龙联中考数学综合训练题 一
广西龙胜县2024届中考联考数学试题含解析
广西龙胜县2024学年中考联考数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列计算中正确的是（）A．x2+x2=x4B．x6÷x3=x2C．（x3）2=x6D．x-1=x2．人的大脑每天能记录大约8 600万条信息，数据8 600用科学记数法表示为（）A．0.86×104B．8.6×102C．8.6×103D．86×1023．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．已知a,b为两个连续的整数,且a<11<b,则a+b的值为()A．7 B．8 C．9 D．105．扇形的半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）A．10cm B．20cm C．10πcm D．20πcm6．2014 年底，国务院召开了全国青少年校园足球工作会议，明确由教育部正式牵头负责校园足球工作．2018 年 2 月1 日，教育部第三场新春系列发布会上，王登峰司长总结前三年的工作时提到：校园足球场地，目前全国校园里面有5 万多块，到 2020 年 要达到 85000 块．其中 85000 用科学记数法可表示为（ ）A ．0.85 ⨯ 105B ．8.5 ⨯ 104C ．85 ⨯ 10-3D ．8.5 ⨯ 10-47．若代数式2x 2+3x ﹣1的值为1，则代数式4x 2+6x ﹣1的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．38．在一次体育测试中，10名女生完成仰卧起坐的个数如下：38，52，47，46，50，50，61，72，45，48，则这10名女生仰卧起坐个数不少于50个的频率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.69．2017年我国大学生毕业人数将达到7490000人，这个数据用科学记数法表示为( )A ．7.49×107B ．74.9×106C ．7.49×106D ．0.749×10710．二元一次方程组43624x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为（ ） A ．32x y =-⎧⎨=⎩ B ．21x y =-⎧⎨=⎩ C ．32x y =⎧⎨=-⎩ D ．21x y =⎧⎨=-⎩ 11．□ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（ ） A ．BE=DFB ．AE=CFC ．AF//CED ．∠BAE=∠DCF 12．化简：（a+343a a --）（1﹣12a -）的结果等于（ ） A ．a ﹣2 B ．a+2 C ．23a a -- D ．32a a -- 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．二次函数()2y ax bx c a 0=++≠中的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：则2ax bx c 0++=的解为________．14．李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x 分钟，那么可列出的方程是_____________.15．分解因式：22a 4a 2-+=_____．16．为参加2018年“宜宾市初中毕业生升学体育考试”，小聪同学每天进行立定跳远练习，并记录下其中7天的最好成绩（单位：m ）分别为：2.21，2.12，2.1，2.39，2.1，2.40，2.1．这组数据的中位数和众数分别是_____．17．在某一时刻，测得一根长为1.5m 的标杆的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为26m ，那么这根旗杆的高度为_____m ．18．如图，当半径为30cm 的转动轮转过120︒角时，传送带上的物体A 平移的距离为______cm ．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，1），B （4，0），C （4，4）．按下列要求作图：①将△ABC 向左平移4个单位，得到△A 1B 1C 1；②将△A 1B 1C 1绕点B 1逆时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1．求点C 1在旋转过程中所经过的路径长．20．（6分）如图，在▱ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥DC 于点F ，AE=AF ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF 的长．21．（6分）小马虎做一道数学题，“已知两个多项式24A x x =-，2234B x x =+-，试求2A B +.”其中多项式A 的二次项系数印刷不清楚.小马虎看答案以后知道2228A B x x +=+-，请你替小马虎求出系数“”；在（1）的基础上，小马虎已经将多项式A 正确求出，老师又给出了一个多项式C ，要求小马虎求出A C -的结果.小马虎在求解时，误把“A C -”看成“A C +”，结果求出的答案为262x x --.请你替小马虎求出“A C -”的正确答案.22．（8分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字2，3、1．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．23．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 5=，tan B 12=，半径为2的⊙C 分别交AC ，BC 于点D 、E ，得到DE 弧．（1）求证：AB 为⊙C 的切线．（2）求图中阴影部分的面积．24．（10分）如图是8×8的正方形网格，A 、B 两点均在格点（即小正方形的顶点）上，试在下面三个图中，分别画出一个以A ，B ，C ，D 为顶点的格点菱形（包括正方形），要求所画的三个菱形互不全等．25．（10分）如图,在△ABC 中,点D 是AB 边的中点,点E 是CD 边的中点,过点C 作CF ∥AB 交AE 的延长线于点F,连接BF.求证:DB=CF ；(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF 的形状,并证明你的结论.26．（12分）小雁塔位于唐长安城安仁坊（今陕西省西安市南郊）荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明在学习了锐角三角函数后，想利用所学知识测量“小雁塔”的高度，小明在一栋高9.982米的建筑物底部D 处测得塔顶端A 的仰角为45°，接着在建筑物顶端C 处测得塔顶端A 的仰角为37.5°．已知AB⊥BD，CD⊥BD，请你根据题中提供的相关信息，求出“小雁塔”的高AB的长度（结果精确到1米）（参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）27．（12分）为了丰富校园文化，促进学生全面发展．我市某区教育局在全区中小学开展“书法、武术、黄梅戏进校园”活动．今年3月份，该区某校举行了“黄梅戏”演唱比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校部分学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题．（1）求该校参加本次“黄梅戏”演唱比赛的学生人数；（2）求扇形统计图B等级所对应扇形的圆心角度数；（3）已知A等级的4名学生中有1名男生，3名女生，现从中任意选取2名学生作为全校训练的示范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选1名男生和1名女生的概率．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解题分析】根据合并同类项的方法、同底数幂的除法法则、幂的乘方、负整数指数幂的意义逐项求解，利用排除法即可得到答案.【题目详解】A. x2+x2=2x2，故不正确；B. x6÷x3=x3，故不正确；C. （x3）2=x6，故正确；D. x﹣1=1x，故不正确；故选C.【题目点拨】本题考查了合并同类项的方法、同底数幂的除法法则、幂的乘方、负整数指数幂的意义，解答本题的关键是熟练掌握各知识点.2、C【解题分析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．【题目详解】数据8 600用科学记数法表示为8.6×103故选C．【题目点拨】用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．3、D【解题分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面的，左面看得到的图形:几何体的左视图是：．故选D.4、A【解题分析】∵9<11<16，<<，即34<<，∵a，b为两个连续的整数，且a b<<，∴a=3，b=4，∴a+b=7，故选A.5、A【解题分析】试题解析：扇形的弧长为：12030180π⨯=20πcm，∴圆锥底面半径为20π÷2π=10cm，故选A．考点：圆锥的计算．6、B【解题分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10 n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，等于这个数的整数位数减1.【题目详解】解：85000用科学记数法可表示为8.5×104，故选：B．【题目点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7、D【解题分析】由2x2+1x﹣1＝1知2x2+1x＝2，代入原式2（2x2+1x）﹣1计算可得．【题目详解】解：∵2x2+1x﹣1＝1，∴2x2+1x＝2，则4x2+6x﹣1＝2（2x2+1x）﹣1＝2×2﹣1＝4﹣1＝1．故本题答案为：D.【题目点拨】本题主要考查代数式的求值，运用整体代入的思想是解题的关键．8、C【解题分析】用仰卧起坐个数不少于10个的频数除以女生总人数10计算即可得解．【题目详解】仰卧起坐个数不少于10个的有12、10、10、61、72共1个，所以，频率=510=0.1．故选C．【题目点拨】本题考查了频数与频率，频率=频数数据总和．9、C【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【题目详解】7490000=7.49×106.故选C.【题目点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10、C【解题分析】利用加减消元法解这个二元一次方程组.【题目详解】解：43624x yx y+=⋯⋯⎧⎨+=⋯⋯⎩①②①-②⨯2，得：y=-2，将y=-2代入②，得：2x-2=4，解得，x=3，所以原方程组的解是32 xy=⎧⎨=-⎩.故选C.【题目点拨】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点，解此题的关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较典型，难度适中.11、B【解题分析】【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.【题目详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE//CF，∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，故选B.【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.12、B【解题分析】解：原式=(3)342132a a a aa a-+---⋅--=24332a aa a--⋅--=(2)(2)332a a aa a+--⋅--=2a+．故选B．考点：分式的混合运算．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、x2=-或1【解题分析】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x轴的另一个交点．继而求得答案.【题目详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），∴此抛物线的对称轴为：直线x=-12，∵此抛物线过点（1，0），∴此抛物线与x轴的另一个交点为：（-2，0），∴ax2+bx+c=0的解为：x=-2或1．故答案为x=-2或1.【题目点拨】此题考查了抛物线与x轴的交点问题．此题难度适中，注意掌握二次函数的对称性是解此题的关键.14、80250(15)2900x x +-= 【解题分析】 分析：根据题意把李明步行和骑车各自所走路程表达出来，再结合步行和骑车所走总里程为2900米，列出方程即可. 详解：设他推车步行的时间为x 分钟，根据题意可得： 80x+250(15-x)=2900.故答案为80x+250(15-x)=2900.点睛：弄清本题中的等量关系：李明推车步行的路程+李明骑车行驶的路程=2900是解题的关键. 15、()22a 1- 【解题分析】分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：()()2222a 4a 22a 2a 12a 1-+=-+=-．16、2.40，2.1． 【解题分析】∵把7天的成绩从小到大排列为：2.12，2.21，2.39，2.40，2.1，2.1，2.1． ∴它们的中位数为2.40，众数为2.1． 故答案为2.40，2.1．点睛:本题考查了中位数和众数的求法，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数. 17、13 【解题分析】根据同时同地物高与影长成比列式计算即可得解． 【题目详解】解：设旗杆高度为x 米， 由题意得,1.5x =326， 解得x=13. 故答案为13.【题目点拨】本题考查投影，解题的关键是应用相似三角形.18、20π【解题分析】解：1203801π⨯=20πcm．故答案为20πcm．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）①见解析；②见解析；（1）1π．【解题分析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A1、B1、C1的对应点A1、B1、C1即可；（1）根据弧长公式计算．【题目详解】（1）①如图，△A1B1C1为所作；②如图，△A1B1C1为所作；（1）点C1在旋转过程中所经过的路径长＝9042 180ππ⨯=【题目点拨】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质．20、(1)见解析；（2）3【解题分析】(1) 方法一: 连接AC, 利用角平分线判定定理, 证明DA=DC即可;方法二: 只要证明△AEB≌△AFD. 可得AB=AD即可解决问题；(2) 在Rt△ACF, 根据AF=CF·tan∠ACF计算即可. 【题目详解】（1）证法一：连接AC，如图．∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE=AF，∴∠ACF=∠ACE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAC=∠ACB．∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴四边形ABCD是菱形．证法二：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB=∠AFD=90°，又∵AE=AF，∴△AEB≌△AFD．∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）连接AC，如图．∵AE ⊥BC ，AF ⊥DC ，∠EAF=60°， ∴∠ECF=120°， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ACF=60°，在Rt △CFA 中，AF=CF•tan ∠ 【题目点拨】本题主要考查三角形的性质及三角函数的相关知识，充分利用已知条件灵活运用各种方法求解可得到答案。
