经济学第四章

抽样估计（也称抽样调查）是按随机原则从总体中抽取部分单位进行调查，并以调查结果对总体的数量特征作出具有一定可靠程度的估计与推断，从而认识总体的一种统计方法。

抽样调查与其他非全面调查相比有以下特点：(1) 抽样调查是以概率论和数量统计为理论基础的，所以其推断结果是有一定可靠程度的，其抽样误差也是可以计算和控制的。

(2) 抽样调查是按随机原则从总体中抽取调查单位的，所谓抽样的随机原则是指总体中每个单位都具有同等可能性被抽中，哪个单位被抽中或不被抽中纯属偶然，既不受调查者主观愿望的影响，也不受被调查者合作态度的干扰。

(3) 抽样调查的目的在于用部分单位的调查结果估计和推断总体有关数量特征。

如调查一批产品中的一小部分就可以推断这批产品的质量；对某地区百分之几的家庭的收支状况进行调查就可以推断该地区所有居民家庭的生活水平。

全及总体：统计总体，是由被研究事物的全部单位构成。

抽样总体：是从总体中随机抽取出来，用以推算总体的那部分单位构成的集合体。

相应地，把构成总体的各个个体称为总体单位，构成样本的各个个体称为样本单位。

全及指标：根据全部总体单位的标志值计算的，用来说明总体数量特征的综合指标，在抽样推断中称为总体指标或总体参数。

样本指标：又称估计量或统计量，是根据样本单位的标志值计算的，用以估计和推断相应总体指标的综合指标。

抽样方法分为重复抽样与不重复抽样两种。

1、重复抽样是指从总体的N个单位中抽取一个单位数为n的样本，每次抽出一个单位，登记其特征后，再放回总体中参加下次抽选，这样连续抽n次即得到所需样本。

2、不重复抽样是指从总体中随机抽出一个单位，登记其特征后不再放回总体中，下一个样本单位再从余下的总体单位中抽取，这样连续抽取n次即得到一个单位数为n的样本。

抽样组织方式简单随机抽样：又称纯随机抽样。

它是对总体单位逐一编号，然后按随机原则直接从总体中抽出若干单位构成样本分层抽样：又称分类抽样，它的特点是先对总体各单位按一定标志加以分类（层），然后再从各类（层）中按随机的原则抽取样本，由各类（层）内的样本组成一个总的样本。

