基于热传导方程的高温服装模型设计
数学建模之高温作业服设计
6.2 模型建立-非稳态传热模型
6.2.1 传热控制方程
对于非稳态传热问题，依据能量守恒定律建立非稳态偏微分控制方程，即：对任一
微元体，其热力学能的变化(表现为温度变化)等于流入流出微元体热流量的差值[3]。控
制方程为：
jcj
T t
=
x
( j
T x
)
( j = 1, 2,3, 4)
导，主要基于傅里叶定律计算；
(2)热对流：由流体宏观运动引起的热量传递过程，主要考虑流体与物体接触面的
热交换，基于牛顿冷却公式计算；
(3)热辐射：物体通过电磁波传递能量，可发生在任何物体中。
5.1.2 边界条件
导热问题常见边界条件有三类，令 T(x,y,z,t)为物体的温度分布函数，Γ 为物体的 边界曲面。
上述显式差分式表明空间节点i上时间节点n1时刻的温度受到左右两侧邻点的影响需要满足稳定性限制条件傅里叶网格数限制否则会出现不合理的振荡的解fofo傅里叶网格数内节点限制条件边界限制条件14632求解步骤对非稳态传热模型进行时间空间离散化后可根据边界条件和初值条件在时间节点和空间节点上逐层进行求解
高温作业服设计
6.2.3 材料接触面
对于不均匀材料导热问题，已假设材料间接触良好，忽略接触热阻，满足界面连续
条件，即满足界面上温度与热流密度连续的条件：
T
(
xi
−
,
t
)
=
T
(
xi
+
,
t
)
i
T x
(xi− ,t)
=
i+1
T x
( xi +
,t)
(i
=
基于傅里叶热传导定律关于高温工作服装的设计
基于傅里叶热传导定律[1]关于高温工作服装的设计高艺倩（三峡大学电气与新能源学院，湖北宜昌443000）随着科技的发展，人们生活水平的提高离不开各个岗位的工作人员的付出。
再艰巨的环境都要完成任务，比如在高温环境中工作时，人体会出现一系列的生理功能改变，这些功能在一定范围内可有幅变化，但若超过限度就会产生不良影响，所以热防护服就成为了防护高温的重要方法之一。
热防护服是指在高温中穿的促进人体散发热量的、防止热中暑、烧灼伤等的具有防护功能的服装，除了要有较好的阻燃性，而且要有较高的隔热性能。
其原理是减缓热量的转移速度，使热量在人体皮肤上尽少积聚，以保证不被烧灼伤。
1基于傅里叶热传导定律的算法在dt 时间内，沿着某面积元ds 的外法线的方向流过的热量dq ⭢和这个面积元两侧的温度的变化率∂u/∂n 成正比，两者的比例系数为W 。
由于在自然条件下的温度是处于减少的趋势，故在等式的右边有个负号，如下所示：在上述式子中间的W 为导热系数（单位为W/m 2），e ⭢n 是该面积元的外法向量。
在对于一个封闭的体积元Ω的时候，dt 时间内它内部的热量变化为dQ 通过对体积元的闭合面积分，得到以下式子：得到上述式子之后，再进一步地对时间进行积分，这样就可以得到从t 1到t 2时刻流入体积元内部的热量Q 1，再由高斯公式可以的得到以下式子：我们在初中的时候学过类似的热力学公式，为某一物体吸收的热量等于这个物体的质量、比热容和温度增量的乘积。
根据上述热力学公式我们可以得到以下公式：变形得到上述式子之后可以根据热量守恒得到化简以后的式子：如果在物体的内部是存在热源的，那么在dt 的时间内，在（x ，y ，z ）地方的体积元内所产生的热量就是F （x ，y ，z ，t ），所以同样地，我们很容易地就得到了含有热源的热传导的Poisson 方程，如下所示：但却存在一种情况，就是在边界绝热的条件下，如果内部有不灭的热源是没有办法达到热平衡的。
高温作业专用服装设计的热传导模型及参数最优决定
高温作业专用服装设计的热传导模型及参数最优决定发表时间：2019-06-10T16:00:03.313Z 来源：《知识-力量》2019年8月29期作者：潘璐璐汪锦馨彭雪（通讯作者）[导读] 高温作业专用服装是目前应用最广泛的特种防护服装［1］，其隔热和传湿性能与普通的服装有很大的不同［2］，可避免人们在高温情况下被灼伤。
本文选取时间、热传导率为影响因素，建立数学模型来分析高温作业专用服装的热传导情况，并以此计算温度分布、确定织物材料的最优厚度，降低其研发成本。
