 的面积为43，则双曲线D 的焦距为______. 8． 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋2，y ≥x ，0≤y ≤4，x ≥0表示的平面区域的面积为S ，则S 的值为________．9．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________． 10． 已知函数()=sin 2(0)3f x x x ππ⎛⎫+≤< ⎪⎝⎭，1()()()3f f αβαβ==≠，则αβ+=____.11．设函数21()lg(1)x xf x e ex -=+-+，则使得(21)(2)f x f x +<-成立的x 的取值范围是_________.12． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3x ＋y －6＝0与圆(x －3)2＋(y －1)2＝4交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为________．13．各项均为正偶数的数列1234a a a a ，，，中，前三项依次成公差为()0d d >的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列．若4188a a －＝，则q 的所有可能的值构成的集合为________．14． 在ABC △中，D 为边BC 上一点，若2,BD CD AD BD ==，则2tan cos BAC B∠•的最大值是__________.二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知向量a =(sin θ，1)，b =(cos θ，3)，且a ∥b ，其中θ∈(0，2π) (1)求θ的值； (2)若sin (θω-)=53，0＜ω＜2π，求cos ω的值｡16．(本小题满分14分)如图所示，已知在五棱锥–P ABCDE 中，底面ABCDE 为凸五边形，2AE DC ==，3AB BC ==，1DE =，120EAB BCD CDE DEA ∠=∠=∠=∠=︒，F 为AE 上的点，且32AF =，平面PAE 与底面ABCDE 垂直．求证：（1）//BC 平面PAE ；（2）PA FC ⊥．（第16题图）FE D17．(本小题满分14分)如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB 为50㎞，B ，C 间的距离为100㎞，从A 到C ，必须先坐船到BC 上的某一点D ，船速为25㎞/h ，再乘汽车到C ，车速为50㎞/h ，记∠BDA ＝θ．（1）试将由A 到C 所用的时间t 表示为θ的函数t (θ)； （2）问θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少？18．(本小题满分16分)已知圆C 方程为228(62)610(,0)x y mx m y m m R m +--+++=∈≠，椭圆中心在原点，焦点在x 轴上．（1）证明圆C 恒过一定点M ，并求此定点M 的坐标；（2）判断直线4330x y +-=与圆C 的位置关系，并证明你的结论；（3）当2m =时，圆C 与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M ，求此时椭圆方程；在x 轴上是否存在两定点,,A B 使得对椭圆上任意一点Q （异于长轴端点），直线,QA QB 的斜率之积为定值？若存在，求出,A B 坐标；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列． （1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*n ∈N ，并给出证明；（2）已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列， 求证：2t s ≥．B A CD θ20．(本小题满分16分) 对任意x ∈R ，给定区间[k －21，k +21](k ∈Z )，设函数f (x )表示实数x 与x 所属的给定区间内唯一整数之差的绝对值｡ (1)当x ∈[－21，21]时，求出f (x )的解析式；x ∈[k －21，k +21](k ∈Z )时，写出绝对值符号表示的f (x )解析式； (2)求f (34)，f (34-)，判断函数f (x )(x ∈R )的奇偶性，并证明你的结论； (3)当21-e ＜a ＜1时，求方程f (x )—alog x =0的实根｡(要求说明理由，21-e>21)江苏省南通市2020届高三年级6月份模拟测试数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） A .（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10021,2001N M ，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式.B .（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分） 已知曲线C 的极坐标方程是π4cos()3ρθ=+．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是3x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A B ，两点． （1）求AB 的长；（2）求点(3P ，到A B ，两点的距离之积．C ．(选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分） 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.D 是线段BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足123012323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2n n nn n ++∈N ，． （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．A BCDA 1B 1C 1（第22题）江苏省南通市2020届高三年级6月份模拟测试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.{}0,33.2004.65.566. 0.2447.48.69.3 10.76π 11.111,223⋃（-3,-）(-) 12. 60° 13.58,37⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. 32 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)(1)∵=(sin θ，1)，=(cos θ，3)，且∥ ∴3 sin θ－ cos θ=0，即tan θ=， ∵θ∈(0，2π)，∴θ=6π，(2)∵ 0＜ω＜2π， θ=6π，∴－6π＜ω－6π＜3π.∵sin (ω－6π)=35，∴cos (ω－6π45.cos cos[())]cos cos()sin sin()666666ππππππωωωω=-+=---×4152-×3516．（本小题满分14分）证明 （1）如图凸五边形ABCDE ，延长,AE CD 交于点H ．∵ 120AED EDC ∠=∠=︒，∴ 60HED HDE ∠=∠=︒． ∴ HED ∆为等边三角形，60H ∠=︒．∴ 60120180H BCD ∠+∠=︒+︒=︒，即有//BC AE ．又∵ AE ⊂平面PAE ，BC /⊂平面PAE ， ∴ //BC 平面PAE ．（2）连结AC ，∵ HED ∆为等边三角形 ∴ 1HE HD ED ===，∴ 3HA HC ==． 又 ∵ 60H ∠=︒，∴ HAC ∆为正三角形．CA又∵ 12AF AH =，∴ CF AE ⊥． ∵ 平面PAE ⊥平面ABCDE ， 平面PAE I 平面ABCDE AE =，CF ⊂平面ABCDE ，∴ CF ⊥平面PAE ． 又∵ PA ⊂平面PAE ，∴ CF PA ⊥．17.（本小题满分14分） 解：（1）∵AD ＝50sin θ， ∴A 到D 所用时间t 1＝2sin θBD ＝50tan θ＝50cos θsin θ，CD ＝100－BD ＝100－50cos θsin θ∴D 到C 所用时间t 2＝2－cos θsin θ∴t (θ)＝t 1＋t 2＝2－cos θsin θ＋2（θ0＜θ＜π2，其中tan θ0＝12）··························6分 （2）t (θ)＝sin 2θ－(2－cos θ)cos θsin 2θ＝1－2cos θsin 2θ····································8分令t(θ)＞0，得：cos θ＜12 ∴π3＜θ＜π2；∴当θ∈⎝⎛π3，⎭⎫π2时，t (θ)单调递增；同理θ0＜θ＜π3，t(θ)＜0，t (θ)单调递减·····················12分∴θ＝π3，t (θ)取到最小值3＋2；·························································13分答：当θ＝π3时，由A 到C 的时间最少为3＋2小时．·····························14分18.（本小题满分16分） （1）圆C 的方程可化为：22(21)(866)0x y y m x y +-+-+-=，……………………………………2分由22210,8660,x y y x y ⎧+-+=⎨+-=⎩………………………………………………………4分 解得0,1,x y =⎧⎨=⎩所以圆C 过定点(0,1)M ………………………………………5分(2) 圆C 的方程可化为：[]222(4)(31)25x m y m m -+-+=,………………………6分 圆心到直线l 的距离为22443(31)343m m d ⋅+⋅+-=+……………………………8分2555mm r ===……………………………………9分所以直线与圆C 相切. …………………………………………………………10分 （3）m=2C 当时，圆方程为22(8)(7)100x y -+-=，圆心为（8,7），半径为10,x x 与直线=(8-10) ,即=-2相切所以椭圆的左准线为2x =-，……………………………………………………11分 又椭圆过点(0,1),M 则b=1，所以22,1,a cb ⎧=⎪⎨⎪=⎩1,a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩所以椭圆方程为2212x y +=.