沪科版(2012)初中数学九年级上册 21.1 二 次 函 数(第一课时) 教案
沪科版数学九年级上册教学课件：21.1 二次函数(共27张PPT)
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得
x2－18x＋72＝0，
解得
x1＝6，x2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
【解题归纳】解决此类问题的关键是要吃透题意， 确定变量，建立函数模型．
新课进行时
思考： 1.已知二次函数y＝－10x2＋180x＋400 ,自变量x的取 值范围是什么？ 2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋ 180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题 有意义.
新课进行时 核心知识点三 二次函数的值
例4 一个二次函数 y (k . 1)xk23k4 2x 1
（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？
解：（1）由题意，得
k
2
3k
4
2,函数Leabharlann 系；S 6a2 (a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；
y x2 (x 0)
4
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与 一对角线长x(cm)之间的函数关系．
S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
2
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6
元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量
减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，
即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
沪科版-数学-九年级上册-21.1 二次函数(1) 教案
二次函数教学目标1．掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)2．能根据实际情况建立二次函数模型．(难点)教学过程一、情境导入已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x 之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？二、合作探究探究点一：二次函数的概念【类型一】二次函数的识别下列函数哪些是二次函数？(1)y＝2－x2; (2)y＝1x2－1；(3)y＝2x(1＋4x); (4)y＝x2－(1＋x)2.解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式不符合二次函数的定义，故y＝1x2－1不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．解：二次函数有(1)和(3)．方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.【类型二】根据二次函数的定义求待定字母的值如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？解析：紧扣二次函数定义求解．注意易错点为忽视k＋2≠0.解：根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k2－2＝2，k＋2≠0，⎩⎪⎨⎪⎧k＝±2，k≠－2，∴k＝2.方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax2＋bx ＋c.【类型三】与二次函数系数有关的计算已知一个二次函数，当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝12；当x＝－1时，y＝18.求这个二次函数中各项系数的和．解析：解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．把x＝0，y＝0；x＝2，y＝12；x＝－1，y＝18分别代入函数表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧c＝0，4a＋2b＋c＝12，a－b＋c＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝18，b＝0，c＝0.所以这个二次函数的表达式为y＝18x2.所以a＋b＋c＝18＋0＋0＝18，即这个二次函数中各项系数的和为18.方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．解决这类问题要根据x，y的对应值，列出关于字母a，b，c的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a，b，c的值．探究点二：建立二次函数模型某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元．(1)请写出y与x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；(2)当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为多少元？解析：根据题意可以知道：实际每件商品的利润为(60－x－40)，每星期售出商品的数量为(300＋20x)，则每星期售出商品的利润为y ＝(60－x －40)(300＋20x)元，化简，注意要求出自变量x 的取值范围．