2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十五)数学(理科)
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十九)理科数学试题
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十九）数学（理科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1z i =-+（i 是虚数单位），则z 的模为（ ）A. 0B. 1C.D. 2 【答案】C【解析】【分析】根据模长的定义求得结果.【详解】1z i =-+== 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =，则()U A B =（ ）A. {1,0,1}-B. {1,0,1,2}-C. {|2}x x <D. {|12}x x -<【答案】A【解析】【分析】 根据补集定义求得U C B ，再利用交集定义求得结果. 【详解】{}2U C B x x =< (){}1,0,1U AC B ∴=- 本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算问题，属于基础题.3.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是（ ） A. α∃∈R ，sin 0α≠B. α∀∈R ，sin 0α≠C. α∀∈R ，sin 0α<D. α∀∈R ，sin 0α> 【答案】B【解析】【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.4.下列函数中，既是奇函数又在(),-∞+∞上单调递增的是（ ）A. sin y x =B. y x =C. 3y x =-D. )ln y x = 【答案】D【解析】【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除,,A B C 选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得D 正确.【详解】sin x 不是单调递增函数，可知A 错误； x x -=，则函数y x =为偶函数，可知B 错误；3y x =-在(),-∞+∞上单调递减，可知C 错误；)ln ln ln x x ⎫==-⎪⎭，则)ln y x =为奇函数；当0x ≥时，x 单调递增，由复合函数单调性可知)lny x =在[)0,+∞上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(),-∞+∞上单调递增，则D 正确.本题正确选项：D 【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S S =2，则数列{}n a 的公比q =（ ）A. -1B. 1C. ±1D. 2 【答案】C【解析】【分析】分别在1q =和1q ≠列出4S 和2S ，构造方程求得结果.【详解】当1q =时，41124222S a a S ==⨯=，满足题意当1q ≠时，由42S S =2得：()()421112111a q a q q q --=--，即212q +=，解得：1q =-综上所述：1q =±本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略1q =的情况造成求解错误. 6.过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ,Q 两点,F 是椭圆的一个焦点,则PFQ △的周长的最小值为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】D【解析】【分析】 记椭圆的另一个焦点为1F ,则1QF PF =,由1+2PF PF a =,PQ 2b ≥,即可求出PQF ∆周长的最小值．【详解】如图所示,记椭圆的另一个焦点为1F,则根据椭圆的对称性知道:1QF PF = ,2PQ PO =,设(cos ,sin )P a b θθ ,则222222222=cos +sin =()cos +PO a b a b b θθθ-,又因220a b ->,2cos 0θ≥, 所以22PO b ≥,即PO b ≥,22PQ PO b =≥．所以PQF ∆的周长为122210818QF PF PQ PF PF PQ a PQ a b ++=++=+≥+=+= 故选：D【点睛】本题考查椭圆内焦点三角形的周长的最值问题,熟练掌握椭圆的第一定义是解本题的关键,属于基础题．7.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ）A. 18种B. 9种C. 6种D. 3种【答案】A【解析】【分析】 先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解．【详解】由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2、3、4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有111332118C C C ⋅⋅⋅=种．故答案选A ． 【点睛】本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题． 8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量x （分钟），这个区间上的人数为y （人），易见两变量x ，y 线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（ ）A. ()1.5,0.10B. ()2.5,0.25C. ()2.5,250D. ()3,300【答案】C【解析】【分析】 写出四个区间中点的横纵坐标，从而可求出 2.5x =，250y =，进而可选出正确答案.【详解】解：由频率分布直方图可知， 第一个区间中点坐标，111.0,0.101000100x y ==⨯=， 第二个区间中点坐标，222.0,0.211000210x y ==⨯=，第三个区间中点坐标，333.0,0.301000300x y ==⨯=，第四个区间中点坐标，444.0,0.391000390x y ==⨯=， 则()12341 2.54x x x x x =+++=，()123412504y y y y y =+++=， 则一定在其线性回归直线上点为(),x y ()2.5,250=. 故选:C.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了线性回归直线方程的性质.本题的关键是利用线性回归直线方程的性质，即点(),x y 一定在方程上.9.单位正方体111ABCD A B C O -在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点(),,0M a a ，()0,,1N b ，其中01a <≤，01b ≤≤，设由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E ，那么（ ）A. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为三角形B. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为正方形C. 对任意点M 和N ，截面E 都为梯形D. 对任意点N ，存在点M 使得截面E 为矩形【答案】A【解析】【分析】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤，即动点在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ，可以通过特殊点即端点来判断即可.【详解】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤，即动点M 在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，所以任意点M ，由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ，当点N 与C 重合时，截面E 为三角形，因此A 选项正确；当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，当点N 不与端点C 、D 重合时，截面E 为等腰梯形，所以,B C 选项错误；只有当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，所以D 选项错误；故选：A【点睛】本题考查了用不同的平面去截正方体所得到的截面，考查了学生的空间想象能力，属于一般题. 10.设4log 3a =，5log 2b =，8log 5c =，则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】B【解析】【分析】 由4lg 27log 3lg 64a ==，8lg 25log 5lg 64c ==比较a 、c 的大小，利用中间量12比较b 、c ，从而得解． 【详解】 27464lg 27log 3log lg 64a ===，25864lg 25log 5log lg 64c ===， ∴ 3548log log > ，即a c > ，2<，5>，∴581log 2c =>=251log 2b =<= ， ∴5285log log >，即c b > ，∴352485log log log >> ，即a c b >>．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了对数函数单调比较大小，解题关键是找到合适的中间变量进行大小比较，有一定难度．11.已知F 是双曲线22:22-1x y E a b = (0,0)a b >>左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为（ ）A. C. - D. 【答案】D【解析】【分析】 联立直线和渐近线方程求得,A B 纵坐标，根据2B A y y =可得,a b 之间的关系，从而可用a 表示出,A B 坐标，利用中点坐标公式得到C ，从而求得斜率.【详解】由题意知，双曲线渐近线为：b y x a =±设直线方程为：)y x c =+由)3y x c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：A c y a b =；同理可得：B c y a b = A 是FB 中点 2B A y y ∴=b ⇒=2c a ⇒==A y ∴=，B y = 12A x a ⇒=-，B x a = 24A B C x x a x +∴==，2A B C y y y +==C OC C y k x ∴== 本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够通过中点的关系得到关于交点纵坐标之间的关系，从而求解出,,a b c 之间的关系.12.函数11()sin x x f x e e a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为( ) A. 20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 20,π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. (0,2] D. (0,2)【答案】A【解析】【分析】函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，由()10ϕ=，()10g =，可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，()g x 的单调，根据单调性得到()x ϕ与()g x 的大致图象，从图形上可得要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，即可解得实数a 的取值范围．【详解】解：函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于：函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，又11()x x g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，11()x x g x e e --∴'=--在R 上恒小于零，即11()x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数，又()sin x a x ϕπ= (0)a >是最小正周期为2，最大值为a 的正弦函数，∴可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-的大致图象如图：∴要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，()1cos a a ϕπππ'==-， ()111112g e e --'=--=-，2a π∴--，解得2a π， 又0a >，∴实数a 的范围为20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，则角A 的大小为____．【答案】3π【解析】【分析】根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出cos A 的形式，进而求得结果.【详解】由正弦定理得：222a b c bc =+-，即222b c a bc +-= 则2221cos 22b c a A bc +-== ()0,A π∈ 3A π∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.14.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则不等式(21)(2)f x f x ->-的解集为____．【答案】()(),11,-∞-+∞ 【解析】【分析】利用偶函数关于y 轴对称，又由()f x 在[0,)+∞上单调递增，将不等式(21)(2)f x f x ->-转化为212x x ->- ，即可解得(21)(2)f x f x ->-的解集． 【详解】 函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴(21)(2)f x f x ->-可转化为(21)(2)f x f x ->-， 又()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ (21)(2)212f x f x x x ->-⇔->-，两边平方解得：(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ ，故(21)(2)f x f x ->-的解集为(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．15.已知各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若()241n n S a =+，则n a =____. 【答案】21n -【解析】【分析】利用11n n n a S S ++=-得到递推关系式，整理可知12n n a a +-=，符合等差数列定义，利用()21141S a =+求出1a 后，根据等差数列通项公式求得结果. 