江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高三(上)第一次月考数学试卷(理)
江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高三（上）第一次月考数学试卷（理）
（本卷满分200分，考试时间150分钟）
一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分）
1、设R a ∈，i 为虚数单位. 若复数i a a z )1(2++-=是纯虚数，则=z .
2、设全集{}
(){}x y x B x x x A R U -==<--==1ln |,06|,2，则=B A . 3、若函数()x f y =的定义域是[-1，2]，则函数()x f y 2log =的定义域是 .
4、某高一学生在确定选修地理，不选历史的情况下，想从政治、化学、生物、物理中再选择两科进行学习，在所选的两科中有生物的概率是 .
5、在平面直角坐标系xOy 中，已知直线t x y +=3与曲线()R t b a x b x a y ∈+=,,cos sin 相切于点（0，1），则()t b a +的值为 .
6、已知函数()4sin 2
-+=x x x x f 在[-3，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M . 7、已知平面向量()()1,2,4,2,,a b c a mb m R ===+∈，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则=m .
8、已知210cos sin 2,=-∈ααR a ，则=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-42tan πα . 9、已知圆C 的圆心在y 轴上，若圆C 与直线032=+-y x 相切于点A （-2，-1），则圆C 的方程为 .
10、若函数()x
ax x x f 1ln ++=在区间[)+∞,1上是单调函数，则实数a 的取值范围是 . 11、已知椭圆13
42
2=+y x 的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方. 若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的方程为 .
12、若当θ=x 时，函数()x x x f cos sin 2+=取得最小值，则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+3sin πθ . 13、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，4），B ，C 是圆4:22=+y x O 上的两动点，且32=BC ，若
圆O 上存在点P ，使得()0AB AC mOP m +=>，则正数m 的取值范围是 .
14、已知R a ∈，函数()x ax x f -=3，若存在R t ∈，使得()()3
22≤-+t f t f ，则实数a 的最大值是 .
二、解答题（本大题共有6小题，共90分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15、（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若3,2,4
3cos ===
b A B A . （1）求a ；
（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分∠BAC ，求△ABM 的面积.
16、（14分）设函数()R x x x f ∈=,sin .
（1）已知[)πθ2,0∈，函数()θ+x f 是偶函数，求θ的值； （2）求函数2
2412⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=ππx f x f y （x 是锐角）的值域.
17、（14分）已知定点M （0，2），N （-2，0），直线022:=+--k y kx l .
（1）若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；
（2）若对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围.
18、（16分）如图，有一块扇形区域的空地，其中m OA AOB 120,2==∠π
. 现要对该区域绿化升级改造，设计
要求建造三座凉亭供市民休息，其中凉亭C 位于OA 上，且AC =40m ，凉亭D 位于OB 的中点，凉亭E 位于弧AB 上.
（1）现要在四边形OCED 内种植花卉，其余部分种植草坪，试确定E 点的位置，使种植花卉的面积最大，并求出面积的最大值.
（2）为了便于市民观赏花卉，现修建两条小道EC 和ED ，其中EC 小道铺设塑胶，造价为每米a 元，ED 为离地面高1m 的木质栈道，造价为每米a 2元，试确定E 点的位置，使两条小道总造价最小.
A
B C E
O
19、（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()0134:22
22>=+t t
y t x C 的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F. 过点A 且斜率为()0>k k 的直线交椭圆C 于另一点P.
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若2
1=k ，求22PB PA 的值； （3）设直线t x l 2:=，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证: 点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上.
20、（16分）已知函数()()x b x x x g 12
1ln 2--+=. （1）若函数()x g 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；
（2）设()2121,x x x x <是函数()x g 的两个极值点，且2
7≥
b ，试求()()21x g x g -的最小值.
三、附加题（本大题共有4小题，共40分.）
21、已知矩阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=2c b 1M 有特征值41=λ及对应的一个特征向量⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=32e 1. 求:（1）矩阵M ； （2）曲线148522=++y xy x 在矩阵M 对应的变化作用下得到的新曲线方程.
22、在极坐标系中，设直线3πθ=
与曲线04cos 102
=+-θρρ相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标.
23、如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，△ABD 是边长为1的等边三角形，M 为线段BD 的中点，BC =3.
（1）求直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值；
（2）线段BD 上是否存在点N ，使直线CE ∥平面AFN? 若存在，求BD
BN 的值；若不存在，请说明理由.
