量子力学试题

1、通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？一般情况下，这种态所属的能级有什么特点？答：束缚态，能级是分立的。

2、简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明（要求写出本征函数系）。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？

答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。例如，0]ˆ

,ˆ[2=z L L ，这两个算符有共同的完备本征函数系{}),(ϕθm Y 。

3、若两个力学量的算符不对易，对这两个力学量同时进行测量时，一般地它们是否可以同时具有确定值？它们的均方偏差之间有什么样的关系？

答：不可能同时具有确定值。它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。 4、请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。

答：1'±=-=∆l l l 1,0'

±=-=∆m m m 5、全同粒子体系的波函数应满足什么条件？ 答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。 6、自由粒子体系，动量守恒守恒；中心力场中运动的粒子，角动量守恒。

7、五个基本原理：①微观体系的状态可以用波函数完全描述②力学量可以用厄米算符来描述③体系状态的波函数可以用算符的本证函数来展开④体系状态的波函数要满足薛定谔方程⑤全同性原理。

8、绝对黑体是不是不发射任何辐射？

答：不是。绝对黑体吸收辐射（电磁波）的能力最强，同时它辐出辐射（电磁波）的能力也最强，所以它也能辐射各种频率的电磁波。

9、光电效应和康普顿散射都包含电子与光子的相互作用过程。试分析各个作用过程。 答：光电效应是金属中的电子吸收光子的过程，一个电子吸收一个光子后挣脱表面束缚而成为自由电子。康普顿散射是电子与光子发生弹性碰撞的过程，电子和光子的方向发生改变，能量也发生交换，但总的能量不变。 10、如果一束光照射某一金属不产生光电效应，现用一只聚光镜将光聚焦在一点后再照射该金属，这时是否会产生光电效应？为什么？

答：不会。因为能否产生光电效应只决定于入射光的频率而与强度（亮度）无关。 11、同一金属，如有光电效应产生，则入射光的强度与光电流有何关系？ 答：光电流的大小与光电子的数量成正比，而后者决定于照射光的强度。 12、何理解波函数的归一化条件？答：对一个微观粒子，它出现在全空间的概率应该是100%。13、黑体是一个理想模型，它是指 将辐射到它上面的辐射完全吸收的物体 。

14、光电效应是光的 粒子性的反映。在光电效应中，电子吸收光子遵守 要么电子吸收全部光子，要么不吸收光子，即遵守“全/无”规则。

15、红限频率是指使金属发射光电子所需照射的光的最小频率。

16、非相对论性的一维自由粒子的波函数可以表达为

。 17、不确定关系可以用来区分 微观 粒子和 宏观 粒子，划分 经典力学和 宏观力学的界限。

18、德布罗意波既不是机械波又不是电磁波，而是一种 概率波 。 19、无限深势阱中的粒子的能量必定是 量子化的 。 20、STM 的理论基础是 量子力学中的隧道效应 。 6指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

① 222

4dx d x ； ② []2

； ③ ∑=n

K 1

解：①222

4dx d x 是线性算符2

22

2212221222

2

2112222211222

44 )(4)(4)(4 u dx

d

x c u dx d x c u c dx d x u c dx d x u c u c dx d x ⋅+⋅=+=+ ⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡-=)(2cos ),(xp Et h A t x Ψπ

②

[]2 不是线性算符

2

222112

2

222121212122211]

[][ 2][ u c u c u c u u c c u c u c u c +≠++=+

③

∑

=n

K 1

是线性算符

∑∑∑∑∑=====+=+=+N

K N K N K N K n

K u c u c u c u c u c u

c 1

221

111

221

111

221

1

17 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。

22

4 dx

d dx d i dx d ，， 不是厄米算符，，当解：dx

d

dx

dx d

dx dx d

dx dx d dx dx d x dx

dx d dx dx

d *)( *)( * * 0

0 * * * -∴≠-=-=∴→→±∞→-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞

∞-∞∞-∞

∞∞∞-φψφψφψφψφψφψφψφψ

是厄米算符dx

d

i dx dx

d

i dx dx d i dx dx d i i dx dx d

i

∴=-=-=⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞∞

∞- *)( *)(

* * * -φψφψφψφψφψ ③

∑

=n

K 1

是线性算符

∑∑∑∑∑=====+=+=+N

K N K N K N K n

K u c u c u c u c u c u

c 1

221

111

221

111

221

1

7、下列函数哪些是算符22

dx

d 的本征函数，其本征值是什么？

① 2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +

解：①2)(222=x dx

d ∴2

x 不是22dx d 的本征函数。

② x x e e dx

d =22 ∴x

e 不是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。