【详解】由题意得：()21141n n S a ++=+ 则()()2211144411n n n n n S S a a a +++-==+-+ 即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=+-=+{}n a 各项均为正数，即10n n a a ++≠ 12n n a a +∴-=由()21141S a =+得：11a =∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列()11221n a n n ∴=+-⨯=-本题正确结果：21n -【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用11n n n a S S ++=-证明出数列为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得结果.16.A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为2，C 是劣弧AB （包含端点）上一动点，若OC OA OB λμ=+ (,)R λμ∈，则λμ+的取值范围为___.【答案】1,3⎡⎢⎣⎦.【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，其中AB 与y 轴垂直，故C 的坐标可以用,λμ表示为2μλ⎛- ⎝⎭，由C 在单位圆上可得λμ+的取值范围． 【详解】如图以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 3所以点132A ⎛- ⎝⎭ ，点132B ⎛ ⎝⎭， 故13,22OA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，13,22OB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，即3,22OA λλλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22OB μμμ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以 3(),22OC OA OB μλλμλμ⎛⎫-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 又 C 是劣弧AB （包含端点）上一动点, 设点C 坐标为(,)x y ，故112231x y ⎧-≤≤⎪⎪≤≤ ， 因为 3()(,)2OC OA OB x y μλλμλμ⎛-+=+==⎝⎭， 33()1λμ+≤≤ ，解得：231λμ≤+≤， 故λμ+的取值范围为23⎡⎢⎣⎦．【点睛】本题考查向量线性运算中的最值问题，可根据图形的的特点建立合适的平面直角坐标系，把向量的最值问题转化为函数的最值问题．三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数21()3cos cos 2f x x x x ωωω=-+(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-的值. 【答案】(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ) ()56cos 65αβ-= 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出()sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据周期求得ω；(Ⅱ)根据()f x 解析式可求解出cos α，sin β；再利用同角三角函数关系求出sin α，cos β；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】(Ⅰ)()211cos 21cos cos 22222x f x x x x x ωωωωω+=-+=-+12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 21x x -的最小值为2π 22T π∴=,即22T ππω== 1ω∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5sin 13β∴= 又,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 5α∴=，12cos 13β= ()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ∴-=+=⨯+⨯=【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型. 18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾. 附：()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-+≈，(22)0.9544P X μσμσ-+≈，(33)0.9974P X μσμσ-+≈.【答案】（Ⅰ）0.0013 （Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），要求得正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率，化为(3,3)μσμσ-+的形式，然后求解即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的． 【详解】解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知(,)X N 25005．由于=-⨯48550035，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知()(()..P X P X <=--⨯≤≤+⨯≈⨯=1148515003550035000260001322.(Ⅱ)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率约为....-⨯==⨯6000130001300000016916910，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.【点睛】本题主要考查了正态分布中3σ 原则，考查基本分析应用的能力，属于基础题． 19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点.（I ）若E 为1AB 上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求11EBAB 的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，设异面直线1AB 与CD 所成的角为45°，求直线DE 与平面11AB C 成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）25【解析】 【分析】（Ⅰ）取AB 中点M ,连接CM MD ，，证明DE CMD ⊥ ，即可说明1DE AB ⊥，由底面为正方形，可求得EB AB =1114; （Ⅱ）以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面11AB C 的法向量为n ，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解． 【详解】（Ⅰ）证明：取AB 中点M ,连接CM MD ，,有//MD AB 1,因为AC BC =，所以CM AB ⊥, 又因为三棱柱111ABC A B C =为直三棱柱， 所以ABC ABB A ⊥11平面平面, 又因为=ABCABB A AB 11平面平面,所以CM ABB A ⊥11平面， 又因为11DE ABB A ⊂平面 所以CM DE ⊥ 又因为,DE CD CDMD D ⊥=,CD ⊂平面CMD ,CM ⊂平面CMD ,所以DE CMD ⊥平面，又因为MD ⊂平面CMD , 所以DE MD ⊥, 因为//MD AB 1， 所以1DE AB ⊥,连接1A B ,设11A B AB O ⋂=，因为11ABB A 为正方形，所以11A B AB ⊥,又因为,,DE AA B B A B AA B B ⊂⊂平面平面11111 所以1//DE A B , 又因为D 为1BB 的中点， 所以E 为1OB 的中点, 所以EB AB =1114. （Ⅱ）如图以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB a =,由（Ⅰ）可知CDM ∠=45， 所以AB a =122， 所以DM CM a ==2,所以(,,),(,,),(,),(,,),(,,)A a B a a C a a D a a E a a ---111300*********,所以(,,),(,,),(,,)AB a a B C a a DE a a =-==1111122002022， 设平面11AB C 的法向量为()x,y,z =n ，则1110,0AB n B Cn ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,0x y x -+=⎧⎪⎨=⎪⎩ 则n 的一组解为(2,2,1)n =-．所以cos ,DE DE DE →⋅===52n n n所以直线DE 与平面11AB C . 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．20.已知抛物线2:2C x py =(0)p >，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M .（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) 2p = (Ⅱ) 最小值4. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅱ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到124x x =-，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m ；联立两切线方程，可用k 表示出M ，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值. 【详解】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为：2p y =- 焦点到准线的距离为2，即2p =. (Ⅱ)抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '= 设()11,A x y ，()22,B x y ，()21111:42x x l y x x -=- ()22222:42x x l y x x -=-由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =- 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩所以2440x kx m --= 216160k m ∆=+>，12124,44x x k x x m +==-=-，所以1m =即:1l y kx =+联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：21x k y =⎧⎨=-⎩，即：()2,1M k - M 点到直线l的距离d ==()241AB k ==+所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥当0k =时，MAB ∆面积取得最小值4【点睛】本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值. 21.已知1x =是函数2()ln 2xf x ax x x =+-的极值点. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求证：函数()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()07160f x <<. （参考数据：ln 20.69≈，4516e 7<，其中e 为自然对数的底数） 【答案】(Ⅰ) 14a = (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据'(1)0f =，求得实数a 的值，通过导数验证函数单调，可知时14a =极值点为1x =，满足题意；(Ⅱ)由(Ⅰ) 函数()f x 的极小点值位于(2,)+∞ ，此时()g x 的零点位于,x ∈（）0742，且此0x 为()f x 的极小点值点，代入()g x ，()f x 中，化简即可得到()f x 关于0x 的二次函数，求解二次函数在区间,（）742上的值域即可证明结论．【详解】解：(Ⅰ)因为'()ln f x ax x =--122，且1x = 是极值点， 所以'()f a =-=11202，所以14a = . 此时'()ln x f x x =--122 ，设()'()g x f x = ，则'()x g x x x-=-=11222 .则当02x << 时，'()()g x g x <，0 为减函数. 又(1)()ln g g ==-<，102202， 所以在01x <<时，()0>g x ，()f x 为增函数；12x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数.所以1x =为()f x 的极大值点，符合题意.（Ⅱ）当2x > 时，'()0g x >，()g x 为增函数，且()ln g =->342202，(2)0g < 所以存在(),x x ∈=（）,00240g 当02x x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数；0x x > 时，()0>g x ，()f x 为增函数，所以函数()f x 存在唯一的极小值点0x .又()ln g =-757242 ，已知e <54167 ，可得()ln e <⇒<54775422 ， 所以()g <702，所以x <<0742 ，且满足ln x x --=001022.所以()ln ()x x x f x x x x =+-=-+∈，2200000007042416.其中0()0f x >也可以用如下方式证明：()ln (ln )x x f x x x x x x =+-=+-2114242 ，设()ln x h x x =+-142 ， 则'()x h x x x -=-=11444.则当04x << 时，'()0h x < ，()h x 为减函数；当4x > 时，'()0h x >，()h x 为增函数. 所以()()ln h x h ≥=->342202所以在()0f x > ，所以0()0f x >【点睛】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题，从而可将证明问题转化为某一个区间内二次函数值域问题的求解，考查了学生基本计算能力以及转化与划归思想，属于难题．四、选做题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫<⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB 面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 2sin ρθ= (Ⅱ) +324【解析】 【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=， 设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ，所以00x y y x =⎧⎨=⎩ 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ=()R ρ∈， 设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ= ()R ρ∈的对称点为()00,ρθ， 所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ，(),B ρθ22 所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211sin sin sin cos 23322AOB S ππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23πααα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+< 当232ππα+=即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆+34【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.【选修4-5：不等式选讲】23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x a =+++.（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()2f x x >的解集；（Ⅱ）当不等式()1f x >的解集为R 时，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (,1)-∞ (Ⅱ) 0a <或2a >【解析】【分析】(Ⅰ)根据x 的范围得到分段函数()f x 的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到()f x 的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果.【详解】(Ⅰ)1a =-时，()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，22x x ->，即0x < 1x ∴<-当11x -≤≤时，22x >，即1x < 11x ∴-≤<当1x >时，22x x >，无解综上，()2f x x >的解集为(),1-∞(Ⅱ)()11f x x x a a =+++≥-当1a -≤-，即1a ≥时, 1a x -≤≤-时等号成立；当1a ->-，即1a <时, 1x a -≤≤-时等号成立 所以()f x 的最小值为1a - 即11a ->0a ∴<或2a >【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.。