………………………12分在椭圆上任取一点(,)(0)Q x y y ≠，设定点 (,0),(,0)A s B t ，则212()()QA QBx y y k k k x s x t x s x t -⋅=⋅==----(x ∈对恒成立，………13分 所以2211()2x kx k s t x kst -+=-++(x ∈对恒成立所以111,,,222()0,1,k k k k s t s s kst t t ⎧⎧⎧=-=-=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=⇒==⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩⎩或 …………………………………14分所以((A B A B 或者.……………………………16分19．（本小题满分16分）（1）若21n a n =-，则2n S n =，所以2()()()n m n m S n m n m +-=-+，而222()()()()()()n m n m S S n m n m n m n m +-=+-=+-， 所以()()()n m n m n m S n m S S +-=+-对任意的*m n ∈N ，均成立，即数列{}n a 是“好”数列； …… 2分 若12n n b -=，取21n m ==，，则3()7n m n m S S +-==，2()()36n m n m S S b +-==， 此时()()()n m n m n m S n m S S +-≠+-，即数列{}n b 不是“好”数列． …… 4分 （2）因为数列{}n c 为“好”数列，取1m =，则11(1)(1)()n n n S n S S +-=+-，即112(1)(1)n n S n a n a +=-++恒成立．当2n ≥，有112(2)n n S n a na -=-+，两式相减，得112(1)(2)n n n a n a n a a +=---+（2n ≥）， 即11(1)n n na n a a +=-+（2n ≥）， 所以11(1)(2)n n n a n a a --=-+（3n ≥）， 所以11(1)(1)(2)n n n n na n a n a n a -+--=---，即11(22)(1)(1)n n n n a n a n a -+-=-+-，即112n n n a a a -+=+（3n ≥）， 当2n =时，有23123S a a =+，即2312a a a =+， 所以112n n n a a a -+=+对任意2n ≥，*n ∈N 恒成立，所以数列{}n c 是等差数列． …… 8分 设数列{}n c 的公差为d ，① 若20172018c =，则120162018c d +=，即120182016c d -=，因为数列{}n c 的各项均为不等的正整数，所以*d ∈N ，所以1d =，12c =，所以1n c n =+． …… 12分 ② 若1c p =，则n c dn p d =+-，由1s t c c c ，，成等比数列，得21s t c c c =，所以2()()ds p d p dt p d +-=+-， 即2()(2)()0p d ds p d p d ds pt -+--+-= 化简得，2(12)(1)p t s d s +-=-，即212(1)t s d p s +-=-． …… 14分 因为p 是任意给定正整数，要使*d ∈N ，必须*212(1)t s s +-∈-N ，不妨设212(1)t s k s +-=-，由于s 是任意给定正整数， 所以222(1)21(1)21t k s s s s s =-+--+-=≥． …… 16分 20．（本小题满分16分）(1)当∈x ]21,21[-时，]21,21[-中唯一整数为0， 有定义知：x x f =)(，∈x ]21,21[-.当)](21,21[z k k k x ∈+-∈时，在]21,21[+-k k 中唯一整数为k ，有定义知：,)(k x x f -=)](21,21[z k k k x ∈+-∈.(2)∵],211,211[34+-∈ －]211,211[34+---∈，∴,31)34(,31)34(=-=f f 下判断)(x f 是偶函数.对任何R x ∈，存在唯一－k z ∈，使得2121+≤≤-k x k 则,)(k x x f -=由2121+≤≤-k x k 可以得出)(2121Z k k x k ∈+-≤-≤--，即－)](21,21[Z k k k x ∈-+---∈由(1)的结论，)()()(x f k x x k k x x f =-=-=---=-即)(x f 是偶函数.. (3)-)(x f ㏒ax =0，即21--k x ㏒a x =0，其中x >0； ① 当x >1时，210>≥-k x ㏒a x ，所以21--k x ㏒a x =0没有大于的实根；② 容易验证x =1为方程21--k x ㏒a x =0的实根；③ 当121<<x 时对应的k =1，方程21--k x ㏒a x =0变为1－x －21㏒a x =0设H (x )=21㏒a x －(1－x )(121<<x )则x x H 21)(='㏒a e +1=21ln 211ln 21e x a x <++1=011<+-x， 故当121<<x 时，H (x )为减函数，H (x )>H (1)=0，方程没有121<<x 的实根；④当0＜x 21≤时，对应的k =0，方程21--k x ㏒a x =0变为x －21㏒a x =0，设G (x )=21㏒a x －x (0＜x 21≤)，明显G (x )为减函数.G (x )0)()21(>=≥x H G ，所以方程没有0＜x ≤21的实根.综上，若121<<a e 时，方程-)(x f -)(x f ㏒a x =0有且仅有一个实数根，实根为1.附加题参考答案21A.MN =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， …………………………………4分 即在矩阵MN 变换下11022022x x x x y y y y ⎡⎡⎤⎤'⎡⎡⎡⎤⎤⎤⎢⎢⎥⎥→==⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎢⎢⎥⎥'⎦⎦⎦⎣⎣⎣⎢⎣⎦⎦⎣， ………………6分 1,22x x y y ''==， ………………8分 代入得：1sin 22y x ''=，即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．…………………10分21B ．（1）由4cos()3πρθ=+，得2cos ρθθ=-，所以222x y x +=-，即22(1)(4x y -++=，所以曲线C是以(1，为圆心，2为半径的圆． 直线l的普通方程为30x y --．所以圆心(1，到直线l的距离为d =所以AB =．（2）点(3P ，在直线l 上，设A B ，两点对应的参数分别为12t t ，．将3xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，与22(1)(4x y-++=联立可得20t+=，所以12t t==-，所以12||0PA PB t t⋅==．21C.证明：由柯西不等式可知22222221)1](23)z x y z++⋅≤++++所以2222()24231111123x y zx y z++++≥=++，当且仅当1112,114,116===zyx时取等号．………10分22．(本小题满分10分)解：因为在直三棱柱111ABC A B C-中，AB AC⊥，所以分别以AB、AC、1AA所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C．因为D是BC的中点，所以(1,2,0)D，……2分（1）因为111(0,4,0),(1,2,3)A C A D==-u u u u r u u u u r，设平面11A C D的法向量1111(,,)n x y z=u u r，则11111n A Cn A D⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u u ru u r u u u u r，即111140230yx y z=⎧⎨+-=⎩，取11131xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面11A C D的法向量1(3,0,1)n=u u r，而1(1,2,3)DB=-u u u u r，所以111111cos,n DBn DBn DB⋅<>=⋅u u r u u u u ru u r u u u u ru u r u u u u r所以直线1DB与平面11A C D……5分（2）11(2,0,0)A B=u u u u r，1(1,2,3)DB=-u u u u r，设平面11B A D的法向量2222(,,)n x y z=u u r，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =u u r ，所以121212cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅u u r u u ru u r u u r u u r u u r ， 二面角111B A D C --． …… 10分23．(本小题满分10分)解：（1）12a =，24a =，38a =． …… 3分 （2）猜想：2n n a =． 证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； …… 5分 ②假设n k =时结论成立，则有123012323C C C C C 22222kk k k k k kk kk a ++++=+++++=K ．则1n k =+时，12311112131111231C C C C C2222k+k k k+k+k+k k k+a ++++++++=+++++K ． 由111C C C k k k n n n +++=+得102132112233123C C C C C C C 222k k k k k k k ka ++++++++++=++++K11111C C C 22k k -k+k+k k+k k+k+k k+++++0121112311231C C C C C 222222k k+kk k k k k k+k+k k+-+++++=++++++K ， 12110231111121C C C C 12(C )22222k k+kk k k k k+k+k k k ka -++++++-=++++++K 1211023********C C C C C 12(C )22222k k k+kk k k k -k+k k+kk k k+-+++++++-=++++++K ．又111111(21)!(22)(21)!(21)!(1)12C C !(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!2k+k+k+k k+k k k k k k =k k k k k k k ++++++++===+++++ 12110231111111211C C C C C 12(C )222222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k k -++++++++-+=+++++++K ， 于是11122k k k a a ++=+． 所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，2n n a =*n N ，． …… 10分。
