2007中科院量子力学试题A试题+答案
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？ (2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。
E 0
, z 0 (G 0) 中运动。 五、质量为 m 的粒子在一维势场 V ( z ) Gz , z 0 (1) 用变分法求基态能量，则在 z 0 区域中的试探波函数应取下列函数中的哪一 个？为什么？
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
ˆ ，证明能量表象中有 五、如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系 x, p
r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准关系估算基
En Em xnm
n
2
量子力学基础试题及答案
量子力学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，物质的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 德布罗意D. 海森堡答案：C2. 量子力学的基本原理之一是不确定性原理，该原理是由哪位科学家提出的？A. 玻尔B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 量子力学中，描述粒子状态的数学对象是：A. 波函数B. 概率密度C. 动量D. 能量答案：A4. 量子力学中，哪个方程是描述粒子的波动性质的基本方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 相对论方程答案：A5. 量子力学中，哪个原理说明了粒子的波函数在测量后会坍缩到一个特定的状态？A. 叠加原理B. 波函数坍缩原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在量子力学中，粒子的动量和位置不能同时被精确测量，这一现象被称为______。
答案：不确定性原理2. 量子力学中的波函数必须满足______条件，以确保物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化3. 量子力学中的粒子状态可以用______来描述，它是一个复数函数。
答案：波函数4. 量子力学中的______方程是描述非相对论性粒子的波函数随时间演化的基本方程。
答案：薛定谔5. 量子力学中的______原理表明，不可能同时精确地知道粒子的位置和动量。
答案：不确定性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。
答案：量子力学与经典力学的主要区别在于，量子力学描述的是微观粒子的行为，它引入了波粒二象性、不确定性原理和量子叠加等概念，而经典力学主要描述宏观物体的运动，遵循牛顿力学的确定性规律。
2. 描述量子力学中的波函数坍缩现象。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当对一个量子系统进行测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变到一个特定的本征态，这个过程是不可逆的，并且与测量过程有关。
中科院量子力学题90-11
a 2
中国科学院研究生院 2010 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 811 ） 试题名称：量子力学（ 试题名称：量子力学（811 811）
ˆ、B ˆ 与泡利算符对易，证明： 一、 （1）设 A ˆ )(σ ˆ ⋅B ˆ ⋅B ˆ) = A ˆ + iσ ˆ) ˆ⋅A ˆ ⋅B ˆ(A (σ ˆ、σ ˆ 为单位算符。 ˆ x + iσ ˆ y ) 2 表示成 I ˆ x、σ ˆ y、σ ˆ z 的线性叠加， I （2）试将 ( Iˆ + σ
θ 2
θ 2
（4）求演化成 −ψ ( x, t ) 所需要的最短时间 tmin 。 三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：
-2-
t ≤ 0; ⎧ 0, ˆ' =⎪ 其中 λ、T 为常数。 H t ⎨ − T ⎪ > λ ze , t 0. ⎩
（1） 求很长时间后 t ≫ T 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半 径，基态和激发态波函数为：
