平面直角坐标系找规律解析
数学平面直角坐标系的知识点
数学平面直角坐标系的知识点数学平面直角坐标系的知识点漫长的学习生涯中，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。
想要一份整理好的知识点吗？下面是店铺精心整理的数学平面直角坐标系的知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
数学平面直角坐标系的知识点11.平面直角坐标系：（1）在平面内两条有公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫横轴或轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫纵轴或轴，取向上的方向为正方向；两数轴的交点叫做坐标原点。
（2）建立了直角坐标系的平面叫坐标平面．x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限说明：两条坐标轴不属于任何一个象限。
2.点的坐标：对于平面直角坐标系内任意一点P，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴，y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标，纵坐标，有序数对（a，b）叫做P的坐标。
3.点与有序实数对的关系：坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系。
数学平面直角坐标系的知识点2一、平面解析几何的基本思想和主要问题平面解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科，其基本思想就是用代数的方法研究几何问题。
例如，用直线的方程可以研究直线的性质，用两条直线的方程可以研究这两条直线的位置关系等。
平面解析几何研究的问题主要有两类：一是根据已知条件，求出表示平面曲线的方程;二是通过方程，研究平面曲线的性质。
二、直线坐标系和直角坐标系直线坐标系，也就是数轴，它有三个要素：原点、度量单位和方向。
如果让一个实数与数轴上坐标为的点对应，那么就可以在实数集与数轴上的点集之间建立一一对应关系。
点与实数对应，则称点的`坐标为，记作，如点坐标为，则记作;点坐标为，则记为。
平面直角坐标系中的规律探究.docx
A、（ 13， 13）B、（ 13， 13）C、（ 14， 14）D、（ 14， 14）第 1第2第32、一个点在第一象限及x 、 y 上运，在第一秒，它从原点运到（0，1），然后接着按中箭所示方向运，且每秒移一个位，那么第2008 秒点所在位置的坐是（）A、（ 16， 16）B、（ 44， 44）C、（ 44， 16）D、（ 16， 44）3、如，一个粒子在第一象限运，在第一秒内，它从原点运到（0， 1），接着它按所示在x 、y的平行方向来回运，（即（ 0， 0）→（ 0， 1）→（ 1， 1）→（ 1， 0）→（ 2， 0）→⋯）且每秒运一个位度，那么2010 秒，个粒子所位置（）A、（ 14， 44）B、（ 15， 44） C 、（ 44， 14）D、（ 44， 15）4、如，在平面直角坐系中，有若干个整数点，其序按中“→”方向排列，如（1，0），（ 2，0），（2，1），（ 3，2），（ 3，1），（3，0）（ 4，0）根据个律探索可得，第 100 个点的坐．第 4第 5第 75、如，已知 A l（ 1， 0）， A2（ 1，1）， A3（ 1，1）， A4（ 1， 1）， A5（ 2， 1），⋯．点 A2007的坐．6、已知甲运方式：先直向上运1个位度后，再水平向右运 2 个位度；乙运方式：先直向下运 2 个位度后，再水平向左运 3 个位度．在平面直角坐系内，有一点 P 第 1 次从原点 O出按甲方式运到点P1，第 2 次从点 P1出按乙方式运到点P2，第 3 次从点P2出再按甲方式运到点P3，第 4 次从点 P3出再按乙方式运到点P4，⋯．依此运律，第 11 次运后，点P 所在位置 P11的坐是．7、一个点在第一象限及x 、 y 上运，在第一秒，它从原点运到（0，1），然后接着按中箭所示方向运，即（0，0）→（ 0， 1）→（ 1，1）→（ 1，0）→⋯，且每秒移一个位，那么第35 秒点所在位置的坐是．8、如，在平面直角坐系上有个点P（ 1， 0），点 P 第 1 次向上跳 1 个位至点 P1（ 1， 1），接着第 2 次向左跳 2 个位至点 P2（ 1， 1），第 3 次向上跳 1 个位，第 4 次向右跳 3 个位，第 5 次又向上跳 1 个位，第 6 次向左跳 4 个位，⋯，依此律跳下去，点P 第 100 次跳至点 P100的坐是．点 P 第 2009 次跳至点 P2009的坐是．第 8第 9第 109、如，在平面直角坐系中，有若干个整数点，其序按中“→”方向排列，如（0， 0）→（ 1，0）→（ 1，1）→（ 2，2）→（ 2，1）→（ 2，0）⋯根据个律探索可得，第 100 个点的坐是_________ ．10、如，已知 A1（ 1， 0），A2（ 1， 1），A3（ 1， 1）， A4（ 1， 1），A5（ 2， 1），⋯，点 A2010的坐是．A2lA1B1A BO x第 11第 12第 1311、如 ，一个 点在第一象限内及x ， y 上运 ，在第一分 ，它从原点运 到（1， 0），第二分 ，从（ 1， 0）运 到（ 1， 1），而后它接着按 中箭 所示在与 x ， y 平行的方向来回运 ，且每分 运 1 个 位 度．当 点所在位置分 是（ 5，5） ，所 的 是分 ，在第1002 分 后， 个 点所在的位置的坐 是．12、如 所示，在平面直角坐 系中，有若干个整数点，其 序按 中箭 方向排列，如（1，0），（ 2，0），（ 2，1），（ 3，2），（ 3，1），（ 3，0），⋯，根据 个 律探索可得， 第 102 个点的坐 _________ ．