云南师范大学 《量子力学》期末B卷
量子力学试卷期末例题(第1-4章)
第一至四章 例题一、单项选择题1、普朗克在解决黑体辐射时提出了 【 】A 、能量子假设B 、光量子假设C 、定态假设D 、自旋假设2、若nn n a A ψψ=ˆ，则常数n a 称为算符A ˆ的 【 】 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量3、证实电子具有波动性的实验是 【】 A 、 戴维孙——革末实验 B 、 黑体辐射C 、 光电效应D 、 斯特恩—盖拉赫实验4、波函数应满足的标准条件是 【】 A 、 单值、正交、连续 B 、 归一、正交、完全性C 、 连续、有限、完全性D 、 单值、连续、有限5、已知波函数 )exp()()exp()(1Et ir Et irϕϕψ+-=,)exp()()exp()(22112t E ir t E i r ϕϕψ+-=,)exp()()exp()(213Et ir Et i r -+-=ϕϕψ,)exp()()exp()(22114t E ir t E ir -+-=ϕϕψ其中定态波函数是 【】 A 、ψ2 B 、ψ1和ψ2 C 、ψ3 D 、3ψ和ψ46、在一维无限深势阱⎩⎨⎧≥∞<=a x ax x U ,,0)(中运动的质量为μ的粒子的能级为 【】 A. πμ22222 n a B. πμ22224 n a C. πμ22228 n a D. πμ222216 n a .7、量子力学中用来表示力学量的算符是 【】 A 、线性算符 B 、厄米算符 C 、幺正算符 D 、线性厄米算符 8、]ˆ ,ˆ[x p x = 【】 A 、0 B 、 i C 、 i - D 、29、守恒量是 【】 A 、处于定态中的力学量 B 、处于本征态中的力学量C 、与体系哈密顿量对易的力学量D 、其几率分布不随时间变化的力学量10、某体系的能量只有两个值1E 和2E ，则该体系的能量算符在能量表象中的表示为【 】A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1221E E E E B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100E E C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0021E E D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211E E E E 11、)(r nlm ψ为氢原子归一化的能量本征函数，则=''⎰τψψd m l n nlm 【 】A 、0B 、1C 、m m l l ''δδD 、m l lm ''δδ二、填空题1、19世纪末20世纪初，经典物理遇到的困难有（举三个例子） 。
量子力学期末考试试卷及答案范文
量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题：1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。
2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。
3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。
4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。
二、简答题：1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。
答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。
综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。
2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。
针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。
3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。
谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。
三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。
四、计算题。
1、第二题：如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r rπε=-（）)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r E d r e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,43441020********420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起一级修正为（基态03(0)1/210030()Zra Z e a ψπ-=） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∵0a r <<，故102≈-r a Z e 。
量子力学期末试题及答案
（11）
⎛−i⎞
1⎜ ⎟
ψ1
=
2
⎜ ⎜
⎝
2 ⎟;
i
⎟ ⎠
ψ2 =
⎛1⎞
1
⎜⎟ ⎜ 0 ⎟;
2
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎛i⎞
1⎜ ⎟
ψ3
=
2
⎜ ⎜
⎝
2⎟
−
i
⎟ ⎠
（12）
Lˆ x 满足的本征方程为
相应的久期方程为 将其化为
ℏ 2
⎛ ⎜
⎜ ⎜⎝
0 1 0
1 0 1
0 ⎞ ⎛ c1 ⎞
⎛ c1 ⎞
1
⎟ ⎟
⎜ ⎜
c2
c1
⎞ ⎟
⎛ ⎜
c1
⎞ ⎟
0 − i⎟ ⎜ c2 ⎟ = λ ⎜ c2 ⎟
i