2020届山东省潍坊市高三二模数学试题及答案
绝密★启用前2020届山东省潍坊市高三二模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩(∁U B )＝（ ）A ．{1，4}B ．{1，4，5}C ．{4，5}D ．{6，7} 答案：C根据补集与交集的定义，计算即可．解：集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，B ＝{2，3，6，7}，所以∁U B ＝{1，4，5}，又A ＝{2，3，4，5}，所以A ∩(∁U B )＝{4，5}．故选：C ．点评：本题考查了集合的补集和交集运算，基础题．2．若复数1a i z i +=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是（ ） A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣2 答案：B利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解a 的范围即可. 解： ∵()()()()11111122a i i a i a a z i i i i +++-+===+--+ 又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内， ∴102102a a -⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，得﹣1＜a ＜1． ∴实数a 的值可以是0．故选：B ．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3．甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是律师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是律师C．甲是医生，乙是律师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是律师答案：C由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生.解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B和D；由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生．故选：C.点评：本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化思想，是基础题. 4．以抛物线E：x2＝4y的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2＝4 B．x2+（y+1）2＝4C．（x+1）2+y2＝4 D．x2+（y﹣1）2＝4答案：D求出焦点坐标，得到圆的圆心坐标，然后求解圆的半径，即可求解圆的方程．解：抛物线E：x2＝4y的焦点为圆心，可得圆心坐标（0，1），圆与抛物线E的准线相切，所以圆的半径为：2，圆的方程为：x2+（y﹣1）2＝4．故选：D．点评：本题考查抛物线的简单性质，圆的方程的求法，属于基础题．5．设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣cosx，则不等式f（2x﹣1）+f（x﹣2）＞0的解集为()A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，13）C ．（13，+∞）D ．（1，+∞） 答案：D由函数的解析式求出其导数，分析可得f （x ）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性分析可得f （x ）在R 上为增函数，据此可得原不等式等价于2x ﹣1＞2﹣x ，解出x 的取值范围，即可得答案．解：由题知，当x ≥0时，f （x ）＝e x ﹣cosx ，此时有()f x '＝e x +sinx ＞0，则f （x ）在[0，+∞）上为增函数，又由f （x ）为奇函数，则f （x ）在区间（﹣∞，0]上也为增函数，故f （x ）在R 上为增函数.由f （2x ﹣1）+f （x ﹣2）＞0，可得f （2x ﹣1）＞﹣f （x ﹣2），而函数f （x ）为奇函数，可得到f （2x ﹣1）＞f （2﹣x ），又f （x ）在R 上为增函数，有2x ﹣1＞2﹣x ，解得x ＞1，即不等式的解集为（1，+∞）.故选：D点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题．6．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为()A ．94B ．95C ．96D ．98 答案：B设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，m ∈[90，100]，由题可得n+（n+1）+（n+2）++（n+18）+m ＝19n+171+m ＝1520，解出n 的取值范围，根据年龄为整数可得n 的取值范围，再代入可得m 的值．解：根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，m ∈[90,100]，则有n+（n+1）+（n+2）++（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，则有19n+m＝1349，则m＝1349﹣19n，所以90≤1349﹣19n≤100，解得145 65661919n≤≤，因为年龄为整数，所以n＝66，则m＝1349﹣19×66＝95.故选：B【点晴】本题考查阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题．7．在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为()A．224B．212C．26D．24答案：B易得出AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，设球心为O，则OB＝OC＝OD2=，BO⊥AD，BO⊥OC，从而BO⊥平面ACD，由此能求出四面体ABCD的体积．解：在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，设球心为O，则O为AD的中点，∴AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，OB＝OC＝OD22=，BO⊥AD，BO⊥OC，∴BO⊥平面ACD，∴四面体ABCD的体积为：V B﹣ACD 1112222332ACDS BO=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．故选：B【点晴】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．8．已知O为坐标原点，双曲线C：()2222100x ya ba b-=＞，＞的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限），点B在双曲线C的渐近线上，且BF∥OA，若0AB OB⋅=，则双曲线C的离心率为（）A．23B．2C．3D．2答案：A设双曲线的半焦距为c，利用题设条件分别求出A、B的坐标，再利用0AB OB⋅=得到a与c的关系式，即可求出离心率．解：如图所示，设双曲线的半焦距为c，渐近线方程为：y＝±bxa，则点F（c，0），A（c，bca），设点B（x0，0bxa-），∵BF∥OA，∴OA BFk k=，即bxb aa x c-=-，解得：x02c=，所以(,)22c bcBa-∴322c bcABa-⎛⎫=-⎪⎝⎭，，22c bcOBa⎛⎫=-⎪⎝⎭，又∵0AB OB⋅=，∴2222344c b ca-+=0，即a2＝3b2．∵c2＝a2+b2，∴a2＝3（c2﹣a2），即3c2＝4a2，所以离心率e233ca==．故选：A．点评：本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了求双曲线的离心率，考查了平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题．二、多选题9．我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010﹣2019年中（）A．我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B．2011年我国粮食年产量的年增长率最大C．2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定D．2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰答案：BCD仔细观察2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，利用条形图中的数据直接求解．解：由中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，知：对于A ，我国粮食年产量在2010年至2015年逐年递增，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨左右，2016年，2018年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故A 错误；对于B ，由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，约为5%，故B 正确； 对于C ，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，故C 正确；对于D ，2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48吨/人，故D 正确．故选：BCD点评：本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解能力，是基础题．10．若1a b <<-，0c >则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b a b ->-B ．11b aa b -<- C ．()0ln b a ->D ．