2021年初中物理竞赛及自主招生专题讲义第三讲功和能第二节机械能含解析.docx

第二节 机械能自然界中的能量有很多，诸如电能、内能、化学能、核能等。

机械能是重力势能、弹性势能和动能的总称。

一、重力势能1．重力做功的特点当物体上升或者下降时，重力就会对物体做功，重力所做的功对应着物体与地球之间能量的变化。

如图5.28所示，我们分别计算物体m 沿不同路径从1h 高度运动至2h 高度时，重力做的功。

物体沿AB 下落时，有()12AB W mg h h =-。

物体沿AC 下落时，设AC 与水平方向夹角为α，则()cos 90AC AC W mg s α=⋅⋅︒-，因为()21cos 90sin AC AC s s h h αα⋅-=-︒=，因此()12AC W mg h h =-。

可见，AB AC W W =，无论物体沿着竖直方向下落，还是沿着倾斜直线下落，重力所做的功都等于重力大小与下降高度的乘积。

这个结论可以用来求解沿AD 下降时重力的功AD W 。

将曲线AD 分割成无限多的微元段，则每一个微元段可以视为倾斜的直线，微元段的竖直高度分别为1h ∆，2h ∆，3h ∆，…，则()()12312312AD W mg h mg h mg h mg h h h mg h h =∆+∆+∆+⋅⋅⋅=∆+∆+∆+⋅⋅⋅=-综上可知，重力做功与物体的移动路径无关，只与物体的初、末位置的高度差有关，可以用AB W mg h =∆来计算重力做的功，其中h ∆表示物体在初、末位置的高度差，如果物体有一定的形状和大小，则h ∆表示物体的重心在初、末位置的高度差。

2．重力势能的定义重力做功时，对应着物体能量的变化。

这种能量是由于物体与地球之间存在引力作用，而该种引力（重力）做功又与路径无关，只与初、末位置有关，物体和地球间的这种由相对位置决定的能叫做重力势能。

重力势能是物体和地球所共有的，为了叙述方便，可以说成是某一物体的重力势能。

重力势能的计算公式为p E mgh =，在国际单位制中，重力势能的单位是焦（J ）。

式中h 是物体重心相对某个参考平面（零势能面）的高度，选择不同的参考平面，物体的高度h 不同，物体的重力势能也就不同，所以物体的重力势能具有相对性。

但是物体从一个高度运动到另一高度，重力势能的变化量是绝对的，跟参考平面的选取无关，例如，质量为m 的物体从房顶落到地面，下落高度为h ∆，不论选择怎样的参考平面，该物体的重力势能总是减少mg h ∆。

例1 （上海第27届大同杯初赛）两个完全相同的正方体均匀物块，分别沿各自虚线切割掉一半，将剩余部分a 和b 按照图5.29所示位置摆放在同一水平面上，两物块的重力势能的比较结果为（ ）。

A ．a 比较大B ．b 比较大C ．一样大D ．无法判断分析与解 a 和b 质量相同，比较它们重力势能的大小，只需比较两者的重心高度即可。

设原来正方体的边长为h ，则a 的重心高度为4a h h =。

b 的重心高度等于图中等腰直角三角形的重心高度，而三角形的重心在底边中线上，且重心距底边的距离为13的中线长度，因此b 重心的高度2120.2363b h h h h =⨯==，显然，选项A 正确。

例2 一根质量为m 、长为L 的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，桌面足够高，若在链条两端和中央各挂一个质量为2m 的小球，如图5.30所示。

由静止释放，当链条刚离开桌面时，重力做功为________，系统重力势能变化量为________。

分析与解 本题若要计算链条与铁球系统的重心下降高度，则较为烦琐，现利用“等效法”来处理。

画出链条刚离开桌面时的位置如图5.31所示，并与链条的初始状态相比较，可见，原来位于链条中部和底部的两铁球的B ，C 相当于后来的D ，E 位置，其间的链条BC 位置也相当于DE 位置，未发生变化。

整个链条下落的过程仅相当于桌面上的铁球A 运动到了最低处F ，以及AB 间的链条运动到了EF 处。

由此，铁球A 下降的高度为L ，链条AB 的重心下降了34L ，则重力做的功为372248mg mg L mgL W L =⨯+=，系统重力势能减少了78mgL 。

二、弹性势能弹性势能是指物体由于发生弹性形变而具有的能量，拉伸的橡皮筋、被拉伸或被压缩的弹簧都具有弹性势能。

弹性势能用p E 表示，单位是焦耳。

对弹簧而言，在弹性限度内，弹簧的弹力F 与其形变量x 成正比，即F kx =。

利用F x -图像，可以得出弹簧的弹性势能p E 与形变量x 的关系。

如图5.32（a ）所示，设弹簧在原长位置时的弹性势能为零。

向右缓慢拉动弹簧时，弹簧的弹性势能的大小就等于弹簧克服拉力所做的功，也就是等于拉力对弹簧所做的功。

由于拉力等于弹簧弹力，可画出拉力F 随弹簧形变量x 的关系，如图5.32（b ）所示，当弹簧形变为l 时，图下方三角形的面积即为拉力所做的功：212W kl =，则弹簧的弹性势能为2p 12E kl =，其中k 为弹簧的劲度系数。