13．如 ，已知直l ： y=3x ， 点 A （ 0， 1）作 y 的垂 交直 l 于点 B ， 点 B 作直 l 的垂3交 y 于点 A 1； 点 A 1 作 y 的垂 交直l 于点 B 1， 点 B 1 作直 l 的垂 交 y 于点 A 2；⋯；按此作法 下去， 点 4 的坐AA ．（ 0， 64）B ．（ 0， 128）C ．（ 0， 256）D ．（ 0， 512）14、以 0 原点，正 ，正北方向 x ， y 正方向建立平面直角坐 系，一个机器人从原点O 点出，向正 方向走 3 米到达 A 1 点，再向正北方向走6 米到达 A 2，再向正西方向走9 米到达 A 3，再向正南方向走 12 米到达 A 4，再向正 方向走15 米到达 A 5，按此 律走下去，当机器人走到A 6 ， A 6 的坐是．年在北京召开的世界数学大会会 案是由四个全等的直角三角形 成的一个大正方形，中 的阴影部分是一个小正方形的“ 爽弦 ” ．若 四个全等的直角三角形有一个角 30°，点 B 1 、 B 2 、 B 3 、⋯、1 x+ 3+1 和B n 和C 1 、 C 2 、 C 3 、⋯、 C n 分 在直 y= -x 上， 第 n 个阴影正方形的面2．第 15第 1616、如 所示，直OP 点 P （ 4， 43 ）， x 上的点 1、3、 5、7、9、 11⋯分 作 x 的垂 ，与直 OP 相交得到一 梯形，其阴影部分梯形的面 从左至右依次S 1 、 S 2 ⋯ S n ， S n 关于 n 的函数关系式是 ___________第 317、如 ，将 1 的正方形OAPB 沿 x 正方向 翻 2006 次，点 P 依次落在点P 1, P 2, P 3L P 2006的位置， P 2006 的横坐 x 2006 =____________ P 2006的横坐x 2006=____________18、已知：直 （ 正整数）与两坐 成的三角形面 ，.14．如 ，矩形 BCDE 的各 分 平行于x 或 y ，物体甲和物体乙分 由点 A （ 2， 0）同 出 ，沿矩形 BCDE 的 作 运 ，物体甲按逆 方向以 1 个 位 / 秒匀速运 ，物体乙按 方向以 2 个 位 / 秒匀速运 ， 两个物体运 后的第2012 次相遇地点的坐 是（Ｄ）A ．（ 2， 0）B ．（ -1 ， 1）C ．（ -2 ，1）D ．（-1 ， -1 ）24．（2012 泰安）如 ，在平面直角坐 系中，有若干个横坐 分 整数的点，其 序按 中“→”方向排列，如（ 1， 0），（ 2，0），（ 2，1），（ 1，1），（ 1，2），（ 2， 2）⋯根据 个 律，第2012 个点的横坐．17． 在平面直角坐 系 xOy 中，点 A 1 ， A 2 ， A 3 ，⋯和 B 1 ， B 2 ， B 3 ，⋯分 在直 y kx b 和 x上．△1 1，△1 2 2，△2 3 3，⋯都是等腰直角三角形，如果1（1， 1），2（ 7 , 3 ），那么点A n 的OABB A BB A BAA2 2坐 是 _ _____．16．（2012?德州）如 ，在一 位1 的方格 上，△A 1A2 A 3，△A A A ，△A A A ，⋯，都是斜 在x3 4 5 5 6 7上、斜 分 2， 4，6，⋯的等腰直角三角形．若△A1A 2 A 3 的 点坐 分A 1（ 2， 0）， A 2（ 1，1）， A 3（ 0， 0）， 依 中所示 律， A 2012 的坐 （ 2，1006）．10. 在平面坐 系中，正方形 ABCD 的位置如 所示，点 A 的坐 （ 1，0），点 D 的坐 （ 0，2），延CB 交 x 于点 A 1，作正方形 A 1B 1C 1C ，延 C 1B 1 交 x 于点 A 2，作正方形 A 2B 2C 2C 1, ⋯⋯⋯按 的律 行下去，第 2012 个正方形的面 （）A. 5 ( 3)2010B. 5 ( 9)2010C.5 ( 9) 2012D. 5 ( 3)4022244211、已知，如 ，△OBC 中是直角三角形， OB 与 x 正半 重合，∠ OBC =90°，且 OB =1， BC = 3 ，将△ OBC 原点 O 逆 旋 60°再将其各 大 原来的 m 倍，使 OB 1=OC ，得到△ OB 1C 1，将△ OB 1C 1 原点 O 逆旋 60°再将其各 大 原来的 m 倍，使 OB 2=OC 1，得到△ OB 2C 2，⋯⋯，如此 下去，得到△ OB 2012C 2012， m = 。
部编数学七年级下册专题11平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题(解析版)含答案
专题11 平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题（解析版）第一部分典例精析类型一点的运动规律探究（1）沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．（2022•丛台区开学）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为 ，第55个点的坐标为 ．思路引领：从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第10个点和第55个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第10个点和第50个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n列有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，∵1+2+3+4＝10，1+2+3+…+10＝55，∴第10个点在第4列自下而上第4行，所以奇数列的坐标为（n，n−12）（n，n−12−1）…（n，1−n2）；偶数列的坐标为（n，n2）（n，n2−1）…（n，1−n2），由加法推算可得到第55个点位于第10列自下而上第10行．