24、从集合{
}5,4,3,2,1的所有非空子集中，等可能地取出m 个. （1）若1=m ，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；
（2）若2=m ，记所取子集的元素个数之差为X ，求X 的分布列及数学期望()X E .。
江苏省扬州市新华中学2019-2020学年高三(上)第一次月考数学试卷(理)
江苏省扬州市新华中学2019-2020学年高三（上）第一次月考数学试卷（理）（本卷满分200分，考试时间150分钟）一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分）1、已知集合{}2|,024|≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+-∈=x x B x x Z x A ，则=B A . 2、已知复数z 满足()i i z 421+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 .3、命题“012,2≥+-∈∃x x R x ”的否定是 .4、已知向量()()2,,1,2a m b ==-，且a b ⊥，则实数m 的值是 .5、函数()()x x x f ++-=22lg 的定义域是 .6、已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 . 7、若()()123323++++=x a ax x x f 没有极值，则a 的取值范围为 .8、若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππαπαα,2,04sin 62cos 5，则=α2sin . 9、若非零向量a 与b 满足223a b a b a +=+=，则a 与b 的夹角为 .10、在△ABC 中，0cos sin 2sin =+C B A ，则A 的最大值是 .11、若圆0342:22=+-++y x y x C 关于直线062=++by ax 对称，则由点()b a ,向圆所作的切线长的最小值是 .12、已知点P （0，-1），Q （0，1），若直线2:-=mx y l 上存在两个点M ，N ，使得∠PMQ =∠PNQ =90°，则实数m 的取值范围是 .13、已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<+=1,ln 1,2x xx x e x x f ，若()()()()321321x x x x f x f x f <<==，则()31x f x 的取值范围是 .14、如图，在平面四边形ABCD 中，32,60,,==︒=∠⊥⊥CD CB BCD CD AD BC AB . 若点M 为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为 .二、解答题（本大题共有6小题，共90分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15、（14分）已知()()2cos23,2sin 2,sin ,cos m n ααββ=+=.（1）若6πβ=，且()f m n α=⋅，求()αf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的取值范围； （2）若m n ∥，且αβα、+的终边不在y 轴上，求()αβαtan tan +的值.16、（14分）已知命题:p 曲线1921:222=+++m y m x C 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 不等式022>++m x x 对于任意的R x ∈恒成立.（1）若命题q p ∨为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题()q p ∨⌝为真，()q p ∧⌝为假，求实数m 的取值范围.17、（15分）已知圆()206:22=+-y x C ，直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B. （1）若直线l 过点（4，1），且AB =8，求直线l 的方程；（2）若直线l 为kx y =，且2OB OA =，求直线l 的方程.18、（15分）如图，有一块等腰直角三角形的草坪ABC ，其中AB =BC =2，根据实际需要，要扩大此草坪的规模，在线段BC 上选取一点D ，使ADCE 为平行四边形. 为方便游客参观，现将铺设三条观光道路AD ，AE ，EC. 设θ=∠ADB .（1）用θ表示出道路AE ，EC 的长度；（2）当点D 距离点B 多远时，三条观光道路的总长度最小?A BCD19、（16分）已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过F 作直线l （不过原点O ）交椭圆于A ，B 两点，若A ，B 的中点为M ，直线OM 交椭圆的右准线与N.（1）若直线l 垂直于x 轴时，AB =MN ，求椭圆的离心率e ；（2）若椭圆的离心率21=e ，当直线l 斜率存在时设为1k ，直线NF 的斜率设为2k ，试求21k k 的值.20、（16分）已知函数()()()()R b a x b x x g a x a x x f ∈-=-++=,ln ,12. （1）当2=b 时，求函数()x g 的单调区间；（2）设函数()()()⎩⎨⎧>≤=1,1,x x g x x f x h ，若0=+b a 且()0≥x h 在R 上恒成立，求b 的取值范围； （3）设函数()()()a x g x f x u +-=，若2≥+b a ，且()x u 在()+∞,0上存在零点，求b 的取值范围.三、附加题（本大题共有4小题，共40分.）21、已知曲线C ，在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001M 对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110N 对应的变换作用下得到曲线2281:x y C =，求曲线C 的方程.22、已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ty t x 423（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ. 点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求PQ 的取值范围.23、如图，以正四棱锥V-ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系xyz O -，其中AB Oy BC Ox ∥∥,，E 为VC 的中点. 正四棱锥的底面边长为a 2，高为h ，且有15cos ,49BE DE =-. （1）求a h 的值； （2）求二面角B-VC-D 的余弦值.24、某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了A 、B 两种抽奖方案，方案A 的中奖率为32，中奖可以获得2分；方案B 的中奖率为()1000<<P P ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分. 每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品.（Ⅰ）若顾客甲选择方案A 抽奖，顾客乙选择方案B 抽奖，记他们的累计得分为X ，若3 X 的概率为97，求0P ；（Ⅱ）若顾客甲、乙两人都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖，问: 他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大?。
江苏省扬州市2019-2020学年度第一学期高三数学期中调研试卷参考答案
扬州市2019—2020学年度第一学期期中调研测试试题高三 数学 参 考 答 案一、 填空题：1. {1,2,3,4}2.1122i - 3. 04.2y x =±5.56. 167.5 8. 110.32-11.12.⎡⎢⎣⎦13.12 14.21,3e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦二、解答题： 15．解： (1)由103x x +<-得{}13A x x =-<<………………2分 0m =时,由240x -+≥得[]2,2,B =-………………4分(]1,2,A B ∴⋂=-………………7分(2)由22240x mx m -+-+≥得：{}22B x m x m =-+≤≤．………………9分 {}13A x x =-<<(][),13,R C A ∴=-∞-⋃+∞． ………………11分∵R B C A ⊆∴23m -≥,或21m +≤-， ∴5m ≥或3m ≤-． ∴实数m 的取值范围为(][),35,-∞-⋃+∞……………14分 16.解：53cos ,2,0=⎪⎭⎫⎝⎛∈απα,54sin =⇒α4tan 3α=………………………………2分41tan tan34tan()7441tan tan 1143παπαπα+++===--⋅-⋅………6分 （2）,2524cos sin 22sin ==ααα …………………………………8分.257sin cos 2cos 22-=-=ααα …………………………………10分则sin(2)sin 2cos cos 2sin 666πππααα+=+24717()25225250-+=⋅+-⋅=14分 17．