初中数学-实数
九年级数学复习——实数
初中数学知识复习 第一讲：实数 一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0，a=-b 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
实数和数轴上的点是一一对应的关系。
四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。
五、实数的运算1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用加法交换律、结合律。
【初中数学】上海初中数实数的概念知识点
【初中数学】上海初中数实数的概念知识点【—实数的概念】知识要领：包括有理数和无理数。
其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。
实数概念实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。
有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。
分数可以分为正分数和负分数。
无理数可以分为正无理数和负无理数。
实数集合通常用字母r或r^n表示。
而r^n表示n维实数空间。
实数是不可数的。
实数是实分析的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以表示为无限小数。
小数点右边是一个无限的数字序列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际应用中，实数通常近似于一个有限的小数点（小数点后保留n个数字，n是一个正整数，包括整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数通常用浮点数来表示。
1)相反数(只有符号不同的两个数，他们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数)实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
2）绝对值（数字轴上的数字a与原点0之间的距离）实数a的绝对值为：a①a为正数时，a=a(不变)② 当a为0时，a=0③a为负数时，a=-a(为a的绝对值)（任何数字的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负值。
）3)倒数(两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数)实数a的倒数是：1/a(a≠0)4）数字轴定义：如果画一条直线，规定向右的方向为直线的正方向，在其上取原点o及单位长度oe，它就成为数直线，或称数轴。
（1）数字轴的三个元素：原点、正方向和单位长度。
(2)数轴上的点与实数一一对应。
知识归纳：在数学上，实数直观地定义为与数轴上的点对应的数。
实数最初只被称为实数。
后来，虚数的概念被引入。
最初的数字被称为“实数”——意思是“实数”。
八年级数学 实数
一、基础测试1．算术平方根：如果一个正数x 等于a ，即x 2=a ，那么这个x 正数就叫做a 的算术平方根，记作 ，0的算术平方根是 。
2．平方根：如果一个数x 的 等于a ,即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次方根式），正数a 的平方根记作 ．一个正数有 平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根． 特别提醒：负数没有平方根和算术平方根．3．立方根：如果一个数x 的 等于a ，即x 3= a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根，记作 ．正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 。
4、实数的分类_________⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎧⎨⎬⎪⎩⎪⎭⎩______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________5．实数与数轴：实数与数轴上的点______________对应．6．实数的相反数、倒数、绝对值：实数a 的相反数为______；若a,b 互为相反数，则a+b=______；非零实数a 的倒数为_____(a ≠0)；若a ，b 互为倒数，则ab=________。
7.______(0)||______(0)a a a ≥⎧=⎨<⎩ 8. 数轴上两个点表示的数，______边的总比___边的大；正数_____0，负数_____0，正数___负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而____。
9．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．_______(0,_______(0,0).a b a b =≥≥=≥>二、专题讲解：专题1 平方根、算术平方根、立方根的概念若a ≥0，则a的平方根是a；若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a【例1______【例2】327 的平方根是_________【例3】下列各式属于最简二次根式的是（ ） A【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（Ａ）020=（Ｂ）331-=- （Ｃ） （Ｄ）【例5】（2010A ．3B ．3-C ．3±D ． 9 专题2 实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含π的数，如：12,2ππ等，开方开不尽010 001…等；某些三角函数，如sin60o ，cos45 o等。