三、动能动能是指物体由于运动而具有的能量，大小等于质量与速率平方乘积的一半，即2k 12E mv =，动能的单位是J （焦耳）。

注意动能公式中的“v ”是指速度的大小，即速率，当物体只是速度方向改变时，动能不变。

动能没有方向，不能误以为物体运动的方向就是动能的方向。

由于速度的大小与参考系有关，所以动能也具有相对性。

例3 某地强风的风速约为20m/s v =，空气密度31.3kg/m ρ=（即体积为31m 的空气质量为1.3kg ），如果把通过横截面积为220m s =的风能全部转化为电能，则利用上述物理量计算电功率的公式P =________，产生的电功率的大小约为________。

分析与解 经过时间t ，有长度为l vt =的空气柱通过截面s ，如图5.33所示，则t 时间内通过截面s 的空气柱体积为V sl svt ==，空气柱的质量m V svt ρρ==，空气柱的动能2k 31122E mv t sv ρ==，由于风的动能全部转化为电能，得电功率3k 12E W P sv t t ρ===，代入数据可得5110W P =⨯。

四、机械能和机械能守恒在物理学中，重力势能、弹性势能和动能统称为机械能。

机械能是用来表示物体的机械运动状态的物理量，一个物体可能同时具有动能、重力势能等，物体的机械能就是这些能量的总和。

对于一般的单个运动物体，我们考虑其动能和重力势能比较多，因此通常情况下所说的物体的机械能往往是动能与重力势能之和。

不同形式的机械能之间可以相互转化，比如物体从高处下落时重力势能可以转化为动能，压缩的弹簧把木块弹开时弹性势能转化为动能等，实现这种相互转化的条件是做功。

当只有重力或者是弹簧的弹力做功时，物体（包括弹簧）的机械能总和保持不变，即机械能守恒。

机械能守恒是指动能和势能相互转化但总和不变，即势能的变化量等于动能的变化量。

在分析物体机械能转化情况时，尤其要注意机械能是只在一个物体内转化，还是在不同的物体之间转化。

例4 如图5.34所示，小球从A 点自由落下，在B 点恰与竖立在地面上的弹簧接触，并在C 点将弹簧压缩得最短，计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）。

A ．小球从A 点下落到B 点的过程中，小球机械能守恒B ．小球从A 点下落到C 点的过程中，小球机械能守恒C ．小球在B 点速度达到最大D ．小球在C 点时弹簧的弹性势能小于小球在A 点时的重力势能分析与解 小球从A 点下落到B 点的过程中，不考虑空气阻力，则只有重力做功，小球的重力势能减少，动能增加，减少的重力势能全部转化为小球的动能，因此，这个过程小球的机械能守恒，A 选项正确。

小球从A 到C 的过程中，小球在A 点和在C 点速度均为零，小球减少的重力势能最终并未转化为小球的动能，而是转化为弹簧的弹性势能，因此，小球的机械能减少，减少的那一部分机械能转化为弹簧的弹性势能，选项B 错误。

小球到达B 点时，弹簧还未被压缩，小球在B 点还要加速，当弹簧的压缩量很小时，弹簧对小球的弹力也很小，小于重力，那么小球仍要向下加速，可见，B 点并不是小球速度最大的位置，速度最大的位置（弹力等于重力的位置）应在B ，C 两点之间，选项C 错误。

当小球到达C 点时，弹簧被压缩得最短，小球速度为零，小球在A 点时的重力势能转化为弹簧的弹性势能与小球在C 点的重力势能，因此，选项D 正确。

本题正确选项为AD 。

例5 如图5.35所示，一根质量分布均匀的木杆竖直立在水平地面上，在木杆倾倒过程中底部没有滑动，不计空气阻力。

以地面为重力势能零点，则动能恰好与重力势能相等时，木杆与水平地面间的夹角为（ ）。

A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°分析与解 木杆在倒地过程中，其机械能守恒。

设木杆质量为m ，长为L ，则木杆初始状态动能为0，重心高度为12L ，重力势能为12mgL ，因此初始状态下的机械能为112E mgL =，设木杆动能与重力势能相等时，木杆与水平面的夹角为θ，则其重心高度为1sin 2L θ，重力势能为1sin 2mgL θ，此时的机械能为212sin sin 2E mgL mgL θθ=⨯=。

由杆的机械能守恒，得12E E =，即1sin 2mgL mgL θ=，显然1sin 2θ=，30θ=︒。

选项B 正确。

五、功和能量变化的关系能量是一个状态量，一定的状态对应一定的能量；功是一个过程量，物体由一个状态变化到另一个状态，对应的能量发生了变化，这一个过程一定涉及做功；做功多少则能量变化多少。

功和能的关系是：功是能量变化的量度。

1．重力做功和重力势能变化的关系设一个质量为m 的物体，如果初状态时的高度为1h （相对于某一位置），重力势能为1mgh ；末状态时的高度为2h ，重力势能为2mgh ，这一过程中，重力做的功12mg W mgh mgh =-。

由上式可得：（1）若12h h >，表示物体高度下降，重力做正功，12mgh mgh >，即重力势能减少；若12h h <，表示物体高度上升，重力做负功，12mgh mgh <，即重力势能增加。

（2）只要始末位置一定，即1h ，2h 一定，不管经过哪一路径，重力做的功mg W 就是一定的，即重力做功跟路径无关。

2．外力做功和物体动能变化的关系设一个质量为m 的物体，初状态时的速度为1v ，在恒定的外力F 的作用下，发生一段位移s ，F 的方向与速度方向相同，末状态时的速度为2v ，则有外力做的功22211122W Fs mv m ==-，如果物体受几个力，上述结论仍正确，但W 是所有外力对物体做的功的代数和。

上式表示：外力对物体做的功等于物体动能的增量。

这一结论叫做动能定理。

从上式可得：合外力是动力，物体的动能就增加，增加的动能等于动力对物体所做的功。