0 ⎤ ⎡1 λ ⎢ ˆ 三、 在 H = ⎢λ 3 0 ⎥ 中的粒子的本征值， 设 λ ≪ 1， 利用微扰求其本征值 （精 ⎥ ⎢0 0 λ − 2⎦ ⎥ ⎣ ⎧ 0, 0 < ϕ < ϕ0 ，求粒 other ⎩∞,
确到二级近似） ，并与精确求解相比较。
⎡ cos θ e −iωt ⎤ ⎡1 ⎤ ℏ 四、两个自旋为 的粒子，两个粒子分别为 X 1 = ⎢ ⎥ , X 2 = ⎢ ，求系统处 − iωt ⎥ 2 ⎣0 ⎦ ⎣ sin θ e ⎦
一、在一维无限深方势阱 ( 0 < x < a ) 中运动的粒子受到微扰
a 2a ⎧ < x<a 0, 0 < x < , ⎪ ⎪ 3 3 ' ˆ H ( x) = ⎨ 作用。试求基态能量的一级修正。 a 2a ⎪ −V , < x< 1 ⎪ 3 3 ⎩
中科院量子力学历年详解(phileas)
2.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 四川大学量子力学入学试题 A.1 2010 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 2009 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 2010 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 2009 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
中科大量子历年期末考试题
说明，这些都是个人搜集到的历年题目，把每道题的出现的年份题目都标注了。
可能有遗漏，但是老大尽力了。
比如，07-08-1，就是07-08年的第一题。
07-08-1,09-10-1，就是说这道题在07-08年的第一题，09-10年的第一题都出现了。
一次类推。
求轻拍。
07-08-1,09-10-1,13-14-11. 么正算符在什么情况下也是厄米算符？x•p 是否为厄米算符？利用对偶空间的概念说明厄米算符的本征值为实数。
（5分） 答：若U 为幺正算符，则有1-+=U U ,而任意厄密算符P 应有P P =+。
所以当算符U 满足1-=UU 时，它也是一个厄密算符。
（1分）p x *不是厄密算符：p x x p x p p x *≠*=*=*+++)( （1分）设a 为态矢|a >在厄密算符A 作用下得到的本征值，则*||,||A a a a a A a a >=><=< （1分） *||||a A a a a a a a a ∴<>=<>=<> （1分）也即*a a =，a 为实数。
（1分）07-08-2,13-14-32设方势阱中运动粒子的能量本征态波函数为n x 'φ（），求*nnn dx x x ∞=''''φφ∑⎰（）（） 解：*nnn dx x x ∞=''''φφ∑⎰（）（） = ∑⎰∞=>''><'<0'||n n x x n dx=>'''<'⎰x x x d | = )(x x ''-'δ07-08-3,09-10-2,10-11-1,13-14-33求对易关系2,()ax bp e e x p ⎡⎤++⎣⎦，其中,a b 为常数解： 对)(),(→→x F p G 做幂级数展开，lk m j n i lm n lm n l km j ni lm n lm n x x x bx F p p p ap G ∑∑==→→,,,,,,,,)(,)(由基本公式],[],[],[],[D A BC CD B A BCD A i p x +==，αββαδ 可得： lk m j n i ilk m j n il k m j n i i lk m j n i ilk m j n il k m j n i i x x x x i x x x i x x x p p p p p i p p p ni p p p x ∂∂-=-=∂∂==-- 11],[],[，由此可推得，)()](,[)()](,[→→→→∂∂-=∂∂=x F x i x F p p G p i p G x ii ii同理，将（2）中的bpx e e ,α换成上题中的即可得，)()(→→p G x F,ax bpe e x p ⎡⎤++⎣⎦= ],[],[x e p e bp ax + = ],[],[bp ax e x e p -- = bp ax e pi e x i ∂∂-∂∂= )(bp axbe aei -2,()ax bp e e x p ⎡⎤++⎣⎦=(x+p) 2,()ax bp e e x p ⎡⎤++⎣⎦+2,()ax bp e e x p ⎡⎤++⎣⎦(x+p)=}],{},{2-2[ax bp bp axe p a e x b bpe axei +-07-08-4,13-14-14若i 和j 为厄米算符A 的不同本征矢，在什么情况下，i +j 也是A 的本征矢？解：设ja j A i a i A j i ==，则有ja i a j i A j i +=+)(而若i+j也是A 的本征矢，则存在c 使得)()(j i c j i A +=+ 所以必须有ji a a c == 。