初中数学概念实数教案模板
---一、教学目标1. 知识与技能：- 了解实数的概念，掌握实数的分类。
- 理解有理数和无理数的定义，能区分和识别它们。
- 掌握实数与数轴的关系，能够利用数轴表示实数。
2. 过程与方法：- 通过实例分析和小组讨论，培养学生的逻辑思维和归纳能力。
- 通过实际问题解决，提高学生的应用意识和解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：- 培养学生对数学学习的兴趣和好奇心。
- 增强学生的数学思维和科学探究精神。
---二、教学重难点1. 教学重点：- 实数的概念和分类。
- 有理数和无理数的区分。
- 实数与数轴的关系。
2. 教学难点：- 理解无理数的概念和性质。
- 实数与数轴的对应关系。
---三、教学准备1. 教学材料：数轴图、实物教具（如直尺、圆规等）、多媒体课件。
2. 学生准备：复习有理数的相关知识，预习实数的概念。
---四、教学过程（一）导入新课1. 复习提问：提问学生有关有理数的基础知识，如整数、分数、正负数等。
2. 提出问题：引导学生思考数的概念的发展，引出实数的概念。
（二）新课讲授1. 实数的概念：- 讲解实数的定义，即实数包括有理数和无理数。
- 通过实例讲解有理数和无理数的区别。
2. 实数的分类：- 有理数：整数和分数。
- 无理数：不能表示为分数的数，如π、√2等。
3. 实数与数轴的关系：- 讲解实数与数轴上的点一一对应的关系。
- 通过实例展示如何利用数轴表示实数。
（三）巩固练习1. 练习题目：让学生完成一些关于实数的分类、比较大小和表示实数的练习题。
2. 小组讨论：让学生分组讨论实数的性质和应用。
（四）总结归纳1. 总结本节课所学内容，强调实数的概念、分类和与数轴的关系。
2. 引导学生思考实数在数学和生活中的应用。
---五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固实数的概念和分类。
2. 查阅资料，了解实数在数学史上的地位和应用。
---六、教学反思1. 教学过程中，关注学生的理解和掌握程度，及时调整教学策略。
初中数学 实数运算
初中数学实数运算初中数学实数运算实数运算是初中数学中的重要一环，它涉及到复数、数列、指数、对数等多个领域，其中包括基本的加减乘除、绝对值、平方根等运算。
以下是一些实数运算的基本概念，以及其相关内容，以供参考。
1. 加减乘除运算这是最基本的一类运算，它们是基本的四则运算，可以用来进行复杂的运算，如多项式求和、积、差、商等。
此外，还可以用来计算分数、小数和小数之间的转换。
2. 平方根平方根是一种特殊的数学运算，它可以计算一个数的平方根，它的符号表示为“√”，它的计算可以用不等式的方法进行，也可以使用公式计算。
3. 绝对值绝对值是一种特殊的数学运算，它的符号表示为“| |”，用于计算一个数的绝对值，它可以用来判断一个数是否为正数或负数。
4. 数列数列是指一组有规律的数，可以用来描述某一种现象的变化规律。
常见的数列有等差数列、等比数列等，可以用来计算数列的和、积、差以及项数等。
5. 指数指数是一种特殊的数学运算，它的符号表示为“^”，它可以用来表示一个数的指数，可以用来计算一个数的幂次方，也可以用来计算一个数的底数。
6. 复数复数是一种特殊的数，它可以用来表示一个实数的平方根，它的符号表示为“i”，它可以用来计算复数的和、积、差以及幂次方等。
7. 对数对数是一种特殊的数学运算，它的符号表示为“log”，它可以用来计算一个数的对数，可以用来解决复杂的数学问题，如多项式求和、差、积以及指数等。
以上就是初中数学实数运算的基本概念，它们可以用来解决复杂的数学问题，为学生提供了一种更加全面的认识。
实数运算需要学生具备良好的基础知识，以及较强的抽象思维能力，从而能够更好地理解和掌握初中数学实数运算的知识。
初中数学：实数知识清单
初中数学：实数知识清单实数的概念1．无限不循环小数叫做无理数．2．有理数和无理数统称为实数．实数可以进行以下分类：⎧⎧⎫⎪⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪-⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限不循环小数负无理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数思考：3.1416不是π吗？为什么是有理数呢？平方根和开平方1．如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数．2．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．3．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中表示a 的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”，a 的负平方根，读作“负根号a0=．4．平方根的性质：（1）当0a >时，2a =，(2a =．（2）当0a ≥a =；当0a <a =-．立方根和开立方1．如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，记作”，读作“三次根号a ”中的a叫做被开方数，“3”叫做根指数．求一个数a的立方根的运算叫做开立方．2．任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根．3．立方根的性质：（1）3a=．a=．n次方根1．如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根．当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根．求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数．2．n次方根的表示：（1）实数a（2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根用表示，负n次方根用“”表示．