2012连云港中考数学试题
C．2.5
D． 5
二、填空题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．写一个比 1
PS:双击获取文档，ctrl+A,ctrl+C，然后粘贴到word即可。 未能直接提供word版本，抱歉。
C．70°
D．80° 】
8．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出 67.5°角的正切值是【
A．
3＋1
B． 3大的整数是
2＋1 ．
7
】 B．3.1×10
6
C．31×10 】
6
D．0.31×10
8
4．向如图所示的正三角形区域扔沙包(区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同)，假设沙包击中每一个小三角形是 等可能的，扔沙包 1 次击中阴影区域的概率等于【
A．
1 6
2 2
B．
1 4 】
2
C．
3 8
5
D．
5 8
5．下列各式计算正确的是【 A．(a＋ ＝a ＋1 C．a ÷a ＝a
8 2 6
B．a ＋a ＝a
2 2
3
D．3a －2a ＝1 C． cm D．2 cm 】 】
6．用半径为 2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为【 A．1cm B．2cm
7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3＝【
A．50°
B．60°
2012 年连云港市中考数学试题
一、选择题（本大题共 8 小题，每题 3 分，共 24 分） 1．－3 的绝对值是【 A．3 】 C． 】 1 3 D．－ 1 3
2024届黑龙江省齐齐哈尔市建华区中考联考数学试题含解析
2024届黑龙江省齐齐哈尔市建华区中考联考数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若点M 在AD 边上，连接MO 并延长交BC 边于点M’，连接MB,DM’则图中的全等三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对2．已知⊙O 的半径为5，若OP=6，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 外C ．点P 在⊙O 上D ．无法判断3．若△÷2111a a a -=-，则“△”可能是（ ） A ．1a a + B ．1a a - C ．+1a a D ．1a a- 4．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列运算正确的是( )A ．235x x x +=B ．236x x x +=C ．325x x =（）D ．326x x =（） 6．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）A ．4B ．2C ．3D ．37．如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠B ＝58°，则∠OAC 的度数是( )A ．32°B ．30°C ．38°D ．58°8．下列计算错误的是（ ）A ．4x 3•2x 2=8x 5B ．a 4﹣a 3=aC ．（﹣x 2）5=﹣x 10D ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 29．二次函数y ＝a(x ﹣m)2﹣n 的图象如图，则一次函数y ＝mx+n 的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限10．据国家统计局2018年1月18日公布，2017年我国GDP 总量为827122亿元，首次登上80万亿元的门槛，数据827122亿元用科学记数法表示为（ ）A ．8.27122×1012B ．8.27122×1013C ．0.827122×1014D ．8.27122×101411．如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是( )A ．B ．C ．D ． 12．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．A ．2(1)2y x =-++B ．2(1)4y x =--+C ．2(1)2y x =--+D ．2(1)4y x =-++二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图所示，则x +y 的值是_____． 2x 3 2y ﹣34y14．如图,正△的边长为，点、在半径为的圆上,点在圆内,将正绕点逆时针针旋转，当点第一次落在圆上时，旋转角的正切值为_______________15．计算：（π﹣3）0+（﹣13）﹣1=_____． 16．已知a ＜0，那么|2a ﹣2a|可化简为_____．17．点P 的坐标是（a,b ），从-2，-1,0,1,2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P （a,b ）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是 .18．因式分解：x 2y-4y 3=________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，AB 为O 的直径，4AB ＝，P 为AB 上一点，过点P 作O 的弦CD ，设BCD m ACD ∠=∠．（1）若2m =时，求BCD ∠、ACD ∠的度数各是多少？（2）当2323AP PB -=+m ，使弦CD 最短？如果存在，求出m 的值，如果不存在，说明理由； （3）在（1）的条件下，且12AP PB =，求弦CD 的长．20．（6分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．21．（6分）“知识改变命运，科技繁荣祖国”．在举办一届全市科技运动会上．下图为某校2017年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：（1）该校参加航模比赛的总人数是人，空模所在扇形的圆心角的度数是；（2）并把条形统计图补充完整；（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．今年全市中小学参加航模比赛人数共有2500人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？22．（8分）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？23．（8分）一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要6小时，顺流而下需要4小时，若船在静水中的速度为20千米/时，则水流的速度是多少千米/时？24．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0）．点P（m，n）为△ABC内一点，平移△ABC得到△A1B1C1，使点P（m，n）移到P（m+6，n+1）处．（1）画出△A1B1C1（2）将△ABC绕坐标点C逆时针旋转90°得到△A2B2C，画出△A2B2C；（3）在（2）的条件下求BC扫过的面积．25．（10分）为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为160分）分为5组：第一组85～100；第二组100～115；第三组115～130；第四组130～145；第五组145～160，统计后得到如图1和如图2所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D”，100～130分评为“C”，130～145分评为“B”，145～160分评为“A”，那么该年级1600名学生中，考试成绩评为“B”的学生大约有多少名？（3）如果第一组有两名女生和两名男生，第五组只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．26．（12分）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分别直方图和扇形统计图：根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图（2）求扇形统计图中m 的值和E 组对应的圆心角度数（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数27．（12分）如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解题分析】根据矩形的对边平行且相等及其对称性，即可写出图中的全等三角形的对数.【题目详解】图中图中的全等三角形有△ABM ≌△CDM’，△ABD ≌△CDB, △OBM ≌△ODM’,△OBM’≌△ODM, △M ’BM ≌△MDM’, △DBM ≌△BDM’,故选D.【题目点拨】此题主要考查矩形的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟知矩形的对称性.2、B【解题分析】比较OP 与半径的大小即可判断.【题目详解】r 5=，d OP 6==，d r ∴>，∴点P 在O 外，故选B ．【题目点拨】本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种.设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>；②点P 在圆上d r ⇔=；①点P 在圆内d r ⇔<.3、A【解题分析】直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案．【题目详解】211,1a a a -÷=- 21111a a A a a a-+∴=⨯=-。
2024中考数学复习 重难题型分类练 题型六 二次函数性质综合题 (含答案)
2024中考数学复习重难题型分类练题型六二次函数性质综合题类型一纯性质综合1.已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3).(1)求b，c的值；(2)当－4≤x≤0时，求y的最大值；(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．2.设二次函数y1＝2x2＋bx＋c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点．(1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y1的表达式及其图象的对称轴；(2)若函数y1的表达式可以写成y1＝2(x－h)2－2(h是常数)的形式，求b＋c的最小值；(3)设一次函数y2＝x－m(m是常数)，若函数y1的表达式还可以写成y1＝2(x－m)(x－m－2)的形式，当函数y＝y1－y2的图象经过点(x0，0)时，求x0－m的值．3.在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x＝t.(1)当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0，m)(x0≠1)在抛物线上．若m<n<c，求t的取值范围及x0的取值范围．4.已知抛物线y＝－x2－3x＋c经过点(0，2)，且与x轴交于A，B两点．设k是抛物线y ＝－x2－3x＋c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y＝－x2－3x＋c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S＝m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．(1)求c的值；(2)直接写出T的值；(3)求k4k8＋k6＋2k4＋4k2＋16的值．5.已知二次函数y＝ax2＋4ax＋b.(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a，b的代数式表示)；(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过(1，c)，(3，d)，(－1，e)，(－3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当－2≤m≤1时，n的取值范围是－1≤n≤1.求二次函数的表达式．第5题图6.新定义：我们把抛物线y＝ax2＋bx＋c(其中ab≠0)与抛物线y＝bx2＋ax＋c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2＋3x＋1的“关联抛物线”为：y＝3x2＋2x＋1.已知抛物线C1：y＝4ax2＋ax＋4a－3(a≠0)的“关联抛物线”为C2.(1)写出C2的解析式(用含a的式子表示)及顶点坐标；(2)若a>0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N.①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a－4≤x≤a－2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．类型二交点问题7.