解：（1）因为():3l y k x =+与圆C 相切，所以圆心C 到直线的距离2d ==， …………………………3分解得0k =或125k =所以斜率k 为0或125…………………………7分 （2）法一：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B由()22324y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩舍去，或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以D ⎝⎭…………………………10分则()3,3,AB BD ==⎝⎭，…………………………12分所以1λ==． …………………………15分法二：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B 过点C 作AB 的垂线交AB 于点M ，则CM =BM2=，…………………………10分2MD ==，22BD =-……………12分 又AB ==所以1λ==…………………………15分法三：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B 设()00,D x y因为AB BD λ=，点D 在第一象限，所以()()003,3,3x y λ=-，0λ>则()00333x y λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，得00333x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即33,3D λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………12分又点D 在圆上，所以2233324λλ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1λ=（舍去）或1λ= ……………15分18．解：设EF 中点为M ，连结OM ，则cos ,2sin OM AD θθ== （1）当3πθ=时，杠铃形图案的面积1222sin cos cos 323333S ππππ⎛⎫=-⨯⨯+ ⎪⎝⎭2233π=+…………5分 答：当3πθ=时，杠铃形图案的面积为2233π-+平方米．…6分（2）杠铃形图案的面积()22sin cos cos 3S θθθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭()'S θ=2222[1(cos sin )sin ]3θθθ---222(2sin sin )3θθ=-……9分因为5412ππθ≤≤，所以2212sin sin 2sin (sin )033θθθθ-=->， ()'0S θ>，()S θ单调递增…11分所以当4πθ=时，()S θ的最小值为22sin cos cos 44434S ππππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭123π=-+.答：杠铃形图案的面积的最小时为123π-+平方米．……15分19. 解：（1）设椭圆的焦距为2c因为线段F F 12为直径的圆与椭圆交于点P ⎝⎭所以25c =法一：())12,F F ，则1226a PF PF =+=，3a =所以2b ===则椭圆的方程为22194x y +=……………4分法二：又点P ⎝⎭在椭圆上所以22222215ab a b ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨+=⎪⎪=+⎩，解得2294a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的方程为22194x y +=……………4分（2）①因为直线y kx t =+=()2251t k =+ (ⅰ)由22194y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22294189360k x ktx t +++-=因为直线与椭圆相切，所以()()()222184936940kt t k =--+=即22940k t -+=（ⅱ）联立（ⅰ）（ⅱ）得1252k t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩负值舍去……………10分②取BD 中点M ，连结OM ，则OM AB ⊥， 又AB DE =，所以M 为AE 中点法一：由1y kx ty x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得22,11kt t M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22212,11t k kt E k k ⎛⎫- ⎪- ⎪++⎝⎭代入椭圆方程化简得()422423621929k k t k k ++=-+()2242361929k k k +=-+设211m k =+> 则2236112042t m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当2m =时，t 取最大值3，此时1k =．又1k =，3t =时，()()()()15240,3,1,2,,,2,1,3,01313A B C D E ⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 符合题意，故t 的最大值为3． (不检验扣1分) ……………16分法二：则OM AB ⊥，M 为AE 中点所以OE OA t ==由22222194x y t x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得()22945t x -=，则22549x t =+ 又29x ≤，所以3t ≤，t 的最大值为3，此时1k =又1k =，3t =时，()()()()15240,3,1,2,,,2,1,3,01313A B C D E ⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 符合题意，故t 的最大值为3． (不检验扣1分) ……………16分20.解：（1）()f x 的定义域为(0,).+∞ 当1a =时，21()ln 21,()2 2.f x x x x f x x x'=--++=--+(1) 1.f '∴=-所以，函数()f x 在1x =处的切线方程为2(1)y x -=--即30x y +-=………………2分（2）2()ln 22f x x ax ax a =--+-+，2221(),(0)ax ax f x x x-+'∴=->. 当0a =时,1()0.f x x'=-<()f x ∴是单调减函数. 符合 ………………3分当0a >时, ,()f x 若是单调增函数,则2221()0ax ax f x x-+'=-≥， 即22210(0)ax ax x -+≤>恒成立,这不可能;………………5分()f x 若是单调减函数,则2221()0ax ax f x x-+'=-≤， 即22210(0)ax ax x -+≥>恒成立,令2h(x)=221ax ax -+,其开口方向向上,对称轴方程为12x =, h(0)=10,> 故2min 111()()2()210,02222h x h a a a ==-⋅+≥∴<≤ 又,1,2.a Z a ∈∴=………………7分综上，满足条件的非负整数a 的值是0,1,2………………8分 （3）()()3g x f x x =+-2()ln (21)1g x x ax a x a ∴=--++--22(21)1(1)(21)1()221=ax a x x ax g x ax a x x x-++--'∴=--++=--①当0a …时，210ax x-<. 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上为减函数； 当1x >时，g ()0x '>，()g x 在(1,)+∞上为增函数.所以当(0,]x b ∈(1)b e <<时，min ()(1)0()g x g g b ==<，不符合题意.………10分②当0a >时，12(1)()2g ()a x x a x x--'=-.（i ）当112<，即1a >时，当x 变化时，(),g()g x x '的变化情况如下：若满足题意，只需满足1()()2g g e a >，整理得21ln 2(2)204a e e a e a++-+->. 令211()ln 2(2)2()42F a a e e a e a a =++-+->>， 当12a >时，2221141()2(2)044a F a e e e e a a a -'=-+-=+->， 所以()F a 在1(,)2+∞上为增函数，所以，当12a >时，2211111()()(2)2(2)022222F a F e e e e >=+-+-=-+>. 可见，当12a >时，1()()2g g e a>恒成立，故当12a >，(0,]x b ∈(12)b <<时，函数()g x 的 最小值为().g b ；所以12a >满足题意.………………12分 （ⅱ）当112a=，即12a =时，2(1)()0x g x x -'=-…，当且仅当1x =时取等号. 所以()g x在(0,)+∞上为减函数.从而()g x 在(0,]b 上为减函数.符合题意. ………13分 （ⅲ）当11>，即10a <<时，当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：若满足题意，只需满足()(1)g e g <，且12e a<（若12e a …，不符合题意）， 即22(1)e a e ->-，且12a e>. 又22221(1)20(1)22(1)e e e e e e ----=>--，22221(2)1(1)22(1)e e e e -----=<--221(1)2e a e -∴<<-. 综上，22(1)e a e ->-.所以实数a 的取值范围是22(,).(1)e e -+∞-………………16分 21.解：(1)因为矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦属于特征值λ的一个特征向量为11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以1110311a λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1,3,a λλ-+=-⎧⎨=⎩所以4,3.a λ=⎧⎨=⎩………………5分 (2) 由(1)知4103A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以24141167030309A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.