说明：当2n=时，在中省略n．（3）负数没有偶次方根．（4）零的n0=．用数轴上的点表示实数1．每一个实数都可以用数轴上的唯一的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点也都可以用唯一的一个实数来表示．2．实数的绝对值与相反数：（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数a的绝对值记作a．（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零，非零实数a的相反数是a -．3．实数的大小比较：（1）负数小于零，零小于正数．（2）两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．（3）从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．4．数轴上两点之间的距离：在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点的距离AB a b =-．实数的运算1．设0a >，0b >，可知：（1）222ab =⋅=．=．=2．近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求叫做精确度．3．对于一个近似数制定保留几个有效数字，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．实数的概念⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩正整数自然数整数零有理数实数负整数分数无理数或者：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数有理数零负有理数实数正无理数无理数负无理数1.有理数：有理数就是能表示成两个整数之比的数；有理数包括：整数和分数；有理数是有限小数或无限循环小数。
初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)
实 数
有理数
正整数 0 自然数 负整数 正分数
无理数
无限不循环小数
一般有三种情况
负分数 正无理数 负无理数 (1)含π 的数
2 开方开不尽的数
(3)有规律但不循环的无限小数
七年级数学第六章实数
也可以这样来分类： 正实数 实 数 0
负有理数 正有理数
正无理数
负实数
负无理数
七年级数学第六章实数
七年级数学第六章实数
几个基本公式：（注意字母 的取值范围）
a a =
2
a
0
a
3
2
a
a 0
a
a 0 a 0
(a 0)
a
3
a a
3
3
a为任何数 a为任何数 a为任何数
a
3
a =
-3 a
七年级数学第六章实数
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
3 47 9 11 5 3, , , , , 5 8 11 90 9
3 47 3 3.0, 0.6, 5.875, 5 8 9 11 5 0. 81, 0.1 2, 0. 5 11 90 9
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或 无限循环小数。
4
3 0.13
（2）无理数集合： （3）整数集合： （4）负数集合： （5）分数集合： （6）实数集合： 9
3
5
64
3
3
9
9
3
3 4
9
3 4
0. 6
3
0.13
3 0. 6 4
初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)
七年级数学第六章实数
实数
七年级数学第六章实数
目录：
1.算术平方根 2.平方根 3.立方根 4.有理数 5.无理数 6.实数定义 7.实数的运算 8.实数的大小比较
七年级数学第六章实数
1.算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于 2 a,即 x =a,那么这个正数x叫做a的 算术平方根。a的算术平方根记为 a ， 读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平方根是 0 。
记作：0 0
七年级数学第六章实数
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那 么这个数就叫做a 的平方根（或二次方 根）．
注意：计算过程中要多保留一位!
七年级数学第六章实数
3.实数运算
当数从有理数扩充到实数以后，实数之
间不仅可以进行加 减 乘 除 乘方运算，
又增加了非负数的开平方运算，任意实数
可以进行开立方运算。进行实数运算时， 有理数的运算法则及性质等同样适用。
七年级数学第六章实数
练习：
2 3 3 2 5 3 3 2
不 要 遗 漏
解: (3 y ) 4 9 4 3 y 9
2
解:
2 3 27 ( x ) 125 3
2 3 125 (x ) 3 27 2 5 x 3 3
2 3 125 x 3 27
1 2 y 2 或y 3 3 3
2 y 3 3
x 1
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O
1
2
3
实数与数轴的关系：
实数和数轴上的点一一对应。
相 反 数
（1）只有符号不同的数，如a与-a叫做互为 相反数。零的相反数是零。 （2）数轴上表示相反数的两个点，分别在原 点的两旁，并且距离原点的距离相等。 （3）两个相反数的和为零。和为零的两个数 互为相反数。
( a b) 与 ( b a) 互 为 相 反 数 ， ( a b) 与 ( a b) 互 为 相 反 数 。
2
（2） 3 4 25 5
7 9 3 （3） 1 16 16 4
2
2
2
2 2 ４ ２ （ 4） （ ）＝ ＝ 3 ９ ３
23 49 7 （ 5） 4 2 ＝ 36 36 6
4 2 5 （ 6） 36 - 6 - 6 - 15 25 5 2
x 1 0,y x 0 x 1,y 1.