代入上式得第10个点的坐标为（4，2），第55个点的坐标为（10，5），故答案为：（4，2），（10，5）．总结提升：本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．2．（2022•麻城市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是 ．思路引领：计算P点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第2022秒P点位置．解：由题意可知，点P运动一个半圆所用的时间为：π÷π2=2（秒），∵2022＝1011×2，∴2022秒时，P在第1011个半圆的最末尾处，∴点P的坐标为（2022，0）．故答案为：（2022，0）．总结提升：本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，找出运动规律的同时也要考虑坐标系位置是解题的关键．3．（2021春•洛龙区期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点A n，则点A2021的坐标是（ ）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）思路引领：观察图形可知，A4，A8，…都在x轴上，求出OA4，OA8，…OA4n的长度，然后写出坐标即可；根据以上规律写出点A4n的坐标即可求出点A2020的坐标，则A2021点的坐标即可求出．解：由图可知，A4，A8，…都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4＝2，OA8＝4，…OA4n＝2n，∴点A4n的坐标为（2n，0），∴点A2020的坐标为（1010，0），∴A2021（1010，1），故选：B．总结提升：本题主要考查了点的变化规律，仔细观察图形，确定出点A 4n 都在x 轴上是解题的关键．（2）绕定点呈“回”字形运动的点的坐标变化规律4．如图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1， 回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…．若从O点到A 1点的回形线为第1圈（长为7），从A 1点到A 2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为 ．思路引领：如图，以点O 为原心，建立平面直角坐标系，则A 1，A 2，A 3，…的坐标分别为（－1，0），（－2，0），（－3，0），…，A 10的坐标为（－10，0），然后大致描出第10圈的形状，很轻松求出第10圈的长．解：观察图形发现：第一圈的长是2（1+2）+1=7；第二圈的长是2（3+4）+1=15；第三圈的长是2（5+6）+1=23；则第n 圈的长是2（2n-1+2n ）+1=8n-1．当n=10时，原式=80-1=79．故答案为79．题眼直击：坐标表示图形，规律探究．总结提升：依次计算第一圈长，第二圈长，……，探究这几个数的一般规律性，然后应用规律求出第10圈．5．（2022•金凤区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，从点P 1（﹣1，0），P 2（﹣1，﹣1），P 3（1，﹣1），P 4（1，1），P 5（﹣2，1），P 6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P 2022的坐标为 ．思路引领：根据题意可得到规律，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），再根据规律求解即可．解：根据题意可得到规律，P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），P7（2，﹣2），P8（2，2），P12（3，3），P16（4，4），...，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），∵2022＝4×505+2，∴P2022（﹣506，﹣506），故答案为：（﹣506，﹣506）．总结提升：本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．类型二图形变换的点的坐标规律探究6．（2018春•兴城市期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2换成三角形OA3B3，……，若A（﹣3，1），A1（﹣3，2），A2（﹣3，4），A3（﹣3，8），点B（0，2），B1（0，4），B2（0，6），B3（0，8），按这样的规律，将三角形OAB进行2018次变换，得到三角形OA2018B2018，则A2018的坐标是 ．思路引领：探究规律后利用规律即可解决问题；解：∵A 1（﹣3，2），A 2 （﹣3，4），A 3（﹣3，8）；∴A 点横坐标为﹣3，纵坐标依次为：2，22，23，…得出：A n （﹣3，2n ），∴n ＝2018时，A 2018（﹣3，22018），故答案为（﹣3，22018）总结提升：此题主要考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A ，B 点横纵坐标变化规律是解题关键．7．12．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1第二次将OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)求三角形OAB 的面积；(2)写出三角形OA 4B 4的各个顶点的坐标；(3)按此图形变化规律，你能写出三角形OA n B n 的面积与三角形OAB 的面积的大小关系吗？