………………10分 22. 解：（1）每次取得白球的概率是25，取得红球的概率是35， 两次都取得白球的概率是252⎛⎫ ⎪⎝⎭，两次都取得红球的概率是352⎛⎫⎪⎝⎭，故两次取得的球颜色相同的概率为：2349135525252522⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.-----------------3分 (2)X 可能的取值为2,3,4. ------------------------------------4分224(2)5525P X ==⨯=，233212(3)555525P X ==⨯+⨯=，339(4)5525P X ==⨯=.------------------------------------8分 所以的分布列为：所以X 的数学期望()2342525255E X =⨯+⨯+⨯=. -------------10分23. 解：在正三棱柱111ABC A B C -中，取AB 中点O ，取A 1B 1中点O 1，连OC 、OO 1，则OO 1// AA 1，AB ⊥OC ，又正三棱柱111ABC A B C -中，AA 1⊥平面ABC ，AB 、OC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥OC ，AA 1⊥AB ，所以OO 1⊥OC ，OO 1⊥AB.以O 为坐标原点，OA 、OO 1、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则()O 0,0,0，()A 1,0,0，(C ，(C 1，()E 1,2λ,0，()F 1,22λ,0--，(1,2,CE λ=，(11,2,C F λ=--，（1）若1λ=2，(1,1,CE =，(11,1,C F =--，1111cos ,55CE C F CE C F CE C F⋅===⋅，故异面直线CE 与1C F 所成角的余弦值为15. ………………5分（2）由（1）可得(1,22,CF λ=--，设平面CEF 的一个法向量(),,n x y z =，则()20220n CE x y n CF x y λλ⎧=+-=⎪⎨=-+-=⎪⎩，取1z =得：()3n =-，取平面AEF的一个法向量(OC =，由二面角A EF C--的大小为θ，且sin θ=，得cos ,3OC n OC n OC n⋅===⋅⋅， 化简得21(21)3λ-=，所以36λ±=. ………………10分24. 解：(1) 2111(1)11S C =-⨯⨯=，212132222211113(1)(1)(1)2222k k k S C C C k +==-=-⨯+-⨯⨯=-=∑， 31213243333331111313111(1)(1)(1)(1)32323236k k k S C C C C k +==-=-⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=-+=+=∑，所以2112S S -=，3213S S -=.………………4分 (2) 猜想：110nn k S k=-=∑，即111123n S n=++++.………………5分 证法一：下面用数学归纳法证明.1°当1n =时，由(1)知，11S =，成立；2°假设当n m =时，111111(1)123mk k m m k S C k m+==-=++++∑. 则当1n m =+时，111211111111(1)(1)(1)1m mk k k k m m m m k k S C C k k m +++++++===-=-+-+∑∑ 112111(1)[](1)1mk k k m m m k C C k m +-+==-++-+∑ …………6分 111211111(1)+(1)(1)1m mk kk k m m m k k C C k k m ++-+===--+-+∑∑ 112111+(1)(1)1mk k m m m k S C k m +-+==-+-+∑. 又因为11(1)!!(1)(1)0!(1)!(1)!(1)!k k m m m m kC m C k m k m k k m k -++-+=⋅-+⋅=+---+，则11(1)k k m m kC m C -+=+，所以11111k km m C C k m -+=+，所以1m S +=121111+(1)(1)11mk k m m m k S C m m +++=-+-++∑ …………8分 121111+(1)(1)11m k k m m m k S C m m +++==-+-++∑ 12111+(1)(1)1m k k m m m k S C m +++=⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑ 1111(1)(1)1m k k m m m k S C m ++=⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦∑ 123111111111[(1)(1)(1)]1r rm m m m m m m m m m m S C C C C C C m ++++++++=--+-++-++-+-+ 11[(11)1]1m m S m +=---+ 11111+11231m S m m m ==+++++++， 综上1°2°，111123n S n =++++，故110nn k S k=-=∑. …………10分 证明二：因为11(1)!!(1)(1)0!(1)!(1)!(1)!k k n nn n kC n C k n k n k k n k -++-+=⋅-+⋅=+---+，则11(1)k k n n kC n C -+=+，所以1+1111k kn n C C k n -=+，所以111211111111(1)(1)(1)1n nk k k k n n n n k k S C C k k n +++++++===-=-+-+∑∑ （同证法一中“归纳递推”中的过程，参考上面的评分标准给分）1+1n S n =+， …………9分 所以111n n S S n +-=+，则111n n S S n +-=+，11n n S S n--=，，2112S S -=， 以上n 个式子相加得1111112n S S n n +-=++++， 又由(1)知1=1S ，所以111111231n S n n +=++++++， 当2n ≥时，111123n S n=++++，当1n =时，符合上式. 故111123n S n =++++，即110nn k S k=-=∑. ………………10分。
扬州中学2019-2020学年高三年级第一学期十二月检测 数学试题
2020届扬州中学月考试卷必做题部分(160分)一、填空题（本大题共有14道小题，每小题5分，满分70分）1.已知集合A ={1，3，5}，B ={2，3}，则集合A ∪B 中的元素个数为______．2.已知复数z 满足32,z i i ⋅=-其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是________.3. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则当0x <时，()f x =________.4. “”是“直线，垂直”的 条件．5. 过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为 .6.已知，，则______7. 已知实数，满足则的取值范围是 ． 8.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ．9. 已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，所得函数()y g x =为偶函数时，则ϕ的最小值是． 10.已知函数，则不等式的解集为______11．设点P 为正三角形ABC △的边BC 上一动点，当PA PC ⋅取最小值时，sin PAC ∠的值为12．在平面直角坐标系xOy 中，已知(6,0),(6,6),(0,6)A B C ，若在正方形OABC 的边上存在一点P ，圆222:(2)(0)G x y R R +-=>上存在一点Q ，满足4OP OQ =，则实数R 的取值范围为． 13．已知0x >，0y >，则2222282xy xyx y x y +++的最大值是． 14.已知函数()cos 2f x x =的图象与直线440(0)kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则2113tan()x x x x -=-________.二、解答题（本大题共有6道题，满分90分）15. （1）命题，，命题，．若“且”为假命题，求实数的取值范围． （2）已知，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16．已知函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>，部分自变量、函数值如下表．x3π 712π x ωϕ+0 2π π32π2π()f x24（2）函数()f x 在(0,]π内的所有零点．17.一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜田地内拟修建笔直小路MN ，AP ，其中M ，N 分别为AC ，BC 的中点，点P 在BC 上规划在小路MN 与AP 的交点与M 、N 不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A ，N 为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO 段与OP 段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO 段的建造费用为每百米4万元，小路ON 段的建造费用为每百米3万元．