2006高数(非数学专业)理工类竞赛卷答案
2006年高考理科数学试题及答案(全国卷2)
2006高考理科数学试题全国II 卷理科试题本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题）两部分。
第Ｉ卷１至２页。
第ＩＩ卷３至４页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ｉ卷 注意事项： １．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么(.)().()P A B P A P B =如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是()(1)k kn k n n P k C P P -=-一．选择题（1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（A ）∅ （B ）{}|03x x <<（C ）{}|13x x << （D ）{}|23x x <<（2）函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是（A ）2π （B ）4π （C ）4π （D ）2π 球的表面积公式24S R π=其中Ｒ表示球的半径 球的体积公式343V R π=其中Ｒ表示球的半径（3）23(1)i =- （A ）32i （B ）32i - （C ）i （D ）i - （4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（A ）316 （B ）916 （C ）38 （D ）932（5）已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（A） （B ）6 （C） （D ）12（6）函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为 （A ）1()x y e x R +=∈ （B ）1()x y e x R -=∈（C ）1(1)x y ex +=> （D ）1(1)x y e x -=>（7）如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面α、β所成的角分别为4π和6π。
2006高数(非数学专业)经管类竞赛卷答案
2006高数(非数学专业)经管类竞赛卷答案D则（ A ）。
A. 0p >B. 0p ≥C. 0p <D.0p ≤二、填空题（每题4分 共20分）1．设函数)(x f 在),(δa 内二阶导数连续，且0)(≠'a f ，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'---→)()(1)()(1lim x f a x a f x f a x 2()2[()]f a f a ''' 。
2．设)(x y y =由方程0233=-+xy y x 确定，曲线)(x y y =的斜渐近线为23y x =--。
原方程为311()2()0y y xx x+-=，令x →∞时有lim1x ya x→∞==- 222lim()lim()limx x x xyb y ax y x x xy y →∞→∞→∞=-=+=-+222lim31()()x y xy y x x→∞==--+ 3．设1||<y ，则 ⎰--11||dx e y x x = 12(2)y e y e ey --+-。
1111||()()y x x x yx y e dx y x e dx x y e dx ---=-+-⎰⎰⎰111()(2),()y x y x y yy x e dx e y e x y e dx e ey---=-+-=-⎰⎰4．级数∑∞=+2)ln 1sin(n nn π是绝对收敛，还是条件收敛？ 条件收敛 。
5. 函数(,)z f x y =有222fy∂=∂，且'(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y为 21xy y ++ 。
三、计算与证明题（共50分）1．（10分）设)(r f 在10≤≤r 上连续，证明： 0)()(lim1222222=++⎰⎰≤+∞→y x n n dxdy y x f y x 证明：在极坐标系下，把重积分化为累次积分⎰⎰⎰⎰⎰++≤+==++1122011212222)(2)()()(22dr r f r dr r f rd dxdy y x f y xn n y x n πθπ设|)(|max 10r f M r ≤≤=，则有2222|)()(|01121222222+=≤++≤⎰⎰⎰+≤+n Mdr r M dxdy y x f y x n y x n ππ由夹逼定理，得证。
2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案(理工类)
１2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
）1．若()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f xxx01e 0,arctan e 12sin 是()+∞∞-,上的连续函数，则a = －1 。
2．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上的最大值为332+π 。
3．()=+⎰--22d ex x x x26e 2-- 。
4．由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()230,,处的指向外侧的单位法向量为{}32051,,。
5．设函数()x,y z z =由方程2e=+----xy z x x y z 所确定，则=z d ()y x x x xy z xy z d d e1e 1-1+++---- 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1． 设函数f (x )可导，并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x 处微分d y 是y ∆的（ A ） （A ）等价无穷小； （B ）同阶但不等价的无穷小；（C ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。
2． 设函数f (x )在点x = a 处可导，则()x f 在点x = a 处不可导的充要条件是（ C ） （A ）f (a ) = 0，且()0='a f ； （B ）f (a )≠0，但()0='a f ； （C ）f (a ) = 0，且()0≠'a f ； （D ）f (a )≠0，且()0≠'a f 。
3． 曲线12+-+=x x x y （ B ）（A ）没有渐近线； （B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C ）有一条铅直渐近线； （D ）有两条水平渐近线。
2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2006年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准说 明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.三. 解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00mmy x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点.【证明】 因为12-=nx y 与x y =的交点为002n x y ±==.显然有001x n x +=。
