2014届高考数学(理)一轮复习课件第73讲《极坐标系及简单的极坐标方程》(人教A版)
3.(2012· 陕西卷)直线 2ρcos θ＝1 与圆 ρ＝2cos θ 相交的 弦长为 .
1 解析：化极坐标为直角坐标得直线 x＝ ，圆(x－1)2＋ 2 y ＝1，由勾股定理可得相交弦长为 2 3.
2
12 3 1－ ＝2× ＝ 2 2
4.(2012· 上海卷)如图，在极坐标系中，过点 M(2,0)的 π 直线 l 与极轴的夹角 α＝ ， 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ) 6 的形式，则 f(θ)＝ .
解析：如图，取原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建 立极坐标系，
48 则椭圆方程：ρ ＝ . 2cos2θ＋3sin2θ
2
24 直线 l 的方程：ρ＝ . 2cos θ＋3sin θ
设 P(ρ1，θ)，R(ρ2，θ)，Q(ρ，θ)， 则 ρ2＝ρ1· ρ，所以 2 48 24 · ρ， 2 2 ＝ 2cos θ＋3sin θ 2cos θ＋3sin θ
x＝t 1.(2013· 江西卷)设曲线 C 的参数方程为 2 (t 为参 y＝t
数)， 若以直角坐标系的原点为极点， 轴的正方向为极轴建 x 立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 .
解析：消去曲线 C 中的参数 t 得 y＝x2， 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入上式， 得 ρ2cos2θ＝ρsin θ，消去 ρ，得 ρcos2θ＝sin θ.
【拓展演练 1】 (2013· 徐州市考前信息卷)在极坐标系中， 已知曲线 C1： π ρ＝2 与曲线 C2：ρsin(θ－ )＝ 2交于不同的两点 A，B，求 4 |AB|的值．
解析：曲线 C1 化为直角坐标方程为 x2＋y2＝4， 曲线 C2 化为直角坐标方程为 x－y＋2＝0， 2 又圆心到直线的距离为 ＝ 2， 2 所以|AB|＝2 4－ 22＝2 2.
π (方法二)将极坐标化为直角坐标，点 A(1， )的直角坐 2 标为 A(0,1)，直线 l 的直角坐标方程为 x＋y＝0. 若线段 AB 最短，则 AB⊥l，且 B 为垂足， 过 A 与 l 垂直的直线方程为 y－1＝x，
x＋y＝0 1 1 联立方程 ，得 B 点的坐标为(－ ， )， 2 2 x－y＋1＝0
解析：因为 x＝ 3，y＝3，z＝4 3， y 所以 ρ＝ x ＋y ＝2 3，tan θ＝ ＝ 3，z＝4 3， x
2 2
π 因为 x＞0，y＞0，所以 θ＝ ， 3 π 所以点 B 的柱坐标为(2 3， ，4 3)，故选 C. 3
π π 6．(改编)点 A 的球坐标是(4， ， )，则它的直角坐标 6 6 是 .
2 2
所以圆 C 的半径为 PC
所以圆 C 经过极点． 所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.
二
极坐标问题的求解方法
【例 2】(2012· 辽宁大连市第二次模拟考试)从极点 O 作
射线，交直线 ρcos θ＝3 于点 M，P 为射线 OM 上的点，且 |OM|· |OP|＝12，若有且只有一个点 P 在直线 ρsin θ－ρcos θ＝ m 上，求实数 m 的值．
12 解析：设 P(ρ，θ)，则由|OM|· |OP|＝12 得 M( ，θ)， ρ 12 所以 cos θ＝3，即 ρ＝4cos θ(ρ≠0)， ρ 化为平面直角坐标系的方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)， ρsin θ－ρcos θ＝m 化为平面直角坐标系的方程为 y－x －m＝0， 因为有且只有一个点 P 在直线 ρsin θ－ρcos θ＝m 上， 所以 y－x－m＝0 和(x－2)2＋y2＝4(x≠0)相切或直线过 原点，即 m＝－2± 2或 m＝0. 2
解析：设直线上的任一点为 P(ρ，θ)， π 因为∠PMx＝ ， 6 π π 所以∠OPM＝ －θ，∠OMP＝π－ ， 6 6 OP OM 根据正弦定理得 ＝ ， sin ∠OMP sin ∠OPM ρ 2 即 ＝ ， π π sinπ－ sin －θ 6 6 π 2sin 6 1 即 ρ＝ ＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
x－12 y－12 显然不包括原点， 两边同乘 ρ， 化简得 ＋ 5 5 2 3 ＝1.
