自主招生讲义(一)

第一节 函数与方程
函数求值域
求函数最值方法：直接法·换元法·配方法·均值不等式法·判别式法·单调性法·导数法·数形结合
目标1：换元法（二次函数换元，三角换元，分式型等）
例1：求函数22()421f x x x x =-+-的最大值与最小值．
例2：已知19
4)4(2
2=+-y x ，则9422y x +的最大值为____________．
例3：设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为
25
2
，则a = ．
例4：己知4350x y --=，那么()()2
2
13x y -+-的最小值为_______________
例5：已知对任意x 均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b 的最大值
例6：函数的最值为_________。

目标2：数型结合型
例8：求x
x
y cos 2sin 1++=
的最大值是__________________．
例9：求函数f (x )=11363242
4
+--+--x x x x x 的最大值。

例10：设(0,)2
x π
∈，则函数(22
2211sin )(cos )sin cos x x x x
+
+的最小值是__________． :
例11：求函数y =4
34
322+++-x x x x 的值域。

例12：求函数y =(x +1+x -1+2)(21x -+1),x ∈[0,1]的值域。

例13：A 、B 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最
小值．
例14. y =1
11
++-+
x x x
x ;已知1y ≤且21x y +=，则222163x x y ++的最小值为 A. 192 B. 3 C. 27
7 D.13
例15：函数y =x +232+-x x 的值域为________.
绝对值函数
例1 （2011北大）求 f(x)=|x-1|+|2x-1|…+|2011x-1|的最小值
例2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2
对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3
1,31[- B. ]21,21[-
C. ]3
1,41[- D. [−3，3]
例3、设21≤≤-x ，则22
1
2++--x x x 的最大值与最小值之差为 1
例4、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；
函数的零点个数例题1：
例题2：
例题3：
例题4：
例题5
例题6：
例题7：
例题8、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；
（无实数根）
直通自主考试：清华大学联盟2011年自主招生部分笔试真题
1、复数Z Z < 1 , 21
+
Z =2
5,求Z = 2、正四棱锥P-ABCD, M 、N 分别是AP ,BP 中点线DM , AN 夹角余弦值( ) 3、f (x)= 3x ―2x ―2x +1 , 点(―1 ，1) 而切点不是(―1 ，1)，切线斜率( )
4、角A+B=3
2
π , cos 2A+cos 2B 的最值。

5、异面直线1l , 2l 的夹角60°，过定点M 有几个平面与1l , 2l 都成45°
6、a =(1 , 0) , b =(―23 , ―21) , c =(23 , ―2
1
) , x a +y b +z c =(1 , 1).求
x 2 +y 2 +z 2 的最小值。

7、抛物线y 2=4x 焦点F ,线AB 过F 点，原点O,抛物线准线与X 轴交点C,∠OFA=130°,求 tan ∠ACB
8、三角线ABC 不是直角三角形，试证明：tanA+ tanB+ tanC= tanA tanB tanC
9、一个圆柱杯其瓶底以及瓶壁厚度忽略不计，质量为a, 重心在圆柱中辅线中点上，向杯中倒入质量为b 的水，恰好倒满此时杯和水整体的重心，还在圆柱中轴线中点上；
(1)b=3a ,倒入2
b
的水，重心距杯底高度与杯高度的比值；
(2)倒入多少水时，整体重心最低？
10、()b ax x x f +=
2 ，()11=f ，3
2
21=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，{}a x ，数列{}n x ，()n n x f x =+1，
求其通项公式。

11,双曲线()0,,122
22>=-b a b y a x 左右焦点F1、F2 ，右交上一点P ， ∠F 1PF 2=3
π , S △PF 1F 2
= a 33 求其离心率。

12，掷n 次硬币，记不连续出现n 次正面向上概率为P n （1）求P 1、P 2、P 3、P 4
（2）求P n 递推公式，n n p lim ∞
-和它的统计意义；
直通高考：
1．方程x ln e
x
=-的两个根为21x ,x ，则
A ．021<x x
B ．121=x x
C ．121>x x
D ．1021<<x x
2.函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x
⎧-⎪
=⎨⎪⎩
0;0.x x >= （1）当0a b <<时，若()()f a f b =，则ab 的取值范围 .
（2）.若关于x 的方程0)()(2
=++c x bf x f 有7个不同实数解，则,b c 满足的条件 . 3.已知10<<a ，则方程|log ||
|x a
a x =的实根个数为n ，且11(1)(1)n x x +++
210110121011(2)(2)(2)(2)a a x a x a x a x =+++++
++++，则=1a （ ▲ ）
A ．9
B ．10-
C ．11 D. 12-
4．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．1
8
m ≤
B ．m >-3
C ．m >-1
D ．138
m -≤≤
5．（本题20分）解三角方程：sin()sin 29,4
a x x a π
+
=+为一实常数．
6．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+，则()f x = ．
7．设,,a b c 均为实数，且364a b
==，则11
a b
-= ．
8．设0a >且1a ≠，则方程2
122x
a x x a +=-++的解的个数为 ． 9．复数||1z =,若存在负数a 使得2
2
20z az a a -+-=，则________a =． 10．（本题满分12分）
设函数1ln )(+-=px x x f （1）求函数)(x f 的极值；
（2）当0>p 时，若对任意的0>x ，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；
（3）求证： )1(21
2ln 33ln 22ln 2222222+--<+++n n n n
n
11. 已知函数5
55)(+=
x
x f ，m 为正整数．
（Ⅰ）求)0()1(f f +和)1()(x f x f -+的值； （Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为)(m
n
f a n =（m n ,,2,1 =）
，求数列}{n a 的前m 项和m S ； （Ⅲ）设数列}{n b 满足：2
11=
b ，n n n b b b +=+2
1，
设11111121++++++=n n b b b T ，若（Ⅱ）中的m S 满足对任意不小于3的正整数n ，57774+<n m T S 恒成立，试求m 的最大值.
12．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像．。