如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B.(1)求m和b的值；(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N.若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围．第7题图8.在平面直角坐标系中，抛物线y1＝－(x＋4)(x－n)与x轴交于点A和点B(n，0)(n≥－4)，顶点坐标记为(h1，k1).抛物线y2＝－(x＋2n)2－n2＋2n＋9的顶点坐标记为(h2，k2).(1)写出A点坐标；(2)求k1，k2的值(用含n的代数式表示)；(3)当－4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；(4)经过点M(2n＋9，－5n2)和点N(2n，9－5n2)的直线与抛物线y1＝－(x＋4)(x－n)，y2＝－(x ＋2n)2－n2＋2n＋9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．第8题图9.在平面直角坐标系中，抛物线y＝2(x－m)2＋2m(m为常数)的顶点为A.(1)当m＝12时，点A的坐标是________，抛物线与y轴交点的坐标是________；(2)若点A在第一象限，且OA＝5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；(3)当x≤2m时，若函数y＝2(x－m)2＋2m的最小值为3，求m的值；(4)分别过点P(4，2)，Q(4，2－2m)作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M，N.当抛物线y ＝2(x－m)2＋2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．第9题图类型三整点问题10.如图，若b是正数．．，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上．．．，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直．接．写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．第10题图参考答案与解析1.解：(1)把(0，－3)，(－6，－3)代入y＝－x2＋bx＋c中，＝－336－6b＋c＝－3，＝－6＝－3；(2)由(1)得y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6，∵－4≤x≤0，∴当x＝－3时，y有最大值为6；(3)①当－3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为－3，当x＝m时，y有最大值为－m2－6m－3，∴－m2－6m－3＋(－3)＝2，∴m＝－2或m＝－4(舍去)；②当m≤－3时，当x＝－3时，y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y的最小值为－4，∴－(m＋3)2＋6＝－4，∴m＝－3－10或m＝－3＋10(舍去).综上所述，m＝－2或m＝－3－10.2.解：(1)将A，B两点坐标代入y1＝2x2＋bx＋c中，＋b＋c＝0＋2b＋c＝0＝－6＝4，∴函数y1的表达式为y1＝2x2－6x＋4.函数图象的对称轴是直线x＝－－62×2＝32；(2)由题意，整理得y1＝2x2－4hx＋2h2－2，∴b＋c＝－4h＋2h2－2＝2(h－1)2－4，∴当h＝1时，b＋c的最小值是－4；(3)由题意，得y＝y1－y2＝2(x－m)(x－m－2)－(x－m)＝(x －m )[2(x －m )－5]，∵函数y 的图象经过点(x 0，0)，∴(x 0－m )[2(x 0－m )－5]＝0，∴x 0－m ＝0或x 0－m ＝52.3.解：(1)∵m ＝n ，∴点(1，m )，(3，n )关于对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴t ＝2；∵c ＝2，∴当x ＝0时，y ＝2，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0，2)；(2)由题意得，抛物线经过点(1，m )，(3，n )，(0，c )，∵m <n <c ，由抛物线开口向上，离对称轴越近，y 越小，可得，1离对称轴最近，3离对称轴次之，0离对称轴最远，∴|1－t |<|3－t |<|0－t |，∴|1－t |<|3－t |①，|3－t |<|0－t |②.由①得，t 到1的距离小于t 到3的距离，则t 在1和3中点左侧，即t <2，由②得，t 到3的距离小于t 到0的距离，则t 在3和0中点右侧，即t >1.5，∴1.5<t <2.∵抛物线经过(1，m )，(x 0，m )，∴点(1，m )，(x 0，m )关于对称轴x ＝t 对称，∴1＋x 02＝t ，解得x 0＝2t －1.∵1.5<t <2，∴2<2t －1<3，即2<x 0<3.4.解：(1)∵抛物线y ＝－x 2－3x ＋c 经过点(0，2)，∴当x ＝0时，y ＝c ＝2；(2)T 的值为－114；【解法提示】由(1)知抛物线解析式为y ＝－x 2－3x ＋2.∵当S ＝m 时恰好有三个点M 满足，∴必有一点M 为抛物线的顶点，且另外两点的纵坐标与顶点纵坐标互为相反数．当x ＝－－32×（－1）＝－32时，y ＝－(－32)2－3×(－32)＋2＝114.即此时M (－32，114)，则另外两个M 点的纵坐标分别为－114，－114，∴T ＝114＋(－114)＋(－114)＝－114．(3)由题意知，－k 2－3k ＋2＝0，则k －2k＝－3，∴k 2＋4k 2＝(k －2k )2＋4＝7，k 4＋16k 4＝(k 2＋4k2)2－8＝41.则k 4k 8＋k 6＋2k 4＋4k 2＋16＝1k 4＋k 2＋2＋4k 2＋16k 4＝1（k 4＋16k 4）＋（k 2＋4k2）＋2＝141＋7＋2＝150.5.解：(1)∵y ＝ax 2＋4ax ＋b ＝a (x ＋2)2－4a ＋b ，∴二次函数图象的顶点坐标为(－2，－4a ＋b )；(2)由(1)可知，抛物线的对称轴为直线x ＝－2，①当a ＞0时，抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越大．∵d c ＝1－(－2)＝3，d d ＝3－(－2)＝5，d e ＝－1－(－2)＝1，d f ＝－2－(－3)＝1，∴d ＞c ＞e ＝f ；②当a ＜0时，抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越小．∵d c ＝1－(－2)＝3，d d ＝3－(－2)＝5，d e ＝－1－(－2)＝1，d f ＝－2－(－3)＝1，∴d ＜c ＜e ＝f ；(3)由(1)知，抛物线的对称轴为直线x ＝－2，①当a ＞0时，∵－2≤m ≤1，∴n 随m 的增大而增大，∴当m ＝－2时，n ＝－1；当m ＝1时，n ＝1.∴抛物线过点(－2，－1)，(1，1)，将点(－2，－1)，(1，1)a －8a ＋b ＝－1＋4a ＋b ＝1，＝29＝－19，∴二次函数的表达式为y＝29x2＋89x－19；②当a＜0时，∵－2≤m≤1，∴n随m的增大而减小，∴当m＝－2时，n＝1；当m＝1时，n＝－1.∴抛物线过点(－2，1)，(1，－1)，将点(－2，1)，(1，－1)a－8a＋b＝1＋4a＋b＝－1，＝－29＝19，∴二次函数的表达式为y＝－29x2－89x＋19.综上可知，二次函数的表达式为y＝29x2＋89x－19或y＝－29x2－89x＋19.6.解：(1)∵抛物线C1：y＝4ax2＋ax＋4a－3(a≠0)的“关联抛物线”为C2，根据题意可得，C2的解析式为y＝ax2＋4ax＋4a－3(a≠0)，∵y＝ax2＋4ax＋4a－3＝a(x＋2)2－3，∴抛物线C2的顶点坐标为(－2，－3)；(2)①设P(p，0)，则M(p，4ap2＋ap＋4a－3)，N(p，ap2＋4ap＋4a－3)，∴MN＝|4ap2＋ap＋4a－3－(ap2＋4ap＋4a－3)|＝|3ap2－3ap|，∵MN＝6a，∴|3ap2－3ap|＝6a，∵a＞0，∴p2－p＝±2，当p2－p＝2时，解得p1＝－1，p2＝2，当p2－p＝－2时，方程无解，∴P(－1，0)或P(2，0)；②由(1)知，C2的顶点坐标为(－2，－3)，对称轴为直线x＝－2，∵a＞0，∴a－2＞－2，当－2－(a－4)＞a－2－(－2)，即a＜1时，函数的最大值为a(a－4＋2)2－3＝a(a－2)2－3，最小值为－3，∵C2的最大值与最小值的差为2a，∴a(a－2)2＝2a，∵a＞0，∴a－2＝±2，解得a1＝2－2，a2＝2＋2(a＜1，舍去)，∴a＝2－2；当－2－(a－4)≤a－2－(－2)，且a－4≤－2，即1≤a≤2时，函数的最大值为a(a－2＋2)2－3＝a3－3，最小值为－3，∵C2的最大值与最小值的差为2a，∴a3＝2a，∵a＞0，∴a＝±2，解得a1＝2，a2＝－2(1≤a≤2，舍去)，∴a＝2；当a－4＞－2，即a＞2时，抛物线开口向上，对称轴右侧y随x的增大而增大，函数的最大值为a(a－2＋2)2－3＝a3－3，最小值为a(a－4＋2)2－3＝a(a－2)2－3，∵C2的最大值与最小值的差为2a，∴a3－3－a(a－2)2＋3＝2a，即a3－a(a－2)2－2a＝0，整理得2a(2a－3)＝0，∵a＞0，解得a＝32(a＞2舍去)，综上所述，a＝2－2或a＝2.7.解：(1)∵抛物线y＝x2＋mx经过点A(2，0)，∴4＋2m ＝0，∴m ＝－2.∵直线y ＝－x ＋b 经过点A (2，0)，∴－2＋b ＝0，∴b ＝2；(2)当x 2－2x ＝－x ＋2时，x 1＝－1，x 2＝2.∴点B 的坐标为(－1，3).结合图象可知，不等式x 2＋mx >－x ＋b 的解集为x <－1或x >2；(3)－1≤x M <2或x M ＝3.【解法提示】如解图①，∵A (2，0)，B (－1，3)，∴当点M 在AB 线段上(不含点A )时，线段MN 与抛物线只有一个公共交点；如解图②，当线段MN 经过抛物线顶点P 时，线段MN 与抛物线只有一个公共交点，∵P (1，－1)，∴点M 的纵坐标为－1，∴x M ＝3，综上所述，点M 的横坐标x M 的取值范围是－1≤x M ＜2或x M ＝3.第7题解图8.解：(1)∵y 1＝－(x ＋4)(x －n )，令y 1＝0，即－(x ＋4)(x －n )＝0，∴x 1＝－4，x 2＝n .∴A (－4，0)；(2)y 1＝－(x ＋4)(x －n )＝－x 2＋(n －4)x ＋4n＝－(x －n －42)2＋14n 2＋2n ＋4，∴k 1＝14n 2＋2n ＋4，∵y 2＝－(x ＋2n )2－n 2＋2n ＋9，∴k 2＝－n 2＋2n ＋9；(3)∵k 1＝14n 2＋2n ＋4，k 2＝－n 2＋2n ＋9，当k 1＝k 2时，即14n 2＋2n ＋4＝－n 2＋2n ＋9，解得n ＝－2或n ＝2.设y ＝k 1－k 2＝54n 2－5.由解图①可知：第8题解图①当－4≤n ＜－2时，k 1＞k 2，当－2＜n ＜2时，k 1＜k 2，当2＜n ≤4时，k 1＞k 2，当n ＝－2或n ＝2时，k 1＝k 2；(4)设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋b ，2n ＋9）k ＋b ＝－5n 2①nk ＋b ＝9－5n 2②，由①－②得，k ＝－1，∴b ＝－5n 2＋2n ＋9，∴直线MN 的解析式为y ＝－x －5n 2＋2n ＋9.第一种情况：如解图②.当直线MN 经过抛物线y 1，y 2的交点时，联立抛物线y 1＝－x 2＋(n －4)x ＋4n 与y 2＝－x 2－4nx －5n 2＋2n ＋9的解析式可得，(5n －4)x ＝－5n 2－2n ＋9③，联立直线y ＝－x －5n 2＋2n ＋9与抛物线y 2＝－x 2－4nx －5n 2＋2n ＋9的解析式可得，x 2＋(4n －1)x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1－4n ，当x 1＝0时，把x 1＝0代入y 1得y 1＝4n ，把x 1＝0，y 1＝4n 代入直线的解析式得4n ＝－5n 2＋2n ＋9，∴5n 2＋2n －9＝0，∴n ＝－1±465，此时直线MN 与抛物线y 1，y 2的公共点恰好为三个不同点．当x 2＝1－4n 时，把x 2＝1－4n 代入③得，(5n －4)(1－4n )＝－5n 2－2n ＋9，∵该方程判别式Δ＜0，∴该方程没有实数根．第二种情况：如解图③，当直线MN 与抛物线y 1＝－x 2＋(n －4)x ＋4n 只有一个公共点时，联立直线y ＝－x －5n 2＋2n ＋9与抛物线y 1＝－x 2＋(n －4)x ＋4n 可得，∴－x 2＋(n －3)x ＋5n 2＋2n －9＝0，此时Δ＝0，即(n －3)2＋4(5n 2＋2n －9)＝0，∴21n 2＋2n －27＝0，∴n ＝－1±214221，由第一种情况而知直线MN 与抛物线y 2＝－x 2－4nx －5n 2＋2n ＋9公共点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1－4n ，当n ＝－1±214221时，1－4n ≠0，∴x 1≠x 2，∴此时直线MN 与抛物线y 1，y 2的公共点恰好为三个不同点．图③图④第8题解图第三种情况：如解图④，当直线MN 与抛物线y 2＝－x 2－4nx －5n 2＋2n ＋9只有一个公共点时，∵x 1＝0，x 2＝1－4n ，∴n ＝14，联立直线y ＝－x －5n 2＋2n ＋9与抛物线y 1＝－x 2＋(n －4)x ＋4n ，得－x 2＋(n －3)x ＋5n 2＋2n －9＝0，Δ＝(n －3)2＋4(5n 2＋2n －9)＝21n 2＋2n －27，当n ＝14时，Δ＜0，此时直线MN 与抛物线y 1，y 2的公共点只有一个，∴n ≠14，综上所述，n 1＝－1＋465，n 2＝－1－465，n 3＝－1＋214221，n 4＝－1－214221.9.解：(1)(12，1)，(0，32)；【解法提示】当m ＝12时，抛物线的表达式为y ＝2(x －12)2＋1，∴顶点A 的坐标为(12，1)，令x ＝0，得y ＝2(0－12)2＋1＝32，∴抛物线与y 轴交点的坐标为(0，32).(2)由题意得，顶点A 的坐标为(m ，2m )，且m >0，∵OA ＝5，∴m 2＋(2m )2＝5.解得m 1＝－1(舍去)，m 2＝1，∴此抛物线所对应的二次函数的表达式为y ＝2(x －1)2＋2，∵2＞0，∴当x ≤1时，函数值y 随x 的增大而减小；(3)当m ＞0时，函数y ＝2(x －m )2＋2m 的最小值为2m ＝3，解得m ＝32；当m <0时，函数y ＝2(x －m )2＋2m 的最小值为2m 2＋2m ＝3，解得m 1＝－1－72，m 2＝－1＋72(舍去).综上所述，m 的值为32或－1－72；(4)m 的值为－3－6或11－1318或－1＋52.【解法提示】如解图①，当m <0时，由点B 到y 轴距离与点C 到x 轴距离相等，得点B 的坐标为(－2，2－2m ).