河北省衡水中学2021届高三高考猜题卷(一)数学(理)试题
河北省衡水中学2021年高三高考猜题卷（一）数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}2|250,Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 2．已知i 是虚数单位，复数512i i -的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i 3．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0,1,2,3，第五个值丢失，但该样本的平均数为1，则样本方差为（ ）A ．2B ．65 CD．54．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则C 的焦距等于（ ）A ．4 B．C ．2 D．5．若不等式组0,{2,10x y x kx y ≥≥-+≥表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（ ）A ．15B ．14C ．12D ．15或146．已知sin 2cos αα-=tan2α= A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 7．九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为( )A ．4B ．5C ．7D ．11 8．如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若2BC BF =，且3AF =，则抛物线的方程为（ ）A ．232y x =B ．29y x =C ．292y x =D ．23y x = 9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 （ ）A ．B ．C ．D ．10．在ABC ∆中，()2,?cos 1AB AC BC A π==-=，则cos A 的值所在区间为（ ） A ．()0.4,0.3-- B ．()0.2,0.1-- C ．()0.3,0.2-- D ．()0.4,0.511．已知函数()2x x e a f x e=-，若对任意的12,[1,2]x x ∈，且12x x ≠时，1212[()()]()0f x f x x x -->，则实数a 的取值范围为（ ）A ．22[,]44e e - B ．22[,]22e e - C ．22[,]33e e - D ．22[,]e e -二、填空题12．已知(x +1)2(x +2)2016=a 0+a 1(x +2)+a 2(x +2)2+...+a 2018(x +2)2018，则a 12+a 222+a 323+...+a201822018的值是_______. 13．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A ，B ，C ，D ，E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．14．已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()112m m f x f x -+-=（2m ≥，*N m ∈），则m 的最小值为__________．15．已知等腰直角ABC 的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC 折起，使二面角B AD C --的大小为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________．三、解答题16．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1,S 2,S 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =(−1)n−14n a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．17．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AE ⊥平面CDE ，已知2,AE DE F ==为线段DF 的中点.（I ）求证：BE 平面ACF ；（II ）求平面BCF 与平面BEF 所成锐二面角的余弦角.18．龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自2015年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（I）完成表一中的空位①~④，并作答题纸中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的游戏的人数.(II)完成表二，并判断能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关；(表二）（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++） （III ）按分层抽样（分50岁以上与50岁以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含50岁）的人数为ξ，求ξ的分布列.19．给定椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F 的距离（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N . ①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段MN 的长为定值.20．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈. (I ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值;(II)讨论方程0f x 的解的个数，并说明理由.21．已知曲线C 的极坐标方程是24cos 6sin 12ρρθρθ=+-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）. （1）写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系； （2）将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换','2,x x y y =⎧⎨=⎩得到曲线E ，设曲线E 上任一点为(),M x y12y +的取值范围.22．设函数()f x x a =- a R ∈ .(Ⅰ)当5a = 时，解不等式()3f x ≤ ；(Ⅱ)当1a = 时，若x R ∃∈，使得不等式()()1212f x f x m -+≤-成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．D【解析】{}{}25|250,N |0,N 0,1,22Q x x x x x x x ⎧⎫=-≤∈=≤≤∈=⎨⎬⎩⎭ ，所以满足P Q ⊆ 的集合P 有328= 个，故选D.2．B【解析】 因为()()()()512512*********i i i i i i i i i ++===-+--+ ，所以复数512i i-的虚部为1 ，故选B.3．A【解析】设丢失的数据为a ，则这组数据的平均数是()012351a ++++÷= ，解得1a =- ，根据方差计算公式得()()()()()2222221110111213125s ⎡⎤=--+-+-+-+-=⎣⎦ ，故选A. 4．C【解析】由题意知，取双曲线C 的渐近线0bx ay -=，焦点(),0F c ，bc b c ==⇒=22c c a a =⇒=，则2222c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2c =，故选C.5．D【解析】试题分析：由题意可知2y x =与10kx y -+=垂直或10kx y -+=与0x =垂直，所以0k =或12k =-， 0k =时三角形面积是14， 12k =-时2y x =与10kx y -+=交点24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，三角形面积为15考点：线性规划点评：线性规划题目结合图形分析6．A【解析】sin 2cos 2αα-=，225sin 4cos 42sin cos αααα∴-+=. 化简得：4sin23cos2αα=.3tan24α∴=.故选A. 点睛：三角化简求值合理利用22sin ?1cos αα+=和tan sin cos ααα=. 7．A【解析】起始阶段有23m a =-，1i =，第一次循环后，()223349m a a =--=-，2i =；第二次循环后，()2493821m a a =--=-，3i =；第三次循环后，()282131645m a a =--=-，4i =；接着计算()2164533293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-.令329335a -=，得4a =.选A.8．D【分析】分别过点,A B 作准线的垂线，分别交准线于点,E D ，设||BF a =，根据抛物线定义可知||BD a =，进而推断出BCD ∠的值，在直角三角形中求得a ，进而根据//BD FG ，利用比例线段的性质可求得p ，则抛物线方程可得.【详解】解：如图分别过点,A B 作准线的垂线，分别交准线于点,E D ，设||BF a =，则由已知得：||2BC a =， 由定义得：||BD a =，故30BCD ∠=， 在直角三角形ACE 中，||3,||33AF AC a ==+， 2||||AE AC ∴=，336a ∴+=，从而得1a =， //BD FG ，123p ∴=求得32p =， 因此抛物线方程为23y x =， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握. 9．D 【解析】试题分析：依次还原几何体，可以得出A,B,C 中的三视图是同一个三棱锥，摆放的位置不同而已，而D 和它们表示的不是同一个三棱锥.考点：本小题主要考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力. 点评：解决此类问题的关键在于根据三视图还原几何体. 10．A 【分析】先设BC a =，由题意得到1cos 0A a=-<，在ABC ∆ 中，2AB AC ==，结合余弦定理得到32118810a a ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x a -=，得()32881f x x x =-+，用导数方法研究其单调性，再根据零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】设BC a = ，()cos 1BC A π⋅-= ，1cos 0,A a∴=-< 在ABC ∆ 中，22222228182,cos ,22288a a a AB AC A a +---====∴-=⨯⨯ ， 化为32118810a a ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x a-= ，则()32881f x x x =-+ ，()22416,f x x x '=- 可得()f x 在(),0-∞ 上递增，()0.4 1.4 1.2810f -=-⨯+< ，()0.30.0640f -=> ()cos 0.4,0.3A ∴∈-- ，故选A. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记函数零点存在定理，利用导数方法研究函数单调性，以及余弦定理即可，属于常考题型. 11．B 【解析】由题意得|()|y f x = 在[1,2] 上单调递增;当0a ≥ 时,()f x 在[1,2] 上单调递增,所以由2(1)002e f a ≥⇒≤≤ ;当0a < 时, |()|()f x f x =,由()02x x e af x x e=⇒='=+因此()f x 的单调增区间为)+∞ ,所以由2102e a ≤⇒-≤< ;综上实数a 的取值范围为22,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,选B.12．(12)2018【解析】取x =−2可得a 0=0；取x =−32可得12a 1+122a 2+123a 3+⋅⋅⋅+122018a 2018=122(12)2016=122018，应填答案122018。
衡水中学2021高三理科数学周测题含答案
B ． 2 AB - 1 AC⎨ ⎩学 校 : 准 考 证 号:姓名:（在此卷上答题无效）工作秘密★启用前衡水市第二中学周测题4.13理 科 数 学本试卷共 5 页。
满分 150 分。