…（5分）若),(00mmy x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点，则001mmk x x =+. …（10分） 记001mm mk x x =+，则 101101()m m m m m k k x k nk k x +--=+-=-， (2)m ≥ （13.1） 由于1k n =是整数，22220020011()22k x x n x x =+=+-=-也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数m ，001mm m k x x =+是正整数. 现在对于任意正整数m ，取001m mk x x =+，使得12-=kx y 与x y =的交点为),(00m m y x . ………………… （20分）14. 将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15i j i j S x x ≤<≤=∑. 问：（1） 当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；（2） 进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.【解】 （1） 首先这样的S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值。
2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷)理科数学试题及解答(WORD版)[1]
![2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷)理科数学试题及解答(WORD版)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/bf1028a8bceb19e8b8f6baf1.png)
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
z
x
y
·＝0，∴ED⊥BB1．
又＝(－2a，0，2c)，
·＝0，∴ED⊥AC1， ……6分
所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．
（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，
2)，
＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，
（19）（本小题满分１２分） 如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。
（I）证明：ED为异面直线与的公垂线； （II）设求二面角的大小。
（20）（本小题１２分） 设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围。
（21）（本小题满分为１４分） 已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分
与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方 法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿ 人。
三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤。 （17）（本小题满分１２分） 已知向量 （I）若求 （II）求的最大值。
（18）（本小题满分１２分） 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再 从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别 有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。 （I）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期 望； （II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批 产品，求这批产品被用户拒绝的概率。
别作抛物线的切线，设其交点为M。 （I）证明为定值； （II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。
2006年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答案】 （ ）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x <<【答案】（ ） 5. 设()322()log 1f x x x x =+++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108-【答案】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是。
8. 若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为.9. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l ：80x -++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为.10. 底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm 3. 11. 方程20062420042005(1)(1)2006xx x x x +++++=的实数解的个数为.12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为.三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 15. 设2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n =，，{}R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41 ,2M .2006年全国高中数学联合竞赛加试试卷 （考试时间：上午10：00—12：00）一、以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于C i （i =0，1）。
2006年普通高等学校招生统一考试理科数学试题参考答案
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．B 11．B 12．B 二、填空题 13．π314．11 15．2400 16．π6三、解答题 17．解：由πA B C ++=，得π222B C A+=-， 所以有cos sin 22B C A+=． 22cos 2cos2cos 2sin212sin 2sin22132(sin )222B CA AA A AA ++=+=-+=--+．当1sin 22A =，即π3A =时，cos 2cos 2BC A ++取得最大值32． 18．解：（I ）设i A 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，012i =，，， i B 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，012i =，，． 依题意有12124224()2()339339P A P A =⨯⨯==⨯=，．01111111()()2224222P B P B =⨯==⨯⨯=，．所求的概率为010212()()()p P B A P B A P B A =++141414494929=⨯+⨯+⨯ 49=． （II ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ~4(3)9B ，． 35125(0)9729P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， 2134100(1)C 9243P ξ5⎛⎫==⨯⨯=⎪9⎝⎭， 223480(2)C 9243P ξ5⎛⎫==⨯⨯= ⎪9⎝⎭， 364(3)729P ξ4⎛⎫===⎪9⎝⎭． ξ的分布列为数学期望393E ξ=⨯=．19．