得2(－2－m )2＋2m ＝2－2m ，解得m 1＝－3－6，m 2＝－3＋6(舍去)；如解图②，当m ＞0时，点B 的坐标为(2－2m ，2).∴2(2－2m －m )2＋2m ＝2，解得m 3＝11－1318，m 4＝11＋1318(舍去)；如解图③，当m ＞0，点C 在对称轴上时，点B 的坐标为(2m ，2)，∴2(2m －m )2＋2m ＝2，解得m 5＝－1－52(舍去)，m 6＝－1＋52.综上所述，m 的值为－3－6或11－1318或－1＋52.第9题解图10.解：(1)∵直线a 与y 轴交于点B ，∴B (0，－b )，∵AB ＝8，∴OA ＝OB ＝4，∴b ＝4；∴抛物线L 的解析式为y ＝－x 2＋4x ，对称轴为直线x ＝－4－2＝2，直线a 的解析式为y ＝x －4，当x ＝2时，y ＝2－4＝－2，∴L 的对称轴与a 的交点坐标为(2，－2)；(2)∵抛物线L 的解析式为y ＝－x 2＋bx ，∴点C 的坐标为(b 2，b 24).∵点C 在l 下方，∴点C 与l 的距离为b －b 24＝－14(b －2)2＋1≤1，∴点C 与l 距离的最大值为1；(3)由题意可得，y 1＝b ，y 2＝x 0－b ，y 3＝－x 20＋bx 0，∵y 3是y 1，y 2的平均数，∴y 3＝y 1＋y 22，即－x 20＋bx 0＝x 02，化简得x 0(2x 0－2b ＋1)＝0，解得x 0＝0(舍去)或x 0＝b －12，对于L ，当y ＝0时，0＝－x 2＋bx ，即0＝－x (x －b ).解得x 1＝0，x 2＝b ，∵b ＞0，∴D 点坐标为(b ，0)，∴点(x 0，0)与点D 间的距离为b －(b －12)＝12；(4)b ＝2019时，“美点”的个数为4040；b ＝2019.5时，“美点”的个数为1010.【解法提示】当b ＝2019时，直线a 的解析式为y ＝x －2019，抛物线L 的解析式为y ＝－x 2＋2019x ＝x －2019＝－x 2＋2019x ＝－1＝－2020＝2019＝0，∴抛物线L 和直线a 的交点坐标为(－1，－2020)，(2019，0)，∴美点的个数为2021＋2019＝4040个；当b ＝2019.5时，直线a 的解析式为y ＝x －2019.5，抛物线L 的解析式为y ＝－x 2＋2019.5x ，联立＝x －2019.5＝－x 2＋2019.5x ＝－1＝－2020.5＝2019.5＝0，∴抛物线L 和直线a 的交点坐标为(－1，－2020.5)，(2019.5，0)，∴美点的个数为0＋1010＝1010个．。
黑龙江省哈尔滨市南岗区“FF联盟”市级名校2024届中考联考数学试题含解析
黑龙江省哈尔滨市南岗区“FF 联盟”市级名校2024届中考联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，BC ∥DE ，若∠A=35°，∠E=60°，则∠C 等于（ ）A ．60°B ．35°C ．25°D ．20°2．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，CDB 30∠=，CD 23=，则阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．πC ．π3D ．2π 33．在3，0，－2，－ 四个数中，最小的数是（ ） A ．3B ．0C ．－2D ．－4．四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（ ） A ．﹣1 B ．2 C ．0 D ．﹣35．若一次函数y ＝（2m ﹣3）x ﹣1+m 的图象不经过第三象限，则m 的取值范图是（ ） A ．1＜m ＜32B ．1≤m ＜32C ．1＜m ≤32D ．1≤m ≤326．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A ．0.7×10﹣8B ．7×10﹣8C ．7×10﹣9D ．7×10﹣107．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（）A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．19分钟8．如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定10．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=1．若D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t）三点的“矩面积”为18，则t的值为（）A．﹣3或7 B．﹣4或6 C．﹣4或7 D．﹣3或6二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．将函数y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为_____．12．如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=28°，则∠C的度数为____．13．为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，所列方程组正确的是（）A．783230x yx y+=⎧⎨+=⎩B．782330x yx y+=⎧⎨+=⎩C．302378x yx y+=⎧⎨+=⎩D．303278x yx y+=⎧⎨+=⎩14．在△ABC中，点D在边BC上，BD=2CD，AB a=，AC b=，那么AD= ．15．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的顶点C1的坐标是（﹣12，0），∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2018B2018C2018D2018的顶点D2018纵坐标是_____．16．近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点.为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班的学生成绩统计如下：成绩（分）60 70 80 90 100人数 4 8 12 11 5则该办学生成绩的众数和中位数分别是（）A．70分，80分B．80分，80分C．90分，80分D．80分，90分三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1:，AB ＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）18．（8分）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．19．（8分）解方程：1322xx x+= --.20．（8分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆．如图所示，已知：⊙I是△ABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，AD⊥IC于点D．（1）试探究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论．（2）设AB=AC=5，BC=6，如果△DIE和△AEF的面积之比等于m，DEnEF=，试作出分别以mn,nm为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程．21．（8分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋髙楼顶部 B 的仰角为30°，看这栋高楼底部 C 的俯角为60°，热气球A 与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼BC 的高度．22．（10分）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK+KN最小，并求出点K的坐标；（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（12分）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）24．（本题满分8分）如图，四边形ABCD中，,E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解题分析】先根据平行线的性质得出∠CBE=∠E=60°，再根据三角形的外角性质求出∠C的度数即可．【题目详解】∵BC∥DE，∴∠CBE=∠E=60°，∵∠A=35°，∠C+∠A=∠CBE，∴∠C=∠CBE﹣∠C=60°﹣35°=25°，故选C．【题目点拨】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键.2、D【解题分析】分析：连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．详解：连接OD,∵CD⊥AB，∴13,2CE DE CD === (垂径定理)， 故OCEODESS，=即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积， 又∵30CDB ∠=︒，∴60COB ∠= (圆周角定理)， ∴OC =2，故S 扇形OBD =260π22π3603⨯=，即阴影部分的面积为2π3. 故选D.点睛：考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键. 3、C 【解题分析】根据比较实数大小的方法进行比较即可．根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解． 【题目详解】因为正数大于负数,两个负数比较大小,绝对值较大的数反而较小, 所以,所以最小的数是, 故选C. 【题目点拨】此题主要考查了实数的大小的比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小． 4、D 【解题分析】解：∵－1＜－1＜0＜2，∴最小的是－1．故选D ．5、B【解题分析】根据一次函数的性质，根据不等式组即可解决问题；【题目详解】∵一次函数y=（2m-3）x-1+m的图象不经过第三象限，∴230 10 mm＜-⎧⎨-+≥⎩，解得1≤m＜32．故选：B．【题目点拨】本题考查一次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．6、C【解题分析】本题根据科学记数法进行计算.【题目详解】因为科学记数法的标准形式为a×10n(1≤|a|≤10且n为整数),因此0.000000007用科学记数法法可表示为7×910﹣，故选C.【题目点拨】本题主要考察了科学记数法，熟练掌握科学记数法是本题解题的关键.7、D【解题分析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解.【题目详解】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）,10.8+0.3x=16.5+0.3y,0.3（x-y）=5.7,x-y=19,故答案为D.本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键.8、C【解题分析】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴12 AC ADAB AC==，∴2ACDABCS ADS AC⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2 112ABCS⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△ABC=4，∴S△BCD= S△ABC- S△ACD=4-1=1．故选C考点：相似三角形的判定与性质.9、B【解题分析】试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.考点：一元二次方程根的判别式．10、C【解题分析】由题可知“水平底”a的长度为3，则由“矩面积”为18可知“铅垂高”h=6，再分＞2或t＜1两种情况进行求解即可. 【题目详解】解：由题可知a=3，则h=18÷3=6，则可知t＞2或t＜1.当t＞2时，t-1=6，解得t=7；当t＜1时，2-t=6，解得t=-4.综上，t=-4或7.故选择C.【题目点拨】本题考查了平面直角坐标系的内容，理解题意是解题关键.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、y=3x-1∵y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1﹣2，即y=3x﹣1．故答案为y=3x﹣1．12、22°【解题分析】由AE∥BD，根据平行线的性质求得∠CBD的度数，再由对顶角相等求得∠CDB的度数，继而利用三角形的内角和等于180°求得∠C的度数．【题目详解】解：∵AE∥BD，∠1=130°，∠2=28°，∴∠CBD=∠1=130°，∠CDB=∠2=28°，∴∠C=180°﹣∠CBD﹣∠CDB=180°﹣130°﹣28°=22°．故答案为22°【题目点拨】本题考查了平行线的性质，对顶角相等及三角形内角和定理．熟练运用相关知识是解决问题的关键．13、A【解题分析】该班男生有x人，女生有y人．根据题意得：30 3278 x yx y+=⎧⎨+=⎩，故选D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．14、12 33 a b+【解题分析】首先利用平行四边形法则，求得BC的值，再由BD=2CD，求得BD的值，即可求得AD的值．【题目详解】∵AB a=，AC b=，∴BC=AC-AB=b-a，∵BD=2CD，∴BD=2BC=2()b a-，∴AD=AB+BD=2()3a b a+-=1233a b+．故答案为1233a b+．15、12×32【解题分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案. 【题目详解】解：∵∠B1C1O=60°，C1O=12，∴B1C1=1，∠D1C1E1=30°，∵sin∠D1C1E1=11111 2D ED C=，∴D1E1=12，∵B1C1∥B2C2∥B3C3∥…∴60°=∠B1C1O=∠B2C2O=∠B3C3O=…∴B2C2=2222213 23B E sin BC E ==∠，B3C3=2 3333133233B Esin B C O==∠.故正方形AnBnCnDn的边长=3n-1．∴B2018C2018=（32．∴D2018E2018=12×（32，∴D的纵坐标为12×（33）2，故答案为12×（33）2.【题目点拨】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键16、B．