2007量子力学试题(A)卷
2006~2007郑州大学物理工程学院物理专业量子力(说明: 考试时间120分钟,共5页,满分100分)计分人： 复查人：一． 填空题（每题2分，共20分）1. 微观粒子具有 二象性, 德布罗意公式为E= , p= .2. 一个微观粒子的状态由波函数),(t x ψ描述, 那么在区间b x a ≤≤，发现这个粒子的几率是3．在0=t 时刻，一个一维谐振子处于基态和第一激发态的迭加态)(21)(21)(10x x x ψψ+=ψ，则能量的期待值是3. 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 . 5. 对易关系=],[2x p x6.费米子组成的全同粒子体系的波函数是______________,玻色子所组成的全同粒子体系的波函数是_________。
7．一个微观粒子的状态由波函数),(t x ψ描述，在动量表象相应的波函数为=),(t p c 8．电子自旋角动量满足的对易关系是=⨯S S 9．泡利不相容原理是指 10．线性谐振子占有数表象的产生与湮灭算符作用在谐振子能量本征函数上，有=+∧n aψ ，=∧n a ψ 。
二．选择题（每题只有一个答案是正确的，每题5分，共20分）1．设粒子处于态2021103121CY Y Y ++=ψ，ψ为归一化波函数，lmY 为归一化的球谐函数，则系数C 和∧z L 的期待值为. （A ）61，3 （B ）31，6 （C ）21，3 （D ）61，2．如果∧A 和∧C 是厄米算符，并且0,≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧C A 则下列是厄米算符为(A) ∧∧C A (B) ∧∧A C (C) ∧∧∧∧+A C C A (D) ∧∧∧∧-A C C A3. 假定角动量平方算符21ˆJ 和22ˆJ 的本征值分别为22 和243 ,如果J ˆ =1ˆJ +2ˆJ , 则可能是2ˆJ 本征值的选择为（A ）2243,2 （B ）2243,415 （C ）2245,411 （D ）22215,234．由5个无相互作用的玻色子组成的一维谐振子体系，其基态能量为（A ）ω 5 （B ）ω 25 （C ）ω )215(+ （D ）ω )2115(+三. 证明题（每题10分，共20分）1. 利用角动量之间的对易关系,证明在z J 的本征态m j ,中算符x J 和y J 的期待值x J =y J = 0.2. 利用坐标算符x 、动量算符x p ∧以及哈密顿算符Ĥ间的对易关系,证明在哈密顿算符)(212x V p H +=∧∧μ的本征态中动量算符的期待值0__=x p四. 计算题 (第1，2题13分,第3题14分，共40分)1．设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的期待值。
2007级-量子力学试卷A答案
2007级材料物理(1) (2)《量子力学》试卷A 答案及评分标准一、填空（共25分） 1、1.220A (3分)2、21c ,22c (4分, 每空2分) 3、二度简并的(2分) 4、厄密算符 (2分) 5、球谐函数()ϕθ,lm Y (3分)6、xx i x P P x n nxx n∂∂=- ˆˆ (4分) 7、i s ;ˆ2ˆσ = (4分，每空2分) 8、1和3(3分) 二、简答题（共13分） 1、（7分）答： 量子力学中用波函数()t z y x ,,,ψ描述微观粒子的运动状态，波函数的统计解释是波函数是一种概率波，()2,,,t z y x ψ代表粒子在t 时刻在空间一点(x,y,z)处出现的几率。
波函数与声波和光波的主要区别在于波函数乘以一个常数，波函数描述的概率波不变，即其描写的粒子的状态并不改变；而声波和光波乘以一个常数后体系的状态完全改变。
2、（6分）答： 量子力学中的测不准关系是：2≥∆⋅∆x p x 。
其表明坐标和它所对应的动量的不确定度两者相互制约，其中一个量测量的越准确，另一个量就越测不准。
如果两个算符不对易，那么这两个算符没有共同的本征函数，因此这两个算符代表的力学量不能同时有确定值。
三、证明题（12分）1、（5分）证明：自由粒子平面波函数为()Et x P iPx x Ae-=ψ()x x P x Et x P ixp x P Ae dx d i P ψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=- ˆ，符合本征方程。