解：(1)S 三角形OAB ＝12×2×3＝3；(2)根据图示知O 的坐标是(0，0)；已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，对于A 1，A 2…A n 坐标找规律比较从而发现A n 的横坐标为2n ，而纵坐标都是3；同理B 1，B 2…B n 也一样找规律，规律为B n 的横坐标为2n ＋1，纵坐标为0．由上规律可知：A 4的坐标是(16，3)，B 4的坐标是(32，0)；综上所述，O(0，0)，A 4(16，3)，B 4(32，0)；(3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，所以OB n ＝2n ＋1，S 三角形OA n B n ＝12×2n ＋1×3＝3×2n ＝2n S 三角形OAB ，即S 三角形A n B n ＝2n S 三角形OAB 。
专题 坐标系中的找规律-讲义
坐标系中找规律主讲教师：傲德我们一起回顾1、动点找规律2、图形运动找规律重难点易错点解析动点找规律题一：如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为．（用n表示）图形运动找规律题二：如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转48次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P48的位置，则P48的坐标是．金题精讲题一：一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是．题二：如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第n次变换后得到的三角形A n的坐标是，B n的坐标是．题三：如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4），且AB=5，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2014的直角顶点的坐标为．题四：如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（）A．（2，0）B．（-1，1）C．（-2，1）D．（-1，-1）思维拓展题一：如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时角度均为45°，当点P第2015次碰到长方形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）学习提醒重点：动点找规律——分析横、纵坐标与运动次数n的关系图形运动找规律——先分析图形整体位置，再看所研究点的位置坐标系中找规律讲义参考答案重难点易错点解析题一：(2n, 1)点拨：动点找规律，分析横、纵坐标与运动次数n的关系题二：(47, 1)点拨：图形运动找规律：先分析图形整体位置，再看所研究点的位置金题精讲题一：(5, 0) 题二：（2n, 3），（2n+1, 0）题三：(8052, 0) 题四：B思维拓展题一：A。
初中数学平面直角坐标系规律题技巧优质
初中数学平面直角坐标系规律题技巧优质平面直角坐标系是数学中经常使用的工具，用于表示平面上的点和图形。
在初中数学中，学生需要熟练掌握平面直角坐标系并能够应用它来解决问题。
下面介绍一些关于平面直角坐标系的规律题技巧，以帮助学生提高解题效率和准确性。
1.点的坐标平面直角坐标系中，点的坐标表示为一个有序数对(x,y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
在解题时，首先要确定点的坐标，并根据题目中给出的条件来确定点的位置和性质。
2.对称性平面直角坐标系中，图形的对称性是解题的有效利器。
对称性分为原点对称、x轴对称和y轴对称三种。
利用对称性，我们可以通过已知的部分来确定未知的部分，从而简化解题过程。
3.距离和斜率平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用勾股定理来计算。
对于坐标点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]两点之间的斜率可以使用斜率公式来计算。
对于坐标点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的斜率k可以通过以下公式计算：k=(y2-y1)/(x2-x1)利用距离和斜率的公式，可以解决相关的问题，如求两点之间的距离、确定直线的斜率等。
4.图形的方程平面直角坐标系中，不同的图形有不同的方程表示。
一些常见的图形方程如下：- 直线方程：y = kx + b-圆方程：(x-h)²+(y-k)²=r²其中，直线方程中的k表示斜率，b表示截距；圆方程中的(h,k)表示圆心坐标，r表示半径长度。
利用图形的方程，可以帮助我们确定图形的特点、方程等。
5.面积和周长平面直角坐标系中，可以通过计算图形的面积和周长来解决相关问题。
对于矩形、正方形、三角形等形状，可以利用坐标的计算公式或者通过多边形的面积公式来求解。
6.平行和垂直平面直角坐标系中，可以通过斜率的性质来确定两条直线的关系。
如果两条直线的斜率相等，则它们平行；如果两条直线的斜率之积为-1，则它们垂直。
平面直角坐标系中点的变化规律例题
平面直角坐标系中点的变化规律例题1. 引言哎呀，坐标系的世界真的很奇妙呢！你有没有觉得，在直角坐标系中，点的移动就像在玩一场拼图游戏，每一步都让你发现新规律。
今天，我们就来一起探讨一下这些点是怎么“变脸”的，看看能否找到一些有趣的规律和技巧。