解：(1)由题意，得：y ＝(60－x －40)(300＋20x)＝(20－x)(300＋20x)＝－20x2＋100x ＋6000，自变量x 的取值范围为0≤x ≤20；(2)把x ＝15代入y ＝－20x2＋100x ＋6000得y ＝3000(元)，即当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为3000元．方法总结：销售利润＝单件商品利润×销售数量；单件商品利润＝售价－进价．三、板书设计 二次函数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1.概念：一般地，表达式形如y ＝ax2＋bx ＋c（a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的函数叫做 x 的二次函数，其中x 是自变量2.二次函数的识别3.确定二次函数中待定字母的取值（范围）4.求函数值5.建立二次函数模型6.确定自变量的取值范围教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法．。
沪科版九年级数学上21.1二次函数 (共22张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若
是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t² (5)y= _x1_²-x
(4) y=(x+3)²-x² (6) v=10πr²
先化简后判断
例2、y=（m+3）xm2-7 为二次函数，求m的值。
沪科版(2012)初中数学九年级上册 21.1 二 次 函 数 教案
集体备课专用稿纸主备:时间地点课题22．1二次函数课时1课时（总第课时）科任教师教学目标知识与能力：理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式。
过程与方法：从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
情感态度与价值观：培养学生的合作与探究，养成良好的学习习惯重难点重点：二次函数的概念和一般形式。
难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力教学过程一、复习创情导入1,什么叫函数？函数中有几个变量？什么叫常量？2,初二时我们学过了一次函数?它的定义是什么?一般形式是什么?特殊形式是什么?它又叫做什么函数?二、学习目标1,掌握二次函数的概念,掌握二次函数的解析式。
2,了解二次函数的二次项,一次项,常数项及各项系数.3,会用二次函数概念解决一些简单的相关问题。
三、自学提纲看书第3—4页,尝试解决以下问题1,什么叫二次函数？2,二次函数成立的条件是什么？3,它的一般形式是什么?在一般形式中,各项及各项系数分别是什么?四、师生互动，探究新知1，某水产养殖户用长40米的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗。
设此矩形水面的长为x米，面积为S米2，那么，S与x之间有怎样的函数关系？S=x(20-x)=-x2+20x2，用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔子，怎样围可使小兔子的活动范围较大？设长方形的长为x米，面积为S，则S=X(6-X)=-X2+6X3，要给边长为xm的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元,踢脚线的价格为每米30元,如果其他费用为1000元,门宽0.8米,那么总费用y为多少元？y=240x2+30(4x-0.8)+1000=240x2+120x+9764，一种商品售价为每件10元，一周可卖出50件，市场调查表明，这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件；每讨论补充记录预习展示中:1,4两个问题是书本上的,2,3两个问题是补充的,第三个问题中,踢脚线的费用与房间地面的周长有关，为30（4x-0.8）元。
沪科九年级数学上册第21章1 二次函数
(1)y=3x²–2
1
2
(2)m= – n²–3
(3)y=x(1–2x)+2x²
2
(4)y=x( +3x)
3
1
²
( √ )
(
) 合并后a=0
×
(
(5)y= +x²–2
(
(6)y=x²(1+x²)
(
√
×
×
)
)
)
y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
典型例题
关于x的函数 y (m 1) x
1
V= 2h(h为定值)；
3
是二次函数
(3)物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系可表示为：
1
2
h= 2(g为定值).
是二次函数
3.如图，在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，
剩余部分为绿地，请写出绿地面积y(m²)与路宽x(m)之间的函数关系.
y=x²–280x+16000(0＜x＜80)
一般都是全体实数，但是在一些实际问题中，自变量的取
值范围应使实际问题有意义.
(1)这个圆的周长C=
2πr
，它是r的 一次(正比例) 函数；
(2)这个圆的面积S=
πr2
，它是r的
二次
函数.
2.在下列表达式中，哪些是二次函数？
(1)正常情况下，一个人在运动时每分所能承受的最高心跳次数b与
这个人的年龄a之间的关系可表示为：
b=0.8(220 – a)； 不是二次函数
不含二次项
(2)圆锥的高为h，它的体积V与底面字径r之间的关系可表示为：
沪科版九年级数学上第21章二次函数与反比例函数21
(2)若这个函数是二次函数， 则 m2－m≠0，即 m≠1 且 m≠0.