2、（7分）证明：设m 为ZL ˆ的本征态，与其相对应的本征值为 m ，则 m m m L Z =ˆ （1） （1）式的共轭式为m m L m Z=+ˆ （2） +=Z Z L L ˆˆ ∴（2）式改写为m m L m Z=ˆ 利用基本对易关系：X y Z Z y L i L L L L ˆˆˆˆˆ =- 在m态下求X L：m L m L X X ˆ=m L i m L i X X ˆ =m L L m m L L m L i y Z Z y X ˆˆˆˆ-= m L m m m L m m Z y ˆˆ -= 0= 0=∴x L四、计算题（50分） 1、（15分）解： (a)对BC-CB=iA分别右乘B 和左乘B ，利用B 2=1，得 BCB －CB 2 = BCB －C = iAB ① B 2C －BCB =C －BCB = iBA ② ①＋②得：AB+BA = 0类似有 AC+CA = 0 （5分） (b)由于A 2= 1，可知其本征值为1±。
量子考试题及答案
量子考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的创始人是：A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 普朗克D. 薛定谔答案：C2. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C3. 海森堡不确定性原理表明：A. 粒子的位置和动量可以同时准确测量B. 粒子的位置和动量不能同时准确测量C. 粒子的位置和能量可以同时准确测量D. 粒子的动量和能量可以同时准确测量答案：B4. 量子力学中的泡利不相容原理适用于：A. 电子B. 质子C. 中子D. 所有基本粒子答案：A5. 量子纠缠是指：A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子之间的引力相互作用D. 两个粒子之间的电磁相互作用答案：B6. 量子力学中的薛定谔方程是一个：A. 线性方程B. 非线性方程C. 微分方程D. 代数方程答案：C7. 量子力学中的隧道效应是：A. 粒子通过势垒的概率不为零B. 粒子通过势垒的概率为零C. 粒子通过势垒的概率为一D. 粒子通过势垒的概率为负答案：A8. 量子力学中的叠加态是指：A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子处于确定的状态D. 粒子处于随机的状态答案：A9. 量子力学中的测量问题涉及：A. 粒子的测量结果B. 粒子的测量过程C. 粒子的测量设备D. 粒子的测量结果和过程答案：D10. 量子力学中的退相干是指：A. 量子态的相干性消失B. 量子态的相干性增强C. 量子态的相干性不变D. 量子态的相干性随机变化答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出______的性质，也表现出______的性质。
答案：波动；粒子2. 量子力学中的德布罗意波长公式为：λ = ______ / p，其中λ表示波长，p表示动量。
答案：h / p3. 量子力学中的能级是______的，这是由量子力学的______决定的。
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1 2V1 2 a / 3 2 x 3 sin dx V1 。 a a/3 a 3 2
二、（共 30 分） 粒子在势场 V ( x) 中运动并处于束缚定态 n ( x) 中。 试证明粒子所受势 场作用力的平均值为零。 ˆ为 解：粒子所受势场作用力的算符 F 1 ˆ d V ( x) 1 [ p ˆ]， ˆ x , V ( x)] [ p ˆx, H F dx i i ˆ 1 [p ˆ ] 1 * ( x)[ p ˆ ] ( x)dx 0 。 ˆx, H 于是， F n n ˆx, H i i 三、（共 30 分）
1 ( x1 )2 ( x2 ) 00 1 ( x1 )2 ( x2 ) 1s ，有 8 重简并。 ( ) ( ) 00 x x 2 1 1 2 2 ( x1 )1 ( x2 ) 1s 1 b) 自旋 的二个全同粒子，总波函数必须是对称的。故基态：总能量为 2 E1 ，波 2 函数为 1 ( x1 )1 ( x2 ) 00 ，非简并。 1 ( x ) ( x ) 1 ( x2 )2 ( x1 ) 00 2 1 1 2 2 第一激发态：总能量为 E1 E2 ，其波函数为 ， 1 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 1s 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 n x sin , (0 x a ) n 2 2 2 (0) 4 重简并。 其中 n ( x) a ，En ，n 1, 2,3 。 a 2ma 2 0, ( x 0, x a ) 00 代表二粒子自旋单态， 1s ( s 0, 1) 代表自旋三重态。