解法一：（I ）由已知2211l MN l l MN l M ⊥⊥= ，，，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN⊥==，，可知A N N B =且AN NB ⊥． 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影，AC NB ∴⊥． （II ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB =︒∠，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心，连结BH NBH ，∠为NB 与平面ABC 所成的角．AB CHN1l2lM在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ===∠ 解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -． 令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，． （I ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥，2l ∴⊥平面ABN ． 2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，． 于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， 1(1)00AC NB =+-+=，AC NB ∴⊥．（II ）(11)(11)AC m BC m ==- ，，，，，．||||AC BC ∴=，又已知60ACB =︒∠，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===． 在Rt CNB △中，NBNC =C ． 连结MC ，作NH MC ⊥于H，设(0)(0)H λλ>，．(01)HN MC λ∴=-= ，，．11203HN MC λλλ=--=∴= ，．103H ⎛∴ ⎝⎭，，，可得203⎛= ⎝⎭ ，，HN ，连结BH ，则 113BH ⎛=- ⎝⎭ ，，， 220099HN BH HN BH =+-=∴⊥ ，，又MC BH H = ，∴HN ⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角． 又(110)BN =-，，，l43cosBH BNNBHBH BN∴===∠．20．解：（I）椭圆方程可写为22221y xa b+=，式中0a b>>，且2232a ba⎧-==⎩，得2241a b==，，所以曲线C的方程为221(00)4yx x y+=>>，．1)y x=<<，y'=设00()P x y，，因P在C上，有00401|x xxx y yy='<<==-，，得切线AB的方程为004()xy x x yy=--+．设()0A x，和()B y，，由切线方程得1xx=，4yy=．由OM OA OB=+得M的坐标为()x y，，由x，y满足C的方程，得点M的轨迹方程为()2214112x yx y+=>>，．（II）222||OM x y=+，222444111yxx==+--，2224||154591OM xx∴=-+++=-≥，且当22411x x -=-，即1x =>时，上式取等号． 故||OM的最小值为3．21．解：（I ）()f x 的定义域为(1)(1)-∞+∞ ，，．对()f x 求导数得 222()e .(1)axax a f x x -+-'=-（i ）当2a =时，2222()e (1)xx f x x -'=-，()f x '在(0)(01)-∞，，，和(1)+∞，均大于0，所以()f x 在(1)(1)-∞∞，，，+为增函数． （ii ）当02a <<时，()0f x '>，()f x 在(1)(1)-∞+∞，，为增函数． （iii ）当2a >时，201a a-<<．令()0f x '=，解得1x =2x = 当x 变化时，()f x '和()f x 的变化情况如下表：()f x 在⎛-∞ ⎝，，⎫⎪⎪⎭，()1+∞，为增函数，()f x 在⎛ ⎝为减函数．（II ）（i ）当02a <≤时，由（I ）知：对任意(01)x ∈， 恒有 ()(0)1f x f >=．（ii ）当2a >时，取0(01)x =，，则由（I ）知0()(0)1f x f <=．（iii ）当0a ≤时，对任意(01)x ∈，，恒有111xx+>-且e 1ax -≥，得 11()e 111ax x xf x x x-++=>--≥． 综上当且仅当(2]a ∈-∞，时，对任意(01)x ∈，恒有()1f x >． 22．解：（I ）由14122333n n n S a +=-⨯+，1n =，2，3， ，① 得1114124333a S a ==-⨯+，所以12a =．再由①有114122333n n n S a --=-⨯+，2n =，3， ．②将①和②相减得()()111412233n nn n n n n a S S a a +--=-=--⨯-，2n =，3， ，整理得()11242n n n n a a --+=+，2n =，3， ，因而数列{}2nn a +是首项为124a +=，公比为4的等比数列，即12444n n n n a -+=⨯=，1n =，2，3， ，因而42n n n a =-，1n =，2，3， ．（II ）将42n n n a =-代入①得()1412422333n n n n S +=⨯--⨯+()()11121223n n ++=⨯--()()1221213n n +=⨯--．()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++⎛⎫==⨯=⨯- ⎪---⨯-⎝⎭，所以，11131122121nn i i i i i T +==⎛⎫=- ⎪--⎝⎭∑∑1131122121n +⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭＜32．Ｂ卷选择题答案1．Ａ2．Ｃ 3．Ｂ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ａ 7．Ｄ8．Ｂ9．Ｃ10．Ａ 11．Ａ12．Ａ。
2006年全国高中数学联赛试题及答案
2006年全国高中数学联合竞赛试题1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥，则△ABC 一定为( )A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为( )A ．112x <<B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x <<3. 已知集合{}50A x x a =-≤，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为( ) A. 20 B. 25 C. 30 D. 424. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为( )A. 1⎫⎪⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,⎡⎣D. 5.设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的( )A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为( )A ．200620061(108)2+B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108-二.填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