注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A ={x x ≥1} ， B = {x ( x - 4)( x + 2)≥0}，则 A ． {x -2≤x ≤1}B ． {x 1≤x ≤4}C ．{x -2＜x ＜1}D ．{x x ＜4}2. 等差数列{a n } 的前 n 项和为S n ，若a 4 = 4 ， S 13 = 104 ，则a 10 = A ．10 B ．12 C ．16D ． 20⎧x - y ≥0, 3. 设 x , y 满足约束条件⎪x - 2 y ≤0, 则 z = 2x + y 的最大值是⎪ y -1≤0, A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 4.(2x -1)( x + 2)5的展开式中， x 3 的系数是 A ． 200B ．120C ． 80D ． 405. 某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均 用水量的数据，制得频率分布直方图（如图）．若以频率代替概率，从该市随机抽取 5 个家庭，则月均用水量在8～12吨的家庭个数 X 的数学期望是 A ． 3.6B ． 3C ．1.6D ．1.56．在△ABC 中， DC = 2BD ，且 E 为 AC 的中点，则 DE =A ． - 2 AB + 1 AC 3 6 3 6 C. - 1 AB - 1 AC 3 6 D.2 AB + 5AC 3 67. 若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是 A ． (1, 2)B ． (1, 3)C.( 2, +∞)D.( 3, +∞)R ( A B ) =8.某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2 ，高为3 的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是A.16π9 B.8π9 C.16π27 D.8π279.已知f (x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于f (x)的结论：①f (x)是周期函数；②f (x)满足f (x)=f (4 -x)；③f (x)在(0, 2)单调递减；④f (x)= cosπx是满足条件的一个函数．2其中正确结论的个数是A．4 B．3 C．2 D．110.设抛物线E：y2 = 6x 的弦AB 过焦点F ，AF = 3 BF ，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A'，B'，则四边形AA'B'B 的面积等于A．4 B．8 C．16 D．3211.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系. 图2 为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬图1至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角23︒41 23︒57' 24︒13' 24︒28' 24︒44'正切值0.439 0.444 0.450 0.455 0.461年代公元元年公元前2000 年公元前4000 年公元前6000 年公元前8000 年A．公元前2000 年到公元元年B．公元前4000 年到公元前2000 年C．公元前6000 年到公元前4000 年D．早于公元前6000 年12．在满足0 <x <y ≤4 ，x y i =y x i 的实数对(x i , y i )（i = 1, 2,⋅⋅⋅n,⋅⋅⋅）中，使得i i i ix1+x2+⋅⋅⋅+xn-1< 3xn成立的正整数n 的最大值为A．5 B．6 C．7 D．933 3 3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）0.92．（5分后）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系就是c （）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b3．（5分后）未知a＞1，a．0＜x＜1b．1＜x＜0，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0与x轴所围站图形的面积为（）5．（5分）曲线a．4b．2c．1d．36．（5分）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴7．（5分后）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）a．f（x）=x3b．f（x）=+xc．f（x）=3xd．f（x）=3+x38．（5分后）设f（x）就是奇函数，对任一的实数x、y，存有f（x+y）=f（x）+f （y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（）a．有最大值f（a）b．有最小值f（a）c．有最大值d．存有最小值9．（5分）已知函教f（x）=asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜a）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）a．[6kπ，6kπ+3]，k∈zb．[6k3，6k]，k∈zc．[6k，6k+3]，k∈zd．[6kπ3，6kπ]，k∈z1页10．（5分）若不等式lg≥（x1）lg3对任意x∈（∞，1）恒成立，则a的取值范围就是（）a．（∞，0]b．[1，+∞）c．[0，+∞）d．（∞，1]11．（5分后）设f（x）就是定义在r上的函数，其Auron函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2021，则xx不等式ef（x）＞e+2021（其中e为自然对数的底数）的边值问题为（）a．（2021，+∞）b．（∞，0）∪（2021，+∞）c．（∞，0）∪（0，+∞）d．（0，+∞）12．（5分后）设立函数f（x）=sin，若存有f（x）的极值点x0满足用户x0+[f（x0）]＜m，则m的值域222范围就是（）a．（∞，6）∪（6，+∞）b．（∞，4）∪（4，+∞）c．（∞，2）∪（2，+∞）d．（∞，1）∪（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分后）若非零向量，满足用户|+|=||=2||，则向量与+的夹角为．14．（5分后）设立函数y=f（x）在r上加定义，对于任一取值的正数p，定义函数2，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2x1，p=2，则下列结论不成立的是：．①fp[f（0）]=f[fp（0）]；②fp[f（1）]=f[fp（1）]；③fp[fp （2）]=f[f（2）]；④fp[fp（3）]=f[f（3）]．15．（5分后）未知f（x）就是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2x+|，若函数y=f（x）a在区间[3，4]上加10个零点（互不相同），则实数a的值域范围就是．16．（5分后）未知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则△abc面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2217．（10分）已知a∈r，命题p：“?x∈[1，2]，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，谋实数a的值域范围．18．（12分后）在△abc中，内角a，b，c面元的边分别为a，b，c，未知sinc+sin （ba）=sin2a，a≠．2（ⅰ）求角a的取值范围；（ⅱ）若a=1，△abc的面积s=x，c为钝角，求角a的大小．19．（12分后）未知函数f（x）=e+ax1（e为自然对数的底数）．（ⅰ）当a=1时，谋过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围起的三角形的面积；2（ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒设立，谋实数a的值域范围．20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（4，2）时，f（x）的最大值为4．（ⅰ）求实数a的值；2页，（ⅱ）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），并使f（x1）g（x2）=0，谋实数b的值域范围．21．（12分后）未知函数f（x）=x+3+ax+b，g（x）=x+3+lnx+b，（a，b为常数）．（ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（ⅱ）设立函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）x=xf′（x）存有唯一求解，谋实数b的值域范围；（ⅲ）令f（x）=f（x）g（x），若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22．（12分后）未知函数，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并推论与否存有极值；（ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（ⅲ）证明：（n∈n+，n≥2）．3页2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）（2021?重庆三模）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可．【解答】解：由a中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即a=[1，+∞）；由b中的不等式解得：4＜x＜4，即b=（4，4），则a∩b=[1，4）．故选：b．【评测】此题考查了关连及其运算，熟练掌握关连的定义就是求解本题的关键．2．（5分）（2021?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c 的大小关系是c（）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．0.9【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1，∴b＜a＜c．故选：c．【评测】本题考查了指数与对数函数的单调性，属基础题．3．（5分）（2021?南昌校级二模）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件就是0.9（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】谋出来不等式的边值问题即为不等式设立的充要条件；据当子集a?子集b且b?a时，a就是b的充份不必要条件．【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞12∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021春?玉溪校级期末）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0【分析】根据分段函数的定义域，算出f（1）的值，再根据分段函数的定义域展开代入解；4页【答疑】求解：函数2，f（1）=π+1＞0，∴f（f（1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（1）））=π，故选c；【评测】此题主要考查函数值的解，就是一道基础题；5．（5分）（2021春?进贤县校级月考）曲线a．4b．2c．1d．3上的积分可求出答案．上的积分，与x轴所围站图形的面积为（）【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤即s==3=3=3，故选：d．【评测】本题主要考查余弦函数的图象和用定分数谋面积的问题．属于基础题6．（5分）（2021?开封模拟）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2xz．由x=kπ，k∈z，解得函数y=cos（x）的对称轴为：x=kπ，k∈z．=k，k∈z，解得函数y=sin（2x）的对称轴为：x=+，k∈k=0时，二者存有相同的对称轴．由2x由x=kπ，k∈z，可解得函数y=sin（2x=k）的对称中心为：（）的对称中心为：（kπ+，0），k∈z．，0），k∈z．，k∈z，可解得函数y=cos（x故2函数没相同的对称中心．故选：a．【评测】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属基本知识的考查．7．（5分后）（2021?厦门演示）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）5页。
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十五)物理试题
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十五）物理试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
选择题部分一、选择题（本题共13小题，每小题3分，共39分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.下列各组单位都属于国际单位制中的基本单位的是（）A. 牛顿，米B. 安培，摩尔C. 焦耳，千克D. 库伦，秒【答案】B【解析】【详解】国际单位制中的基本单位有7个，分别为时间单位“秒”、长度单位“米”、质量单位“千克”、电流单位“安培”、温度单位“开尔文”、物质的量单位“摩尔”和发光强度单位“坎德拉”，所以B正确，ACD错误。
河北省衡水市衡水中学2021届高三数学试题模拟合辑含详解
（Ⅰ）当 t 0 时，求 f x 的弹性区间 D； （Ⅱ）若 f x 1 在（Ⅰ）中的区间 D 上恒成立，求实数 t 的取值范围.
5
数学参考答案 _210210
一、选择题
1.B【解析】因为 A {x∣0 x 2}, B {x∣0 x 4} ， C {0, 2, 4, 6,} ，所以 A B {x∣0 x 4} ，所以
B. g(x) 的最小正周期为
C.点
8
,
0
是
g(x)
图象的一个对称中心
D. g(x) 的最大值为 5
12. 已 知 函 数
f
(x)
sin(
x
)
0,|
|
2
在区间
2
,
2 3
上至少存在两个不同的
x1, x2
满足
f
x1
f
x2 1 ，且
f
x
在区间
3
,
12
上具有单调性，点
6
的答案是 S1, S3 , S2 成等差数列. 如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.
4
22.（12 分）
定义可导函数 y f x 在 x 处的弹性函数为 f (x) x ，其中 f (x) 为 f (x) 的导数.在区间 D 上，若函数
f (x)
f x 的弹性函数值大于 1，则称 f x 在区间 D 上具有弹性，相应的区间 D 也称作 f x 的弹性区间. （1）若 r(x) ex x 1 ，求 r x 的弹性函数及弹性函数的零点；
1 2
x
第15题 导数与函数的最值-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(含答案解析)
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数为增函数，设 ， 可得 ，从而可得 ，构造函数 ，利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】函数 ，每段函数均为增函数，
当 时， ，
当 时， ，
所以函数在整个定义域内为增函数，
若 ，且 ，
则 与 一个大于 ，一个小于 ，
不妨设 ，则 ，
可得 ，即 ，
三、以例及类
（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）
一、单选题
(2021湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中2021届高三下学期仿真模拟)
1.设函数 在 上存在最小值(其中 为自然对数的底数， )，则函数 的零点个数为（）
A.0B.1C.2D.无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】求出导函数 ，分类讨论得函数有最小值时 的范围，然后由判别式判断 零点个数．
所以 ，
设 ，
，
当 时， 为减函数；
当 时， 为增函数；
故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数求出函数的最值，解题的关键是将等式转化为 ，构造函数 ，考查了运算求解能力.