2. 坐标系基础2.1 坐标系的组成首先，我们得了解一下直角坐标系的基本构成。
直角坐标系由横轴（x轴）和纵轴（y轴）组成，交点叫做原点。
每一个点都可以用一对数字（x, y）来表示，这两个数字分别告诉我们点在横轴和纵轴上的位置。
简而言之，x坐标告诉我们点向右走了多远，y坐标则告诉我们点向上走了多高。
2.2 如何读懂坐标比如说，点A的坐标是(3, 4)，那就意味着我们从原点出发，向右走3步，再向上走4步，咱们就找到了点A。
是不是很简单？不过，问题来了，当这些点开始移动时，我们要如何判断它们的新位置呢？3. 点的变化规律3.1 点的平移说到点的变化，首先要提到的是平移。
平移就像是在画布上移动画笔，点的坐标在这种情况下会以某种固定的方式改变。
假如我们把点A(3, 4)向右平移2步，向上平移3步，那么新坐标就是(5, 7)。
这就像是把点A挪到了新地方，却没改变它的形状和方向。
3.2 点的对称再来聊聊对称。
对称就像是一面镜子，把点对折过来。
比如，点A(3, 4)相对于y轴对称的点是(3, 4)，因为我们把x坐标取了相反数，y坐标保持不变。
若是相对于x轴对称，点A会变成(3, 4)。
就像把点A在镜子前面照一照，镜中点的坐标自然就变了。
4. 实际例题解析4.1 例题背景假设我们有一个点B，它的坐标是(6, 2)，现在我们要把它先向左移动4步，再向下移动3步。
这个问题就像是在解谜题一样，需要我们运用之前学过的知识。
4.2 解决过程首先，点B(6, 2)向左移动4步，这就意味着x坐标减少4，所以新的x坐标是6 4= 2。
然后，向下移动3步，就意味着y坐标减少3，所以新的y坐标是2 3 = 5。
平面直角坐标系变化规律
平面直角坐标系变化规律一、平面直角坐标系中的平移变化规律1. 点的平移- 在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x + a,y)（或(x - a,y)）；- 将点(x,y)向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y + b)（或(x,y - b)）。
- 例如：点A(2,3)向右平移3个单位长度，得到点A'(2 + 3,3)=(5,3)；点A(2,3)向下平移2个单位长度，得到点A''(2,3 - 2)=(2,1)。
2. 图形的平移- 图形的平移实际上就是图形上各个点的平移。
例如，三角形ABC三个顶点A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)，将三角形ABC向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度，则A点变为A'(x_1 + a,y_1 + b)，B点变为B'(x_2+a,y_2 + b)，C点变为C'(x_3 + a,y_3 + b)，新的三角形A'B'C'就是原三角形ABC平移后的图形。
二、平面直角坐标系中的对称变化规律1. 关于x轴对称- 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。
- 例如：点P(3,4)关于x轴对称的点P'(3,-4)。
- 对于图形来说，图形关于x轴对称，就是图形上所有点关于x轴对称后得到的新图形。
如三角形ABC关于x轴对称，A(x_1,y_1)变为A''(x_1,-y_1)，B(x_2,y_2)变为B''(x_2,-y_2)，C(x_3,y_3)变为C''(x_3,-y_3)，新的三角形A''B''C''就是三角形ABC关于x轴对称后的图形。
2. 关于y轴对称- 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为( - x,y)。
初一数学坐标点找规律问题总结
在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动每次移动1个单位其行走路线如下图所示（1）填写下列各点的坐标：A 4（ ， ），A 8（ ， ），A 12（ ， ）； （2）写出点A 4n 的坐标（n 是正整数）； （3）指出蚂蚁从点A 100到点A 101的移动方向如图2，已知A l (1，0)、A 2(1，1)、A 3(－1，1)、A 4(－1，－1)、A 5(2，－1)、….则点A 2007的坐标为________.解析：依题意，得第一象限里的点分别是A 2、A 6、A 10、…，第二象限里的点分别是A 3、A 7、A 11、…，第三象限里的点分别是A 4、A 8、A 12、…，第四象限里的点分别是A 5、A 9、A 13、…，由此可见点A 2007是在第二象限内，而第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，且绝对值相等，并且由观察、推理、归纳得到A 3(－1，1)、A 7(－2，2)、A 11(－3，3)、…，因为2007＝501…3，所以点A 2007的坐标应该是(－502，502).提示：求解本题时要于归纳、猜想、验证，从中找到点坐标的规律，从而使问题获解.例10、在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点，设坐标轴的单位长度为1cm ，整点P 从原点O 出发，速度为1cm/s ，且整点P 作向上或向右运动（如图1所示.根据上表中的规律,回答下列问题:(1)当整点P 从点O 出发4s 时,可以得到的整点的个数为________个.(2)当整点P 从点O 出发8s 时,在直角坐标系中描出可以得到的所有整点,并顺次连结这些整点.(3)当整点P 从点O 出发____s 时,可以得到整点(16,4)的位置.O1 A 1A 2A 3 A 4 A 5A 6A 7 A 8 A 9A 10A 11 A 12 A 12xy图1 图2解析：本题为阅读型规律探索题，解决问题时需要认真阅读题意，即可根据题意写出整点的可能位置和坐标确定整点的个数，也可以通过表格发现出发时间与整点坐标以及整点P 的个数之间的规律，通过规律解决问题. 