2x y 14 2 14 16 4.
例 3： 已 知 2x y y 8 0， 求 x y 的 值 。
3
3
解： 2x y 0, y 8 0, 且 2x y y 8 0
3 3
3
3
2x y 0,y 8 0 y 2, x 4 x y 2 4 8.
3
3
例 4： 若 2a 1的 平 方 根 是 3 ， 且 3a 2b 1的 平 方 根 是 3， 求 4a b的 平 方 根 。
解： 2a 1的平方根是 3 2 a 1 （ 3 ） 3
实数的分类（二）
正 整 数 正 有 理 数 正 实 数 正 分 数 正 无 理 数 实 数零 负 整 数 负有理数 负 实 数 负分数 负 无 理 数
实数与数轴
数轴：规定了原点、正方向和单位长
度的直线叫做数轴。
（ 7） 13 5 6 8 12 10 12 10 120
2 2
2
2
2
2
例2: 若 x 1 y x 0，求 2x y 14的值。
解： x 1 0, y x 0, 且 x 1 y x 0 x 1 0, y x 0
正数有两个平方根，它 们互为相反数；
零的平方根就是零本身 ；负数没有平方根。
( 2) 算 术 平 方 根 ： 数 正 a的 正 平 方 根 叫 a的 算术平方根； 零 的 算 术 平 方 根 就 是本 零身 。
( 3) 表 示 ： 正 数 a的 平方根记为 a ； 算 术 平 方 根为 记 a。
初中数学
实 数
知 识 小 结:
有理数:整数和分数统称有理数。 无理数：无限不循环小数叫无理数。 （表现形式—无限不循环小数、化简 后含π的数、开方开不尽的数。） 实数：有理数和无理数统称实数。
实数的分类（一）
正 整 数 整 数0 负 整 数 有 理 数 实 数 分 数正 分 数 负 分 数 正 无 理 数 无 理 数 负 无 理 数
绝 对 值
（1）几何定义：一个实数的绝对值就是数轴 上表示这个数的点到原点的距离。 （2）代数定义：
如 果 a 0 ， 那 么 a a； 如 果 a 0 ， 那 么 a a ； 如 果 a 0 ， 那 么 a 0。
( 3) 绝对值的非负性 ： a 0。
倒 数
（1）两个数乘积为1，两数互为倒数。 （2）零没有倒数。
22 8 , ,1 .41 4 , 正有理数： 7 π 3 , , 8 , 0.3 13 3 1 33 31 , 正无理数： 3
3
例3：把下列各数分别 填入相应的集合里： π 22 3 7 3 8 ，3 ， 3 .1 4 1 5 ，， ， 2 ， ， 8， 5 ， 3 7 9 0 .3 1 3 3 1 3 31 3 ， 0 .0 2 0 2 0 2 ， 1 .4 1 4 。
例1：已知m 1 2，求m的值。
解：由题意得 m 1 2 或 m 1 2 解 得 m 3 或 m 1 。
例2：数轴上表示a、 b、c三个数的点 位置如图，化简： a b a c b c。
b C O
a
解：由图可知b c 0a 则 a b 0 ,a c 0 ,b c 0 . 故 原 式 ( a b ) ( a c ) ( b c ) 2a.
注意：算术平方根的非 负性，即 a 0( a 0) .
熟练记忆：1 ~ 20的平方。
立ห้องสมุดไป่ตู้方 根
3 （1）立方根：如果x a，则x 叫a的立方根 。
正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 零的立方根就是零本身 ；。
( 2) 表示：数a的立 方根记为 a。
3
熟练记忆：1 ~ 10的立方。
7 负有理数： 3 . 1 4 1 5 , ,0 . 0 20 2 , 9 负无理数： 2 , 5 ,
3
平方根
2 （1）平方根：如果x a，则x 叫a的平方根 。
例1：求下列各式的值 。 （ 1 ） 2 5 6 7 （ 3）1 16
2
（2） 3 4 2 2 （ 4 ）（ ） 3
2
2
23 4 （5） 4 2 （6） 36 36 25 （ 7）13 5 6 8
2 2 2 2
解 ： （ 1）256 16 16