（2021广东省高三二模）
3.已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为 的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为（）
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性与极值．解题基础是掌握单调性与导数的关系．解题关键是对“存在”、“任意”等词语的正确理解，掌握相应命题的求解方法．
（2021河北省衡水中学高三下学期三调）
5.已知实数 满足 ，当 取最小值时， 的值为（）
A. B，
时， ， ， ， ，
，B错误，
2021届河北衡水中学新高考原创预测试卷(一)数学
2021届河北衡水中学新高考原创预测试卷（一）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填涂在答题卡上．）1、已知集合{1,3,4,5},{}A B x x m ==≥，若{3,4,5}A B ⋂=，则m 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞ B ．(1,3] C ．(1,3) D ．[1,3]2、已知复数z 满足：(12)i z +=（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．1BCD ．5 3、某中学新招聘了3位物理老师，他们将有两人被安排到高一级任教6个不同的班别，其中每位老师教3个班，另一人被安排到高二年级，任教3个不同的班别，则不同的安排方法有（ ） A ．6种 B ．60种 C ．120种 D ．1200种4、某中学为推进智能校园建设，拟在新校区每个教室安装“超短距”投影仪，如图：投影仪安装在距离墙面20cm 处，其发射的光线可以近似的看作由一个点S 发出，光线投影在墙面上的屏幕AB 上，已知AB 高度为120cm ，光线上界SA 的俯角为45︒，则投影仪的垂直视角的余弦值cos ASB ∠=（ ）A B C ．35 D ．455、2021年高考实行选择性考试，其中物理和历史中选考1科（必须选1科而且只能选1科），再在化学、生物、政治、地理中选考2科（必须选2科而且只能选2科）．某中学选考物理的考生199人，选考历史的考生251人，未选化学的考生310人，既选物理又选化学的考生80人，则既选历史又选化学的考生人数为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．806、新型冠状病毒肺炎的潜伏期X （单位：日）近似服从正态分布：()2~7,X N σ，若(3)0.872P X >=，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）A ．0.372B ．0.256C ．0.128D ．0.7447、在ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，P 是直线EF 上一个动点，若AP AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．12 B ．13 C ．1 D ．148、已知函数2sin ()21A xf x x =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）A ．2B ．4C ．1D ．0二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有两项及以上是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的不得分．把答案填涂在答题卡上．）9、已知双曲线E 的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的标准方程可以是（ ）A ．22124x y -=B ．22124y x -=C ．2212y x -=D ．2212y x -= 10、已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．4A =B ．1b =C ．2ω=D ．6πϕ=11、已知实数0m >，0n >，则下列判断必然成立的是（ ） A ．4m n n m +的最小值为1 B ．4sin sin m m+的最小值为4 C ．若1m n +=，则m n ⋅的最大值为14D ．2()m n mn +的最大值为412、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足以下条件：①(2)(2)f x f x -=+，②()f x 在区间(0,2]内单调递增，③(1)0f =，则以下判断正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数，最小正周期是8 B ．()f x 的图象关于直线2x =对称 C ．()f x 在区间(5,5)-上有9个零点 D ．当(3,1)x ∈--时()0f x >三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡上．） 13、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若2379a a a ++=，则7S =_______14、曲线ln y x x =⋅上点(1,0)处的切线方程为_______15、斜率为1的直线经过双曲线2213y x -=的一个焦点并与双曲线交于,A B 两点，则||AB =______16、三棱锥P ABC -的底面ABC 的等边三角形，若1,2PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_______四、解答题（本大题共6小题，共80分．答案写在答题卡上．）17、（10分）ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22()a bc b c +=+ （1）求角A ；（2）若1,3b c ==，D 为BC 中点，求中线AD 的长．18、（12分）已知等比数列{}n a 中11a =，123,,1a a a -成等差数列 （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2(1)log nn n b a =-⋅，试求数列{}n b 的前n 项和n S ．19、（12分）某高校为了解玩手杋游戏对个人心理健康的影响，用随机抽样的形式对在校学生100人进行了抽样调查，结果显示被抽查的100人中，日均玩游戏3小时以上人数为20人，其中出现心理问题人数为14人，日均玩游戏3小时以下的学生中，出现心理问题的人数是未出现心理问题人数的14． （1）经过计算完成以下22⨯列联表（2）据上表，判断是否有99.9%的把握认为“日均游戏3小时以上”和“出现心理问题”有关？附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，附表：（3）以本次调查得到的频率为概率，在校园里随机调查3人，设日均玩游戏3小时以上人数为X ，求X的分布列和数学期望．20、（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是一个边长为2的菱形，且3ABC π∠=，PA ⊥平面ABCD ，||2PA =，Q 是线段AP 上一点，且||AQ m =．（1）若1m =，求证：//PC 平面QBD ；（2）设直线QD 与平面PAB 所成角为α，求sin α的取值范围． 21、（12分）已知函数(),()ln()xf x x eg x x a =⋅=+（1）讨论()f x 单调性，若有极值，求出极值及相应的x 的值； （2）已知()()f x g x >对任意(,)x a ∈-+∞成立，求a 的取值范围．22、（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为：12(2,0),(2,0)F F -，P 为椭圆E上除长轴端点外任意一点，12PF F 周长为12． （1）求椭圆E 的方程；（2）作12F PF ∠的角平分线，与x 轴交于点(,0)Q m ，求实数m 的取值范围．数学参考答案及详解一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填涂在答题卡上．） 1、答案：B详解：画数轴辅助解题，显然13m <≤ 考点：集合——集合的运算 2、答案：A详解：法一：由(12)i z +=得：z ====||1z ===法二：||,||112|12|z z i i ====++考点：复数——复数的概念，几何意义及运算 3、答案：B详解：首先从3位老师中选出一位133C =任教高二，余下两个老师中，指定其中一个从6个班选3个来任教3620C =，所以不同的安排方法有：32060⨯=种考点：概率与统计——排列组合 4、答案：D详解：法一：∵QAS 为等腰直角三角形，∴20cm QA =，∴140cm QB =，SB =∴sin1010QSB QSB ∠==∠==∴()4cos cos 45cos cos45sin sin 45255ASB QSB QSB QSB ︒︒︒∠=∠-=∠+∠==法二：依题意得：120,SA AB SB ===2224cos5ASB ∠==法三：从图上过点A 作AQ SB ⊥，用刻度尺量出SQ 和SA 的长度则cos SQASB SA∠=，易得cos 0.8ASB ∠≈考点：解三角形——解三角形的实际应用 5、答案：C详解：显然总人数为450人，选化学的人数：450310140-=，所以既选历史又选化学的人数为：1408060-=考点：统计与概率——统计6、答案：C详解：根据对称性知，(11)(3)1(3)0.128P X P X P X ≥=≤=->= 考点：统计与概率——正态分布 7、答案：A详解：法一：∵P 在EF 上，若AP mAE nAF =+，则1m n +=1122AP mAB n AC =+，即11,22m n λμ==，∴11()22m n λμ+=+= 法2：令角90A ︒=，1AB AC ==，令P 为EF 中点，以A 为原点，AB 为y 轴正半轴，AC 为x 正半轴建立平面直角坐标系．则11,,(0,1),(1,0)44AP AB AC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由AP AB AC λμ=+得14λμ==，∴12λμ+=考点：平面向量 8、答案：B 详解：设2sin ()1A xg x x =+，显然()g x 为奇函数，则()g x 的最大值为2M -，最小值为2m -，由奇函数对称性知，两者相加为0，即2(2)0M m -+-=，∴4M m += 考点：函数性质——奇偶性的应用二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有两项及以上是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的不得分．把答案填涂在答题卡上．） 9、答案：ACD详解：A 、C 、D 的渐近线都是y =，B 的渐近线是y x =考点：圆锥曲线——双曲线定义及方程 10、答案：BC 详解：周期115:212122T T πππ=-=，解得：T π=，2ω=，24(2)6A =--=， ∴3,24(2)2A b ==+-=，∴1b =，将5,412π⎛⎫⎪⎝⎭代入3sin(2)1y x ϕ=++，解得3πϕ=-考点：三角函数——三角函数的图象与性质 11、答案：AC详解：14m n n m +≥=当4m n n m=即2n m =时取得最小值1，A 正确， B ：当m π=时4sin 1(4)5sin m m+=-+-=-，B 错误 C ．当2124m n m n +⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当12m n ==时取得最大值14，C 正确 D ．2()44m n mn mn mn +≥=，4是2()m n mn+的最小值，D 错误 考点：不等式——基本不等式 12、答案：AB详解：由(2)(2)f x f x -=+知函数关于直线2x =对称，B 正确，定义在R 上的奇函数有(0)0f =，有对称中心(0,0)，由于有对称轴有对称中心，所以函数必为周期函数，周期428T =⨯=，A 正确，画函数草图知()f x 在区间(5,5)-零点有7个，C 错，当(3,1)x ∈--时()0f x <，D 错 考点：函数——函数的图象与性质三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡上． 13、答案：21详解：2371399a a a a d ++=+=，∴133a d +=，()7117217321S a d a d =+=+= 考点：数列——等差数列的基本运算 14、答案1y x =-详解：ln 1,(1)1y x k y ''=+==，切线方程为1y x =- 考点：导数——导数的运算、导数的几何意义 15、答案：6详解：双曲线2213y x -=的其中一个焦点为(2,0)，直线l 方程为2y x =-代入双曲线方程得：223(2)30x x ---=得22470x x +-=，21||2x x a -===，21||6AB x =-= 考点：圆锥曲线——双曲线与直线的关系 16、答案：5π详解：由PA PB PC 、、及底面边长知PA 垂直底面ABC ，等边三角形ABC 的外接圆半径为1如图所示，球的轴截面中PA 垂直小圆直径AQ ，∴PQ 为球的直径，2R ==245S R ππ==考点：立体几何——球的有关计算四、解答题（本大题共6小题，共80分．答案写在答题卡上．） 17、详解：（1）由22()a bc b c +=+得：222b c a bc +-=- 2分由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +--===- 4分 ∴23A π=5分 （2）取AB 中点E 连结DE ，则DE 为ABC 中位线 在AED 中13,,223DE AE DEA π∠=== 7分 由余弦定理得22219372cos 4444AD DE AE DE AE DEA ∠=+-⋅⋅=+-= 9分∴2AD =10分（第二问多种解法，请酌情给分）考点：解三角形——正弦定理余弦定理的综合运用 18、解：（1）∵123,,1a a a -成等差数列 ∴132112,1a a a a +-==代入得322a a =，即2q = 3分∴1112n n n a a q --== 5分（2）2(1)log (1)(1)n nn n b a n =-⋅=-- 6分法一：1231n n n S b b b b b -=+++++12310(1)1(1)2(1)(2)(1)(1)(1)n n n S n n -=⨯-+⨯-+⨯-++--+-- ①23410(1)1(1)2(1)(2)(1)(1)(1)n n n S n n +-=⨯-+⨯-+⨯-++--+-- ② 7分①-②得：2312(1)(1)(1)(1)(1)n n n S n +=-+-++---- 8分211(1)(1)2(1)(1)2n n n S n ++---=---1111(1)(1)121(1)(1)4244n n n n n n S +++----=--=-- 12分法二：当n 为偶数时(1)n b n =-，当n 为奇数时(1)n b n =-- 7分 当n 为偶数时01234(2)(1)2n nS n n =+-+-+--+-=9分 当n 为奇数时101234(2)(1)2n n S n n -=+-+-++---=- 11分 ∴ 21 2n nn S n n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数 12分考点：数列——等差数列、等比数列、数列求和问题、数列综合运用19、解：（1）在日均游戏3小时以上20人中，出现心理问题14人，未出现心理问题：20146-=（人） 日均玩游戏3小时以下80人，其中出现心理问题人数180165⨯=（人），未出现心理问题801664-=（人） 完成表格：4分（无计算过程扣1分）（2）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2100(6414166)20803070⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯2100(6414166)20803070⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 7分210080020803070⨯=⨯⨯⨯19.05≈∴()20.001P K k ≥=∴有99.5%的把握认为“日均游戏3小时以上”和“出现心理问题”有关．