等距抽样：又称机械抽样或系统抽样。

它是对研究的总体按一定的顺序排列，每隔一定的间隔抽取一个或若干个单位，并把这些抽取的单位组成样本进行观察的一种抽样方法。

整群抽样：又称集团抽样，它是将总体划分为若干部分，然后以群作为抽样单位，从总体中抽取若干个群作为样本，而对中选群内的所有单位进行全面调查的抽样方式。

例如，若欲调查某个大学的学生身高，组成总体的基本单位是每个学生，但抽样单位可以是由学生组成的班或系等，对中选的班级或系的全部学生作为样本进行观察。

多阶段抽样：前面介绍的几种抽样调查方法都属于单阶段抽样，所谓单阶段抽样是指经过一次抽选就可以直接确定样本单位的抽选方法。

在调查范围小，调查单位比较集中是通常采用这种方法。

在社会经济调查中，通常调查单位很多，分布面很广，直接抽选样本单位很困难，这时需要采用多阶段抽样。

多阶段抽样，顾名思义就是在抽样调查抽选样本时并不是一次直接从总体中抽取，而是分两个及两个以上的阶段来进行。

抽样误差的概念统计调查的误差，指调查所得结果与实际数值之间的差异。

登记性误差，即在调查过程中由于主、客观原因引起的登记、汇总或计算方面的差错而造成的误差。

代表性误差，由于样本结构与总体结构不同，样本不能完全代表总体而产生的样本指标与总体指标之间的误差。

分为系统误差和随机误差。

系统误差：没有严格按随机原则抽样而使样本指标数值系统地高于或低于相应总体指标数值。

随机误差：又称偶然性误差，按随机原则抽样而产生的误差。

抽样平均误差点估计：又称定值估计，它是直接以实际样本指标数值估计总体指标数值，即总体平均数的点估计值就是样本平均数，总体成数的估计值就是样本成数。

但是，并不是所有的统计量都可以作为合适的估计量，为此要研究选择估计量的标准。

作为优良的估计量应符合以下三个标准：（1）无偏性。

是指样本指标的均值应等于被估计的总体指标。

即样本统计量作为总体参数的估计量要求样本统计量的平均数等于被估计的总体参数。

（2）一致性。

以样本统计量估计总体参数，要求随着样本的单位数n 的增大，样本估计值也充分靠近总体真实值。

可以证明，以样本平均数估计总体平均数，也符合一致性的要求。

（3）有效性。

作为优良估计量的样本指标，其离散程度比较小。

即以样本统计量估计总体参数，要求作为优良估计量的方差应比其他估计量的方差小。

总体平均数的点估计值是样本平均数，总体成数的点估计是样本成数，总体方差的点估计值是样本方差。

区间估计：根据样本指标和抽样极限误差的一定概率保证度，推断总体指标的可能范围。

由于样本是总体的一部分，总体指标的范围是在样本指标为中心、抽样极限误差为波动范围的区间内。

总体均值及其相应总量指标的区间估计在一定概率下，样本会落入以 为中心，以为半径的对称区间： 抽样调查的目的是用样本推断未知的总体指标，所以上式变换为： 给定 时，总体平均数的置信区间为：X x ∆{})(x t F X Xxx =∆+≤≤∆-)(t F xx X ∆+≤≤∆-x x总体标志总量的区间范围：根据比率的抽样极限误差定义，在一定概率下：则在给定概率 ，比率P 的区间估计为：与总体比率相应的总量指标的置信区间： 影响抽样数目的因素 抽样数目的确定：重复抽样，抽样极限误差为： 则抽样数目为：不重复抽样：分层抽样又称分类抽样，它的特点是先对总体各单位按一定标志加以分类（层），然后再从各类（层）中按随机的原则抽取样本，由各类（层）内的样本组成一个总的样本。

重复抽样：不重复抽样：等距抽样：分为无关标志排队等距抽样和有关标志排队等距抽样。

无关标志排队等距抽样：在将总体单位进行排队的时候，采用与调查项目没有关系的标志排队。

)x ()x (x x N X N N ∆+≤≤∆-pP p ∆≤-)(t F pp p P p ∆+≤≤∆-)()(p p p N NP p N ∆+≤≤∆-nt t x x 2σμ⋅==∆222xx t n∆=σ)1(tu 2x N nn t x -⋅==∆σ22222σσt N Nt n x x +∆=ni x2σμ=)1(2N n n i x -=σμ有关标志排队即按照与调查项目的数量多少有关系的标志排队。

确定样本单位方法①半距起点等距抽样（中心系统抽样）以第一个抽样距离的一半为抽样起点（r=k/2），并每隔k 个单位抽一个单位。

②对称等距抽样在第一个抽样距离内随机确定抽样起点r(l ≤r ≤k)，然后以组界[k,2k,…,(n-l)k]为对称点，两两对称地抽取样本单位。

整群抽样又称集团抽样，它是将总体划分为若干部分，然后以群作为抽样单位，从总体中抽取若干个群作为样本，而对中选群内的所有单位进行全面调查的抽样方式。

平均抽样误差：样本的群间方差：例题1．外贸公司出口一种食品，规定每包规格不低于150克，现在用重复抽样的方法抽取其中的100包进行检验，其结果如下：每包重量 包数 148—149 10 149—150 20 150—151 50 151—152 20 —100要求：（1）以99.73%的概率估计这批食品平均每包重量的范围，以便确定平均重量是否达到规格要求；（2）以同样的概率保证估计这批食品合格率范围；解：根据样本资料列表计算如下： 组中值x 产品数fxfx x - ()2x x -⋅f148.5 10 1485 1.8 32.4 149.52019901.812.8)1()1(22R r r R r R r -≈--=δδμrx x i 22)(-∑=δ150.5 50 7525 0.2 2 151.5 20 3030 1.2 28.8 - 10015030-76（1）样本平均数15030150.3100xf x f===∑∑克 样本标准差2()760.872()100x x ffσ-===∑∑克 抽样平均误差220.872111%0.0868100x n nN σμ=-=⋅-= 当3t =时30.08680.26150.30.26x x x t x μ∆==⨯=±∆=±即 150.4150.56-（克）可以以99.7%的概率保证，该批食品平均每包重量在150.4150.56-克之间，表明这批食品平均每包重量达到规格要求。

（2）样本合格率1700.7100n p n === 抽样平均误差(1)0.70.3111%0.4560.3p p p n nN μ-⨯=-=-=3t =时30.4560.1370.70.137pp pt p μ==⨯=±=±即56.3%83.7%-以99.73%的概率保证，这批食品包装的合格率在56.3%—83.7%之间。

例题2．某学校有2000名学生参加英语等级考试，为了解学生的考试情况，用不重复抽样方法抽取部分学生进行调查，所得资料如下：考试成绩（分） 60以下 60—70 70—80 80以上 学生人数（人）20204515试以95.45%的可靠性估计该学生英语等级考试成绩在70分以上学生所占比重范围。

解：6060%100p == (1)0.6(10.6)10(1)(1)0.0481002000p p p n n N μ--=-=-= 20.0480.0960.60.096pp p t p μ==⨯=±=±即50.4%69.6%在95.45%的概率保证程度下，该校学生成绩在70分以上所占毕生为50.4%~69.6%之间。

例题3．对一批成品按重复抽样方法抽选100件，其中废品4件，当概率为95.45%（2t =）时，可否认为这批产品的废品不超过6%？解：4100,4%,2100n p t ==== (1)0.04(10.04)0.0196100p p p n μ--=== 20.01960.0390.40.039pp p t p μ==⨯=±=±即0.1%7.9%故: 这批产品的废品可能会超过6%。