【拓展演练 3】 x2 y2 已知 A、B 为椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)上的两点，若 OA⊥ a b 1 1 OB(O 为坐标原点)，求证： 2＋ 2为定值． OA OB
解析：以 O 为极点，Ox 为极轴建立极坐标系， ρ2cos2θ ρ2sin2θ 1 cos2θ sin2θ 则 ＋ 2 ＝1，所以 2＝ 2 ＋ 2 . a2 b ρ a b π 由 OA⊥OB，设 A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ± )， 2 1 1 1 1 所以 2＋ 2＝ 2＋ 2 OA OB ρ1 ρ2 π π 2 2 cos θ± sin θ± 2 2 2 2 cos θ sin θ ＝ 2 ＋ 2 ＋ ＋ a b a2 b2 cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ ＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 a b a b 1 1 ＝ 2＋ 2. a b
4．在极坐标系中，圆 ρ＝－2cos θ 的圆心的极坐标是 ( D ) π A．(1， ) 2 C．(1,0) π B．(1，－ ) 2 D．(1，π)
5．(改编)点 B 的直角坐标是( 3，3,4 3)，则它的柱坐 标是( C ) π A．(2 3， ，4 3) 3 π B．(2 3， ，4 3) 3 π C．(2 3， ，4 3) 3 π D．(2 3， ，4 3) 3
【拓展演练 2】 π 在极坐标系中定点 A(1， )， B 在直线 l： 点 ρcos θ＋ρsin 2 θ＝0 上运动，当线段 AB 最短时，求点 B 的极坐标．
解析：(方法一)ρcos θ＋ρsin θ＝0， 所以 cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1， 3π 所以直线的极坐标方程化为 θ＝ (直线如图)． 4 过 A 作直线垂直于 l，垂足为 B， 2 所以|OB|＝ . 2 2 3π 所以 B 点的极坐标为( ， )． 2 4
2 3π 再化成极坐标为( ， )． 2 4
三
极坐标方程的应用
x2 y2 x y 【例 3】已知椭圆 ＋ ＝1，直线 l： ＋ ＝1，P 是 24 16 12 8
l 上的点，射线 OP 交椭圆于 R，又点 Q 在 OP 上，且满足 |OQ|· |OP|＝|OR|2，当点 P 在 l 上移动时，求 Q 的轨迹方程．
2
π π 所以 ρ －2 2ρ(cos θcos ＋sin θsin )＝2， 4 4
2
所以圆 O2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直 线方程为 x＋y＝1， 化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ＝1， π 2 即 ρcos(θ＋ )＝ . 4 2
第73讲 极坐标系及简单的极坐标方程
1．下列各极坐 A ) A．(ρ，π＋θ) C．(ρ，π－θ) B．(ρ，－θ) D．(ρ，2π－θ)
解析：(－ρ，θ)表示与点(ρ，θ)关于极点对称的点的极坐 标，故选 A.
5π 2．已知点 M 的极坐标为(4， )，则 M 的直角坐标为 6 ( D ) A．(2,2 3) C．(2，－2 3) B．(2 3，2) D．(－2 3，2)
5.(2012· 江苏卷)在极坐标中，已知圆 C 经过点 P( 2， π π 3 )，圆心为直线 ρsin(θ－ )＝－ 与极轴的交点，求圆 C 4 3 2 的极坐标方程．
π 3 解析：因为圆 C 的圆心为直线 ρsin(θ－ )＝－ 与极轴 3 2 的交点，
π 3 所以在 ρsin(θ－ )＝－ 中令 θ＝0，得 ρ＝1， 3 2 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)， π 因为圆 C 经过点 P( 2， )， 4 ＝ π 2 ＋1 －2×1× 2cos ＝1， 4
5π 解析：x＝ρcos θ＝4cos ＝－2 3， 6 5π y＝ρsin θ＝4sin ＝2，故选 D. 6
π 3．(2012· 广东省汕头市质量测评)过点(2， )且平行于 3 极轴的直线的极坐标方程为 ρsin θ＝ .