解：（1）根据表格中的规律可知，当点P 从点O 出发4s 时，可的到整点P 的坐标为(0,4)(1,3),(2,2)(3,1)(4,0),共5个. (2)如图2所示.(3).从表格规律可得当整点P 从原点0出发的时间为n(s)时,可得整点P 的坐标为(x,y),则x ＋y ＝n,因为16＋4＝20,所以当整点P 从点O 出发20s 时,可到达整点(16,4)的位置.如图6，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“ ”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探究可得，第100个点的坐标为 ．图7如图7，我们给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系（每小正方形的边长均为1），根据象棋中“马”走“日”的规定，若“马”的位置在图中的点P ．写出下一步“马”可能到达的点的坐标 ； 6、（14，8）；7、（0，0），（0，2），（1，3），（3，3），（4，2），（4，0）任填一个；如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．x 图6(1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积ABDC S 四边形(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使PAB S ∆＝ABDC S 四边形，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．(3)点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：①DCP BOP CPO ∠+∠∠的值不变，②DCP CPOBOP∠+∠∠的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…12A 3，A 4，…表示，则顶点A 55的坐标是（ ） 一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，且每秒移动一个单位，那么第2008秒时质点所在位置的坐标是（ ）。
平面直角坐标系找规律技巧(一)
平面直角坐标系找规律技巧(一)平面直角坐标系找规律技巧介绍平面直角坐标系是数学中常用的工具，可以帮助我们描述平面上的各种图形和现象。
在解决问题时，我们经常需要找出规律来简化计算或推导过程。
本文将介绍一些在平面直角坐标系中找规律的常用技巧。
技巧一：观察坐标轴上的点•观察点在坐标轴上的位置，可以帮助我们找出两个量之间的关系。
例如，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，则它在坐标系中呈现出对称的特点。
•另外，当点的横坐标或纵坐标为0时，它们通常代表特殊的情况。
我们可以通过观察这些点来找到一些特殊的规律。
技巧二：观察图形的对称性•当图形呈现出对称的形态时，我们可以利用对称性来简化问题。
例如，如果一个图形在横轴或纵轴上对称，则它的性质可能也在对称轴上相同。
•另外，如果一个图形在原点对称，则它的性质通常也在原点附近具有一些特殊的规律。
技巧三：利用直角三角形的性质•平面直角坐标系中的直角三角形具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来找规律。
例如，两条边分别与横轴和纵轴平行的直角三角形可能呈现出相似的形状。
•此外，直角三角形中的角度关系也可以帮助我们找到一些规律。
例如，当两条线段之间的夹角为90度时，它们可能具有一些特殊的性质。
技巧四：利用平移和旋转的性质•在平面直角坐标系中，我们可以通过平移和旋转来改变图形的位置和方向。
利用平移和旋转的性质，我们可以找到一些规律。
例如，当一个图形经过平移后仍具有相似的性质时，我们可以猜测这个性质与平移无关。
•此外，有时候我们可以通过适当的旋转来简化问题。
例如，当一个图形经过旋转后具有一些特殊的性质时，我们可以利用这个性质找规律。
技巧五：利用数学工具辅助分析•平面直角坐标系中的问题通常涉及到数学知识，例如代数和几何。
我们可以利用这些数学工具来辅助分析，找到问题的规律。
例如，利用代数中的方程和函数可以帮助我们推导出一些特殊的关系式。
•此外，几何中的一些定理和性质也可以用来分析图形和推导规律。
平面直角坐标系中点的变化规律
平面直角坐标系中点的变化规律在数学的世界里，有一块神奇的领域，就是平面直角坐标系。
你有没有想过，我们生活中很多事物，其实都可以用这种坐标系来描述？比如地图、运动场、甚至是你桌上的那块巧克力。
今天，我们就来聊聊这个话题，看看点在平面直角坐标系里是怎么变化的，别急，我们一步步来，确保你跟得上。
1. 坐标系的基础知识1.1 坐标系的构建首先，平面直角坐标系就是我们平常看到的那个“十字”图。
横轴叫X轴，竖轴叫Y 轴。
这个十字形状把平面分成了四个象限，我们用它来标记点的位置。
想象一下，X轴就像是平地上的长道路，Y轴是垂直的直梯。
点的位置，就是在这两条路的交叉点上。
1.2 坐标的表示每个点都有两个坐标值，X和Y，像“(3, 4)”这样。
X表示点在横轴上的位置，Y表示在竖轴上的位置。
比如，点(3, 4)就像是说：从原点出发，先走3步到右边，再走4步到上面，找到了这个点。
2. 点的变化规律2.1 平移说到点的变化，我们得从最简单的平移开始。
平移就是把一个点从一个地方搬到另一个地方，但不改变它的形状和方向。
举个例子，如果点(2, 3)向右移动2个单位，它就变成了(4, 3)。
就像你从家里搬到隔壁的房间，位置变了，但你的样子还是那个样子。
2.2 缩放接下来是缩放。