c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：BD 对于A ：构造函数1y x x=-，由函数在(,1)-∞-上的单调性进行比较； 对于B ：构造函数1y x x =+，由函数在(,1)-∞-上的单调性进行比较； 对于C ：由于a b <，则0b a ->，但不确定b a -与1的大小关系，无法判断大小；对于D ：易知1a b >，01b a<<，由指数函数的单调性进行判断即可. 解： 由函数1y x x=-在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b -<-，故选项A 错误； 由函数1y x x =+在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b +<+，即11b a a b -<-，故选项B 正确；由于a b <，则0b a ->，但不确定b a -与1的大小关系，故()ln b a -与0的大小关系不确定，故选项C 错误；由1a b <<-可知，1a b >，01b a <<,而0c >，则10c ca b b a ⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确． 故选：BD ．点评：本题考查实数的大小比较，考查函数思想的运用，属于基础题．11．在单位圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点P （x ，y ），圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为x ＝f （θ），y ＝g （θ），则下列说法正确的是（ ）A ．x ＝f （θ）是偶函数，y ＝g （θ）是奇函数B ．x ＝f （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为增函数，y ＝g （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为减函数 C ．f （θ）+g （θ）≥1对于02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立D ．函数t ＝2f （θ）+g （2θ）的最大值为2 答案：ACA ，由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，可判断选项A ；B ，根据正弦函数和余弦函数的单调性，可判断选项B ；C ，先利用辅助角公式可得()())4f g πθθθ+=+，再结合正弦函数的值域即可得解； D ，2cos sin2t θθ=+，[0θ∈，2]π，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 解： 解：由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，即A 正确；()cos x f θθ==在[,0)2π-上为增函数，在[0,]2π上为减函数；()sin y g θθ==在[,]22ππ-上为增函数，即B 错误；()()cos sin )4f g πθθθθθ+=++，[0,]2πθ∈，∴3[,]444πππθ+∈，)4πθ+∈，即C 正确； 函数2()(2)2cos sin 2t f g θθθθ=+=+，[0,2]θπ∈则22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，3cos θ=时，函数t 取得极大值，为31333222t =⨯+⨯⨯=， 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数t 的最大值为33，即D 错误．故选：AC ．点评：本题考查正弦函数、余弦函数的单调性和奇偶性，三角恒等变换，利用导数求函数的单调性与最值等，考查学生灵活运用知识的能力、推理论证能力和运算能力，属于中档题．12．如图，平面α∩平面β＝l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是（ ）A ．若AB //CD ，则MN //lB ．若M ，N 重合，则AC //lC ．若AB 与CD 相交，且AC //l ，则BD 可以与l 相交D ．若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与平行答案：BD由若两两相交的平面有三条交线，交线要么相交于一点，要么互相平行判定A 、B 、C ；用反证法证明D ．解：解：若//AB CD ，则A 、B 、C 、D 四点共面γ，当<AB CD 时，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ，则三条交线交于一点O ， 则l 与平面γ交于点O ，MN ∴与l 不平行，故A 错误；若M ，N 两点重合，则//AC BD ，A 、B 、C 、D 四点共面γ，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ，由//AC BD ，得////AC BD l ，故B 正确；若AB 与CD 相交，确定平面γ，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ， 由//AC l ，得////AC BD l ，故C 错误；当AB ，CD 是异面直线时，如图，连接BC ，取BC 中点G ，连接MG ，NG ．则//MG AC ，AC α⊂，MG α⊂/，则//MG α，假设//MN l ，l α⊂，MN α⊂/，//MN α∴，又MNMG M =，∴平面//MNG α，同理可得，平面//MNG β，则//αβ，与平面α平面lβ=矛盾． ∴假设错误，MN 不可能与l 平行，故D 正确．故选：BD ．点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．三、填空题13．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，12102F F N ==，则物体的重力大小为_____．答案：20根据向量加法的平行四边形法则，即可作出12F F +，进而求出12F F +的值，从而得出物体重力的大小．解：如图，∵12||||102F F N ==，∴12102220F F N N +==， ∴物体的重力大小为20． 故答案为：20． 点评：本题考查了向量加法的平行四边形法则，等腰直角三角形直角边和斜边的关系，考查了计算能力，属于基础题．14．已知50245sin ππαα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则tan α＝_____． 答案：3 由题可知(,)444πππα-∈-，所以cos()04πα->，利用同角三角函数的平方关系可求得其值，再采用拼凑角的方法，sin sin[()]44ππαα=-+，并结合正弦的两角和公式求出其值，再一次利用平方关系，求出cos α的值，最后利用商数关系即可得解． 解： 解：5sin()4πα-(0,)2πα∈，∴(,)444πππα-∈-，225cos()1()44sin ππαα-=--， ∴2235310sin sin[()])cos()]4444ππππαααα=-+=-+-==，(0,)2πα∈，∴210cos 1sin αα=-，∴sin tan 3cos ααα==． 故答案为：3． 点评：本题考查三角恒等变换的混合运算，观察角之间的联系，使用拼、凑角是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．15．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．答案：36先选四个位置上的重复树苗有13C 种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题． 解：解：由题意对称相当于3种树苗种A ，B ，C ，D 四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C 种选法；在四个位置上种植有442212A A =种方法，则由乘法原理得131236C ⨯=种方法． 故答案为：36． 点评：本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题． 四、双空题16．已知函数()3212311lnx x f x x x x ≥⎧=⎨-+⎩，，＜则x ∈[﹣1，e]时，f （x ）的最小值为_____；设g （x ）＝[f （x ）]2﹣f （x ）+a 若函数g （x ）有6个零点，则实数a 的取值范围是_____． 答案：﹣4（0，14） 根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值或者下确界，即可求出[1x ∈-，]e 时，()f x 的最小值；令()t f x =，根据题意再结合函数()f x 的图象，以及2y t t =-的图象即可求出实数a 的取值范围．解：解：当[1x ∈，]e 时，()f x lnx =，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为()110f ln ==，当[1x ∈-，1)时，32()231f x x x =-+，则2()660f x x x '=-=时，1x =（舍)或0， 且有()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减， 因为()()123141f f -=--+=-<， 故函数()f x 在[1-，]e 上的最小值为4-； 令()t f x =，()0g x =即2t t a -=-， 作出函数()y f x =的图象，如图所示：直线y t =与函数()y f x =的图象最多只有三个交点，所以01t <<， 即说明方程2t t a -=-有两个(0,1)内的不等根，亦即函数2y t t =-在(0,1)内的图象与直线y a =-有两个交点，因为2211()24y t t t =-=--，根据2y t t =-的图象可知，104a -<<， 即实数a 的取值范围为104a <<．故答案为：4-；1(0,)4．点评：本题主要考查分段函数的最值求法，以及根据函数的零点个数求参数范围，考查学生的转化能力和数形结合能力，属于较难题． 五、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知233a A π==，，（1）若4B π=，求b ；（2）求△ABC 面积的最大值．答案：（1）；（2）（1）根据题意利用正弦定理可求b 的值；（2）由余弦定理和基本不等式可求bc 的最大值，进而可求△ABC 面积的最大值． 解： 解：（1）4B π=，3a A π==，∴由正弦定理sin sin a bA B=，可得2sin sin a B bA ===．