自主学习
基Hale Waihona Puke 夯实整合运用思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
14．如图，一块草地是长 80 m，宽 60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相 垂直的宽为 x m 的小路，这时草坪的面积为 y m2.求 y 与 x 的函数表达式， 并写出自变量 x 的取值范围．
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
解：(1)S＝12πr2＋8r(r＞0)．
(2)当 r＝2，π＝3.14 时， S＝12×3.14×22＋8×2 ＝22.28 ≈22.3(m2)．
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
（A ）
C．y＝(1－x)2＋a D．y＝x2＋a
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
6．已知正方形的周长是 x cm，面积为 y cm2，则 y 与 x 之间的函数表达
式为_y_＝y＝116x2(x＞x02)(x＞0)__．
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
（C ）
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
9．下列关系中，是二次函数关系的是
（C ）
A．当距离 s 一定时，汽车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系
B．在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体的质量 x 之间的关系
C．圆的面积 S 与圆的半径 r 之间的关系
沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计1
沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计1一. 教材分析《二次函数》是沪科版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要让学生了解二次函数的定义、性质和图像，以及会运用二次函数解决实际问题。
二次函数是中学数学中的重要内容，也是高考的热点，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，对于函数的概念和图像是有一定的了解的。
但是二次函数相对于一次函数来说，其图像和性质更加复杂，需要学生有良好的数学思维能力和抽象思维能力。
同时，学生对于实际问题的解决能力也需要加强。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义，掌握二次函数的性质和图像；2.学会运用二次函数解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质；2.二次函数图像的特点；3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的定义和性质；2.使用多媒体展示二次函数的图像，帮助学生直观理解二次函数的特点；3.通过实际例题，让学生运用二次函数解决实际问题；4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.二次函数的PPT；3.实际问题的例题；4.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如抛物线射击、最大利润等问题，引导学生思考如何解决这些问题，从而引出二次函数的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数的定义、性质和图像，让学生直观地了解二次函数的特点。
同时，教师进行讲解，让学生理解二次函数的概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的知识解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固二次函数的知识。
教师选取一些题目进行讲解，纠正学生的错误。
5.拓展（10分钟）让学生思考一些拓展问题，如二次函数在实际生活中的应用等。
《21.1二次函数》作业设计方案-初中数学沪科版12九年级上册
《二次函数》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本课时作业，学生应能够：1. 掌握二次函数的概念和形式，包括自变量x的系数以及函数式y的生成方式；2. 学会分析二次函数的性质，包括其图像的特征及顶点的计算；3. 能够初步应用二次函数的知识，解决一些简单问题，如抛物线形状与最大最小值等问题。
二、作业内容本课时的作业内容主要围绕二次函数的基本概念和性质展开，具体包括：1. 基础概念：通过填空题和选择题的形式，加深学生对二次函数定义、一般形式、自变量和因变量的理解。
2. 性质分析：学生需根据所给二次函数式，分析其图像特征，包括开口方向、顶点坐标等，并绘制简图。
3. 实际应用：设计实际问题，如“一个物体从高处自由下落，其运动轨迹是否符合二次函数？请分析并给出理由。
”等，要求学生运用所学知识进行解答。
4. 计算练习：提供一系列关于二次函数的计算题，如求顶点坐标、最值等，旨在巩固学生对二次函数性质的理解和计算能力。
三、作业要求1. 认真审题：学生需仔细阅读题目要求，明确题目所问内容。
2. 准确作答：答案需准确无误，遵循题目要求进行作答。
3. 过程清晰：在解答过程中，要展现出清晰的思路和计算步骤。
4. 独立自主：学生需独立完成作业，严禁抄袭或依赖他人。
5. 规范书写：字体要规范，答题格式要规范。
四、作业评价教师将对每份作业进行细致批改和评价，包括以下方面：1. 准确性评价：评价学生答案的准确性及正确性。
2. 过程评价：评价学生解题过程的清晰度和逻辑性。
3. 创新性评价：鼓励学生尝试不同的解题思路和方法。
4. 态度评价：评价学生完成作业的态度和独立性。
五、作业反馈1. 教师将针对学生在作业中出现的共性问题进行讲解和指导。
2. 对于学生的优秀作业和进步之处，教师将在课堂上进行表扬和鼓励。
3. 学生需根据教师的批改意见进行反思和改正，如有疑问可向教师请教。
4. 教师将根据学生的作业情况调整后续的教学计划和教学方法。
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21.1 二次函数(第一课时)
一、教学目标：
（1）经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
（2）知道实际问题中存在的二次函数关系中，对自变量的取值范围可能有不同的要求。
二、教材分析：
（1）内容分析：本节从实际问题入手，结合学生已有的知识经验观察、归纳出二次函数的概念，以及二次函数的一般表达式y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)，并使学生从中体会函数的思想。
（2）教学重点：二次函数的概念。
（3）教学难点：具体地分析、确定实际问题中函数关系式。
三、教学过程：
1、基础回顾，铺垫新知
（教师）在八年级我们已经学习了函数的相关知识，那么哪位同学能帮助大家回忆一下函数的基本概念？
（学生）在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。
x叫自变量， y叫应变量。
（教师）那么目前为止，我们已经学习了哪种函数类型？
（学生）一次函数以及一次函数的特殊形式—正比例函数
今天我们将学习一种新的函数
【设计意图：本课时内容是九年级的第一节，先帮助学生回忆函数的基本概念以及已经学习过的一次函数，能让学生更好地接受新知识】
2、设置情景，引入新知
问题1：正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为y=6x2
问题2：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗。
要使围成的水面面积S最大，它的长应是多少米?