8分 （3）由题意知日均玩游戏3小时以上的概率为：200.2100p == 9分X 可取0，1，2，333(0)(1)0.512P X C p ==-=1123(1)(1)0.384P X C p p ==-=2213(2)(1)0.096P X C p p ==-=333(3)0.008P X C p === 11分()00.51210.38420.09630.0080.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 12分 考点：统计与概率——独立性检验、二项分布、数学期望与方差20、证明：（1）连接AC BD M ⋂=，连接QM∵1m =∴Q 为AP 中点在菱形ABCD 中，M 为AC 中点∴MQ 为APC 的中位线∴//MQ PC 3分MQ ⊂平面QBDPC ⊄平面QBD∴//PC 平面QBD 6分（2）取CD 中点E 连接AE ，在ADE 中2,1,3AD ED ADE π==∠=余弦定理得：AE =∴AE CD ⊥又∵//CD AB∴AE AB ⊥∴AB AE AP 、、两两互相垂直以A 为原点，AB AE AP 、、分别为x 、y 、z 正半轴建立空间Rt 坐标系如图所示． 8分则((0,0,),()D Q m QD m -=--显然平面PAB 的法向量为(0,1,0)n =3sin |cos ,|4QD n α=<>=+ 10分∵Q 在线段AP 上∴02m ≤≤∴sin 42α∈⎣⎦ 12分考点：立体几何——平行类问题、空间向量应用21、解：（1）()xf x x e =⋅定义域为R ； ()(1)x f x x e '=+⋅，令()0f x '= 2分得1x =- 3分当(,1)x ∈-∞-时()0,()f x f x '<单调递减当(1,)x ∈-+∞时()0,()f x f x '>单调递增 5分当1x =-时min 1()(1)f x f e=-=- 6分 （2）设()()h x f x x =-，则()x h x x e x =⋅-()(1)1x h x x e '=+-显然(0)0h '=，当0x <时()0h x '<，当0x >时()0h x '>∴min ()(0)0h x h ==即()f x x ≥①，当且仅当0x =时，()f x x = 8分设()()H x x g x =-则()ln()H x x x a =-+，定义域为(,)a -+∞ 1()1H x x a'=-+，令()0H x '=得 1x a =-显然：当1x a <-时()0H x '<，当1x a >-时()0H x '>∴min ()(1)1H x H a a =-=-即()1x g x a ≥+-②，当且仅当1x a =-时()1x g x a =+- 10分综合①②得：()()1f x x g x a ≥≥+-即()()1f x g x a ≥+-（当且仅当10x a =-=时取等号）要使()()f x g x >则需()1()g x a g x +-> 即1a <a 的取值范围是(,1)-∞ 12分 （其它解法酌情给分）考点：导数——导数综合应用22、解：（1）∵12PF F 周长为12∴21248a =-=4,a b ==∴椭圆E 的方程为2211612x y += 4分（2）在12PF F 中1(,)PF a c a c ∈-+即1(2,6)PF ∈ ∵PQ 为12F PF ∠的角平分线 ∴1212QF QFPF PF = 由合比性质得121212122122QF QF QF QF c PF PF PF PF a +====+ 6分 即111(1,3)2QF PF =∈ ∵1(2)2QF m m =--=+∴2(1,3)m +∈∴(1,1)m ∈- 12分（多种解法，酌情给分）考点：圆锥曲线——椭圆的定义与方程、直线与椭圆位置关系．。
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2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十五）理科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}240P x x x =->，(){}2log 12Q x x =-<，则()RP Q =（ ）A. []0,4B. [)0,5C. (]1,4 D. [)1,5【答案】C 【解析】 【分析】先由二次不等式及对数不等式的解法求出集合P 、Q ，然后结合集合交、并、补的混合运算求解即可. 【详解】解：解不等式240x x ->，得4x >或0x <，即{4P x x =或}0x <， 即R C P ={}04x x ≤≤,解不等式2log (1)2x -<，得014x <-<，即15x <<，即{}15Q x x =<<，即()RP Q ={}14x x <≤=(]1,4，故选：C.【点睛】本题考查了二次不等式及对数不等式的解法，重点考查了集合交、并、补的混合运算，属基础题. 2.若复数z 满足()()2212z -=+i i ，则z =（ ）A. 3B.C. 2D.【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法及除法运算可得2z i =-+，然后求其模即可. 【详解】解：由()()2212z -=+i i ，则2(12)(34)(2)10522(2)(2)5i i i iz i i i i +-++-+====-+--+，所以z == 故选：B.【点睛】本题考查了复数的乘法及除法运算，重点考查了复数模的运算，属基础题. 3.在ABC 中，“·0AB BC ＞” 是“ABC 为钝角三角形”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由向量数量积和两向量夹角的定义，结合充分必要条件的定义，即可判断出结论；【详解】在△ABC 中，若·0AB BC ＞，则cos （π﹣B ）＞0，即cos B ＜0，B 为钝角，则△ABC 是钝角△；若△ABC 是钝角△，不一定B 角为钝角，则·0AB BC ＞不成立，所以“·0AB BC ＞” 是“ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：C.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法:1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 4.已知函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则该函数图象是由cos 2y x =的图象经过怎样的变换得到?（ ）A. 向左平移3π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度D. 向右平移6π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式及三角函数图像的性质可得2sin 2cos(2)cos 2()633y x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，然后结合函数图像的平移变换求解即可.【详解】解：由函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则22T π=，即T π=， 则2ππω=，即2ω=，则sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又2sin 2cos(2)cos 2()633y x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 又函数cos 2()3y x π=-的图象是由cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到，即函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是由cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到， 故选：C.【点睛】本题考查了诱导公式及三角函数图像的性质，重点考查了函数图像的平移变换，属基础题. 5.七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是（ ）A.38B.516C.716D.13【答案】C 【解析】 【分析】设大正方形的边长为4，阴影部分可看做一个等腰直角三角形和梯形，然后分别求出其面积，代入几何概型的概率公式求解.【详解】设大正方形的边长为4，则面积为4416⨯=，阴影部分：一部分可看做一个等腰直角三角形，直角边边长为221222242⨯=， 2，下底为222，面积为(1222232⨯=， 所以此点取自阴影部分的概率是4371616p +==. 故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，以及数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 6.已知sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ） A . 0B. 1C.22D.3【答案】A 【解析】 【分析】利用和差角公式可求得tan α的值，再利用二倍角的余弦公式结合弦化切的思想可求得cos2α的值.【详解】sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3113cos sin cos 2222αααα+=+，可得tan 1α=，222 22222cos sin1tancos2cos sin0cos sin1tanααααααααα--∴=-===++.故选：A.【点睛】本题考查三角求值，考查和差角公式、二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.142π+B.510122π++C.5101224π+++D.1244π++【答案】D【解析】【分析】根据三视图知几何体是一个四分子一圆锥与一个三棱锥的组合体，分别计算其表面积得解. 【详解】四分子一圆锥表面积1111212211442242Sππ+=+⨯+⨯⨯=+12112ABD BCDS S∆∆==⨯⨯=,13322222ACDS∆==所以组合体表面积为1131+1+1+=4+4224+++ 故选：D【点睛】本题考查三视图还原几何体求表面积问题.几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．8.在12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为（ ）A. 56B. 448C. 408D. 1792【答案】B 【解析】 【分析】由12n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，可得8n =，再结合812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为882182r r rr T C x --+=求解即可.【详解】解:由12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则26n n C C =,即268n =+=,则812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为88821881(2)()2r r r r r rr T C x C xx ---+==, 令822r -=-, 则=5r , 则该展开式中21x的系数为85582448C -=, 故选:B.【点睛】本题考查了二项式系数，重点考查了二项式展开式通项公式及指定项系数，属基础题.9.孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（ ）A. 132B. 133C. 134D. 135【答案】D 【解析】 【分析】列举出该数列的前几项，可知该数列{}n a 为等差数列，求出等差数列的首项和公差，进而可得出数列{}n a 的通项公式，然后求解满足不等式22021n a ≤≤的正整数n 的个数，即可得解. 【详解】设所求数列为{}n a ，该数列为11、26、41、56、，所以，数列{}n a 为等差数列，且首项为111a =，公差为261115d =-=， 所以，()()1111151154n a a n d n n =+-=+-=-， 解不等式22021n a ≤≤，即21542021n ≤-≤，解得21355n ≤≤， 则满足21355n ≤≤的正整数n 的个数为135， 因此，该数列共有135项. 故选：D.【点睛】本题考查数列项数的计算，求出数列的通项公式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 10.已知点()(),n n a n *∈N在函数ln y x =图象上，若满足12n a a a nSe e e m =+++≥的n 的最小值为5，则m 的取值范围是（ ） A. (]10,15 B. (],15-∞C. (]15,21D. (],21-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】求得ln n a n =，进而可得出()1122n n n S n +=+++=，由题意可得出45S m S <≤，由此可得实数m 的取值范围.【详解】由于点()(),n n a n *∈N 在函数ln y x =图象上，则ln nan =，则n a e n =，所以，()121122n a a a n n n S e e e n +=+++=+++=， 由于满足12n a aan S e e e m =+++≥的n 的最小值为5，则45S m S <≤，所以，1015m <≤.因此，实数m 的取值范围是(]10,15. 故选：A.【点睛】本题考查参数取值范围的计算，考查了等差数列求和公式的应用，根据题意得出45S m S <≤是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.11.已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点，过()1,0F c -作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，若12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B.2 C. 3D.3【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，设1AF m =，可得22AF m a =+，根据角平分线定理可得1122AF MF AF MF =，可得出m 与a 的等量关系，再利用勾股定理可得出a 、c 的关系式，进而可求得双曲线的离心率. 