（2）3a A π==，∴由余弦定理知222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+--=，212bc a ∴=，当且仅当bc =取“=”； ABC ∆∴面积的最大值为11sin 1222bc A =⨯= 点评：本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式与三角形面积的计算问题，属于基础题．18．已知数列{a n }为正项等比数列，a 1＝1，数列{b n }满足b 2＝3，a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n ＝3+（2n ﹣3）2n． （1）求a n ； （2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．答案：（1）a n ＝2n ﹣1，n ∈N ；（2）21nn + 本题第（1）题先将1n =代入题干表达式可得11b =，再将2n =代入题干表达式可得22a =，然后设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则根据等比数列的定义可得21a q a =，即可计算出公比q 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式n a ； 第（2）题由1122333(23)2nn n a b a b a b a b n +++⋯+=+-，类比可得1112233113(25)2n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-，再将两式相减，进一步转化计算，根据第（1）题的结果可计算出数列{}n b 的通项公式，注意要验证1n =时的情况．然后计算出数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再根据通项公式的特点运用裂项相消法可计算出前n 项和n T ． 解：解：（1）由题意，当1n =时，1113(213)21a b =+⨯-⨯=，11a =，11b ∴=，当2n =时，211223(223)27a b a b +=+⨯-⨯=， 111a b =，23b =，2137a ∴+=，解得22a =，设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则 21221a q a ===， 11122n n n a --∴==，*n N ∈．（2）依题意，当2n 时，由1122333(23)2n n n a b a b a b a b n +++⋯+=+-，可得1112233113(25)2n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-， 两式相减，可得：113(23)2[3(25)2](21)2n n n n n a b n n n --=+--+-=-， 由（1）知，12n na ，21(2)n b n n ∴=-，当1n =时，11b =也满足上式，21n b n ∴=-，*n N ∈． ∴111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+， 12231111n n n T b b b b b b +∴=++⋯+ 11111111(1)()()2323522121n n =-+-+⋯+--+ 111111(1)23352121n n =-+-+⋯+--+ 11(1)221n =-+21nn =+． 点评：本题主要考查等比数列的基本量的计算，以及数列求通项公式，运用裂项相消法计算前n 项和问题．考查了转化与化归思想，方程思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．属于中档题． 19．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①AB ⊥BC ，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③∠ABC 3π=． 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AB ＝2，，PD 的中点为F ．（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF //平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值．答案：（1）存在，G 是线段AB 的中点，证明见解析；（2）详见解析（1）设PC 的中点为H ，连结FH ，由题意得AGHF 为平行四边形，则AF ∥GH ，由此能证明在线段AB 上存在中点G ，使得AF ∥平面PCG ．（2）选择①AB ⊥BC ，推导出AB ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值．选择②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，取BC 中点E ，连结AE ，取AD 的中点M ，连结FM ，CM ，则FM ∥PA ，且FM ＝1，FM ⊥平面ABCD ，FC 与平面ABCD 所成角为∠FCM ，6FCM π∠=，推导出AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值．选择③∠ABC 3π=，推导出PA ⊥BC ，取BC 中点E ，连结AE ，推导出AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值． 解：（1）在线段AB 上存在中点G ，使得AF ∥平面PCG ．证明如下：如图所示：设PC 的中点为H ，连结FH ，因为//FH CD ，12FH CD =，//AG CD ，12AG CD =，所以//,FH AG FH AG = 所以四边形AGHF 为平行四边形， 则AF ∥GH ，又GH ⊂平面PGC ，AF ⊄平面PGC ， ∴AF ∥平面PGC ． （2）选择①AB ⊥BC ： ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ， 由题意知AB ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵PA ＝AB ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），F （0，1，1），P （0，0，2）， ∴AF =（0，1，1），CF =（﹣2，﹣1，1）， 设平面FAC 的一个法向量为μ=（x ，y ，z ），∴020AF y z CF x y z μμ⎧⋅=+=⎨⋅=--+=⎩， 取y ＝1，得μ=（﹣1，1，﹣1）， 平面ACD 的一个法向量为v =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， 则cos θ33v vμμ⋅==⋅， ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为33． 选择②FC 与平面ABCD 所成的角为6π： ∵PA ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连结AE ，取AD 的中点M ，连结FM ，CM ， 则FM ∥PA ，且FM ＝1， ∴FM ⊥平面ABCD ，FC 与平面ABCD 所成角为∠FCM ，∴6FCM π∠=，在Rt △FCM 中，CM 3=，又CM ＝AE ，∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵PA ＝AB ＝2，∴A （0，0，0），B 31，0），C 31，0），D （0，2，0），E 30，0），F （0，1，1），P （0，0，2），∴AF =（0，1，1），CF =（3，0，1）， 设平面EAC 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），30m CFx z ⋅=-+=⎪⎩取x 3=，得m =（3，﹣3，3）， 平面ACD 的一个法向量为：n =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， 则cos θ217m n m n⋅==⋅． ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为217． 选择③∠ABC 3π=：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，取BC 中点E ，连结AE ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵PA ＝AB ＝2，∴A （0，0，0），B 31，0），C 31，0），D （0，2，0），E 30，0），F （0，1，1），P （0，0，2），∴AF =（0，1，1），CF =（3，0，1）， 设平面EAC 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），30m CF z ⋅=-+=⎪⎩取x 3=，得m =3，3）， 平面ACD 的法向量n =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， θ则cos θ217m nm n⋅==⋅． ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为7． 点评：本题主要考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等，还考查了运算求解能力、逻辑推理能力，属于中档题．20．已知函数f （x ）()1xe alnx g x x x=+=，，（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：a ＝1时，f （x ）+g （x ）﹣（12ex +）lnx ＞e ． 答案：（1）详见解析；（2）证明见解析（1）对()f x 求导后，再对a 分类讨论即可得出函数的单调性． （2）a ＝1时，将所证不等式转化为e x﹣ex+1elnx x ＞，令F （x ）＝e x﹣ex+1，G （x ）elnx x=，分别根据导数求出()F x 的最小值和()G x 的最大值即可证明不等式成立. 解： （1）f （x ）1x=+alnx ，（x ∈（0，+∞））． ()f x '2211a ax x x x-=-+=．当a ≤0时，()f x '＜0，函数f （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递减．a ＞0时，由()f x '0<，得10x a <<，由()f x '0>，得1x a> 所以函数()f x 在（0，1a ）上单调递减，在（1a，+∞）上单调递增． （2）证明：a ＝1时，要证f （x ）+g （x ）﹣（12ex+）lnx ＞e ．即要证：21x e ex x x+-lnx ﹣e ＞0⇔e x ﹣ex+1elnx x ＞．x ∈（0，+∞）． 令F （x ）＝e x﹣ex+1，F ′（x ）＝e x﹣e ，当x ∈（0，1）时，F ′（x ）＜0，此时函数F （x ）单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，F ′（x ）＞0，此时函数F （x ）单调递增． 可得x ＝1时，函数F （x ）取得最小值，F （1）＝1． 令G （x ）elnxx =，G ′（x ）()21e lnx x -=， 当0x e <<时，()0G x '>，此时()G x 为增函数， 当x e >时。