【解题分析】试题分析：众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中80出现12次，出现的次数最多，故这组数据的众数为80分；中位数是一组数据从小到大（或从大到小）排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）.因此这组40个按大小排序的数据中，中位数是按从小到大排列后第20，21个数的平均数，而第20，21个数都在80分组，故这组数据的中位数为80分.故选B．考点：1.众数；2.中位数.三、解答题（共8题，共72分）17、2.7米【解题分析】解：作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G在Rt△ADE中∵tan∠ADE=,∴DE="AE" ·tan∠ADE=15∵山坡AB的坡度i=1：，AB=10∴BG=5，AG=，∴EF=BG=5，BF=AG+AE=+15∵∠CBF=45°∴CF=BF=+15∴CD=CF+EF —DE=20—10≈20—10×1.732=2.68≈2.7 答：这块宣传牌CD 的高度为2.7米．18、（1）ab ﹣4x 1（13【解题分析】（1）边长为x 的正方形面积为x 1，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．（1）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x 的值即可．【题目详解】解：（1）ab ﹣4x 1．（1）依题意有：22ab 4x 4x -=，将a=6，b=4，代入上式，得x 1=2．解得x 13，x 1=3． 319、52【解题分析】分析：此题应先将原分式方程两边同时乘以最简公分母,则原分式方程可化为整式方程,解出即可.详解：去分母，得()132x x -=-．去括号，得136x x -=-．移项，得 361x x -=-．合并同类项，得 25x =．系数化为1，得52x =． 经检验，原方程的解为52x =． 点睛：本题主要考查分式方程的解法.注意:解分式方程必须检验.20、 (1) D 、E 、F 三点是同在一条直线上．(2) 6x 2﹣13x+6=1．【解题分析】（1）利用切线长定理及梅氏定理即可求证；（2）利用相似和韦达定理即可求解.解：（1）结论：D 、E 、F 三点是同在一条直线上．证明：分别延长AD 、BC 交于点K ，由旁切圆的定义及题中已知条件得：AD =DK ，AC =CK ，再由切线长定理得：AC +CE =AF ，BE =BF ，∴KE =AF ．∴1KD AF BE AD BF EK⨯⨯=， 由梅涅劳斯定理的逆定理可证，D 、E 、F 三点共线，即D 、E 、F 三点共线．（2）∵AB =AC =5，BC =6，∴A 、E 、I 三点共线，CE =BE =3，AE =4，连接IF ，则△ABE ∽△AIF ，△ADI ∽△CEI ，A 、F 、I 、D 四点共圆．设⊙I 的半径为r ，则：34,68r r ==， ∴310,6AD AI ID ==，即25AD =45ID =， ∴由△AEF ∽△DEI 得：2455455512(),25,,5848225DE IE m DE EF AE EF ======= ∴56n =． ∴1361m n n m m n n m⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， 因此，由韦达定理可知：分别以n m 、m n 为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程是6x 2﹣13x +6=1． 点睛：本是一道关于圆的综合题.正确分析图形并应用图形的性质是解题的关键.21、这栋高楼的高度是1603【解题分析】过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，在直角△ABD 与直角△ACD 中，根据三角函数的定义求得BD 和CD ，再根据BC=BD+CD 即可求解．【题目详解】过点A 作AD ⊥BC 于点D,依题意得，30BAD ∠=，60CAD ∠=，AD=120，在Rt △ABD 中tan BD BAD AD∠=， ∴31203BD == 在Rt △ADC 中tan DC CAD AD∠=， ∴12031203DC == ∴1603BC BD DC =+=， 答：这栋高楼的高度是1603.【题目点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，难度适中．对于一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．22、（1）y=﹣2142x x ++；（1）点K 的坐标为（817，0）；（2）点P 的坐标为：（51）或（151）或（32）或（132）．【解题分析】试题分析：（1）把A 、C 两点坐标代入抛物线解析式可求得a 、c 的值，可求得抛物线解析；（1）可求得点C 关于x 轴的对称点C′的坐标，连接C′N 交x 轴于点K ，再求得直线C′K 的解析式，可求得K 点坐标；（2）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，设Q （m ，0），可表示出AB 、BQ ，再证明△BQE ≌△BAC ，可表示出EG ，可得出△CQE 关于m 的解析式，再根据二次函数的性质可求得Q 点的坐标；（4）分DO=DF、FO=FD和OD=OF三种情况，分别根据等腰三角形的性质求得F点的坐标，进一步求得P点坐标即可．试题解析：（1）∵抛物线经过点C（0，4），A（4，0），∴416840ca a=⎧⎨-+=⎩，解得124ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=﹣12x1+x+4；（1）由（1）可求得抛物线顶点为N（1，92），如图1，作点C关于x轴的对称点C′（0，﹣4），连接C′N交x轴于点K，则K点即为所求，设直线C′N的解析式为y=kx+b，把C′、N点坐标代入可得924k bb⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得1724kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线C′N的解析式为y=172x-4 ，令y=0，解得x=817，∴点K的坐标为（817，0）；（2）设点Q（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图1，由﹣12 x 1+x+4=0，得x 1=﹣1，x 1=4， ∴点B 的坐标为（﹣1，0），AB=6，BQ=m+1，又∵QE ∥AC ，∴△BQE ≌△BAC ，∴EG BQ CO BA = ，即246EG m += ，解得EG=243m + ； ∴S △CQE =S △CBQ ﹣S △EBQ =12（CO-EG ）·BQ=12（m+1）（4-243m +） =2128-333m m ++ =-13（m-1）1+2 ． 又∵﹣1≤m≤4，∴当m=1时，S △CQE 有最大值2，此时Q （1，0）；（4）存在．在△ODF 中，（ⅰ）若DO=DF ，∵A （4，0），D （1，0），∴AD=OD=DF=1．又在Rt △AOC 中，OA=OC=4，∴∠OAC=45°．∴∠DFA=∠OAC=45°．∴∠ADF=90°．此时，点F 的坐标为（1，1）．由﹣12x 1+x+4=1，得x 1=1+5 ，x 1=1﹣5． 此时，点P 的坐标为：P 1（1+5，1）或P 1（1﹣5，1）；（ⅱ）若FO=FD ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ．由等腰三角形的性质得：OM=12OD=1， ∴AM=2． ∴在等腰直角△AMF 中，MF=AM=2．∴F （1，2）．由﹣12x1+x+4=2，得x1=1+3，x1=1﹣3．此时，点P的坐标为：P2（1+3，2）或P4（1﹣3，2）；（ⅲ）若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°．∴AC=42．∴点O到AC的距离为12．而OF=OD=1＜12，与OF≥12矛盾．∴在AC上不存在点使得OF=OD=1．此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．所求点P的坐标为：（1+5，1）或（1﹣5，1）或（1+3，2）或（1﹣3，2）．点睛：本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等，能正确地利用数形结合思想、分类讨论思想等进行解题是关键.23、李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A【解题分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ADC中，由得tanC=∴∠C=30°∴AD=AC=×240=120(米)在Rt△ABD中，∠B=45°∴AB＝AD＝120（米）120÷（240÷24）＝120÷10＝12（米/分钟）答：李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A24、（1）见解析；（2）6或【解题分析】试题分析：（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积．试题解析：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°∴AF∥BC∴∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE∵E是边CD的中点∴CE=DE∴△BCE≌△FDE（AAS）∴BE=EF∴四边形BDFC是平行四边形（2）若△BCD是等腰三角形①若BD=DC在Rt△ABD中，AB=∴四边形BDFC的面积为S=×3=6；②若BD=DC过D作BC的垂线，则垂足为BC得中点，不可能；③若BC=DC过D作DG⊥BC,垂足为G在Rt△CDG中，DG=∴四边形BDFC的面积为S=．考点：三角形全等，平行四边形的判定，勾股定理，四边形的面积。
黑龙江省龙东地区2024-2025学年上学期九年级数学期中联考试卷
黑龙江省龙东地区2024-2025学年上学期九年级数学期中联考试卷一、单选题1．下列方程中是一元二次方程的是()A ．210x +=B ．21y x +=C ．11x x+=D ．210x -=2．已知函数y=27(3)m m x --是二次函数，则m 的值为（）A ．﹣3B ．±3C ．3D ．3．下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．若关于x 的一元二次方程224x m +=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．2m <B ．2m ≤C ．0m ≥D ．m <05．如图，五角星围绕中心O 旋转，旋转一定角度后不能与自身重合的是（）A ．36︒B ．72︒C ．144︒D ．216︒6．下列抛物线中，与抛物线224y x x =-+具有相同对称轴的是（）A ．2421y x x =++B ．24y x x =-C ．224y x x =-+D ．224y x x=-+7．电影《第二十条》讲述了检察官在面对一个分歧巨大的案件时，用自己的方式追求公平和正义的故事．一上映就获得全国人民的关注，据猫眼票房统计，公映第一天票房约1.95亿元，三天后累计票房收入约4.68亿元，把这两天的平均增长率记作x ，则方程可以列为（）A ．()1.951 4.68x +=B ．()21.951 4.68x +=C ．()21.95 1.951 4.68x ++=D ．()()21.95 1.951 1.951 4.68x x ++++=8．在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 的坐标为()6,0，将ABO 绕着点B 顺时针旋转60°，得到DBC △，则点C 的坐标是（）A ．()B ．(C ．()6,3D ．()3,610．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是直线=1，有以下结论：①0abc >；②24ac b <；③20a b +=；④方程250++-=ax bx c 有两个不相等的实数根．其中正确的结论的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．若点(),5A m 与点()2,B n -关于原点对称，则2m n +的值为．12．若点()()()1232,,3,,1,A y B y C y --三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（用“<”连接）．13．如图，ABCO 与A B C O '''Y 关于点O 成中心对称，BAO ∠的平分线交BC 于点D ，若3BD =，2CD =，则A B C O '''Y 的周长为．14．二次函数234y x x =--+的最大值是．15．2420x x --=的两根分别为m 、n ，则11m n+=．16．如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,12A -，()1,3B ，则不等式20ax bx c --≥的解集是．17．某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，经市场预测，定价为50元时，可销售200个，定价每增加1元，销售量将减少10个，如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，该小家电定价是元．18．如图，正方形ABCD 边长为2，E 为CD 的中点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°得△ABF ，连接EF ，则EF 的长等于．19．如图Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，点D ，E 分别是AB ，BD 的中点，将DE 绕点D 在平面内旋转，点E 的对应点为点F ，连接CF ，BF ，当C ，D ，F 三点共线时，BF 的长为．20．如图①，在 AOB 中，∠AOB ＝90º，OA ＝3，OB ＝4．将 AOB 沿x 轴依次以点A 、B 、O 为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为．三、解答题21．解方程：(1)2610y y -+=；(2)()222416x x -=-．22．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，ABC V 的顶点均在格点上，点A 的坐标是()3,1--．(1)以点O 为中心作出ABC V 的中心对称图形111A B C △，并写出点1B ，1C 的坐标；(2)以点O 为旋转中心，将ABC V 按顺时针方向旋转90°得到222A B C △，画出旋转后的222A B C △，并写出点2A ，2B 的坐标．23．