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
iℏ
−λ −
0
2
iℏ
−λ
− iℏ = 0
2
2
0
iℏ
−λ
2
（8） （9）
λ3 − ℏ 2λ = 0
（10）
得到三个本征值分别为 λ1 = ℏ; λ 2 = 0; λ 3 = −ℏ
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
Wˆ ψ 0
显然，求和号中不为零的矩阵元只有
ψ 0 Wˆ ψ 23
= ψ 23 Wˆ ψ 0
λ =−
2α 2
于是得到基态能量的二级修正为
E0(2)
=
E00
1 − E20
λ2 4α 4
λ2ℏ =−
8µ 2ω 3
云南师范大学 《量子力学》期末试卷B及答案
4．一维无限深势阱中的粒子处于基态，则其概率分布的极大值点不出现在阱的
第 2 页 共 8 页
中央处。
（ （ （
） ） ）
� � � � 5． 不是所有角动量J都遵守形如J × J = iℏJ的关系。
6．对于一个厄米算符，涨落为零的态就是它的本征态。
7. 如果哈密顿量不显含时间， 则求任一时刻能量平均值时， 只需求 t=0 时刻的能 量平均值即为所求。 8. （ ）
1 2
φ1和φ2，相应的本征值为b1和b2。已知这两个本征函数 族之间的关系为
3 4 3 4i ⎧ ⎧ φ1 = ψ 1 + ψ 2 ψ 1 = φ1 + φ2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 5 5 5 与⎨ （两组式子均已归一化 ） ⎨ ⎪φ = 4 ψ − 3 ψ ⎪ψ = 4 φ − 3i φ 2 1 2 2 1 2 ⎪ ⎪ 5i 5i 5 5 ⎩ ⎩ ˆ 得a ，继续对测量后的系统 ˆ ，得到结 今有某态ψ，在该态下测量力学量 A 再测量力学量B 1 ˆ 。求最后测得结果不是 果后再对测量后的系统 再测量力学量A a 的几率。（ 10分）
ˆ ，本征函数族为 {ψ (0) }∞ ，对 5、在非简并微扰论中，体系的原 Hamilton 量为 H n n =0
(0) ∞ ˆ ′ 之后变为 H ˆ =H ˆ +H ˆ ′ ，则能 应本征值为 {En }n =0 。Hamilton 量在被施加微扰 H 0
量本征值的计算公式为 到二级近似） 。
1
1 2 2 4. 氢原子处于态ψ ( r ,θ , ϕ ) = R43Y31 + R41Y10 − R41Y1−1 中，问 3 3 3 （1）ψ ( r ,θ , ϕ ) 是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明 理由； （2 ）在ψ ( r ,θ , ϕ ) 中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多 少？（10 分）
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
量子力学期末考试试卷及答案集
1
s
[ (1) (2)
2
(2) (1)]
是什么性质： C
D. z 本征值为 1. 二 填空题（每题 4 分共 24 分）
En
1．如果已知氢原子的电子能量为
13.6 n 2 eV ，则电子由 n=5 跃迁到 n=4 能级时，发出的光子
二、（15 分）已知厄密算符 A?, B?，满足 A?2 B?2 1 ，且 A?B? B?A? 0 ，求
1、在 A 表象中算符 A? 、 B? 的矩阵表示；
2、在 A 表象中算符 B? 的本征值和本征函数；
3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵 S。
三、（15 分）线性谐振子在 t 0 时处于状态
5 2 ， E3 3 2
92
( 0) 1
先求出 H?0 属于本征值 1、2 和 3 的本征函数分别为：
1
0
(0 ) 2
0，
0
1
(0) 3
0，
0 0 1，
(1) k
利 用波函数的一级修正公式
H ik
(0 )
E( 0)
ik
k
E (0) i
i
， 可求 出波函 数的 一级 修正为：
0
(1) 1
21
(1) 2
0，
2
0
0
(1) 3
3
1
3，
0
1
近似到一级的波函数为：
1
2
2
0，
2
0
1
33
3，
1
五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以 子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。
3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。
4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：AA. *ψ 一定也是该方程的一个解；B. *ψ一定不是该方程的解；C. Ψ 与*ψ 一定等价；D.无任何结论。
5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。
6．如果以∧l 表示角动量算符，则对易运算],[y x l l 为：BA. ih ∧zlB. ih∧z lC.i∧xl D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA. ψ 一定不是∧B 的本征态；B. ψ一定是 ∧B 的本征态；C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。
8．如果一个力学量 ∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。
9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。
10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA. )1(21+N N ； B. )2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D. z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。