【附28套精选模拟试卷】山东省青岛市2020届高三第二次模拟考试【文科】数学试题及答案
山东省青岛市2020届高三第二次模拟考试【文科】数学试题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{|02},{|11}A y y B x x =≤<=-<<，则R ()A B =I ðA ．{|01}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|10}x x -<≤D ．{|01}x x ≤< 2. 已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 A ．3- B ．1 C ．1- D ．33. 数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，11a =，则10a = A ．5 B ．1- C ．0 D ．14. 函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图所示，则(0)f 的值为A ．1B ．0C D5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ．若点在圆C 上，则实数k = A ．2-B ．1-C ．0D ．16. 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 A ．0 B ．1- C ．2- D ．3-A ．1030人B ．97人C ．950人D ．970人8. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>， 则2w a b =-的取值范围是A ．21[,]32- B ．2(,0)3- C ．1(0,)2 D ．21(,)32- 9. 已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =，AC =BC AD ⊥，则关于该三棱锥的下列叙述正确的为A.表面积13)2S =B.表面积为12)2S = C.体积为1V = D. 体积为23V =10. 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =，则关于x 的方程1()||2f x x =在[1,2]-上根的个数是 A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线24x y =的焦点坐标为 ； 12. 已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到),(y x 的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为$60y bx=+$，其中b$的值没有写上．当x 等于5-时，预测y 的值为 ； 13. 已知||2, ||4a b ==r r ，a r 和b r 的夹角为3π，以, a b r r 为邻边作平行四边形，则该四边形的面积为 ； 14. 如图，()y f x =是可导函数，直线l 是曲线)(x f y =在4=x 处的切线，令()()f x g x x=，则(4)g '= ； 15. 对于下列命题：①函数()12f x ax a =+-在区间(0,1)内有零点的充分不必要条件是1223a <<；②已知,,,E F G H 是空间四点，命题甲：,,,E F G H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“2a <”是“对任意的实数x ，|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件； ④“01m <<”是“方程22(1)1mx m y +-=表示双曲线”的充分必要条件． 其中所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数2()cos888f x x x x πππ=+，R ∈x ．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数)(x f 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4,O 为坐标原点,求OPQ ∆的外接圆的面积.17．（本小题满分12分） 已知函数4()f x ax x=+. （Ⅰ）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a和b ，记事件B ={2()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点．（Ⅰ）求证：//BE 平面ACF ； （Ⅱ）求四棱锥ABCD E -的体积.19．（本小题满分12分） 已知数列}{n a 满足：1211,,2a a ==且2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=*N n ∈． （Ⅰ）令21n n b a -=，判断{}n b 是否为等差数列，并求出n b ； （Ⅱ）记{}n a 的前2n 项的和为2n T ，求2n T ．20．（本小题满分13分）已知函数()xf x e ax =+，()lng x ax x =-，其中0a <，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）若()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 在[0,2]x ∈上的最小值；（Ⅲ）试探究能否存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M 的特点，并指出)(x f 和()g x 在区间M 上的单调性；若不能存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点. （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理ACBE F由；（Ⅲ）记QMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.数学（文科） 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． B D D A C C D D A B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.(0,1) 12.7013. 14．316-15．①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2()cos1)888f x x x x πππ=-2sin()4444x x x ππππ==+，……………………………………………2分所以，函数)(x f 的最小正周期为284T ππ==． ………………………………………3分由222442k x k ππππππ-≤+≤+（Z ∈k ）得8381k x k -≤≤+（Z ∈k ），∴函数)(x f 的单调递增区间是[]83,81k k -+（Z ∈k ）………………………………5分（Ⅱ）(2)2sin()2cos 244f πππ=+==Q ，(4)2sin()2sin 44f πππ=+=-=，(4,P Q ∴ ……………………………………………………………………7分|| || ||OP PQ OQ ∴===从而cos 3||||OP OQ POQ OP OQ ⋅∠===⋅u u u r u u u r u u u r u u u rsin 3POQ ∴∠==，………………………………………………10分 设OPQ ∆的外接圆的半径为R ，由||2sin PQ R POQ =∠||2sin PQ R POQ ⇒===∠∴OPQ ∆的外接圆的面积292S R ππ==………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）Q 函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点，∴()20f x -=，即2240ax x -+=有两个不同的正根1x 和2x1212020404160a x x ax x aa ≠⎧⎪⎪+=>⎪∴⎨⎪=>⎪⎪∆=->⎩104a ⇒<< ………………………………………………………4分114()416P A ∴== …………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由已知：0,0a x >>，所以()f x ≥()f x ≥min ()f x ∴=Q ()2b x f >在()0,x ∈+∞恒成立2b ∴>……()* ……………………………8分当1a =时，1b =适合()*；当2,3,4,5a =时，1,2b =均适合()*；当6a =时，1,2,3b =均适合()*；满足()*的基本事件个数为18312++=. ………………………………………………10分 而基本事件总数为6636⨯=，……………………………………………………………11分121()363P B ∴==. ………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）证明：(Ⅰ) 连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，…………………………………………1分 ABCD Q 为正方形，∴O 为BD 中点，F Θ为DE 中点，BE OF //∴， ……………………………………………………………………………4分BE ⊄Q 平面ACF ，OF ⊂平面ACF//BE ∴平面ACF ．