如图，等腰直角ABC V 中，90ABC ∠=︒，点P 在AC 上，将ABP 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到CBQ △.(1)求PCQ ∠的度数；(2)若1PA =，PC =PB 的长.24．如图，在一面靠墙的空地上用长为28m的篱笆围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃（墙足够长，篱笆要全部用完）．(1)问AB为多少米时，矩形ABCD的面积为48平方米？(2)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积．25．如图，在 ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．(1)几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；(2)若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．26．某商场经销一种商品，每件成本为50元，经试销发现，该种商品每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x（元/件）55606570销售量y（件）70605040(1)求y（件）与x（元/件）之间的函数表达式：(2)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？⊥27．教材中有这样一道题：如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE AG 于点E，BF DE-=．∥，且交AG于点F．求证：AF BF EF小明通过证明AED BFA ≌△△解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下以下回题，请你解答．(1)若图1中的点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明你的结论．(2)将图1中的ABF △绕点A 逆时针旋转，使得AB 与AD 重合，记此时点F 的对应点为点F '，如图3所示，若正方形的边长为3，求EF '的长度．28．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于()1,0A -，()6,0B 两点，交y 轴于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)P 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接PB ，PC ，求PBC △面积的最大值，并直接写出此时点P 的坐标；(3)Q 为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q ，使BCQ △为以BC 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2024年中考数学一轮复习综合测试卷
北师大版中考数学综合复习测试卷一（考察范围：一元二次方程、特殊平行四边形、概率统计、尺规作图）时间120分钟，总分120分，姓名：一、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）1、下列方程中，属于一元二次方程的是（）2、从2.6.9三个数字中任选两个，用这两个数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的概率是（）A 、13B 、23C 、79．D 、163、关于x 的一元二次方程2−2+=0无实数根，则实数m 的取值范围是（）A 、m ＜1B 、m ≤1C 、m ≥1D 、m ＞14、下列命题中，正确的是（）A ．对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．直角三角形的斜边长等于斜边上中线长的两倍D ．若连接一个四边形四边中点所得的图形是菱形，则原四边形一定是矩形5、某口罩厂10月份的口罩产量为25万只，由于市场需求量增大，到12月份第四季度的总产量达到91万只，设该厂11,12月份的口罩产量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为（）A 、91(1+p 2=25B 、91(1−p 2=25C 、25(1+p 2=91D 、25+25（1+x ）+25(1+p 2=916、下列各组中的四条线段成比例的是（）A 、2cm,3cm,4cm,6cm B 、2cm,3cm,4cm,5cm C 、1cm,2cm,3cm,4cmD 、3cm,4cm,6cm,9cm 7、为精准扶贫，我区扶贫办帮助贫困户承包了一块矩形荒地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示。
已知矩形荒地AD=52米，AB=30米，阴影部分设计为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为1400平方米，则通道宽为（）米。
A B C D A 、1B 、2C 、40D 、1或408、如图，在边长为1的正方形中，动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B （运动任何一个点到达即停止），连接AE 、BF 交于点P ，过点P 作PM ∥CD 交BC 于点M ，PN ∥BC 交CD于点N，连接MN，在运动过程中则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④C2= P∙C；⑤线段的最小值为5−12，其中正确的结论有（）A．2个B、3个C、4个D、5个二、填空题（本题共有6小题，每题4分，共24分）9、在一张比例尺为1:20000的地图上，量得A、B两地的距离是7cm，则两地的实际距离为_________m．10、已知关于x的一元二次方程2+2B+2+=0有实数根。
重庆江南新区2024届中考联考数学试题含解析
重庆江南新区2024届中考联考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为()A．2R B．32R C．22R D．3R2．人的头发直径约为0.00007m，这个数据用科学记数法表示（）A．0.7×10﹣4B．7×10﹣5C．0.7×104D．7×1053．如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T形管道，则其俯视图正确的是（）A．B．C．D．4．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．25．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ6．如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm，将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则△EBF的周长是（）cm．A．7 B．11 C．13 D．167．如图，在△ABC中，EF∥BC，AE1EB2，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．138．如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（）A．B．C．D．9．下列图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．10．为了纪念物理学家费米，物理学界以费米（飞米）作为长度单位．已知1飞米等于0.000000000000001米，把0.000000000000001这个数用科学记数法表示为（）A．1×10﹣15B．0.1×10﹣14C．0.01×10﹣13D．0.01×10﹣1211．一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（）A．3 B．4 C．5 D．612．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．1(1)282x x-=B．1(1)282x x+=C．(1)28x x-=D．(1)28x x+=二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF=__．14．如果23ab=，那么b aa b-+=_____．15．若反比例函数2kyx-=的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是__.16．如图，点A是直线y=﹣3x与反比例函数y=kx的图象在第二象限内的交点，OA=4，则k的值为_____．17．按照神舟号飞船环境控制与生命保障分系统的设计指标，“神舟”五号飞船返回舱的温度为21℃±4℃.该返回舱的最高温度为________℃．18．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=1．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．20．（6分）如图,△ABC,△CDE均是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点E在AB上,求证:△CDA≌△CEB．21．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF、DF（1）求证：BF是⊙A的切线．（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．22．（8分）某汽车制造公司计划生产A、B两种新型汽车共40辆投放到市场销售．已知A型汽车每辆成本34万元，售价39万元；B型汽车每辆成本42万元，售价50万元．若该公司对此项计划的投资不低于1536万元，不高于1552万元．请解答下列问题：（1）该公司有哪几种生产方案？（2）该公司按照哪种方案生产汽车，才能在这批汽车全部售出后，所获利润最大，最大利润是多少？（3）在（2）的情况下，公司决定拿出利润的2.5％全部用于生产甲乙两种钢板（两种都生产），甲钢板每吨5000元，乙钢板每吨6000元，共有多少种生产方案？（直接写出答案）23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点．(1)已知点A的坐标为(﹣3，1)，①在点R(0，4)，S(2，2)，T(2，﹣3)中，为点A的同族点的是；②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为；(2)直线l：y=x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，①M为线段CD上一点，若在直线x=n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；②M为直线l上的一个动点，若以(m，0)为圆心，2为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．24．（10分）如图，直线y=12x+2与双曲线y=kx相交于点A（m，3），与x轴交于点C．求双曲线的解析式；点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．25．（10分）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元求甲、乙型号手机每部进价为多少元？该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元，而甲型号手机售价不变，要使(2)中所有方案获利相同，求m的值26．（12分）阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题：已知：直线l和l外一点P．求作：过点P的直线m，使得m∥l．小东的作法如下：作法：如图2，（1）在直线l上任取点A，连接PA；（2）以点A为圓心，适当长为半径作弧，分别交线段PA于点B，直线l于点C；（3）以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ，交线段PA于点D；（4）以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线m．老师说：“小东的作法是正确的．”请回答：小东的作图依据是________．27．（12分）截至2018年5月4日，中欧班列（郑州）去回程开行共计1191班，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在河南采购一批特色商品，经调查，用1600元采购A型商品的件数是用1000元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价少20元，已知A型商品的售价为160元，B型商品的售价为240元，已知该客商购进甲乙两种商品共200件，设其中甲种商品购进x件，该客商售完这200件商品的总利润为y元（1）求A、B型商品的进价；（2）该客商计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）在（2）的基础上，实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若客商保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该客商获得最大利润的进货方案．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解题分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得3【题目详解】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴3R，故选D.【题目点拨】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键.2、B【解题分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【题目详解】解：0.00007m，这个数据用科学记数法表示7×10﹣1．故选：B．【题目点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3、B【解题分析】试题分析：三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图的总称．从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状．故选B考点：三视图4、D【解题分析】解不等式得到x≥12m+3，再列出关于m 的不等式求解. 