解析：如图，在直线 l 上任取一点 P(ρ，θ)，则在△POM 中，由正弦定理知 ＝ ， π π π sin sin[π－θ－ － ] 3 3 3 故 ρsin θ＝ 3. ρ 2
2.(2012· 安徽卷)在极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 的圆心到直 π 线 θ＝ (ρ∈R)的距离是 6 .
解析：圆 ρ＝4sin θ 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4， 所以其圆心 C(0,2)， π 直线 l：θ＝ (ρ∈R)的直角坐标方程为 x－ 3y＝0， 6 |0－2 3| 点 C 到直线 l 的距离是 ＝ 3. 2
π π 解析：因为 r＝4，φ＝ ，θ＝ ， 6 6 所以 x＝rsin φcos θ＝ 3， y＝rsin φsin θ＝1，z＝rcos φ＝2 3， 由此可知点 A 的直角坐标为( 3，1,2 3)．
一
极坐标与直角坐标的互化
【例 1】(2012· 河北衡水中学第三次模拟)已知圆 O1 和
π 圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ＝2，ρ －2 2ρcos(θ－ )＝2. 4
2
(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解析：(1)由 ρ＝2，得 ρ2＝4， 所以圆 O1 的直角坐标方程为 x2＋y2＝4. π 因为 ρ －2 2ρcos(θ－ )＝2， 4
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.3 简单曲线的极坐标方程
预习 思考
1．几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)圆心位于极点，半径为 1 的圆的极坐标方程为：
ρ＝1 __________ ；
(2)圆心位于 M(1,0)，半径为 1 的圆的极坐标方程为：
ρ＝2cos θ ； ____________
π (3)圆心位于 M1，2， 半径为 1 的圆的极坐标方程为：
第一讲
坐 标 系
1.3 简单曲线的极坐标方程
栏 目 链 接
1.理解极坐标方程的意义. 2.能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程. 3.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标 系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当 坐标系的意义.
栏 目 链 接
栏 目 链 接
1．定义． 如果曲线 C 上的点与方程 f(ρ， θ)＝0 有如下关系：
π π (2)如下图所示， A3，3 ，即 |OA|＝ 3， ∠AOB ＝ . 3
3π 由已知∠MBx＝ ， 4
栏 目 链 接
∴∠OAB＝
3π π 5π － ＝ . 4 3 12 5π 7π ＝ . 12 12
栏 目 链 接
∴∠OAM＝π－
3π 又∠OMA＝∠MBx－θ＝ －θ. 4 3 ρ 在△MOA 中，根据正弦定理，得 ＝ . 3π 7π sin 4 －θ sin 12
π 1 ．过 A 3，3 且平行于极轴的直线的极坐标方程为
____________．
栏 目 链 接
3 答案：ρsin θ＝ 2
题型2
直角坐标方程与极坐标的互化
例3 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化．
(1)y2＝4x； (2)y2＋x2－2x－1＝0； π (3)θ＝ ； 3
人教版高中数学选修极坐标系课件ppt课件
O
一般地，不作特殊说明时，我们认为≥0， 可取任意实数
例1：说出下图中各点的极坐标，并找到点
2
3
2
4
3
2
3
4
5 6
M
6
C
E
D
B
P
A
O
X
7
6 5
4
N
1 1
F
G
Hale Waihona Puke 7 645 4
3
3
例2.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标。
解：以A为极点，AB所在的射线为极轴
P O
练习：写出点
答：（－6，
+π）（6的，负）6 极或径（的－极6，坐－标
6
+1π1 ） 6
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 ≥ 0 因为负极径只在极少数情况用。
A(3, 0题)组二：在B极(6坐, 2标系)里描出下C列(3各, 点 )
2
4
D(5, ) 3
5
E(3, ) 6
极坐标系
(ρ,θ) (ρ,θ)
(ρ,θ)
回顾：
直角坐标系
Y
y
·M
O
x
目标在哪？
在以…为X轴 以…为Y轴，
坐标是...
算的太慢了！
你能确定巨响发生的位置吗？
从这向北 2000米。
请问：去?? 中学怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从这向北走2000米！
出发点
方向
距离
在生活中，这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思 想，就是极坐标的基本思想。
[4]一般地，我们都用在
理科数学高考大一轮总复习课件：第14章 第1讲 极坐标系及简单的极坐标方程
θ＝1 的距离是
5 2
.