（西北政法大学）摘要：高温作业专用服装是目前应用最广泛的特种防护服装［1］，其隔热和传湿性能与普通的服装有很大的不同［2］，可避免人们在高温情况下被灼伤。
本文选取时间、热传导率为影响因素，建立数学模型来分析高温作业专用服装的热传导情况，并以此计算温度分布、确定织物材料的最优厚度，降低其研发成本。
关键词：牛顿冷却定律；热辐射；热传导；傅立叶定律；遗传算法1.问题重述1.1背景知识随着科技的不断发展，人类的生产工作环境也变得日益复杂多样。
由于职业的特殊性，对于在特殊环境下从事高危职业的从业者来说，服装往往具备着更为重要的作用。
高温作业专用服装因其能够隔绝热量的特点，在起到普通防护服作用的同时，能更好的为高温作业人员预防中暑、烧伤和灼伤等危害，保障工作人员的生命安全。
目前，高温作业专用服装的研发依靠于大量的热防护性试验，因此为压缩研发成本，缩短研发周期通过建立数学模型来帮助研发高温作业专用服装显得十分必要。
1.2需要解决的问题高温工作专用服装一般由三层织物材料构成，从外到内别记作I、II、III层，最里层与皮肤有空隙，记作IV层。
为拟合实际情况完成高温作业专用服装设计，需通过建立数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，并解决以下问题：（1）已知该服装内织物材料的某些参数值（见题目附件1），设定实验条件为：环境温度为75℃、II层厚度为6 mm、IV层厚度为5 mm、工作时间为90分钟，实验得出假人皮肤外侧温度数据（见题目附件2）。
高温作业服装温度传递数学模型
高温作业服装温度传递数学模型自然科学类学术论文高温作业服装温度传递数学模型内容摘要在高温环境下工作时，人们需要穿着由三层不同织物构成的专用防护服避免灼伤。
掌握热量在不同材料层中的减少规律，最大效率利用织物材料，有助于降低研发成本、缩短研发周期，将更好地帮助人们避免灼伤。
分析各材料层的热传递规律，计算其温度分布，并解决基于隔热性能的材料厚度反决定的最优解。
针对问题一，通过对附件二中的数据进行处理，作图确定假人皮肤温度变化情况。
再对防护服导热过程进行具体分析，判断模型为一维非稳态热传导过程并建立一维热传导方程，使用分离变量法解决定解问题。
并结合题目给出的条件，分层进行函数拟合得到数学模型20.20.5148.0811.08t x i i i T T e e C -⋅-=+--+。
采用累加的方式，最后求出每层温度分布图像，记入problem1文件中。
针对问题二，通过问题一发现I 、II 、III 、IV 层间有紧密联系，可看出这是一个动态优化热传导问题。
题目要求降低研发成本，在防护效果相同的情况下，厚度越少越佳。
因此将问题一中得到的关于温度的目标函数转换为与宽度相关的方程，再利用问题二所给的约束条件得到边界值，通过粒子群优化算法，迭代得到Ⅱ层最优厚度为8.925mm 。
针对问题三，通过对问题二的分析和延伸，问题三模型同样为一个动态优化热传导问题。
但问题三存在双变量，因此借助遗传算法动态分析得出II 层和IV 层厚度分别为4.0mm 和11.0mm 。
该数学模型主要是讨论一个非稳态的热传导过程，对其模型进行动态优化分析，优化结果以达到织物材料利用效率最大化。
用已知关系和数据进行函数拟合，代替了偏微分方程复杂的计算，但拟合效果还有待提高。
可以考虑更多热传导过程中的函数关系，来提高模型精度，使得模型对问题的分析更全面，更科学，更严谨。
【关键词】非稳态热传导；分离变量法；粒子群优化算法;遗传算法；动态优化模型1 问题重述1.1背景介绍在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。
高温作业专用服装设计数学建模
高温作业专用服装设计数学建模引言高温作业条件下工作人员需要穿着专用的服装，以保护身体免受高温的伤害。
本文将通过数学建模的方法，探讨高温作业专用服装的设计问题。
通过分析热传导理论、热耗散原理和人体工程学等知识，以及使用数学模型和计算机仿真，设计出一款适合高温作业的专用服装。