缩放就像是用放大镜看一个点，让它变得大一点或者小一点。
比如，点(1, 2)经过缩放，变成了(2, 4)。
也就是说，坐标都乘以了一个倍数。
这就像是把一张照片放大，里面的细节看起来都变得更加清楚了。
2.3 旋转最后，我们来看看旋转。
旋转就是把点绕着原点转动。
比如，点(1, 0)绕原点逆时针旋转90度，就会变成(0, 1)。
这个过程就像你在转动一个旋转木马，点的位置随着旋转而改变，但它本身的“本质”没变。
3. 点的组合与变换3.1 点的相对位置有时候，我们需要考虑多个点之间的相对位置。
例如，点A(1, 2)和点B(4, 6)之间的距离。
我们可以用勾股定理来计算它们之间的距离，这就像是用尺子量两点之间的直线距离。
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平面直角坐标系找规律题型解析1、如图，正方形ABCD 的顶点分别为A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y 轴上有一点P(0，2)。
作点P 关于点A 的对称点p1，作p1关于点B 的对称点p2，作点p2关于点C 的对称点p3，作p3关于点D 的对称点p4，作点p4关于点A 的对称点p5，作p5关于点B 的对称点p6┅，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？解法1：对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。
第1周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第2周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第3周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第n 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）解法2：根据题意，P1（2，0） P2（0，－2） P3（－2，0） P4（0，2）。
根据p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出：P4n （0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。
2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。
此题是每四个点一循环，起始点是p 点。
2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A10（ ， ），A12（ ）；（2）写出点A 4n 的坐标（n 是正整数）；（3）按此移动规律，若点Am 在x 轴上，请用含n 的代数式表示m （n 是正整数）（4）指出蚂蚁从点A 2011到点A 2012的移动方向．（5）指出蚂蚁从点A 100到点A 101的移动方向．（6）指出A 106，A 201的的坐标及方向。
解法：（1）由图可知，A4，A12，A8都在x 轴上，∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA4=2，OA8=4，OA12=6，∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：A10（5，1）（2）根据（1）OA4n=4n÷2=2n，∴点A4n 的坐标（2n ，0）；（3）∵只有下标为4的倍数或比4n 小1的数在x 轴上，∴点Am 在x 轴上，用含n 的代数式表示为：m=4n 或m=4n-1；（4）∵2011÷4=502…3，∴从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右．（5）点A100中的n 正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0）和A101（50，1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。
（6）方法1：点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(0,1)， A2(1,1)， A3(1,0)， A4(2,0)第2周期点的坐标为：A1(2,1)， A2(3,1)， A3(3,0)， A4(4,0)第3周期点的坐标为：A1(4,1)， A2(5,1)， A3(5,0)， A4(6,0)O 1 A 1 A 2 A 3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A 10A 11 A 12 xy第n周期点的坐标为：A1(2n-2,1)，A2(2n-1,1)，A3(2n-1,0)，A4(2n,0)106÷4=26…2，所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,(2×27-1,1)，即(53,1)方向朝下。
201÷4=50…1，所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同,(2×51-2,1)，即(100,1)方向朝右。
方法2：由图示可知，在x轴上的点A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。
106=104+2，即点A104再移动两个单位后到达点A106，A104的坐标为（52，0）且移动的方向朝上，所以A106的坐标为（53，1），方向朝下。
同理：201=200+1，即点A200再移动一个单位后到达点A201，A200的坐标为（100，0）且移动的方向朝上，所以A201的坐标为（100，1），方向朝右。