【详解】设1AF m =，可得22AF m a =+，如下图所示：由于12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则121122213423AMF AMF c S AF MF SAF MF c ====，即122m m a =+，12AF m a ∴==，224AF m a a =+=，在12Rt AF F △中，由勾股定理可得2222112AF AF F F =+，即()()()222422a a c =+，c ∴=，因此，椭圆的离心率为==ce a. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查了利用双曲线的定义求解焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题. 12.已知方程()2111x x x e ex x ae---+=-有三个不同的根，则实数a 的取值范围为（ ） A. ()1,e -B. 1,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. ()1,1-D. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 将等式变形为1111x x x xe ae--+=-，换元()1x x u x e -=，可得出()2110u a u a +---=，利用导数分析得出函数()1x xu x e-=的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】将等式()2111x x x e e x x ae---+=-变形1111x x x xe a e--+=-，令()1x xu x e -=，则11u u a+=-即()2110u a u a +---=， ()11x xu x--'=，令()0u x '=，得1x =，列表如下：所以，函数()1x x u x e-=的单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，函数()1x x u x e -=的极大值为()11u =，作出函数()y u x =的图象如下图所示：由于方程()2111x x x e ex x ae---+=-有三个不同的根，则()10,1u ∈，{}(]210,u ∈+∞，①当20u =时，则10a --=，得1a =-，关于u 的方程为220u u +=，解得12u =-，不合乎题意； ②当21u =时，则120a -=，得12a =，关于u 的方程为2230u u +-=，解得132u =-，不合乎题意； ③当()10,1u ∈，()2,0u ∈-∞时，由二次方程根的分布得()101110a a a --<⎧⎨+--->⎩，解得11,2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上所述，实数a 的取值范围是11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究复合函数的零点问题，一般要将复合函数分解为内层函数和外层函数来进行分析，同时也考查了二次方程根的分布，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 、b 满足：2a =，3b =，a 与b 夹角为120，则2a b +=_______. 【答案】7 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2a b +的值. 【详解】()22222244a b a ba ab b +=+=+⋅+224cos1204a a b b=+⋅+ 221242343282⎛⎫=+⨯⨯⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，因此，227a b +=. 故答案为：27.【点睛】本题考查平面向量模的计算，考查平面向量数量积的运算律和定义，考查计算能力，属于基础题. 14.已知正三棱锥P ABC -，23AB =，25PA =，则此三棱锥外接球的半径为_______. 【答案】52【解析】 【分析】作出图形，找出外接球球心的位置，根据几何体的结构特征列等式可求三棱锥P ABC -外接球的半径. 【详解】如下图所示：设点G 为ABC 的外心，则PG ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的外接球球心O 在直线PG 上，设其外接球的半径为R ， 由正弦定理得22sin3AB AG π==，224PG PA AG ∴-=，在Rt OAG 中，4OG PG R R =-=-，由勾股定理得222OA OG AG =+，即22224R R =+-，解得52R =. 故答案为：52. 【点睛】本题考查三棱锥外接球半径的计算，解题时要充分分析几何体的结构特征，找出球心的位置，通过几何体的结构特征列等式求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15.已知定义域为R 的函数()2222020sin 2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为4，则λμ-=_______. 【答案】2- 【解析】 【分析】计算出()22020sin 2xxf x e xμλ=+++，利用函数()y f x =有最小值和最大值推导出0λ=，进而得出()()2f x f x μ+-=，可得出函数()y f x =的图象关于点()0,μ对称，进而可求得μ的值，由此可计算出λμ-的值.【详解】()22222020sin 2020sin 22x x xe e x x xf x e x xλλμμλ++=+=++++， 若0λ<，则函数()y f x =无最小值，不合乎题意； 若0λ>，则函数()y f x =无最大值，不合乎题意. 所以，0λ=，则()22020sin 2xf x xμ=++， 则()()()()222020sin 2020sin 222x x f x f x x x μμμ-+-=+++=++-， 所以，函数()y f x =的图象关于点()0,μ对称，则()()max min 42f x f x μ+==，则2μ=， 因此，2λμ-=-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查利用函数的最值求参数的值，解答的关键在于推导出0λ=，并求出函数()y f x =的对称中心，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16.已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，a =b =_______【答案】【解析】利用余弦定理可求得tan C 的值，利用正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式可求得4A π=，进而可求得sin B 的值，利用正弦定理可求得b 的值. 【详解】222sin a b c ab C +-=，即2cos sin ab C ab C =，tan 2C ∴=，由22sin tan 2cos sin cos 1sin 0C C C C C C ⎧==⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin cos 5C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos sin a B b A c +=，由正弦定理得()sin cos sin sin sin sin sin cos cos sin A B A B C A B A B A B +==+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=.0B π<<，sin 0B ∴>，则tan 1A =，0A π<<，4A π∴=，())sin sin sin cos sin 4210B A C C C C π⎛⎫∴=+=+=+=⎪⎝⎭. 由正弦定理得sin sin b aB A=，得sin sin a B b A ===.故答案为：【点睛】本题考查三角形边长的计算，涉及余弦定理和正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()20n n S a n n N *+-=∈.（1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）求数列{}n a n -的前n 项和n T .【答案】（1）详见解析；（2）2111432n n nT ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭．【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥由20n n S a n +-=可得()11210n n S a n --+--=，两式相减可得131n n a a -=+，利用等比数列的定义可证明出数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）由（1）求得数列{}n a n -的通项公式，然后利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）当1n =时，11210S a +-=，解得113a =； 因为()20n n S a n n N*+-=∈，①当2n ≥时，()11210n n S a n --+--=，②①-②得131n n a a -=+即11133n n a a -=+，当2n ≥时，11111111332211322n n n n a a a a ---+--==--， 又11126a -=-，所以12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16-为首项，以13为公比的等比数列；（2）由第一问可得111232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，111232nn a n n ⎛⎫-=-⋅-+ ⎪⎝⎭，根据等比数列前n 项和公式和分组求和得：()1113311122213nn n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-+-，化简得：2111432n n n T ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了分组求和法，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18.我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能常见的口罩有90KN 和95KN （分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒）两种，某口罩厂两条独立的生产线分别生产90KN 和95KN 两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下：（1）试分别估计两种口罩的合格率；（2）假设生产一个90KN 口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品，则亏损1元；生产一个95KN 口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，①设X 为生产一个90KN 口罩和生产一个95KN 口罩所得利润的和，求随机变量X 的分布列和数学期望； ②求生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率【答案】（1）90KN 口罩合格率为80%；95KN 合格率为90%（2）①分布列详见解析，数学期望为9.2；②512625． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合表中数据即可求解.（2）①随机变量X 的所有可能取值为3-，1，7，11，利用相互独立事件的概率乘法公式求出各随机变量的概率即可列出分布列，利用期望公式即可求解；②根据题意可知事件包括“生产4个90KN 口罩全合格”和“生产4个90KN 口罩只三个合格”，由二项分布的概率求法4334441555P C ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】解（1）由题意知生产90KN 口罩合格率为142317480%1005P ++===，生产口罩95KN 合格率为247358990%10010P ++===；（2）①随机变量X 的所有可能取值为3-，1，7，11()111351050P X =-=⨯=()414215105025P X ==⨯==()199751050P X ==⨯=()493618115105025P X ==⨯==因此，X 的分布列如下：P150 225 950 1825∴()469.25E X ==（元） ②设“生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元”事件为A ，事件A 包括“生产4个90KN 口罩全合格”和“生产4个90KN 口罩只三个合格”所以()4334441512555625P A C ⎛⎫⎛⎫=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率为512625. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、二项分布，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，17PA PD ==，E 为PA 中点，点F 在PD 上且EF ⊥平面PCD ，M 在DC 延长线上，//FH DM ，交PM 于H ，且1FH =(1)证明：//EF 平面PBM ；(2)设点N 在线段BC 上，若二面角E DN A --为60︒，求BN 的长度． 【答案】(1)详见解析；(2)1122-． 【解析】 【分析】(1) 要证//EF 平面PBM ，只需证明EF 平行于平面PBM 内一条直线即可，取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，可证四边形EFHG 为平行四边形，从而可得//EF GH ，根据线面平行的判定定理即可证出；(2) 取AD 的中点O ，连结PO ，可证PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OD 为y 轴，OP 为z 轴建系，设()2,,0N a ()11a -≤≤，求出平面EDN 的法向量n 及平面ABCD 的法向量m ，根据二面角E DN A--为60︒，利用夹角公式列出方程即可求出a ,进而可求出BN 的长度．【详解】(1)证明：取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，则//EG AB ，且112EG AB ==，因为//FH DM ，交PM 于H ，且1FH =， 又因为//AB DM ，所以//EG FH ，EG FH =， 所以四边形EFHG 为平行四边形，所以//EF GH ，又EF ⊄平面PBM ，GH ⊂平面PBM ， 所以//EF 平面PBM .