解：设长为x m，
则宽为（20-x）m
由题意，得：S=x（20-x）= -x2 + 20x
问题3：一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天应装配玩具190个，但如果每增加一人，那么每人每天可少装配10个。
问增加多少人可使每天装配总数最多？最多时是多少个？
解：设增加x人，装配总数为y
由题意，得：y=（190-10x）（15+x）= -10x2 + 40x + 2850
【设计意图：由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，通过问题的解决，为得出二次函数的定义做好铺垫，同时能让学生感受到身边的数学。
学生通过分析、交流，探求二次函数的概念，加深对概念的理解，为解决问题打下基础。
】
3、观察概括，学习新知
（1）教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)、（3），提出以下问题让学生思考回答：
①函数关系式(1)、(2)、（3）中的自变量各有几个? (各有1个)
②函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?(都是自变量最高次项为二次)
（2）让学生讨论、交流，发表意见，归结为
二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.
注意：①等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式
②a,b,c为常数，且a≠0
③等式的右边最高次数为2.
二次函数的特殊形式：
–当b＝0时， y＝ax2＋c
–当c＝0时， y＝ax2＋bx
–当b＝0，c＝0时， y＝ax2
【设计意图：通过上述具体事例中列出的关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数的概念。
并且让学生结合引例各不相同的特点总结特殊情况下二次函数的解析式，有助于学生更好地理解、掌握其特征，为接下来的二次函数相关性质的学习做好铺垫。
】
4、课堂练习，巩固新知
例1、说一说，下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y=3(x－1)² +1 (2) y=x+1 x
(3) s=3－2t² (4) y=(x+3)²－x²
(5) y=
1
x²
－x (6) v=8πr²
例2、函数y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数)当a、b、c满足什么条件时（1）它是二次函数
（2）它是一次函数
（3）它是正比例函数
例3：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y(cm2)与圆的半径 X（cm)的函数关系是y =πX2
其中自变量x能取哪些值呢？
(还是一切实数吗？负数能取吗?)
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
回顾前三个问题中的自变量取值范围。
例4、一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。
当x=12m时，计算菜园的面积。
【设计意图：学习了二次函数的概念后，让学生在练习中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践应用中。
例1加强了学生对二次函数概念的理解，并且通过对各种解析式的辨别，熟练、正确、全面地理解了二次函数的概念。
例2的设置更是融合了新旧知识，将已学的函数类型进行分析比对，理解各种函数之间的联系与区别。
例3的意图是希望学生注意实际问题中自变量的取值范围，为后面学习函数实际应用打下基础。
例4是课本上的引例1的改编，在提升了难度之后，把此题放在本课的最后。
此时，学生对二次函数的知识已有一定的基础和相应的能力，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出是二次函数。
通过这样的实际例题，让学生用所学的知识解决生活中的问题，体验成功的快乐。
】
5、课堂小结，再温新知
（1）请叙述二次函数的定义。
（2）许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。
【设计意图：学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯。
】
6、布置作业,加强新知
课堂作业:课后练习、习题21.1第1、2题。
家庭作业：习题21.1第3、4、5、6题。
(补充题选做)
【设计意图：根据学生的个性特点及基础水平情况，设计不同的作业，兼顾不同层次的学生，使学生都能得到不同程度的提高，体现因材施教的原则。
】
板书设计：
21.1二次函数
导入练习：（1）y=6x2 （2）S= -x2 + 20x （3）y= -10x2 + 40x + 2850 二次函数一般形式：
（1）y=ax2+bx+c （a,b,c是常数，a≠0)
特殊形式：
（2）y=ax2（a≠0，但是b＝c＝0）
（3）y=ax2＋bx (a≠0，且b ≠0,而c＝0）
（4）y=ax2＋c (a≠0，且c ≠0,而b＝0）。