背景知识热传导理论热传导是指热量通过材料的传递现象。
根据傅里叶热传导定律，热量的传导速率与温度梯度成正比。
在高温作业环境中，人体会产生大量的热量，若无法及时散热，可能导致中暑等严重后果。
热耗散原理热耗散是指热量通过热辐射、对流和传导等形式散发到周围环境的过程。
在高温作业中，热耗散是消耗热量的主要方式。
通过合理设计服装的热耗散特性，可以提高服装的散热能力，保护工作人员的身体。
人体工程学人体工程学是研究人体与工作环境之间的相互关系的学科。
通过了解人体特性，合理设计服装的结构和尺寸，可以使工作人员感到舒适，提高工作效率。
设计目标根据上述背景知识，我们的设计目标是设计一款高温作业专用服装，要求具有以下特点：•热传导小：降低热量对人体的传递，减轻体感温度。
•散热快：提高服装的热耗散能力，加速热量的散发。
•舒适性好：根据人体工程学原理，设计服装的结构和尺寸，使工作人员感到舒适。
数学建模为了实现上述设计目标，我们将使用数学建模的方法进行分析和设计。
下面是我们设计过程中使用的数学模型：热传导模型根据热传导理论，我们可以建立服装材料内部热传导的数学模型。
通过对材料的热传导特性进行数学描述，可以计算出热传导速率，从而评估服装材料的热传导性能。
热耗散模型热耗散是指热量通过热辐射、对流和传导等形式散发到周围环境的过程。
我们可以建立服装的热耗散模型，计算出服装的散热能力，并通过改变服装结构和材料来提高散热效果。
人体工程学模型人体工程学模型可以帮助我们了解人体的尺寸和特性，通过数学计算和计算机仿真，我们可以获得人体在不同环境下的舒适度评估。
根据评估结果，我们可以调整服装的尺寸和结构，使其更符合人体工程学原理。
基于热传导模型的高温作业专用服装设计
基于热传导模型的高温作业专用服装设计作者：王婧琦乔梦雪刘艺航肖亚美来源：《无线互联科技》2019年第11期摘; ;要：高温作业专用服装不仅适用于消防人员在火场的火焰区进行抢险救援，也可适用于玻璃、水泥、陶瓷等行业中的高温抢修时穿着。
文章针对提供隔热保护专用服装的设计问题，结合相应数据建立环境温度随时间变化的热传导模型，利用偏微分方程边界值问题差分法对所建模型进行求解，进而确定高温作业专用服装厚度的最优设计。
關键词：高温作业服装;热传导;偏微分方程1; ; 问题分析首先，利用Matlab仿真对附件数据进行处理得出皮肤温度随时间变化的曲线图。
其次，通过对数据进行三阶拟合可得到假人皮肤温度与时间变化的函数关系为：y=（9.1e−0.9）x3−（3e−0.5）x2+0.033x+37再次，以第I层接触空气的点为原点，沿 II，III，IV，皮肤层方向为x轴建立坐标系，进而确定环境温度随时间变化的热传导数学模型，此模型分为高温作业下专用服装中的热传递模型与空气层中的热传递模型。
最后，利用偏微分方程边界值问题差分法对所建模型进行求解。
2; ; 模型假设（1）热防护服装的织物材料是各项同性的。
（2）系统热传递仅考虑热辐射、热传导的传热，忽略水汽、汗液的影响，即不考虑湿传递。
（3）厚度的测量的数值为精确值。
（4）假设假人都为成年男性，身高大约为170 cm。
3; ; 模型建立与求解3.1; 数据预处理首先，利用Matlab仿真得出皮肤的温度与时间的拟合关系，从而建立起外界温度到假人皮肤之间所要经过的热传导模型。
已知环境温度为75 ℃，90 min内实验数据的变化情况，且假人皮肤的初始温度为37 ℃，利用Matlab对数据进行描点绘图，数据预处理如图1所示。
通过观察图1可知在，1 736 s之后曲线平滑，没有明显上升趋势。
之后对0 s和1 745 s之间的数据使用Matlab进行三阶拟合，得出拟合方程为：y=9.1e−0.3×x3−3e−0.5×x2+0.033×x+37此方程可表明皮肤温度与时间的函数关系。
高温作业专用服装设计的热传导数学模型研究
学家在学习微积分的时候认识过于狭隘，往往认为与中国的递加数没
有区别，而阻碍了广大数学家对微积分的吸收与研究。