【题目详解】 23m x -≤﹣1， m ﹣1x≤﹣6，﹣1x≤﹣m ﹣6， x≥12m+3， ∵关于x 的一元一次不等式23m x -≤﹣1的解集为x≥4， ∴12m+3=4，解得m=1． 故选D ．考点：不等式的解集5、D【解题分析】【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．【题目详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，故选D ．【题目点拨】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．6、C【解题分析】直接利用平移的性质得出EF=DC=4cm ，进而得出BE=EF=4cm ，进而求出答案．【题目详解】∵将线段DC 沿着CB 的方向平移7cm 得到线段EF ，∴EF=DC=4cm ，FC=7cm ，∵AB=AC，BC=12cm，∴∠B=∠C，BF=5cm，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF=4cm，∴△EBF的周长为：4+4+5=13（cm）．故选C．【题目点拨】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出BE的长是解题关键．7、A【解题分析】由在△ABC中，EF∥BC，即可判定△AEF∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【题目详解】∵AE1 EB2=，∴AE AE11==AB AE+EB1+23=．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∴2AEFABCS11=S39∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴1S△AEF=S△ABC．又∵S四边形BCFE=8，∴1（S△ABC﹣8）=S△ABC，解得：S△ABC=1．故选A．8、A【解题分析】试题分析：主视图是从正面看到的图形，只有选项A符合要求，故选A．考点：简单几何体的三视图．9、B【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答．【题目详解】A ．不是轴对称图形，是中心对称图形；B ．是轴对称图形，是中心对称图形；C ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B ．【题目点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10、A【解题分析】根据科学记数法的表示方法解答.【题目详解】解：把0.000?000?000?000?001这个数用科学记数法表示为15110-⨯．故选：A ．【题目点拨】此题重点考查学生对科学记数法的应用，熟练掌握小于0的数用科学记数法表示法是解题的关键.11、B【解题分析】n 边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n ，就得到关于边数的方程，从而求出边数,再求从一点引对角线的条数.【题目详解】设这个正多边形的边数是n ，则（n-2）•180°=900°，解得：n=1．则这个正多边形是正七边形．所以，从一点引对角线的条数是：1-3=4.故选B【题目点拨】本题考核知识点：多边形的内角和.解题关键点：熟记多边形内角和公式.12、A【解题分析】根据应用题的题目条件建立方程即可. 【题目详解】解：由题可得：1(1)47 2x x-=⨯即：1(1)28 2x x-=故答案是：A.【题目点拨】本题主要考察一元二次方程的应用题，正确理解题意是解题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、15°【解题分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF＝∠AOF＝30°，根据圆周角定理计算即可．【题目详解】解答：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形.∵OF⊥OC,OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°.由圆周角定理得1152BAF BOF∠=∠=，故答案为15°.14、1 5【解题分析】试题解析：2,3a b = 设a =2t ，b =3t ，321.235b a t t a b t t --∴==++ 故答案为:1.515、k>1【解题分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定1-k 的符号，即可解答．【题目详解】∵反比例函数y ＝2k x -的图象在第二、四象限， ∴1-k ＜0，∴k ＞1．故答案为：k ＞1．【题目点拨】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．16、﹣【解题分析】作AN ⊥x 轴于N ，可设A （x ），在Rt △OAN 中，由勾股定理得出方程，解方程求出x=﹣2，得出A （﹣2，，即可求出k 的值．【题目详解】解：作AN ⊥x 轴于N ，如图所示：∵点A 是直线y=与反比例函数y=k x 的图象在第二象限内的交点，∴可设A （x ）（x ＜0），在Rt △OAN 中，由勾股定理得：x 2+）2=42，解得：x=﹣2，∴A （﹣2，，代入y=k x得：k=﹣2×﹣故答案为﹣43．【题目点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的图象得交点、勾股定理、反比例函数解析式的求法；求出点A的坐标是解决问题的关键．17、17℃．【解题分析】根据返回舱的温度为21℃±4℃，可知最高温度为21℃+4℃；最低温度为21℃-4℃．【题目详解】解：返回舱的最高温度为：21+4=25℃；返回舱的最低温度为：21-4=17℃；故答案为：17℃．【题目点拨】本题考查正数和负数的意义．±4℃指的是比21℃高于4℃或低于4℃．18、36°【解题分析】由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【题目详解】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B=108°，AB=CB，∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；故答案为36°．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（2）证明见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）2秒或2秒．【解题分析】（2）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=2-4=2．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD⋅BC=AP⋅BP，就可求出t的值．【题目详解】解：（2）如图2，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠APD=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴AD AP BP BC=，∴AD⋅BC=AP⋅BP；（2）结论AD⋅BC=AP⋅BP仍成立；证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=θ，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴AD AP BP BC=，∴AD⋅BC=AP⋅BP；（3）如下图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=2，AB=6，∴AE=BE=3∴22，53∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=2-4=2，∵AD=BD，∴∠A=∠B，又∵∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B，由（2）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，又∵AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=2×2，∴t=2或t=2，∴t的值为2秒或2秒．【题目点拨】本题考查圆的综合题．20、见解析.【解题分析】试题分析：根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．试题解析：证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA与△CEB中，，∴△CDA≌△CEB．考点：全等三角形的判定；等腰直角三角形．21、（1）证明见解析；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；证明见解析；【解题分析】分析（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等，得出对应角相等即可；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．详解：（1）证明：∵EF∥AB∴∠FAB=∠EFA，∠CAB=∠E∵AE=AF∴∠EFA =∠E∴∠FAB=∠CAB∵AC=AF，AB=AB∴△ABC≌△ABF∴∠AFB=∠ACB=90°，∴BF是⊙A的切线.（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形.理由：∵EF∥AB∴∠E=∠CAB=60°∵AE=AF∴△AEF是等边三角形∴AE=EF，∵AE=AD∴EF=AD∴四边形ADFE是平行四边形∵AE=EF∴平行四边形ADFE为菱形.点睛：本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大．22、（1）共有三种方案，分别为①A型号16辆时，B型号24辆；②A型号17辆时，B型号23辆；③A型号18辆时，B 型号22辆；（2）当16x =时，272W =最大万元；（3）A 型号4辆，B 型号8辆; A 型号10辆，B 型号 3辆两种方案【解题分析】（1）设A 型号的轿车为x 辆，可根据题意列出不等式组，根据问题的实际意义推出整数值；（2）根据“利润=售价-成本”列出一次函数的解析式解答；（3）根据（2）中方案设计计算.【题目详解】（1）设生产A 型号x 辆,则B 型号（40-x ）辆1536≤34x+42(40-x)≤1552解得1618x ≤≤，x 可以取值16，17，18共有三种方案，分别为A 型号16辆时，B 型号24辆A 型号17辆时，B 型号23辆A 型号18辆时，B 型号22辆（2）设总利润W 万元则W=()5840x x +-=3320x -+30k =-<∴w 随x 的增大而减小当16x =时，272W =最大万元（3）A 型号4辆，B 型号8辆; A 型号10辆，B 型号 3辆两种方案【题目点拨】本题主要考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式组的应用，此题是典型的数学建模问题，要先将实际问题转化为不等式组解应用题.23、（1）①R ，S ;②（4-，0）或（4，0）；（2）①33n -≤≤;②m ≤1-或m ≥1．【解题分析】（1）∵点A 的坐标为(−2,1)，∴2+1=4，点R (0,4),S (2,2),T (2,−2)中，0+4=4，2+2=4，2+2=5，∴点A 的同族点的是R ，S ；故答案为R ，S ；②∵点B 在x 轴上，∴点B 的纵坐标为0，设B (x ,0)，则|x |=4，∴x =±4，∴B (−4,0)或(4,0)；故答案为(−4,0)或(4,0)；（2）①由题意，直线3y x =-与x 轴交于C （2，0），与y 轴交于D （0，3-）．点M 在线段CD 上，设其坐标为（x ，y ），则有：0x ≥，0y ≤，且3y x =-．点M 到x 轴的距离为y ，点M 到y 轴的距离为x ， 则3x y x y +=-=．∴点M 的同族点N 满足横纵坐标的绝对值之和为2．即点N 在右图中所示的正方形CDEF 上．∵点E 的坐标为（3-，0），点N 在直线xn =上， ∴33n -≤≤．②如图,设P (m ,0)为圆心, 2为半径的圆与直线y =x −2相切， 2,45PN PCN CPN ︒=∠=∠=∴PC =2，∴OP =1，观察图形可知,当m ≥1时,若以(m ,0)为圆心2为半径的圆上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，再根据对称性可知，m≤1-也满足条件，∴满足条件的m的范围：m≤1-或m≥124、（1）6yx=（2）(-6,0)或(-2,0).【解题分析】分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得m的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k 的值，可求得双曲线解析式；（2）设P（t，0），则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于t的方程，则可求得P点坐标．详解：（1）把A点坐标代入y=12x+2，可得：3=12m+2，解得：m=2，∴A（2，3）．∵A点也在双曲线上，∴k=2×3=6，∴双曲线解析式为y=6x；（2）在y=12x+2中，令y=0可求得：x=﹣4，∴C（﹣4，0）．∵点P在x轴上，∴可设P点坐标为（t，0），∴CP=|t+4|，且A（2，3），∴S△ACP=12×3|t+4|．∵△ACP的面积为3，∴12×3|t+4|=3，解得：t=﹣6或t=﹣2，∴P点坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．点睛：本题主要考查函数图象的交点，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．25、(1) 甲种型号手机每部进价为1000元，乙种型号手机每部进价为800元；(2) 共有四种方案；(3) 当m＝80时，w始终等于8000，取值与a无关【解题分析】（1）设甲种型号手机每部进价为x元，乙种型号手机每部进价为y元根据题意列方程组求出x、y的值即可；（2）设购进甲种型号手机a部，这购进乙种型号手机(20－a)部，根据题意列不等式组求出a的取值范围，根据a为整数求出a的值即可明确方案（3）利用利润=单个利润⨯数量，用a表示出利润W，当利润与a无关时，（2）中的方案利润相同，求出m值即可；【题目详解】(1) 设甲种型号手机每部进价为x 元，乙种型号手机每部进价为y 元，22800324600x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1000800x y =⎧⎨=⎩， (2) 设购进甲种型号手机a 部，这购进乙种型号手机(20－a)部，17400≤1000a ＋800(20－a)≤18000，解得7≤a≤10，∵a 为自然数，∴有a 为7、8、9、10共四种方案，(3) 甲种型号手机每部利润为1000×40%＝400，w ＝400a ＋(1280－800－m)(20－a)＝(m －80)a ＋9600－20m ，当m ＝80时，w 始终等于8000，取值与a 无关.