若拟修的小路AO 段长为百米，求小路ON 段的建造费用； 设，求的值，使得小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．18. 已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆E 经过点13,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点M 是椭圆E 上位于第一象限内的动点，A ，B 分别为椭圆E 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求四边形ABCD 的面积．19．已知函数21(),()1xx f x g x ax e+==-（a R ∈）． （1）求函数()f x 的极值； （2）当102a <<时，判断方程()()f x g x =的实根个数，并加以证明； （3）求证：当1a ≥时，对于任意实数[1,)x ∈-+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立．20. 已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=- (1)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；(2)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论h (x )零点的个数理科附加题（满分40分 时间30分钟）21.B 选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．21.C 选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）． （1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．22.某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为，游览B 、C 和D 的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立． （1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）．23.现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* (1)** (2)*** (3)………………………………* *…………** …………………第n行设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．（1）求p2的值；（2）证明：p n＞C2n＋1 (n＋1)!．。
江苏省扬州市扬州大学附属中学2020-2021学年第一学期第一次月考高一数学
江苏省扬州市扬州大学附属中学2020-2021学年第一学期第一次月考高一数学（本卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、集合{}Z x x x A ∈<<-=,12中的元素个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、42、已知集合{}{}3,1,4,3,2,1==A U ，则U A =（ ）A 、{}4,2B 、{}2,1 C 、{}3,2 D 、{}4,2,1 3、“1>x ”是“2>x ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、下列命题中，是假命题的是（ ）A 、0,=∈∃x R xB 、1102,=-∈∃x R xC 、0,3>∈∀x R x D 、01,2>+∈∀x R x5、函数1322+-=x x y 的零点是（ ）A 、()0,1,0,21-⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 、1,21-C 、()0,1,0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛ D 、1,21 6、已知1,22,22-+=+=∈x x B x x A R x ，则A ，B 的大小关系是（ ）A 、B A = B 、B A >C 、B A <D 、无法判定7、如果0<<b a ，那么下列不等式成立的是（ ）A 、b a 11<B 、2b ab <C 、2a ab -<-D 、ba 11-<- 8、若不等式012≥--bx ax 的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31，则不等式02<--a bx x 的解集是（ ） A 、()3,2 B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 C 、()2,3-- D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2131,二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、若C C B A B A == ,，则集合A ，B ，C 之间的关系必有（ ）A 、C A ⊆B 、C A = C 、B A ⊆D 、B A =10、已知q p ,都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则（ ）A 、p 是q 的既不充分也不必要条件B 、p 是s 的充分条件C 、r 是q 的必要不充分条件D 、s 是q 的充要条件11、下列说法正确的是（ ）A 、xx 1+的最小值是2 B 、223x x +的最小值是32 C 、2322++x x 的最小值是2 D 、x x 1+的最小值是2 12、已知函数()02>++=a b ax x y 有且只有一个零点，则（ ）A 、422≤-b aB 、412≥+b a C 、若不等式02<-+b ax x 的解集为()21,x x ，则021<x xD 、若不等式c b ax x <++2的解集为()21,x x ，且421=-x x ，则4=c 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、命题“01,2>++∈∀x x R x ”的否定是 .14、某班共30人，其中15人喜爱篮球，10人喜爱乒乓球，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球但不喜爱乒乓球的人数是 .15、设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合{}Q b P a ab z z Q P ∈∈==*,,，若{}{}2,2,1,0,1-=-=Q P ，则集合Q P *有 个子集.16、已知0,0>>y x ，且114=+yx ，则y x +的最小值为 . 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（本题满分10分）已知全集{}{}{}22,3,23,21,2,5U U a a A a A =+-=-=，求实数a 的值.18、（本题满分12分）求下列不等式的解集.（1）0432≤--x x （2）1342>-+x x19、（本题满分12分）已知命题:p “关于x 的方程012=++mx x 有两个不相等的实数根”是真命题.（1）求实数m 的取值集合M ；（2）若{}2+<<=a m a m N ，且“N m ∈”是“M m ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20、（本题满分12分）已知集合{}(){}0112,04222=-+++==+=a x a x x B x x x A .（1）若B A B A =，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.21、（本题满分12分）为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定: 若提前完成，则每提前一天可获2万元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则将被罚款. 追加投入的费用按以下关系计算:11837846-++x x （万元），其中x 表示提前完工的天数（附加效益=所获奖金-追加费用）. （1）求附加效益y （万元）与x 的函数关系式；（2）提前多少天，能使公司获得最大的附加效益? 并说明理由.22、（本题满分12分）已知二次函数()()m x m x y -+-+-=222. （1）若“0,<∈∀y R x ”为真命题，求实数m 的取值范围；（2）是否存在小于4的整数a ，使得关于x 的不等式()()4222≤-+-+-≤m x m x a 的解集恰好为[]4,a ? 若存在，求出所有可能的a 的取值集合；若不存在，说明理由.。
扬州市2019—2020学年度高三数学第一学期期末调研测试试题参考答案2019年12月15日(1
又 MN 平面 DAC ， CI 平面 DAC ，所以 MN∥平面 DAC . ……14 分
数学参考答案第 1 页（共 9 页）
I
D N
D
N
Q
D N
P
E
E
E
B M C
图 16-1
A
A
H
A
B M
B O
M
C
C
图 16-2
图 16-3
证法二：如图 16-2，因为 EB 平面 ABC ， DA 平面 ABC ，所以 EB∥DA ， 所以 A, B, E, D 四点共面. 在平面 ABED 中，分别过 E, N 作 EP∥BA ， NQ∥BA ，分别交 AD 于 P,Q . 取 AC 的中点 O ，连结 MO,OQ . 因为 EP∥BA ， EB∥PA ，所以四边形 ABEP 为平行四边形，所以 EP∥BA .