7 第七页，编辑于星期日：十八点 四十五分。
高中新课标总复习
理数
解析：直线 l 的方程是 ρcos θ＝1，它的直角坐标方程为 x ＝1，点(3，23π)的直角坐标为(－32，3 2 3)，所以点(3，23π)到直 线 l 的距离为 1＋32＝25.
8 第八页，编辑于星期日：十八点 四十五分。
理数
解析：直线的直角坐标方程为 x＋y－6＝0，曲线 C 的方 程为 x2＋y2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半 径，即为 dmax＝|0＋02－6|＋1＝3 2＋1.
30 第三十页，编辑于星期日：十八点 四十五分。
高中新课标总复习 三 简单曲线的极坐标方程及应用
理数
【例 3】(2014·广东揭阳二模)在极坐标系中，过点 A(4， －π2)引圆 ρ＝4sin θ 的一条切线，则切线长为________．
31 第三十一页，编辑于星期日：十八点 四十五分。
高中新课标总复习
理数
【解答过程】在直角坐标系下，A(0，－4)，圆的方程可 化为 x2＋y2－4y＝0.如图，圆心(0,2)，半径为 2，切线长为
62－22＝4 2. 答案：4 2
32 第三十二页，编辑于星期日：十八点 四十五分。
高中新课标总复习
理数
【跟踪训练 5】(2014·广东深圳二模)极坐标系(ρ，θ)(0≤θ ＜2π)中，点(1,0)关于直线 2ρsin θ＝1 对称的点的极坐标是 ( 2，π4) .
33 第三十三页，编辑于星期日：十八点 四十五分。
高中新课标总复习
理数
解析：直线 2ρsin θ＝1，即 y＝12，点(1,0)关于直线 2ρsin θ＝1 对称的点的直角坐标为(1,1)，故对称点的极坐标为( 2， π4)．
【金版教程】2014届高考数学总复习 第1讲 坐标系与参数方程课件 理 新人教A版选修4-4
弦长．
解：直线y＝ 3x，圆C为(x－1)2＋y2＝1，
∴圆心到直线的距离d＝
3 2.
∴弦长＝2 1－ 232＝1.
求曲线的极坐标方程的步骤： (1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点； (2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方 程．
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写
出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐 标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
[审题视点] (1)将直角坐标方程化为极坐标方程，再求交 点；(2)将极坐标系下的交点坐标化为直角坐标系下的交点坐 标，再写出公共弦的参数方程；或者先定义x＝1，再写出公共 弦的参数方程．
[变式探究] (1)[2012·陕西高考]直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝ 2cosθ相交的弦长为________．
(2)[2012·安徽高考]在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直 线θ＝6π(ρ∈R)的距离是________．
答案：(1) 3 (2) 3
解析：(1)直线2ρcosθ＝1，即为2x＝1，且ρ＝2cosθ，即为 (x－1)2＋y2＝1，如图可得弦长为 3.
平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什么？与点的极 坐标呢？
判断下列命题是否正确．(请在括号中填写“√”或
“×”)
①极坐标系中点M的极坐标是唯一的
()
②极坐标为(2，23π)的点在第一象限
()
③极坐标系中，点(3，34π)与点(3，－54π)相同 ( )
2．常用简单曲线的极坐标方程
曲线形状(特征) 过极点且与极轴成α角的直线 过(a,0)且垂直于极轴的直线 过(b，2π)且平行于极轴的直线 过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线 圆心在极点，半径为|r|的圆
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程课件新人教A版理
3
cos +sin
(2)C3 是一条过原点且斜率为正值的直线,
C3 的极坐标方程为 θ=α,α∈ 0,
π
2
,
= 2cos,
联立 C1 与 C3 的极坐标方程
= ,
得 ρ=2cos α,即|OA|=2cos α.
3
= cos +sin ,
联立 C1 与 C2 的极坐标方程
= ,
-11知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
2.若原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5√3)的极
坐标是(
)
π
A. 10, 3
2π
C. -10,- 3
4π
B. 10, 3
2π
D. 10, 3
关闭
设点(-5,-5√3)的极坐标为(ρ,θ),
-5 √3
则 tan θ=
-5
= √3.
4π
因为 x<0,所以最小正角 θ= ,
由圆 C1 与圆 C2 的方程相减可得公共弦所在的直线方程为
4x-2y+1=0.