【题目点拨】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，根据题意找出等量关系列出方程是解题关键.26、内错角相等，两直线平行【解题分析】根据内错角相等，两直线平行即可判断．【题目详解】∵∠EPA =∠CAP ，∴m ∥l （内错角相等，两直线平行）．故答案为：内错角相等，两直线平行．【题目点拨】本题考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．27、（1）80,100；（2）100件，22000元；（3）答案见解析.【解题分析】（1）先设A 型商品的进价为a 元/件，求得B 型商品的进价为（a+20）元/件，由题意得等式16001000220a a =⨯+ ，解得a ＝80，再检验a 是否符合条件，得到答案.（2）先设购机A 型商品x 件，则由题意可得到等式80x+100（200﹣x ）≤18000，解得，x≥100；再设获得的利润为w 元，由题意可得w ＝（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x ）＝﹣60x+28000，当x=100时代入w ＝﹣60x+28000，从而得答案.（3）设获得的利润为w 元，由题意可得w （a ﹣60）x+28000，分类讨论：当50＜a ＜60时，当a ＝60时，当60＜a ＜70时，各个阶段的利润，得出最大值.【题目详解】解：（1）设A 型商品的进价为a 元/件，则B 型商品的进价为（a+20）元/件，16001000220a a =⨯+ ， 解得，a ＝80，经检验，a ＝80是原分式方程的解，∴a+20＝100，答：A 、B 型商品的进价分别为80元/件、100元/件；（2）设购机A 型商品x 件，80x+100（200﹣x ）≤18000，解得，x≥100，设获得的利润为w 元，w ＝（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x ）＝﹣60x+28000，∴当x ＝100时，w 取得最大值，此时w ＝22000，答：该客商计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进100件甲商品，若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是22000元；（3）w ＝（160﹣80+a ）x+（240﹣100）（200﹣x ）＝（a ﹣60）x+28000，∵50＜a ＜70，∴当50＜a ＜60时，a ﹣60＜0，y 随x 的增大而减小，则甲100件，乙100件时利润最大；当a ＝60时，w ＝28000，此时甲乙只要是满足条件的整数即可；当60＜a ＜70时，a ﹣60＞0，y 随x 的增大而增大，则甲120件，乙80件时利润最大．【题目点拨】本题考察一次函数的应用及一次不等式的应用，属于中档题，难度不大.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中考数学综合训练题 一1.下列运算：sin30°0-2==ππ-，24.其中运算结果正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.12.顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形必定是( )3.某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图.（1）接受这次调查的家长人数为200人；（2）在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为162°；（3）表示“无所谓”的家长人数为40人；（4）随机抽查一名接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是110 . 其中正确的结论个数为( )A.4B.3C.2D.14.如图,公路AC ，BC 互相垂直,公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开,若测得AM 的长为1.2km,则M ，C 两点间的距离为( ) A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km5.已知不等式组⎩⎨⎧<>a x x 2的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为（ ） A.7＜a ≤8 B.6＜a ≤7 C.7≤a ＜8 D.7≤a ≤86.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( )B.2C.217.如图，在直角∠O 的内部有一滑动杆AB.当端点A 沿直线AO 向下滑动时，端点B 会随之自动地沿直线OB 向左滑动.如果滑动杆从图中AB 处滑动到A'B'处，那么滑动杆的中点C 所经过的路径是( )A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分8.如图,在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x =-、2y x=的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为( )A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变9.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB ，BC ，CA ，OA ，OB ，OC 组成。
为记录寻宝者的进行路线，在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x ，寻宝者与定位仪器之间的距离为y ，若寻宝者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）A ．A →O →B B ．B →A →C C ．B →O →CD ．C →B →O10.计算34200272)31()20sin 5(-+-+----=11.已知2a b ==,则2212[][1]()()b a ab b a b a b a b a b -+-++---= 12.分解因式：5x 2-10x 2=5x=_________．13.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为14.用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为15.一个容器盛满纯药液40L,第一次倒出如干后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L,则每次倒出的液体是 L. 16.如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC=35，则对角线AC 的长为17.如图,在△ABC 中,∠B=400,三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E,则∠AEC= 度。
18.如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为(10,8），则点E 的坐标为19.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.20.已知A 点的坐标为（－1,3），将A 点绕坐标原点旋转90°，则点A 的对应点的坐标为21.解不等式组4(1)710853x x x x +≤+⎧⎪-⎨-<⎪⎩，并写出它的所有非负整数解．．．．．。
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx b k =+≠与双曲线8y x =的一个交点为(2,)P m ，与x 轴、y 轴分别交于点A ，B.(1)求m 的值；(2)若PA=2AB,求k 的值。
23.如图,AB 是O 的直径，过点B 作O 的切线BM ，弦CD//BM,交AB 于点F,且DA=DC,链接AC ，AD ，延长AD 交BM 地点E.(1)求证：△ACD 是等边三角形;(2)链接OE ，若DE=2,求OE 的长.24.有这样一个问题：探究函数2112y x x=+的图象与性质。
小东根据学习函数的经验，对函数2112y x x=+的图象与性质进行了探究。
下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数2112y x x=+的自变量x 的取值范围是___________； (2)下表是y 与x 的几组对应值。
求m 的值；(3)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，格局描出的点，画出该函数的图象；(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是3(1,)2，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________。
25.如图，已知B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE 都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F.求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）AG AF GC FE =.26.如图,以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，进过A 、B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，AC=FC.（1）求证：AC是☉0的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长.27.如图，已知以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3,∠EAC=600,求AD的长．28.一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件.为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价4元，每周要少卖出10件.请确定该T恤涨价后每周的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？29.某商场A、B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元，（1）设A、B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a,b的值；（2）B商品的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若按销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件，①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式？②求销售单价为多少元是，B商品的销售利润最大，最大利润是多少？30.某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元。
（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？31.在平面直角坐标系xOy中，过点(0，2)且平行于x轴的直线，与直线y=x-1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A,B.(1)求点A，B的坐标；(2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线C2:y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围。
32.如图3,图4，分别是吊车在吊一物品时的实物图与示意图,已知吊车底盘CD的高度为2米,支架BC的长为4米，且与地面成30°角,吊绳AB与支架BC的夹角为80°,吊臂AC与地面成70°角,求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）？（参考数据：sin10°=cos80°=0.17,cos10°=sin80°=0.98,sin20°=cos70°=0.34,tan70°=2.75,sin70°=0.94）33.在正方形ABCD中,BD是一条对角线,点P在射线CD上（与点C、D不重合）,连接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于H,连接AH，PH。
(1)若点P 在线段CD 上,如图1.①依题意补全图1；②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系并加以证明；(2)若点P 在线段CD 的延长线上，且∠AHQ=1520，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路。
（可以．．不写出计算结果．．．．．．．）34.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴相交于A(-1，0)，（3,0）两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M',（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM'与此抛物线的另一个交点为C ，求△CAB 的面积；（3）是否存在过A 、B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q ，是四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。
35.如图,曲线1y 抛物线的一部分,表达式:2123)(3)y x x x =--≤曲线2y 与曲线1y 关于直线x=3对称. （1）求A 、B 、C 三点的坐标和曲线y 2的表达式；（2）过点D作CD//x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标. （3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。