8. 若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为______.9. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l：80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为_______. 10. 底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_______.11.方程20062420042005(1)(1)2006x x x x x +++++= 的实数解的个数为12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 .三. 解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点.试证明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00m m y x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点.14. 将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15i j i j S x x ≤<≤=∑. 问：当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.15. 设 2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n = ，，{}R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41 ,2M .二○○五年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
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x2
。
(x2 1) x2 2
2．设a 为常数，则
lim n a xsin 1 dx
n
n
x
a。
n n
a xsin
1 dx x
sin 1[n a n] a sin 1
在 n 和 n a 之间，
于是， lim n
n a xsin 1 dx
n
x
lima sin1/ 1/
a
3． x x (1 ln x)dx xx c 。
学号: 院系: 姓名:
高等数学竞赛(理工类)试题 （ 2006 年 7 月 6 日 晚 7•00 ~ 9•00 ） 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
一、单项选择题（每题 4 分 共 20 分）
1．方程1 e 2x x 在 (0, ) 内实根的个数为（ B ）。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
S(0) 1
x2
t2
即得S(x) e 2 x e 2 dt 1 。
0
证明：
13 f (x)dx 2
0
14[ f (x)] 2 dx
0
证：由科西不等式
3
f (x) x f (t)dt 0
x1
0
dt
x[ f
0
(t)]2 dt
2
dt
2
x
1
0 3 f (x)dx
1
30
xdx
1[ f (x)]2 dx
0
x [ f2 (t)] 0 dx
1
由于 f (x) 0 ，上式左边非负，所以两边平2 方0即[ f 得(x)]
k 0 2k
A
2k 1 k 0 2k
2k 1
2 k 1
k1
1
1 2 k 1 k 1
1
1
k 1 2k
12
3
故
lim(
n
1 2
3 22
5 23
2n 2
1)
3
2．（10分）设 f (x) 在 (0,1) 上由n定义，且函数e x f (x)与e f (x) 在 (0,1) 上单
调不减，证明函数 f (x) 在 (0,1) 上连续。
f (x)
0 ，由上
所述当 x x0 时有 e x0 x f (x0 ) f (x) f (x0 ) ，由夹逼定理，即可
推得
f
(
x)
在
x0
处的右连续性，即
lim
x x0
f
(x)
f (x0 ) ，同理可推得
lim f (x)
x x0
f (x0 ) ，由此即知函数 f (x) 在 (0,1) 上连续。
3. （10分）设 f (x) 在[0,1]上单调增加， f (0) 0 ， f (x) C [0,1]，
13 f (x)dx 2
0
14[ f (x)] 2 dx
0
4. （10分）设 z z(x, y) 由方程 F ( x
z y
,
y
z x
)
0 给出，且 F, z 都
可微，证明： x
z x
y yz
z
xy
z 证明：由隐函数存在定理，得 x
Fz x,
Fy
Fy
令u
x
y
,
v
y
z x
，则
Fz
z
x
z x
y
z y
x Fx y Fy
lim(
n
1 2
3 22
5 23
2n 1 2 )。
解：考察级数
k
1
2k 2k
1
n
，由正项级数的比值法，有
lim
n
2n 2n
1
1
2n 2n 1
lim 2n 1 n 4n 2
11 2
则级数
k
1
2k 2k
1
收敛，它的和等于所求的极限，记
A
2k k 1 2k
1 ，则
2A
2k 1 2 k 1 k 1
2k 1 ，两式相减得
证明：因为e x f (x) 单调不减，故当 x x0 时有e x f (x) e x0 f (x0 ) ，
由此得 e x0 x f (x0 ) f (x) ，又因为 e f (x) 也单调不减，故当 x x0
时有 e f (x)
， 即 e f (x0 )
e f ( x0 ) f ( x)
1 ， 故 f (x0 )
2. 若 f (x) 在[0,1]上连续且可导， f (1) f (0) 1， I 则有（ C ）。
01[ f (x)]
2 dx ，
A. I = 1 B. I < 1 C. I≥1 D. I = 0
3． 设 f (x, y) 连 续 ， 且 f (x, y) xy f (u, v)dudv, 其 中 D 是 由
A. y1 y2 y3 是方程的解
B. y1, y2 , y3 线性无关
C. y1, y2, y3 可能线性无关，也可能线性相关。
D. y1, y2 , y3 线性相关
二、填空题（每题 4 分 共 20 分）
1．设函数 f (x)
arctan
x2 x
2
1 ln x 2
2
x2
2 2
x ，则
x
f (x)
解：设幂级数的和函数为S(x) ，易知此幂级数的收敛半径为 ，
4
S (x) 1 x x2 x3 x4 x5 1 2 13 2 4
1 x(1 x x 2 x3 x 2 1 3 2 44
x 2n 2
2n 1
x
(2n 3)!! (2n 2)!!
) 1 xS(x)
又 S(0) 1，故求解一阶线性微分方程
dS xS(x) 1 dx
FF
z
z
xF x Fz yFy
x(F u
xz F ) y(F
2v
v
z y2
Fu )
1 y
Fu
1 x
F
v
xy( xFu yFv ) z( xFu yFv ) z xy xFu yFv
5．（10分）求幂级数
1 x x2 x3 x4
x5
x6
2 13 2 4 135 246
的和函数。
x2n 1
x
2n
(2n 1)!! (2n)!!
4. 直线 L : x 1 y z z
2
绕 轴旋转一周所得旋转曲面方程为
x2 y2 z2 (11 21z)2 。
5．设a n 0 (n 1,2, ) ，且数列{a n}单调，若级数 a a ，
n1
n n1
收敛，级数 an 是收敛还是发散？ 收敛 。
n1
2
三、计算与证明题（共 50分）
1．（10分）求极限
D
y0
y x2, x 1所围区域，则 f (x, y) 等于（ D ）。
A． xy ； B. 2xy ； C. xy
1；
D. xy
1 8
。
4. 设 f 在 上可积，且 区域具有轮换对称性（即若 (x, y, z)
，则( y, z, x) ,(z, x, y) ），则（ A ）。
A.
f (x, y, z)dv
f ( y, z, x)dv
f (z, x, y)dv ；
B. 域；
f (x, y, z)dv 2 f (x, y, z)dv 其 中 1 为 的 z 0 部 分 区
1
1
C. f (x, y, z)dv 0 ； D. 以上结论均不成立。
5. 设函数 p(x),q(x), f (x) 都连续，且 y c1y1(x) c2y2(x) y3(x) 是非齐 次线性微分方程 y p(x) y q(x) y f (x) 的通解，则（ B ）。