圆心(1,1)到直线 4x-2y+1=0 的距离 d=
故弦长|AB|=2 1-
3 2
√20
=
√55
5
.
|4-2+1|
42 +(-2)2
=
3
,
√20
-24考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
(2)解 ①圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
3
3
得 ρ=cos +sin ,即|OB|=cos +sin ,
【创新设计】2014高考数学人教A版(通用版_理)一轮复习讲义：选修4-4_坐标系与参数方程
第一节 坐标系[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．[探究] 1.极点的极坐标如何表示？提示：规定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). [探究] 2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么？与点的极坐标呢？提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则，而与点的极坐标不是一一对应法则，如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了．4．常见曲线的极坐标方程[自测·牛刀小试]1．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程． 解：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ， 故x 2＋y 2＝x .2.(2013·北京模拟)在极坐标系中，求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程．解：过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，所以其极坐标方程为ρcos θ＝1.3．在极坐标系中，求点A ⎝⎛⎭⎫2，π2关于直线l ∶ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标． 解：在直角坐标系中，A (0,2)，l ：x ＝1，点A 关于l 的对称点为(2,2)，所以ρ＝22＋22＝22，θ＝π4，所以此点极坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4. 4．在极坐标系中，若过点A (3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，求AB 的长．解：曲线ρ＝4cos θ，即为圆x 2＋y 2－4x ＝0，过A (3,0)且与极轴垂直的直线为x ＝3，将x ＝3代入x 2＋y 2－4x ＝0，得y 2＝12－9＝3，解得y ＝±3.故AB ＝2 3.5．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，求该圆的圆心到直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距离． 解：直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1化为2x ＋y －1＝0，圆ρ＝2cos θ的圆心(1,0)到直线2x ＋y －1＝0的距离是55.[例1] 求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x ′2＋y ′2＝1.若椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为x ′216＋y ′24＝1，求满足的伸缩的变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′216＋y ′24＝1，得λ2x 216＋μ2y 24＝1，与x 24＋y 2＝1的系数对比，得λ＝2，μ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝y .因此经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y后，椭圆x 24＋y 2＝1变换为x ′216＋y ′24＝1. ——————————————————— 求经伸缩变换后曲线方程的方法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．1．在同一坐标系中，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 后得到的曲线方程为y ′＝lg(x ′＋5)，求曲线C 的方程．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 代入y ′＝lg(x ′＋5) 得12y ＝lg(x ＋5)，即y ＝2lg(x ＋5)为所求曲线C 的方程.[例2] 已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [自主解答] (1)由ρ＝2知ρ2＝4所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 ， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. ——————————————————— 极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不惟一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．2．(2013·佛山检测)在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求点P 的极坐标．解析：由极坐标与直角坐标的互化公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 可得，ρcos θ＝1，ρsin θ＝－3，解得ρ＝2，θ＝2k π－π3(k ∈Z )，故点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2k π－π3(k ∈Z )． 3．求以点A (2,0)为圆心，且过点B ⎝⎛⎭⎫23，π6的圆的极坐标方程． 解：由已知圆的半径为 AB ＝22＋(23)2－2×2×23cos π6＝2，又圆的圆心坐标为A (2,0)， 所以圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ.[例3] 从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．[自主解答] (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝3x ， 即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝⎝⎛⎭⎫322， 知P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP |的最小值为1.——————————————————— 求解与极坐标有关的问题的主要方法一是直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用； 二是转化为直角坐标系后，用直接坐标求解．使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．4．(2013·西安五校联考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标．解：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4. 5．(2012·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离．解：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R )化成直角坐标方程为x －3y ＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝ 3.1个互化——极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的三个前提条件 ①极点与原点重合； ②极轴与x 轴正方向重合； ③取相同的单位长度．(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．5个步骤——求曲线极坐标方程的五步曲易误警示——极坐标系中的解题误区[典例] (2012·湖南高考改编)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值．[解] 直线方程为2x ＋y －1＝0，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫22，0，圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，把交点⎝⎛⎭⎫22，0代入得⎝⎛⎭⎫222＋02＝a 2，又a >0，所以a ＝22.[易误辨析](1)因没有掌握极坐标与直角坐标的转化，无法把极坐标方程转化为普通方程． (2)因不清楚题意，即直线与圆的交点实为直线与x 轴的交点，如果不会转化，导致计算加大，多走弯路．(3)解答与极坐标有关的问题时，还易出现不注意极径、极角的取值范围等而致错的情况．[变式训练]已知两曲线的极坐标方程C 1：ρ＝2(0≤θ≤π)，C 2：ρ＝4cos θ，求两曲线交点的直角坐标．解：C 1的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4(y ≥0)，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.将两方程联立，解方程组得x ＝1，y ＝±3.又因为y ≥0，舍去y ＝－3，所以两曲线交点坐标为(1，3)．