所以 AP AO sin AOP 1 sin APO 2sin
OP
AO
sin
OAP
sin
6
3 sin cos ……4 分
sin APO
sin
2 sin
所以 f ＝ a 3 sin cos 2a 2 3 sin cos 6a
上面三行也可以叙述为： 在 AD 上取一点 P ，使 AP BE . 在平面 ABED 中，过 N 作 NQ∥BA ，交 AD 于 Q . 取 AC 的中点 O ，连结 MO,OQ . 因为 EB∥DA ， AP BE ，所以四边形 ABEP 为平行四边形. 所以 EP∥BA .
因为 EP∥BA ， NQ∥BA ，所以 NQ∥EP ，
扬州大学附属中学高三第一次月考数学试题
扬州大学附属中学2020届高三数学测试班级 姓名 学号 成绩一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分。
直接将答案填在下列表格中。
1． 下列函数中，与||x y =为同一函数的是（ B ）A ．()2x y = B ．2x y =C ．⎩⎨⎧<->=)0(,)0(,x x x x y D ．x y = 2． 三个数0.56，60.5，0.5log 6的大小顺序为（ D ）A ．5.05.0666log 5.0<<B ．6log 65.05.05.06<<C ．65.05.05.066log << D ．5.065.065.06log <<3． 设集合2{|,}M y y x x R ==∈，{|2,}xN y y x R ==∈，则M N I 中元素的个数有（ D ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个 4． 若关于x 的不等式24x x m -≥对任意(0, 1]x ∈恒成立， 则 ( D ) A ．4m ≥- B ． 3m ≥- C ． 30m -≤< D ． 3m ≤-5． 设指数函数()(01)xf x a a a =>≠且，则下列等式不正确．．．的是 （ B ） A ．()()()f x y f x f y +=⋅ B ．[()]()()nnnf xy f x f y =⋅C ．()()()f x f x y f y -= D ．()()nf nx f x = 6． 2|log |y x =的定义域为[, ]a b ， 值域为[0, 2]则区间[, ]a b 的长度b a -的最小值为( B )A ．3B ．43C ．2D ．23 7． 函数lg ||x y x=的图象大致是 （ D ）8． 函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ B ） A ．(1,2) B ．(2,)e C ．(,3)e D ．(3,)+∞9． 已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程[()]g f x x =的解集为（ C ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．∅10．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++=L( D ) A ．－2 B ．–1 C ．0 D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
江苏省扬州中学2019-2020学年高三(上)第一次月考理科数学试题
江苏省扬州中学2019～2020学年度高三(上)第一次月考数学试卷(理)(本卷满分200分, 考试时间150分钟)一、填空题(本大题共有14小题, 每题5分, 共70分)1、已知命题()0log ,,1:2>+∞∈∀x x p , 则p ⌝为 .2、函数x y 24-=的定义域为 .3、已知复数iiz 215+-=(i 为虚数单位), 则复数z 在复平面内对应的点位于第 象限.4、实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥--303093y y x y x , 则x y z 2-=的最大值为 .5、已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πx , 则=x 2sin . 6、已知直线222ba a x +=被双曲线12222=-b y a x 的两条渐近线所截得的线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离, 则此双曲线的离心率为 .7、已知R a ∈, 则“2>a ”是“a a 22>”的 条件.(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”)8、将函数()x x x f 2cos 2sin +=的图象向右平移ϕ个单位(0>ϕ), 可得函数()x x x g 2cos 2sin -=的图象, 则ϕ的最小值为 .9、在平面直角坐标系xOy 中, 已知()()1,,2,2OA t OB =-=, 若∠OBA 为直角, 则实数t 的值为 . 10、已知函数()x f 是定义域为R 的偶函数, 且()()x f x f 11=+, 若()x f 在[-1, 0]上是减函数, 记三个数()()()5.025.02,4log ,2log f c f b f a ===, 则这三个数的大小关系为 .11、设当θ=x 时, 函数()x x x f sin 2cos -=取得最大值, 则=θcos . 12、在锐角三角形ABC 中, 已知,43B AB AC π=-=, 则AB AC ⋅的取值范围是 .13、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,20,lg x x x x f x , 若函数()12--=a x f y 存在5个零点, 则整数a 的值为 .14、已知正数z y x ,,满足()()yz z y y x 42=++, 且x z 3≤, 则xyy x P 32322+=的取值范围是 .二、解答题(本大题共有6小题, 共90分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 15、(14分)已知集合()(){}014|,114|>+---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+=m x m x x B x x A . (1)若2=m , 求集合B A ；(2)若∅=B A , 求实数m 的取值范围.16、(14分)函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<<+=20cos πϕϕπx x f 的部分图象如图所示. (1)写出ϕ及图中0x 的值； (2)设()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=31x f x f x g , 求函数()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21上的最大值和最小值.17、(14分)在△ABC 中, c b a ,,分别为角A, B, C 所对的边长, 且43tan ,cos 3=-=C A b c . (1)求B tan 的值；(2)若2=c , 求△ABC 的面积.18、(16分)某小区有一块三角形空地, 如图△ABC, 其中AC =180米, BC =90米, ∠C =90°, 开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所, 在△ABC 内的P 点处有一服务站(其大小可忽略不计), 开发商打算在AC 边上选一点D, 然后过点P 和点D 画一分界线与边AB 相交于点E, 在△ADE 区域内绿化, 在四边形BCDE 区域内修建运动场所. 现已知点P 处的服务站与AC 距离为10米, 与BC 距离为100米. 设d DC =米, 试问d 取何值时, 运动场所面积最大?19、(16分)已知圆()0:222>=+r r y x O 与椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 相交于点M(0, 1), N(0, -1), 且椭圆的离心率为22. (1)求r 的值和椭圆C 的方程；(2)过点M 的直线l 交圆O 和椭圆C 分别于A, B 两点. ①若23MB MA =, 求直线l 的方程；②设直线NA 的斜率为1k , 直线NB 的斜率为2k , 问:12k k 是否为定值? 如果是, 求出定值；如果不是, 说明理由.20、(16分)已知函数()()bx x x f x g -+=221, 函数()x a x x f ln +=的图象在1=x 处的切线与直线032=+-y x 平行.(1)求实数a 的值；(2)若函数()x g 存在单调递减区间, 求实数b 的取值范围； (3)设()2121,x x x x <是函数()x g 的两个极值点, 若27≥b , 试求()()21x g x g -的最小值.