……………………………………………5分(Ⅱ) 作EG AD ⊥于G⊥AE Θ平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，CD AE ⊥∴，ABCD Q 为正方形，CD AD ∴⊥，,,AE AD A AD AE =⊂Q I 平面DAE ，⊥∴CD 平面DAE ， ………………………………………………………………………7分CD EG ∴⊥，AD CD D =Q I ，EG ∴⊥平面ABCD ………………………………8分⊥AE Θ平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，AE DE ∴⊥，2AE DE ==Q，AD ∴=EG = …………………………………………10分∴四棱锥ABCD E -的体积211333ABCD V S EG =⨯=⨯=W …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）Q 2[3(1)]22[(1)1]0,n nn n a a ++--+--=21212121[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a --+-∴+--+--=OACBE F G即21212n n a a +--=……………………………………………………………………………4分Q 21n n b a -=，121212n n n n b b a a ++-∴-=-={}n b ∴是以111b a ==为首项，以2为公差的等差数列 …………………………………5分 1(1)221n b n n =+-⨯=- …………………………………………………………………6分（Ⅱ）对于2[3(1)]22[(1)1]0,n nn n a a ++--+--=当n 为偶数时，可得2(31)22(11)0,n n a a ++-+-=即212n n a a +=， 246 , , , a a a ∴L 是以212a =为首项，以12为公比的等比数列；………………………8分当n 为奇数时，可得2(31)22(11)0,n n a a +--+--=即22n n a a +-=，135 , , , a a a ∴L 是以11a =为首项，以2为公差的等差数列…………………………10分 21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++L L11[(1()]122[1(1)2]1212n n n n -=⨯+-⨯+-2112nn =+- ……………………………12分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()ln g x ax x =-Q ，(1)g a ∴=，1()g x a x'=-Q ()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，1(1)13g '∴⨯=-1(1)123a a ⇒-⋅=-⇒=- ………………………………………………………………3分（Ⅱ）()f x 的定义域为R ，且 ()e xf x a '=+．令()0f x '=，得ln()x a =-． …………………………………………………………4分 若ln()0a -≤，即10a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[0,2]x ∈上为增函数，∴min ()(0)1f x f ==；………………………………………………………………………5分若ln()2a -≥，即2a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[0,2]x ∈上为减函数，∴2min ()(2)2f x f e a ==+； ……………………………………………………………6分若0ln()2a <-<，即21e a -<<-时，由于[0,ln())x a ∈-时，()0f x '<；(ln(),2]x a ∈-时，()0f x '>， 所以min ()(ln())ln()f x f a a a a =-=--综上可知22min21, 10()2, ln(),1a f x e a a e a a a e a -≤<⎧⎪=+≤-⎨⎪---<<-⎩………………………………………8分 （Ⅲ）()g x 的定义域为(0,)+∞，且 11()ax g x a x x-'=-=． Q 0a <时，()0g x '∴<，()g x ∴在(0,)+∞上单调递减．……………………………9分令()0f x '=，得ln()x a =-①若10a -≤<时，ln()0a -≤，在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x ∴单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；………………………………………………………………………………10分 ②若1a <-时，ln()0a ->，在(,ln())a -∞-上()0f x '<，()f x 单调递减；在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x 单调递增．由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，∴存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数．综上，当10a -≤≤时，不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；当1a <-时，存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数．…………………………………………………………………………………………13分 21．（本小题满分14分）解：（I ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R由于动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，所以动 圆P 与圆221:(3)81F x y ++=只能内切12||9||1PF RPF R =-⎧∴⎨=-⎩1212||||8||6PF PF F F ⇒+=>= ………………………………………2分 ∴圆心P 的轨迹为以12, F F 为焦点的椭圆，其中28, 26a c ==，2224, 3, 7a c b a c ∴===-=故圆心P 的轨迹C ：221167x y += …………………………………………………………4分 （II ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+由221167x my x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22222112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 2232232112716112716mx m y m ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩2222233222112112112(1)||716716716m m OQ x y m m m +∴=+=+=+++ ……………………………6分 由2231167x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22(716)42490m y my ++-=1212224249,716716m y y y y m m ∴+=-=-++∴||MN ==21|y y =-=2256(1)716m m +==+………………………………8分 ∴2222256(1)||1716112(1)||2716m MN m m OQ m ++==++ ∴||MN 和2||OQ 的比值为一个常数，这个常数为12……………………………………9分 （III ）//MN OQ Q ，∴QMN ∆的面积OMN =∆的面积O Q 到直线:3MN x my =+的距离d =2221156(1)||22716716m S MN d m m +∴=⋅=⨯=++ …………………………11分t =，则221m t =-(1)t ≥2284848497(1)16797t t S t t t t===-+++97tt +≥=Q 97t t =，即t =m =时取等号）∴当7m =±时，S 取最大值14分 高考模拟数学试卷文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
2025届江苏省南通如皋市高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2025届江苏省南通如皋市高三第二次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>2．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦3．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B．2C ．13D4．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆5．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞7．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．917B ．817C ．1735D ．9358．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．21y x =+B ．x x y e e -=-C ．lg y x =D ．2y x =9．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为A ．16B ．23 C ．53D ．5610．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．533B ．3C ．33D ．3311．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．112．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．2017二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
数学-淄博市2020届部分高三6月份二模考试