参考文献 [1] 李迪主编 .中华传统数学文献精选导读 . 武汉：湖北教育出版社，
1999：604—631 [2]李兆华 .戴煦 .杜石然主编 .中国古代科学家传记( 下集 ).北京：科学 出版社，1993. [3]刘洁民 .关于夏鸾翔的家世及生平.中国科技史料，1990 年第 4 期：47 [4]刘洁民 .晚清著名数学家夏鸾翔 .中国科技史料，1986 年第 4 期：27— 30 [5]高红成 .夏鸾翔对二次曲线求积问题的研究——兼论中算家对微积分 的早期认识和理解 .自然科学史研究，2009 年第 1 期：24—37 [6]刘长春.夏鸾翔在椭圆计算上的若干贡献 .内蒙古师大学报，1986 年 第 2 期：35—42 [7]宋华 .夏鸾翔对微积分的学习和使用——《万象一原》内容分析.内蒙 古师范大学硕士学位论文，2003 年 6 月 . [8] 李兆华 .中国数学史 .台北：文津出版社，1995：260—263 [9] 钱宝琮 .中国数学史 . 北京：科学出版社，1964：268—281 [10]吴文俊主编 .中国数学史大系（第八卷）.北京：北京师范大学出版社， 2000：140
基金项目 本文“受陕西服装工程学院校级服务地方经济项目基金资助（项目编号 2019FZ14）”
将上 列 各式 代 入 式（2）可得式（1）。而式（1）是 表 示 椭 圆 从 点
到点 的弧长，若将点 换为 ，即在式（1）中令
，再
乘以 4，整理可得项名达所给出的椭圆周长公式。
夏鸾翔利用开方术等知识得到了椭圆弧长的一般公式，其成果
4 创新点 本文主要针对高温作业专用服装设计，运用建模思维、最优化理论、 物理知识、数学算法、计算机软件建立热传导偏微分方程模型。利用 数值模拟算法得到专用服装温度分布；利用多层材料热传递过程的微 分方程及其差分离散化 , 采用变步长遍历搜索法、数值模拟及离散化 有限差分数值解法筛选出各层最优厚度。 本 项目所 建 立 的 模 型 是以 理 论 基 础 为支 撑，使 用 基 于 傅 里叶 定律的温度偏微分反方程模型解决高温作业服装设计问题 , 是以 Torvi 模型为基础 , 并结合傅里叶定律加以改进和完善的模型整合 , 它较好地反映了专用服装在各个层次之间的温度分布的大致情况 , 具有较高的精确度和准确性 , 所得结果完全可以适用于实际问题的 解决。 5 推广价值 本文通过建立关于高温作业专用服装的热传导偏微分方程模型， 一方面解决了高温作业专用服装设计中的热传递和各层厚度问题，另 一方面，降低了研发成本，缩短了研发周期。
基于热传导理论对高温专用服装设计问题的研究摘要数学建模论文
基于热传导理论对高温专用服装设计问题的研究摘要本文针对高温作业专用服装设计问题，运用了热传导理论、抛物型微分方程、差分法近似求解、多目标最优化、遗传算法等方法，建立了热防护服－空气层－皮肤模型、第Ⅱ层厚度最优模型和第Ⅱ层第IV层厚度最优模型，综合运用了Matlab等软件编程求解。
在问题一的条件下，得到了每层材料的温度，在问题二的约束条件下，第Ⅱ层的最优厚度为5.998mm，在问题三的条件下，第Ⅱ层和第IV层的最优厚度分别为12.03425mm和6.4mm等结论。
针对问题一，要求计算温度分布的问题。
首先运用热传导理论、抛物型微分方程和差分近似求解法建立了热防护服－空气层－皮肤模型，然后运用了Matlab 编程求解，得到温度在各个材料层的分布。
针对问题二，要求在题目条件下，求解第Ⅱ层的最优厚度。
首先，采用了最优化理论和遗传算法建立了第Ⅱ层厚度最优模型，然后运用了Matlab编程求解，最后得出第Ⅱ层的最优厚度为5.998mm。
针对问题三，在题目给定条件下，求解第Ⅱ层和第IV层的最优厚度。
首先，采用了多目标优化和遗传算法建立了第Ⅱ层第IV层厚度最优模型，然后运用了Matlab编程求解，最后得出第Ⅱ层和第IV层的最优厚度分别为12.0345mm和6.4mm。
本文最后还对模型进行了误差分析，对模型的优缺点进行了客观的评价，基于热湿耦合理论对本文未考虑湿热传递进行了改进。
本文的创新点在于用差分法求解模型近似解，避免了求解模型解析解过于复杂难以求解的情况，节省了时间，提高了模型精度。
