华工高数第10章答案

第十章 微分方程

作业20 微分方程基本概念

1．写出下列条件所确定的微分方程：

（1）曲线在点),(y x M 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段MQ 被y 轴平分； 解：法线方程为()1

Y y X x y -=-

-'

，法线与x 轴的交点0,Y X x y y '=⇒=+ 由已知02022

x X x x y y

y y x '+++'=

=⇒+= （2）曲线上任意点(,)M x y 处的切线与线段OM 垂直； 解：切线的斜率为y '，线段OM 的斜率为y

k x

= 由已知1,y

y yy x x

''⋅

=-⇒=- （3）曲线上任意点(,)M x y 处的切线，以及M 点与原点的连线，和x 轴所围成的三角形的面积为常数2

a ．

解：切线方程为()Y y y X x '-=-，M 点与原点的连线为y Y X x

= 切线与x 轴即直线0Y =的交点，0,y Y X x y =⇒=-

'

由已知()22

2221,2,22y y y x a xy a xy a y y y y ⎛⎫'⋅-=⇒-=±±= ⎪''

⎝⎭

2.．求曲线簇12e e x x xy C C -=+ ),(21为任意常数C C 所满足的微分方程． 解：由已知，两边对自变量x 求导12e e x x y xy C C -'+=- 两边再对自变量x 求导122e e

2x

x

y xy C C y xy xy -''''''+=+⇒+=

3．潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如果潜水艇的质量为m ，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件． 解：由已知，(),00dv

m

mg kv v dt

=-=

作业21 可分离变量的微分方程

1．解微分方程)(2y y a y x y '+='-． 解：微分方程即2

()

dy y ay x a dx

-=+ 分离变量

2

dy dx

y ay x a

=-+ 两边积分

()()1111dx ady d ay x a ay ay ay ay ⎛⎫

==- ⎪+--⎝⎭

⎰⎰⎰ 从而()ln ln

ln ln 111

ay acy acy

x a c x a ay ay ay +=+=⇒+=--- 2. 求解初值问题：(1e )tan 10,x y y -'++= 0πx y ==． 解：微分方程即(1e )tan 1x

dy

y

dx

-+=- 分离变量

sin cos 1e

x

ydy dx

y -=-+ 两边积分()1cos cos 1e 1e 1e x x x x x

d e d y dx e dx

y -+-=-=-=-+++⎰⎰⎰⎰

从而()()

ln cos ln 1ln cos 1x x

y e c y c e -=-+-⇒=+

由0πx y ==，(

)()0

11

cos 12,cos 122

x

c e

c c y e π=+=⇒=-=-+ 3．当0→∆x 时，α是比x ∆高阶的无穷小量，函数)(x y 在任意点处的增量

2

1x x

y y +∆=

∆+α，且(0)πy =，求)1(y ． 解：由已知21y y x x ∆=∆+，从而2

0lim 1x dy y y dx x x ∆→∆==∆+ 分离变量

2

1dy dx y x =+ 两边积分

arctan 2

ln arctan ln 1x

dy dx y x c y ce y x =⇒=+⇒=+⎰⎰ 由0πx y ==，arctan0

arctan ,x ce

c c y e πππ==⇒==

4．解微分方程y y y x ln ='． 解：微分方程即ln dy

x

y y dx

= 分离变量

ln dy dx

y y x

=

两边积分

ln ln ln ln ln ln ,ln ln cx dy d y dx

y x c y cx y e y y y x

==⇒=+⇒==⎰

⎰⎰ 5．一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这

曲线方程． 解：由已知()()23,y Y y y X x '=-=- 当00,,

2,2Y dy

X Y y xy y y xy y x y dx

+''==-=⇒-==- 分离变量

dy dx

y x

=- 两边积分

ln ln ln dy dx c

y x c y y x x

=-⇒=-+⇒=⎰⎰ 由23x y ==，6

3,6,2c c y x

=

⇒== 6．设有连接)1,1()0,0(A O 和的一段向上凸的曲线弧OA ,对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段OP 所围成的面积为2

x ，求曲线弧OA 的方程． 解：设曲线为()y f x = 由已知()()()20

1,00,11222

x

y xy y t dt xy x y y y x '+-

===⇒-=⎰

微分方程即2

2

2,xy y y xy y x x x x ''-⎛⎫'-=-==- ⎪⎝⎭

从而

()()2

,2ln 2ln y dx y x x c x c x x x

=-=--=-⎰ 由11x y ==，()12ln1,1,12ln c c y x x =-⇒==-，