高三阶段性诊断考试试题数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}11,12A xB x x x ⎧⎫=<=-<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂= A ．()13-， B ．()11-，C ．()()1,00,1-⋃D ．()()1,01,3-⋃2．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是 A ．32B ．32iC ．32-D ．32i -3．在正项等比数列{}n a 中，若374a a =，则()52a -=A ．16B ．8C ．4D ．24．当5,36ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，方程22cos sin 1x y αα+=表示的轨迹不可能是 A ．两条直线 B ．圆C ．椭圆D ．双曲线5．已知1123411log 2,,23a b c ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 A ．a c b << B ． a b c << C ．c a b <<D ．a b a <<6．在平行四边形ABCD 中，3DE EC =，若AE 交BD 于点M ，则AM =A ．1233AM AB AD =+ B ．3477AM AB AD =+ C ．2133AM AB AD =+D ．2577AM AB AD =+7．某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：甲说：丙或丁竞选成功； 乙说：甲和丁均未竞选上； 丙说：丁竞选成功； 丁说：丙竞选成功；若这四人中有且只有2人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 8．已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的奇函数．当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， ()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()cos sin 02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．设【x 】表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式【x 】2+【x 】120-≤的解可以为 AB ．3C ． 4.5-D ．5-10．已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，下列结论正确的是A ．C 的离心率为2B ．C的渐近线方程为y x = C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值 D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，122PF PF 的最大值为1411．华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()()1122221212b b b b c c a a =⨯，其中11112212112222,c a b a b c a b a b =+=+.已知定义在R 上不恒为0的函数()f x ，对任意,a b R ∈有：()()()()()111211b a y y f a f b -+-=⨯，且满足()12f ab y y =+，则A ．()00f =B ．()11f -=C ．()f x 是偶函数D ．()f x 是奇函数12．向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为()01x x <<的液体，旋转容器，下列说法正确的是 A ．当12x =时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 B ．()0,1x ∀∈，液面都可以成正三角形形状CD．当液面恰好经过正方体的某条对角线时，液面边界周长的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知()cos 2cos 2πααπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则cos 2α=________． 14．设随机变量()~4,9N ξ，若实数a 满足()()3221P a P a a ξξ<+=>-，则的值是_________．15. 已知抛物线21:8C y x =的焦点是F ，点M 是其准线。
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2020.01
2020.02
2020.03
2020.04
2020.05
月份编号
1
2
3
4
5
竞拍人数 （万人）
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程： ，并预测2021年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；
7． 的展开式的各项系数和为 ，则该展开式中含 项的系数是（）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）的定义域为R，且 ，则不等式 解集为（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若正实数a，b满足 则下列说法正确的是（）
A．ab有最大值 B． 有最大值
C． 有最小值2D． 有最大值
10．直线 与圆C： 相交于A、B两点,则AB长度可能为（）
附： ,其中 .
0.10
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
A．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
B．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
15．《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵 中， 且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑 ，现将鳖臑 沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑 经翻折后，与鳖臑 拼接成的几何体的外接球的表面积是______.
3．欧拉公式 ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数 和 联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足 则|z| =（）
A． B． C． D．3
4．设 ， ， ，若 ，则 与 的夹角余弦值为（）
A． B． C． D．
5．已知α终边与单位圆的交点 且 ，则 的值等于（）
A． B． C． D．3
6．某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（）
（2）若BC= ，AB=3，求边AC的长.
18．给出以下三个条件:
①数列 是首项为2，满足 的数列；
②数列 是首项为2，满足 （λ∈R）的数列；
③数列 是首项为2，满足 的数列..
请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.
设数列 的前n项和为 ， 与 满足______，记数列 ， ，求数列{ }的前n项和 ；
（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
19．如图，已知平面 平面 ，直线 平面 ，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， 平面 ，求二面角 的余弦值.
20．已知椭圆C： 与圆 相交于M，N，P，Q四点，四边形MNPQ为正方形，△PF1F2的周长为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C相交于A、B两点 若直线AD与直线BD的斜率之积为 ，证明：直线恒过定点.
A．6B．8C．12D．16
11．CPI是居民消费价格指数(comsummer priceindex)的简称.居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标.如图是根据国家统计局发布的2021年4月——2021年4月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2021年6月与2021年6月相比较，叫同比；2021年6月与2021年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论正确的是（）
21．已知函数
（1）若 时 在 上的最小值是 ，求a；
（2）若 ，且x1，x2是 的两个极值点，证明： （其中e为自然对数的底数 ）
22．新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2021年6月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数（如下表）
A．|PM| +|PF|的最小值为3
B．抛物线C上的动点到点 的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，Bபைடு நூலகம்点关于 对称
D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2
三、填空题
13．已知双曲线C过点 且与双曲线 有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为______.
14．已知 为奇函数，当 时 则曲线 在 处的切线方程是______.
A．2021年4月至2021年4月各月与去年同期比较，CPI有涨有跌
B．2021年4月居民消费价格同比涨幅最小，2021年1月同比涨幅最大
C．2021年1月至2021年4月CPI只跌不涨
D．2021年4月至2021年6月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳
12．抛物线 的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点 下列结论正确的是（）
山东省德州市2020届高三第二次（6月）模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若全集 则集合 等于（）
A． B． C． D．
2．已知实数x，y满足 则“ 是 ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
四、双空题
16．声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数 ，已知函数 的图象向右平移 个单位后，与纯音的数学模型函数 图象重合，则 ______，若函数 在 是减函数，则 的最大值是______.
五、解答题
17．已知D是 边AC上的一点 面积是 面积的3倍，
（1）若∠ABC= ，求 的值；