关键词：抛物型微分差分法遗传算法热防护服－空气层－皮肤模型一、问题重述在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。
高温专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，第IV层为III层与皮肤之间存在的空隙。
将体内温度控制在37ºC的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。
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基于热传导方程的高温服装模型设计作者：秦文宁孔前进尹天宇张若楠
来源：《无线互联科技》2019年第08期
摘 ; 要：文章针对高温服装设计，建立了一维稳态的传热模型，确定了稳态下各层间的温度随空间的变化关系，并以此作为一维非稳态传热方程的边界条件，得出了各层之间的温度分布图，为厂家生产专用服装提供了理论依据。
关键词：一维非稳态热传导;偏微分方程;温度分布
对于在持续高温环境下从事户外作业的人员而言，热负荷给身心健康带来的危害不可小觑。
专用服装作为重要的高温防护手段之一，在高温环境中的作用备受关注。
因此，研究高温作业专用服装对于户外作业人员的高温防护以及身心健康具有重大意义。
为设计专用服装，将体内温度控制在37 ℃的假人放置在实验室的高温环境中，测量人皮肤外侧的温度。
本研究将在尽量降低研发成本、缩短研发周期的前提下，利用数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况。
1 ; ;高温服装设计的问题描述和模型建立
1.1 ;模型假设
（1）专用服装面积与其厚度之比较大，故从服装边缘处的损失的热量可以忽略。
（2）每层材料的热传导率不随温度的改变而改变。
（3）传热系统与外界无热量交换，即与外界绝热。
1.2 ;模型准备
1.2.1 ;热传导
热传导是介质内无宏观运动时的传热现象，通常把这种物体内部的不同温度部分或不同温度的物体之间直接接触时所发生的热传递现象称为热传导。
法国闻名科学家傅里叶（Fourier）于1822年提出了一条闻名的热力学定律—傅里叶定律。
根据傅里叶定律（1），在导热过程中，单位时间内通过给定截面的热量（即热流密度q），正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。
本研究已经建立了一维稳态的传热模型，确定了稳态下各层间的温度随空间的变化关系，以此作为一维非稳态传热方程的边界条件，即可得出一维非稳态下的温度随时间、空间变化的分布（见图1）。
2 ; ;模型的评价
2.1 ;模型的优点
（1）建立的传热模型能与实际的传热规律紧密联系，结合实际情况以及传热学的相关知识，对问题进行求解，使模型具有很好的通用性和推广性。
（2）在求解一维非稳态热传导模型，采用有限差分法，保证方程解的存在。
2.2 ;模型的缺点
对于文中所建立的传热模型，为简化计算，假设热传导率λ保持不变，而在实际情况中，热传导率会随温度的变化而变化。
3 ; ;结语
本文根据平衡段确定的参数来给定一维非稳态传热方程的边界条件，并编写Matlab程序求解，得出了各层之间的温度分布图，为厂家生产专用服装提供了理论依据，不仅满足了高温工作人员的需求，还为厂家降低了研发成本，缩短了研发周期。
[参考文献]
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[2]陈芝会.有限差分法求解一维不稳定态变物性热传导问题[J].沈阳黄金学院学报，1997（2）：121-128.
[3]沈禹，岳梦玲，鲍文岚.基于多层平面壁热传导模型的高温作业专用防护服优化设计研究[J].化工管理，2019（2）：104-105.
[4]索昊，黄新运，刘彩美，等.高温作业防护服材料温度分布的研究[J].价值工程，2019（3）：160-163.。