三、附加题(本大题共有4小题, 共40分.)21、设点()y x ,在矩阵M 对应变换作用下得到点()y x 3,2. (1)求矩阵M 的逆矩阵1M -；(2)若曲线C 在矩阵1M -对应变换作用下得到曲线1:22'=+y x C , 求曲线C 的方程.22、在平面直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (ϕ,0>>b a 为参数), 且曲线C 上的点()3,2M 对应的参数3πϕ=, 以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的普通方程； (2)若()⎪⎭⎫⎝⎛+2,,,21πθρθρB A 是曲线C 上的两点, 求222111ρρ+的值.23、如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, 已知AB⊥AC, AB=2, AC=4, AA1=3. D是线段BC的中点.(1)求直线DB1与平面A1C1D 所成角的正弦值；(2)求二面角B1-A1D-C1的余弦值.24、设0>>b a , n 是正整数, ()nn n n n n n n n b a B b ab b a b a b a a n A ⎪⎭⎫⎝⎛+=+++++++=----2,...11122221.(1)证明:22B A >；(2)比较n A 和()*N n B n ∈的大小, 并给出证明.。
2019年江苏省扬州市大学附属中学高三数学理月考试卷含解析
2019年江苏省扬州市大学附属中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是等差数列的前n项和，已知则等于（）A．13 B．35 C．49 D．63参考答案：C因为数列是等差数列，所以，所以选C.2.椭圆的右准线与轴的交点为，椭圆的上顶点为，过椭圆的右焦点作垂直长轴的直线交椭圆于点，交于点，且,则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：答案:A3. 设函数，当时，的值域为，则的值是（）A．B． C. D．C4. 已知U＝{y|y＝log2x，x＞1}，P＝{y|y＝，x＞2}，则?U P＝()A.[，＋∞)B.(0，)C.(0，＋∞)D.(－∞，0]∪[，＋∞)参考答案：A5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．参考答案：C略6. 已知函数的图象与函数且的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）答案：D解析：的图象与的图象关于对称令因为在上单调递增①当时单调递增则满足题意解得②当时单调递减则满足题意解得综合①②可得【高考考点】求反函数复合函数单调性【易错点】：求复合函数单调性中换元后的新变元的取值范围易丢掉【备考提示】：掌握求复合函数单调区间的基本思路7. 函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是( )A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．8.过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是（）A．B．C．D．参考答案：答案：D9. 如图所示的程序框图输出的结果是S=14，则判断框内应填的条件是（）A．i≥7？B．i＞15？C．i≥15？D．i＞31？参考答案：C【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，输出S的值即为14时，结合选项可知判断框内应填的条件是：i≥15？【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=2，i=0不满足条件，S=5，i=1不满足条件，S=8，i=3不满足条件，S=11，i=7不满足条件，S=14，i=15由题意，此时退出循环，输出S的值即为14，结合选项可知判断框内应填的条件是：i≥15？故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．10. 设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：C试题分析：当时，，当ab一正一负时，，当时，，所以，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在锐角中，是边上的中线．若，，的面积是，则．参考答案：12. 若的二项展开式中含x6项的系数为36，则实数a= ．参考答案：﹣4【考点】二项式系数的性质．【分析】通项公式T r+1==（﹣a）r x9﹣3r，令9﹣3r=6，解得r，进而得出．【解答】解：通项公式T r+1==（﹣a）r x9﹣3r，令9﹣3r=6，解得r=1．∴的二项展开式中含x6项的系数=﹣a×9=36，解得a=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13. 实数满足，则的最大值为 .参考答案：4画出不等式组表示的平面区域，如下图所示，三角形ABC为所求，目标函数化为，当经过点B（1,2）时，最大值为4。
江苏扬州市第一中学2019-2020学年高三上第一次月考理科数学试卷
江苏扬州市第一中学2019-2020学年高三上第一次月考理科数学试卷（本卷满分200分，考试时间150分钟）一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分） 1、命题“01,≥+-∈∀x e R x x ”的否定是 . 2、函数()1log 2-=x x f 的定义域为 .3、函数x y ln =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为 .4、=︒︒+︒+︒41tan 19tan 341tan 19tan .5、已知()2tan =-x π，则=-+x x x x 22cos 3cos sin 2sin .6、已知316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 3sin 65sin 2ππ .7、若正实数c b a ,,满足023=+-c b a ，则bac的最大值为 . 8、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ，则y x z 23+=的最小值为 .9、已知关于x 的不等式02>--c bx ax 的解集是（-2，1），则不等式02>--a bx cx 的解集是 .10、△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若A a B c C c sin cos cos =+，且()22241b a c S -+=，则C = . 11、定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f -=，且当0>x 时，()()()02,0'=>-f x f x xf ，则不等式()0<x xf 的解集是 .12、△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若bac B C A -=-3cos cos 3cos ，则=ACsin sin .13、已知y x ,为正实数，则xyx y x x +++22的最小值为 . 14、设函数()mxx f πsin2=，若存在()x f 的极值点0x 满足()[]2220m x f x <+，则m 的取值范围是 .二、解答题（本大题共有6小题，共90分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15、（14分）已知函数()x x x x f cos sin 3cos 2+=. （1）求函数()x f 的最小正周期及单调递增区间；（2）求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ上的最大值和最小值.16、（14分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知B AC B A sin sin cos sin cos 222++=.（1）求角C 的大小；（2）若3=c ，求△ABC 周长的取值范围.17、（15分）（1）解关于x 的不等式042≥+-ax x ；（2）对于任意]2,0[∈x ，不等式0122≤--ax x 恒成立，求a 的取值范围.18、（15分）某矩形花园ABCD ，3,2==AD AB ，H 是AB 的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以H 为直角顶点的内接Rt △HEF ，其中E 、F 分别落在线段BC 和线段AD 上，如图. 分别记∠BHE 为θ，Rt △HEF 的周长为l ，Rt △HEF 的面积为S.