1 ˆy Bs ˆz 的本征值及归一化的 ˆ2 , s ˆz 表象中求算符 As a) 考虑自旋为 的系统。 试在 s 2 ˆy , s ˆz 是角动量算符，而 A, B 为实常数。 本征态。其中 s ˆy 得到结果为 的概率。 b) 假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量 s 2 解： ˆ As ˆ B iB 。 ˆy Bs ˆz ，则在 s ˆ2 ， s ˆz 表象中有 T a) 设 T 2 iA B a 设本征值为 ，有 A2 B 2 。设 为归一化的本征态， a 2 b 2 1 ， 2 b
参考答案：2007 量子力学 A
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五、（共 30 分）一个质量为 m 的粒子被限制在 r＝a 和 r＝b 的两个不可穿透的同心球 面之间运动。不存在其它势，求粒子的基态能量和归一化波函数。 解： u (r ) 波函数可设为， (r ) R(r )Y ( , ) ，设 R (r ) ， 。 r d 2 u 2m l (l 1) u (r ) 0 ， 则 u (r ) 满足约化径向方程 2 E V (r ) 2 dr r2 r a , r b 其中 V (r ) 。 0 ar b
中国科学院研究生院 2007 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 参考答案：量子力学 A 卷
考生须知：
1. 2. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、（共 30 分）在一维无限深方势阱（ 0 x a ）中运动的粒子受到微扰 0, 0 x a / 3, 2a / 3 x a H ( x) a / 3 x 2a / 3 V1 , 作用。试求基态能量的一级修正。 n 2 2 2 (0) ， n 1, 2,3 。相应的能量本征函数为 解：能级 En 2ma 2 2 n x sin , (0 x a) (0) n ( x) a 。 a 0, ( x 0, x a) 因此基态能级的一级修正为
其中 k
又由归一化条件 R 2 (r )r 2 dr u 2 (r )dr 1 ，得 A
0 0径向波函数为 2 1 sin( )(r a), ar b R1 ( x) b a r 。 ba 0, 0 r a, r b 1 又由 Y00 ( , ) ，最后求得归一化的总波函数为 4 2 1 sin (r a ) , ar b 。 100 (r ) 2 (b a) r b a 0, 0 r a, r b
u(r ) k 2u (r ) 0, a r b 对于基态 l 0 ，则方程变为 u |r a u |r b 0 , u (r ) 0, r a, r b
2mE 。其通解为 u (r ) A sin(kr ) ， a r b 。由边界条件可以定解。由 2 n u |r a 0 得 ka ；由 u |r b 0 得 k ， n 1, 2 。 ba 2 2 2k 2 2 n 2 2 E 故 En ， 。因此基态能量 。 n 1, 2 1 2m 2m(b a ) 2 2m(b a ) 2
iA
。 A2 B 2
ˆy P s
2
2
2 2 1 B A A B 。 2 A2 B A 2 B 2
1 1 ˆy 的概率为 ，故发现 s 2 2 i
2
四、（共 30 分）两个无相互作用的粒子置于一维无限深方势阱（ 0 x a ）中，对下列 两种情况写出两粒子体系可具有的两个最低总能量，相应的简并度以及上述能级对 应的所有二粒子波函数。 1 a) 两个自旋为 的可区分粒子； 2 1 b) 两个自旋为 的全同粒子。 2 解： 1 a) 对于自旋 的二个可区分粒子，波函数不必对称化。 2 ( x ) ( x ) 00 ( s 0, 1) ，有 4 重简并。 其基态：总能量为 2 E1 ，而波函数为 1 1 1 2 ( ) ( ) 1 x x s 1 1 1 2 第一激发态：总能量为 E1 E2 ，其波函数为
参考答案：2007 量子力学 A
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B iB a a 则有本征方程 iA B b b 1 A2 B A2 B 2
1
解得本征态为
2 2 B ˆ2 ， s ˆz 表象中， s ˆy 的本征态为 s ˆy b) 在 s 2
参考答案：2007 量子力学 A
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