(2)由EF ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以EF CD ⊥，又AD CD ⊥，EF 和AD 在平面PAD 内显然相交， 所以CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面PAD ，取AD 的中点O ，连结PO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥， 又平面ABCD平面PAD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，在等腰PAD △中，221714PO PA AO =-=-=，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0O，()0,1,0A -，()0,1,0D ，()0,0,4P ，因为E 为PA 的中点，所以10,,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭， 设()2,,0N a ()11a -≤≤，设平面EDN 的一个法向量(),,n x y z =，30,,22DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,1,0DN a =-，由00n DE n DN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得()3202210y z x a y ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩，令2y =，得32z =，1x a =-，所以31,2,2n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面ABCD 的一个法向量()0,0,1m =，所以()232cos ,9144n m n m n ma ⋅〈〉==-++，因为二面角E DN A --为60︒，所以()232cos 609144a =-++即312=，解得12a =-，所以()122BN a =--=-. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，已知二面角的大小逆向探求点的位置，关键是求出二面角的两半平面的法向量，根据夹角公式列出方程，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）经过定点()(),02Q m m >的直线l 交椭圆C 于不同的两点M 、N ，点M 关于x 轴的对称点为M '，试证明：直线M N '与x 轴的交点S 为一个定点，且4OQ OS ⋅=（O 为原点）． 【答案】（1）22143x y +=；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，进而可求得椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为()y k x m =-，设点()11,M x y 、()22,N x y ，可得点()11,M x y '-，设点(),0S n ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由M '、S 、N 三点共线可得出M S NS k k '=【详解】（1）由题意得22212122c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率一定存在，设为k ，设()11,M x y 、()22,N x y ，则()11,M x y '-，设(),0S n ，联立()22143y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222223484120k x k mx k m +-+-=，由>0∆得()22430mk -+>，即2234k m <-时，M ，N 一定存在， 2122843k m x x k ∴+=+，2212241243k m x x k -⋅=+. 当斜率k 不为0时：因为M '、N 、S 三点共线，M S NS k k '=，1212y y x n x n-=--，即()()21120y x n y x n -+-=， 即()()()()21120k x m x n k x m x n --+--= 化简()()2112220x x n m x x mn -+⋅++=， 代入韦达定理化简得24043mn k -=+，即4mn =，4n m =， 4,0S m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，且4OQ OS mn ⋅==，当斜率0k =时，直线M N '与x 轴重合，满足结论． 综上，直线M N '与x 轴的交点S 为一个定点4,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，且4OQ OS ⋅= 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点问题的求解，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 21.已知函数()()22ln af x a x x x=++-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()2ln h x f x x =-有两个不同的极值点1x 、()212x x x <，求证：()()()121285ln 22f x f x x x +->-；（3）设1a =-，函数()2f x x x++的反函数为()k x ，令()x i n i k x k ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，n *∈N 且2n ≥，若[]1,1x ∈-时，对任意的n *∈N 且2n ≥，()()()1211n ni k x k x k x e-≥恒成立，求m 的最小值. 【答案】（1）具体详见解析；（2）证明见解析；（3）12-．【解析】 【分析】（1）求得函数()y f x =的定义域和导数()()()22x x a f x x--'=-，对a 与2的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，进而可得出函数()y f x =的单调区间；（2）求得()222x ax ah x x-+'=-，由题意可知方程220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x ，可求得a 的取值范围，并列出韦达定理，进而可得出()()()()12122ln 22f x f x x x a a a +-=+-，然后构造函数()()()2ln 22u a a a a =+-，利用导数证明出()()85ln 22u a >-即可；（3）根据题意得出x k x e =，进而可得()xi n i k x k⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，n *∈N 且2n ≥，由已知条件得出121x xxn m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分析出函数121xxxn y n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在[]1,1-上的单调性，可得出12n m --≤，进而可求得m 的最小值. 【详解】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()()222221x x a a af x x x x--+'=--=- ①当0a ≤时，由()0f x '>得02x <<；由()0f x '<，得2x >.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； ②当02a <<时，由()0f x '>得2a x <<；由()0f x '<得0x a <<或2x >. 此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a ，单调递减区间为()0,a 和()2,+∞；③当2a =时，()0f x '≤对任意的0x >恒成立，此时，函数()y f x =在()0,∞+单调递减； ④当2a >时，由()0f x '>得2x a <<；由()0f x '<得02x <<或x a >. 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()2,a ，单调递减区间为()0,2和(),a +∞. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； 当02a <<时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a ，单调递减区间为()0,a 和()2,+∞； 当2a =时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当2a >时，函数()y f x =的单调递增区间为()2,a ，单调递减区间为()0,2和(),a +∞；（2）证明：()()22ln ln ah x f x x a x x x=-=+-，0x > ()222221a a x ax ah x x x x-+'=--=- 由已知函数有两个不同的极值点1x 、2x ，知()0h x '=有两个不等的正实数根，即220x ax a -+=有两个不等正实数根，即12120020x x a x x a ∆>⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得8a >，()()()()121211221212222ln 2ln a a f x f x x x a x x a x x x x x x +-=++-+++--()()()()121212121222ln a x x a x x x x x x x x +=++-+-()()()()22ln 222ln 222a aa a a a a a a a⋅=++--=+-，令()()()2ln 22u a a a a =+-，8a >，()()()()12ln 222ln 21u a a a a a a'=++-=+-，因为8a >，所以()ln 210a ->，()0u a '>，所以()y u a =在()8,+∞单调递增，()()()810ln161685ln 22u a u ∴>=-=-，结论得证； （3）当1a =-时，()2ln f x x x x++=，则x k x e =， 所以()xi n i k x e⎛⎫⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，*n N ∈且2n ≥，对[]1,1x ∈-，()()()121121xxxn m n n n n k x k xk x eeee -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=≥恒成立，即121xxxn m n n n ee -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，即121xxxn m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为xi y n ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,1x ∈-单调递减，所以121xxxn y n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也递减， 当1x =时，min 12112112x xxn n n n n n n nn ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即对任意n *∈N 且2n ≥，12n m --≤恒成立， 显然当2n =时，min 1122n -⎛⎫=⎪⎝⎭，即12m -≤，即12m ≥-，所以m 的最小值为12-． 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式以及求解函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．22.已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）在（1）中，设曲线C经过伸缩变换,x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到曲线1C ，设曲线1C 上任意一点为()00,M x y ，当点M 到直线l 的距离取最大值时，求此时点M 的直角坐标．【答案】（1）22:4C x y +=，10l y +-=；（2）(M ．【解析】 【分析】（1）由222x y ρ=+可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，在直线l 的参数方程中消去参数t 可将直线l 的参数方程化为普通方程；（2）利用伸缩变换求得曲线1C 的普通方程，进而可得出曲线1C 的参数方程，设点()2cos ,M θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式、正弦函数的有界性可求得点M 到直线l 的距离的最大值，并求出对应的点M 的坐标.【详解】（1）将曲线C 的极坐标方程化为24ρ=，由222x y ρ=+，所以，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=.在直线l 的参数方程中消去参数t10y +-=，所以，直线l10y +-=；（2）由伸缩变换,,x x y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得,,3x x y y =⎧=''⎪⎨⎪⎩带入圆的方程C 得2243y x ''+=， 化简得曲线221:1412x y C +=，其参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，且[)0,2θ∈π），设点()2cos ,M θθ，点M到直线10l y +-=距离为：d ==02θπ≤<，则9444πππθ≤+<，所以，当342ππθ+=时，即当54πθ=时，d取最大值，即max d =，此时，点M的坐标为(.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程求解椭圆上的点到直线距离的最值，考查计算能力，属于中等题. 23.已知2()2|1|.f x x x =+- （1）求不等式|2|()x f x x>的解集； （2）若f (x )的最小值为M ，且a +b +c =M (a ，b ，c ∈R )≥ 【答案】（1）{|0x x <或}1x > （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式性质，进行分类讨论即可；（2）由题知f (x )的最小值为M =1，再根据基本不等式推理论证即可证明.【详解】（1）由题可知，()22224,122,0124,0x x x x f x x x x x x x x ⎧+-≥⎪-=-≤<⎨⎪-+<⎩则()20x f x x->的解集为{|0x x <或}1x >综上，不等式|2|()x f x x>的解集为{|0x x <或}1x > （2）由题可知，f (x )的最小值为M =1（1x =时取得）， 即1a b c ++=， 由柯西不等式，得，()()()2222211a b ab +≥≥+⇒+≥2a b c ++≥=得证（等号成立条件==a b c ）【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用柯西不等式的简单证明，难度一般，利用基本、柯西不等式证明结论时，注意等号成立条件.。