1．已知直线的极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求极点到直线的距离． 解：∵ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x ＋y ＝1. 又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22.2．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线方程为3x ＋4y ＋a ＝0，又圆与直线相切，所以|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝2或a ＝－8.3．(2012·江西高考改编)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．解：将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ. 4．已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的最大值． 解：原方程化为ρ2－42ρ⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ＋6＝0， 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0.故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0. 圆心为M (2,2)，半径为 2.故ρmax ＝|OM |＋2＝22＋2＝3 2.5．(2012·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.1．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系得另一直线l 1的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l 1与l 2间的距离为10，求实数a 的值．解：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，将直线l 2的方程化为直角坐标方程得3x －y －4＝0，由两平行线的距离公式得|a －3＋4|10＝10⇒|a ＋1|＝10⇒a ＝9或a ＝－11.2．(2011·江西高考改编)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求该曲线的直角坐标方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，得，ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.3．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求AB 的最小值．解：将互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入曲线和直线的极坐标方程，可得圆方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心(－1,0)，半径为2，直线方程为x ＋y －7＝0，圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝4 2.所以|AB |的最小值为42－2.4．在极坐标系中，圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫6，π6，半径r ＝6. (1)写出圆C 的极坐标方程；(2)若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．解：(1)圆C 的极坐标方程ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (2)设P 的坐标为(ρ，θ)，因为P 在O Q 的延长线上， 又O Q ∶QP ＝3∶2.所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫35ρ，θ， 若Q 点在圆C 上运动，则35ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，即ρ＝20cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 故点P 的轨迹方程为ρ＝20cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.第二节 参数方程[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫做这条曲线C 的参数方程，变量t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．[探究] 1.平面直角坐标系中，同一曲线的参数方程惟一吗？提示：不唯一，平面直角坐标系中，对于同一曲线来说，由于选择的参数不同，得到的曲线的参数方程也不同．2．直线的参数方程经过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．3．圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)． 4．椭圆的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． [探究] 2.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中，参数φ的几何意义是什么？提示：如图，取椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点M 作x 轴垂线，交以原点为圆心，a 为半径的圆于点A ，φ就是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(或点M 的离心角)即Ox 绕O 逆时针转到与OA 重合时的最小正角，φ∈[0,2π)．[自测·牛刀小试]1．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，求直线l 倾斜角的余弦值．解：消去参数，得直线l 方程为4x ＋3y －10＝0，所以tan θ＝－43，cos θ＝－35.2．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，求|PF |.解：将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4.3．(2012·中山模拟)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程．解：将参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y －1＝sin α(α为参数)，平方相加得x 2＋(y －1)2＝cos 2α＋sin 2α＝1，所以对应的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.4．求参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线．解：当t >0时，x ＝t ＋1t ≥2；当t <0时，x ＝t ＋1t ≤－2，故此方程表示的曲线是两条射线．5．求椭圆(x －1)23＋(y ＋2)25＝1的参数方程．解：设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)，即为所求的参数方程．[例1] 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k21＋k 2，(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.[自主解答] (1)两式相除，得k ＝y2x ，将其代入得x ＝3·y 2x1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． ——————————————————— 将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝t1＋t 2(t 为参数)．解：(1)∵x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0.∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝1t ，∴t ≠0.当t ≥1时，0<1t ≤1，当t ≤－1时，－1≤1t <0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 22＝1，得x 2＋4y 2＝1， 又x ＝1－t 21＋t 2≠－1，得所求的普通方程是x 2＋4y 2＝1(x ≠－1).[例2] (2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，求a 的值．[自主解答] ∵C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，∴C 1的方程为2x ＋y －3＝0.∴C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，∴C 2的方程为：x 2a 2＋y 29＝1.∵C 1与C 2有一个公共点在x 轴上，且a >0，∴C 1与x 轴的交点⎝⎛⎭⎫32，0在C 2上．∴a ＝32. ———————————————————与参数方程有关的问题，求解时，一般是将参数方程化为普通方程，转化为我们熟悉的形式，利用直角坐标方程求解问题．2．(2011·广东高考改编)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．