量子力学2012级量子力学期末试卷B
徐州工程学院试卷2014 — 2015 学年第 二 学期 课程名称 量子力学 试卷类型 期末B 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟命 题 人 胡峰 2015 年5月11日 使用班级 12测试、12光伏教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号一、填空题（共10小题，每空2分，共计20分）1．德布罗意关系式为____________________________________________。
2．微观粒子体系的状态用_____________________________来进行描写。
3．微观粒子的波函数ψ满足的薛定谔方程是_______________________。
4．厄密算符的本征函数具有_________________________________________。
5．粒子的坐标和动量的测不准关系式是__________________________________。
6. 角动量Z 方向算符的本征值 。
7. ˆan += 。
8. 斯特恩－革拉赫实验和光谱的精细结构表明电子具有 属性。
9. 厄密算符在其自身表象中是一个 矩阵。
10. 氢原子的电离能为 。
二、判断题（共10小题，每题1.5分，共计15分）1．对于定态而言，几率密度ω不随时间变化。
( )2．若0]ˆ,ˆ[=G F ，则在其共同本征态上，力学量F 和G 必同时具有确定值。
( )3．所有的波函数都可以按下列式子进行归一化：1|),(|2=ψ⎰∞τd t r 。
( )4．在辏力场中运动的粒子，其角动量必守恒。
( ) 5．在由全同粒子组成的体系中，两全同粒子不能处于同一状态。
( )6、 在量子力学中，粒子在某一点的能量等于动能与势能之和。
（ ）7、若[A,B]=0,A 、B 均为算符，则A 的本征函数必定也是B 的本征函数。
( )8、[A,B]=0，[B,C]=0, A 、B 、C 均为算符，则[A,C]=0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
云南师范大学2011-2012学年（下）学期期末考试量子力学 试卷学院 专业 年级 学号 姓名考试方式：闭卷 考试时量：120分钟 试卷编号： B题号 一 二 三 四 总分 评卷人得分 评卷人 一、 填空题（每题4分，共20分）1、请写出德布罗意关系中粒子的波长公式 。
2、请给出动量表象中势能算符的表达式 。
3、请给出不确定度关系的表达式 。
4、守恒量具有的性质是 和 不随时间改变。
5、在非简并微扰论中，体系的原Hamilton 量为ˆH ，本征函数族为(0)0{}n n ψ∞=，对应本征值为(0)0{}n n E ∞=。
Hamilton 量在被施加微扰ˆH '之后变为0ˆˆˆH H H '=+，则能量本征值的计算公式为 （准确到二级近似）。
得分 评卷人 二、 简答题（共20分）1. 请分别给出坐标和动量表象中薛定谔方程的具体形式。
（4分）2. 什么是粒子全同性原理？（4分）3. 请给出所学过的求力学量平均值使用的公式。
（6分）4. 请叙述量子力学中关于自旋的假定。
（6分） 得分 评卷人 三、 判断题, 判断下列表述的正误。
（每小题2分,共 20分）1．在单个电子穿过双缝装置的实验中，确实发生了干涉现象：就是一个电子自己和自己发生了干涉。
（ ） 2．波函数的统计诠释其实只是一个假定。
（ ）3．，且处在束缚态，的粒子，势函数无奇点即一维规则势场中)()())((x V x V x V -=.0 标的平均值一定为则在能量本征态下，坐 （ ）4．一维无限深势阱中的粒子处于基态，则其概率分布的极大值点不出现在阱的中央处。
（ ）5．的关系。
都遵守形如不是所有角动量J i J J J=⨯ （ ） 6．对于一个厄米算符，涨落为零的态就是它的本征态。
（ ） 7. 如果哈密顿量不显含时间，则求任一时刻能量平均值时，只需求t=0时刻的能量平均值即为所求。
（ ） 8.的交换是反对称的。
，其波函数对于两粒子整数倍的全同粒子体系自旋为（ ）9. 中心力场中，动量和角动量都守恒。
（ ）10. 126度为的氢原子，其能级简并=n 。
（ ） 得分 评卷人 四、 计算题（50分）1．一维谐振子（+∞<<∞-x ）处在基态，波函数为()ex x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2212)(απαψ,请计算该态下粒子坐标和动量的平均值（可能用到的公式：adx eax π=⎰∞∞--2)(）。
（16分）分）。
（任意时刻的能量平均值数任意时刻归一化的波函。
求：的平方和为个系数模数。
态和第二激发态本征函分别为基态、第一激发和、子，初始时刻态为一维无限深势阱中的粒14 )2();,( )1(13)()()(),()()()0,(.2321332211t x x x x x c x c x c x ψψψψψψψψ++=分）的几率。
（。
求最后测得结果不是再测量力学量果后再对测量后的系统，得到结再测量力学量，继续对测量后的系统得，在该态下测量力学量今有某态）（两组式子均已归一化与族之间的关系为。
已知这两个本征函数和，相应的本征值为和个成员，分别为族亦只有的归一化完备本征函数。
另一个力学量和应的本征值为，相和个成员，分别为族只有的归一化完备本征函数对于某个体系，力学量10ˆˆˆ5354545353545453 2ˆ2ˆ.31121221121221121212121a A B a Ai i i i b b Ba a A ψφφψφφψψψφψψφφφψψ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=4. 氢原子处于态()433141104111122,,333r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问（1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。