3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第42、49、2011秒所在点的坐标及方向？解法1：到达（1，1）点需要2秒到达（2，2）点需要2+4秒到达（3，3）点需要2+4+6秒到达（n，n）点需要2+4+6+...+2n秒＝n(n+1)秒当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。
35=5×6+5，所以第5*6=30秒在（5，5）处，此后要指向下方，再过5秒正好到（5,0）即第35秒在（5，0）处，方向向右。
42=6×7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，方向向左49=6×7+7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，再向左移动6秒，向上移动一秒到（0，7）即第49秒在（0，7）处，方向向右解法2：根据图形可以找到如下规律，当n为奇数是n2秒处在（0，n）处，且方向指向右；当n 为偶数时n2秒处在（n，0）处，且方向指向上。
35=62-1，即点（6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5，0），即第35秒处的坐标为（5，0）方向向右。
用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向。
4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，顶点A55的坐标是（）解法1：观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。
观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(-1,-1)，A2(-1,1)，A3(1,1)，A4(1,-1)第2周期点的坐标为：A1(-2,-2)，A2(-2,2)，A3(2,2)，A4(2,-2)第3周期点的坐标为：A1(-3,-3)，A2(-3,3)，A3(3,3)，A4(3,-3)第n周期点的坐标为：A1(-n,-n)，A2(-n,n)，A3(n,n)，A4(n,-n)∵55÷4=13…3，∴A55坐标与第14周期点A3坐标相同,(14,14)，在同一象限解法2：∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限，根据题中图形中的规律可得：3=4×1-1，A3的坐标为（1，1），7=4×2-1，A7的坐标为（2，2），11=4×3-1，A11的坐标为（3，3）；55=4×14-1，A55（14，14）5、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O的距离为（）解：由于OM=1，所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=，同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的2处，同理跳动n次后，即跳到了离原点的处68、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为（）45 ．解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），7、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为（）．解：由图形可知：点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时，箭头朝下。
坐标系中的点有规律的按列排列，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有3个点…第n列有n 个点。
∵1+2+3+4+…+12=78，∴第78个点在第12列上，箭头常上。
∵88=78+10，∴从第78个点开始再经过10个点，就是第88个点的坐标在第13列上，坐标为（13，13-10），即第88个点的坐标是（13，3）10、如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…．则点A2007的坐标为（）．解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(1,0)，A2(1,1)，A3(-1,1)，A4(-1,-1)第2周期点的坐标为：A1(2,-1)，A2(2,2)，A3(-2,2)，A4(-2,-2)第3周期点的坐标为：A1(3,-2)，A2(3,3)，A3(-3,3)，A4(-3,-3)第n周期点的坐标为：A1(n,-(n-1))，A2(n,n)，A3(-n,n)，A4(-n,-n)因为2007÷4=501…3，所以A2007的坐标与第502周期的点A3的坐标相同，即(-502,502)解法2：由图形以可知各个点（除A1点和第四象限的点外）都位于象限的角平分线上，位于第一象限点的坐标依次为A2（1，1）A6（2，2）A10（3，3）…A4n﹣2（n，n）。
因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即4n﹣2（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；同理第二象限点的下标是4n﹣1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；第四象限是1+4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；因为2007÷4=501…3，所以A2007位于第二象限。