解：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎨⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y 2.则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，则x ＝54y 2＝1，又y ≥0，所以其交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.3．(2013·扬州模拟)已知P (x ，y )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，求M ＝x ＋2y 的取值范围．解：∵x 24＋y 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，∴设P (2cos θ，sin θ)，∴M ＝x ＋2y ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， ∴M ＝x ＋2y 的取值范围是[－22，22]．[例3] (2012·辽宁高考)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．[自主解答] (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2；圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ；联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，解得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1，C 2的交点极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3.(2)由ρ＝2，θ＝±π3，及⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3，⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3，圆C 1，C 2的交点直角坐标为(1, 3)，(1，－3)，故圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3)．——————————————————— 求参数方程与极坐标问题的转化方法在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．4．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求|AB |的最小值．解：曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1，知C 1是以(3,4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2：ρ＝1的直角坐标方程是x 2＋y 2＝1，可知C 2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C 1和C 2上的两点A ，B 的最短距离. 由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB |min ＝(3－0)2＋(4－0)2－1－1＝5－1－1＝3.4种方法——化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有： ①代入消元法； ②加减消元法； ③乘除消元法； ④三角恒等式消元法.数学思想——参数方程中的转化思想在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了等价转化的数学思想．[典例] (2012·浙江高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，求曲线C 1与C 2的交点坐标． [解] C 1的直角坐标方程为：y 2＝x (x ≥0)，C 2的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝2，联立方程得：⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1,1)．[题后悟道](1)本题是利用交轨法解决参数方程问题的常见题型，解题方法是将参数方程转化为普通方程，关键是消去参数，这里特别注意所给参数的取值范围．(2)对于此类问题，熟练掌握将参数方程化为普通方程的方法，如代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角恒等式消元法等是必要的，也是必须的．[变式训练](2012·朝阳模拟)在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，求|AB |的长．解：直线l 可化为x ＋y －2＝0，① 曲线C 可化为y ＝(x －2)2，②联立①②消去y 得x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋(－1)2·(x 1－x 2)2＝2|x 1－x 2|＝ 2.1．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t 为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(θ为参数，求θ∈[0,2π))所截得的弦长．解：把直线的参数方程和圆的参数方程分别化为普通方程为x ＋y ＋1＝0和(x －3)2＋(y ＋1)2＝25，于是弦心距d ＝322，弦长l ＝225－92＝82.2．(2012·福州模拟)已知点P (x ，y )在曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1，且a 2＋b 2≤3，求x ＋y 的最小值． 解：设x ＝a cos t ，y ＝b sin t (0≤t ≤2π)， 则x ＋y ＝a cos t ＋b sin t ＝a 2＋b 2cos(t －α)，因此，当a 2＋b 2＝3，cos(t －α)＝－1时，x ＋y 取得最小值－ 3.3．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1，得x 2－x －3＝0.解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．4．(2012·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|1＋3＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．5．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π， D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．1．(2012·南京模拟)已知圆的极坐标方程为 ρ2＋4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－5＝0. (1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋3y 的最大值和最小值． 解：(1)∵ρ2＋4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－5＝0， ∴ρ2＋2(ρcos θ－3ρsin θ)－5＝0. ∴x 2＋y 2＋2x －23y －5＝0， 即(x ＋1)2＋(y －3)2＝9.∴圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋3cos α，y ＝3＋3sin α(α为参数)．(2)利用圆的参数方程可得：x ＋3y ＝33sin α＋3cos α＋2＝6sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋2， ∴x ＋3y 的最大值为8，最小值为－4.2．(2013·厦门模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 解：(1)ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22化简ρcos θ＋ρsin θ＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4； (2)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)， 得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin (α＋φ)－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25 .当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102.。
2015届高三数学第一轮总复习课件：第73讲 极坐标系及简单的极坐标方程
19 第十九页，编辑于星期五：八点 五十五分。
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二 极坐标问题的求解方法
【例2】从极点O作射线，交直线ρcos θ＝3于点M，P为 射线OM上的点，且|OM|·|OP|＝12，若有且只有一个点P在直 线ρsin θ－ρcos θ＝m上，求实数m的值．
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41 第四十一页，编辑于星期五：八点 五十五分。
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解析：消去曲线 C 中的参数 t 得 y＝x2， 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入上式， 得 ρ2cos2θ＝ρsin θ，消去 ρ，得 ρcos2θ＝sin θ.