若不是，说明理由；（2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？（10分）云南师范大学课程考试 试卷参考答案及评分标准课程名称： 量子力学 考试班级： 物理09级ABCD 班 试卷编号： B 命题教师签名 2012 年 6 月 12 日解答及评分标准：（B 卷） 一、（每题4分，共20分）1. 请写出德布罗意关系中粒子的波长公式p h /=λ2. 请给出动量表象中势能算符的表达式)(xp i V ∂∂。
3. 请给出不确定度关系的表达式|]ˆ,ˆ[|21B A B A ≥∆⋅∆ 4. 守恒量具有的性质是平均值和各可能值出现概率不随时间改变。
5、在非简并微扰论中，体系的原Hamilton 量为0ˆH ，本征函数族为(0)0{}n n ψ∞=，对应本征值为(0)0{}n n E ∞=。
若Hamilton 量在被施加微扰ˆH '之后变为0ˆˆˆH H H '=+，相应的能量本征值为2(0)(0)(0)||'nkk kkk nk n H E E H E E ''=++-∑（准确到二级近似）。
二、 简答题（ 共20分）1. 请分别给出坐标和动量表象中薛定谔方程的具体形式。
（4分）分）（动量表象：分）（坐标表象：2),()](2[),(2),()](2[),(22t p pi V m p t t p i t r r V mt t r iϕϕψψ∂∂+-=∂∂+∇-=∂∂ 2. 什么是粒子全同性原理？（4分）全同粒子具有不可区分性。
(1分)因此，由若干全同粒子构成的量子体系中，任意交换两个粒子，不会引起体系状态的改变，(2分)即体系波函数在两个粒子交换下保持不变。
(1分)3. 请给出所学过的求力学量平均值使用的公式。
（6分）分）（分）（3||ˆ3ˆ)ˆ,(ˆ2*∑⎰===nn n A c A dV A A A ψψψψ4. 请叙述量子力学中关于自旋的假定。
（6分）s三、判断题（每题4分，共20分）√√ √ × × √ √ × × ×四、计算题分）的基本对易关系应的算符要满足角动量自旋是一个力学量，对分）满足秉磁矩旋角动量相关联的内每个电子都有一个和自分）投影都只有两个值：在空间任意方向上，其：电子自旋角动量的假定2( .32(|||| ,.22(2.1^^^S i S S mc e S S s s z=⨯=±=μμ1、一维谐振子（+∞<<∞-x ）处在基态，波函数为()ex x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2212)(απαψ,请计算该态下粒子坐标和动量的平均值（可能用到的公式：adx eax π=⎰∞∞--2)(）。
（10分）解：由于1|)(|2=⎰∞∞-dx x ψ，所以波函数已经归一化（2分）分）下，动量均值为利用结论：束缚本征态分）分），得对称区间上结果为利用：奇函数的积分在是奇函数，是偶函数，则由于分）2(0.02()(ˆ)(2(00|)(|)(2(|)(|)()(*22*=====⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-x x x p dx x px p x x x x xdx x dx x x x x ψψψψψψψ分）。
（任意时刻的能量平均值数任意时刻归一化的波函。
求：的平方和为个系数模数。
态和第二激发态本征函分别为基态、第一激发和、子，初始时刻态为一维无限深势阱中的粒10 )2();,( )1(13)()()(),()()()0,(.2321332211t x x x x x c x c x c x ψψψψψψψψ++=，从初始时刻求出。
么是使用能量守恒关系刻波函数求平均值，要求法要么是代入任意时分）任意时刻的能量平均值分）（函数为）任意时刻归一化的波（分）经归一化。
（解：由已知，波函数已4(|||||| )2(4)()()(),(12323222121-33-22-11321E c E c E c E e x c ex c e x c t x t iE t iE tiE ++=++=ψψψψ分）的几率。
（。
求最后测得结果不是再测量力学量果后再对测量后的系统，得到结再测量力学量，继续对测量后的系统得，在该态下测量力学量今有某态）（两组式子均已归一化与族之间的关系为。
已知这两个本征函数和，相应的本征值为和个成员，分别为族亦只有的归一化完备本征函数。
另一个力学量和应的本征值为，相和个成员，分别为族只有的归一化完备本征函数对于某个体系，力学量10ˆˆˆ5354545353545453 2ˆ2ˆ.31121221121221121212121a A B a Ai i i i b b Ba a A ψφφψφφψψψφψψφφφψψ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+= 分）（最后得总概率为：分）（分）（：两种途径得到这个结果分）。
（，那就是，要求的不是量在上两个结果中继续测分）（：分）（：分）概率分别为，（和，可能值为下测在分）（，波函数坍缩，解：第一次测得3625288259251625162591259:)()(12516:)()(1ˆ12516)(1259)(1ˆ12222121121221121111=⨯+⨯→→→ψφψφφφψψψa b a b a a A b b b b B a 4. 氢原子处于态()433141104111122,,333r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问（1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。
若不是，说明理由；（2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？（10分）解：（1）(),,r ψθϕ满足方程4ˆH E ψψ=，（2分） 所以它是能量的本征态，本征值为4E 。
（2分）（2）因为332211||1n n n n c c ====∑∑，所以波函数已经归一化。
（2分）测量角动量平方的可能值有两个：2212,2 ，相应几率分别为：18,99。
（2分）。