（1）试求S 的取值范围；（2）θ为何值时l 的值最小? 并求l 的最小值.19、（16分）已知函数()()()πϕϕ<<+=02sin x x f ，其图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛-0,12π，将()x f 的图象向左平移3π个单位长度后得到函数()x g 的图象. （1）求函数()x g 的解析式；（2）若对任意[]t x x ,0,21∈，当21x x <时，都有()()()()2121x g x g x f x f -<-，求实数t 的最大值；ABCDEFHθ（3）若对任意实数a ，()()0>=ωωx g y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+4,πa a 上与直线21-=y 的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数ω的取值范围.20、（16分）已知函数()⎩⎨⎧><++=0,ln 0,22x x x a x x x f ，其中a 是实数，设()()()()2211,,,x f x B x f x A 为该函数图象上的两点，且21x x <. （1）指出函数()x f 的单调区间；（2）若函数()x f 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且02<x ，求证:112≥-x x ； （3）若函数()x f 的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围.三、附加题（本大题共有4小题，共40分.） 21、已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2c b 1M 有特征值41=λ及对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=32e . （1）求矩阵M ；（2）求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下得到的新曲线的方程.22、在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()πθθθρ20sin 2cos 2≤≤+=，点⎪⎭⎫⎝⎛2,1πM ，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 21123:（t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点. （1）若()θρ,P 为曲线C 上任意一点，求ρ的最大值，并求出此时点P 的极坐标； （2）求MBMA 11+的值.23、已知甲箱中装有3个红球，3个黑球，乙箱中装有2个红球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同. 某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下: 每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出的4个球都是红色，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，其他情况不获奖. 每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望()XE.24、已知函数()()*,1N n x x f n ∈+=.（1）当8=n 时，求展开式中系数最大的项； （2）化简13221102...222----++++C C C C nn n n n n n n ； （3）定义:n ni i a a a a +++=∑= (211)，化简:()C in ni i ∑=+11.。
2019届江苏省扬州中学高三上学期1月月考试题 数学(理)(PDF版)
2019届高三上1月考一.填空题（共14题，每题5分，共70分）：1．已知集合}2,1,1{-=M ，集合{}20<<=x x N ，则N M = ． 2．命题“⎪⎭⎫⎝⎛∈∃2,0πx ，x x sin tan >”的否定是 ．3.已知()3,m in i m n R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则m n += . 4.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第18列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号 . （下面摘取了一随机数表的第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 62 58 79 73 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 5.若数据31,37,33,,35a 的平均数是34，则这组数据的标准差是 ． 6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； ②若m α⊂，n αβ=，αβ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ； ④若//αm ，m β⊂，n αβ=，则//m n ． 上述命题中为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）．7．某学校的数学课外小组有2个女生，3个男生，要从他们中挑选2人组成代表队去参加比赛，则代表队男生、女生都有的概率为 ．8.等比数列{}n a 中， 11a =，前n 项和为n S ，满足765430S S S -+=，则4S = ． 9.若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ．10.已知实数x ，y 满足5030x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ．11.已知正五边形ABCDE ，2=⋅AE AC ，则AB = .12.在ABC ∆中，1cos 2sin 4=+B A ，33sin 2cos 4=+B A ，则角C 的大小为 . 13.若关于x 的方程)ln()32ln(22t x t x x t x x -=--+--有且仅有唯一的实数根，则实数t 的取值范围为 .14.已知点P 为圆1:22=+y x O 上一个动点，O 为坐标原点，过P 点作圆O 的切线与圆1982:221=--+y x y x O 相交于B A ,两点，则PBPA的最大值为 . 二.解答题（共6题，共90分）： 15．（本小题满分14分）一副直角三角板按下左图拼接，将BCD ∆折起，得到三梭锥A BCD -（下右图）． （1）若,E F 分别为,AB BC 的中点，求证：//EF 平面ACD ； （2）若平面ABC ⊥平面BCD ，求证：平面ABD ⊥平面ACD ．16．（本小题满分14分）如图，在圆内接ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos cos 2cos a C c A b B +=． （1）求B ∠的大小；（2）若点D 是劣弧AC 上一点，3,2,1AB BC AD ===，求四边形ABCD 的面积．17．（本小题满分15分）运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O 为圆心，AB 是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A 出发，沿着线段AP 游泳至半圆上某点P 处，再从点P 沿着弧PB 跑步至点B 处，最后沿着线段BA 骑自行车回到点A 处，本次训练结束．已知OA=1500m ，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s ，4m/s ，10m/s ，设∠PAO=θrad ． （1）若6πθ=，求弧PB 的长度；（2）试将小王本次训练的时间t 表示为θ的函数t （θ），并写出θ的范围； （3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．18.（本小题满分15分）如图，椭圆2222:1x y C a b+=的顶点为1212,,,A A B B ，焦点为12,,F F11||A B =112211222A B A B B F B F SS=（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于F 点、与椭圆相交于A,B 两点的直线，|OP |=1，是否存在上述直线l 使1=AP 成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。