32 第三十二页，编辑于星期五：八点 五十五分。
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2.(2012·安徽卷)在极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 的圆心到直
所以 cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1，
所以直线的极坐标方程化为 θ＝34π(直线如图)．
过 A 作直线垂直于 l，垂足为 B，
所以|OB|＝
2 2.
所以 B 点的极坐标为( 22，34π)．
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(方法二)将极坐标化为直角坐标，点 A(1，π2)的直角坐 标为 A(0,1)，直线 l 的直角坐标方程为 x＋y＝0.
线 θ＝π6(ρ∈R)的距离是
.
33 第三十三页，编辑于星期五：八点 五十五分。
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理数
解析：圆 ρ＝4sin θ 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4， 所以其圆心 C(0,2)，
直线 l：θ＝π6(ρ∈R)的直角坐标方程为 x－ 3y＝0， 点 C 到直线 l 的距离是|0－22 3|＝ 3.
【金版教程】2014届高考数学总复习 第1讲 坐标系与参数方程课件 理 新人教A版选修4-4
得圆C1与C2交点的直角坐标分
别为(1， 3)，(1，－ 3)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为xy＝＝1t，， － 3≤t≤ 3.
(或参数方程写成xy＝ ＝1y，， － 3≤y≤ 3)
解法二：将x＝1代入
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
得ρcosθ＝1，从而ρ＝
[解] 在ρsin(θ－π3)＝－ 23中，令θ＝0，得ρ＝1. 所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点P( 2，4π)，
所以圆C的半径PC＝
22＋12－2×1×
π 2cos4
＝1，于
是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
奇思妙想：本例条件不变，试求θ＝
π 3
与圆C相交所截得的
经典演练提能
1. 点P的直角坐标为(1，－ 3)，则点P的极坐标为( )
A. (2，π3)
B. (2，43π)
C. (2，－π3)
D. (2，－43π)
答案：C
2. [2012·江西高考]曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝ 0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C的极坐标方程为________．
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写
出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐 标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
[审题视点] (1)将直角坐标方程化为极坐标方程，再求交 点；(2)将极坐标系下的交点坐标化为直角坐标系下的交点坐 标，再写出公共弦的参数方程；或者先定义x＝1，再写出公共 弦的参数方程．
1 cosθ.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
x＝1， y＝tanθ，
人教A版浙江专用2014年高考数学理一轮复习方案--第12单元-自由选考模块部分(149张)
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第66讲
坐标系
• 点 面 讲 考 点
归纳总结 ①对于有些几何图形， 选用极坐标系可以使 建立的方程更加简单．当问题涉及角度、长度，特别是涉 及角度时，选用极坐标系，更容易将已知的几何条件转化 为数量关系． ②在极坐标系中解决问题， 则要和解三角形联系起来， 根据几何图形， 合理使用公式(比如正余弦定理， 三角形面 积公式，直角三角形中的正余弦关系等)解决问题．
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第66讲
坐标系
π • 点 曲线ρ＝12cosθ－6上的动点，试求|PQ|的最大值． 面 讲 考 点
在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是 • ► 例2探究点二 极坐标与直角坐标的互化
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第66讲
坐标系
• 点 面 讲 考 点
[思考流程] 条件：两个曲线的极坐标方程，以及动 点；目标：求动点之间的最大距离；方法：利用极坐标与 直角坐标的互化公式，将问题转化为直角坐标系下的问题 解决．
第十二单元
自由选考模块部分
第66讲 第67讲 第68讲 第69讲
坐标系(配A、B单面作业) 参数方程(配A、B单面作业) 不等式和绝对值不等式 不等式的证明(配A、B单面作业)
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核心导语
一、极坐标系 1．定义——极坐标系与直角坐标系的区别，极坐标系下 点的坐标表示． 2．互化——极坐标系下点的坐标与直角坐标系下点的互 化，关注互化条件、互化公式． 3．方程——极坐标系下特殊位置的直线、圆的极坐标方 程． 二、参数方程 1．概念——参数方程中参数的意义． 2．参数方程——直线、圆、圆锥曲线的参数方程． 3．互化——参数方程与普通方程的互化，关注参数的取 值范围和互化公式．
第66讲