山西省晋中市2018届高三1月高考适应性调研考试数学(理)试题+Word版含解析

2018年1月高考适应性调研考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，.故选：A点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解，在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，的共轭复数为，虚部为故选：B3. 下列命题中正确命题的个数是（）①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；②“”是“”的必要不充分条件；③若为假命题，则，均为假命题；④若命题：，，则：，；A. B. C. D.【答案】C【解析】①正确；②由得且，“”是“”的必要不充分条件，故②正确；③若为假命题，则至少有一个为假命题，故③错误；④正确；故正确的是①②④.故选：C4. 设，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式组表示的可行域如图所示，由得在轴上的截距越大，就越小，所以当直线过点时，取得最小值，所以的最小值为.故选：B5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题目中三视图及各边长度可知，直观图如图所示，根据长度，可知底面为等腰直角三角形，先计算以等腰直角三角形（腰为）为底面，高为2的三棱柱的体积：，而缺少部分以等腰直角三角形（腰为1）为底面，高为1的三棱锥，体积为，故所求几何体体积为：.故选：D点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.6. 设函数是定义在上的奇函数，且当时，单调递增，若数列是等差数列，且，则的值（）A. 恒为正数B. 恒为负数C. 恒为D. 可正可负【答案】A【解析】根据题意，在上单调递增，且图象关于原点对称，不妨令的图象如图：等差数列中，，由对称性，得.7. 已知函数，，的零点依次为，，，若在如图所示的算法中，令，，则输出的结果是（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】根据函数图象，则，模拟执行程序算法，可得程序算法的功能是输出三个数中最大的数，根据题意可得输出结果为.故选：C8. 已知函数（），若是函数的一条对称轴，且，则所在的直线为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数（），若是函数的一条对称轴，则是函数的一个极值点，，根据题意有，又，故，结合选项，点所在的直线为.故选：A9. 已知双曲线：（，），，分别为其左、右焦点，为坐标原点，若点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，，设一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为，设关于渐近线的对称点为，与渐近线交于，则，，为的中点，又是的中点，，为直角，为直角三角形，由勾股定理得，，，，则.故选：C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为，的面积为，并向正方形中随机投掷个点，用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率为（）附表：A. B. C. D.【答案】D【解析】每个点落入中的概率为，设落入中的点的数目为，题意所求概率为故选：D11. 已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】不等式在上恒成立，令，，由图可知，或，即；又在上单调递增，故在上恒成立，，综上，·.故选：B12. 艾萨克·牛顿（1643年1月4日——1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数（）有两个零点，，数列为牛顿数列，设，已知，，的前项和为，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数有两个零点1，2，，，则由题意，，，且，，数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，则，.故选：C点睛：由已知得到a，b，c的关系，可得f（x）=ax2﹣3ax+2a，求导后代入，整理可得，两边取对数，可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求得结果．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 等差数列的前项和为，若，，则的公差为__________．【答案】4【解析】，即，，即，解得故答案为：414. 设常数，若的二项展开式中含项的系数为，则__________．【答案】-2∴的系数是，∵项的系数为-10，∴，得.考点：二项式定理.视频15. 已知长方体中，，，，点为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】三棱锥即为三棱锥，以为底面，底面以点为外心，（为线段的中点），则平面，设该三棱锥的外接球的球心为，半径为，则必在线段上，由于，，根据及勾股定理，可列，得，故表面积为.故答案为：点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．16. 已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当，时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为__________．【答案】【解析】由，可得三点共线且，由，可得，即，则为的角平分线，由角平分线的性质定理可得，以为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则，，，于是，化简得，故点是以为圆心，为半径的圆.要使得不等式对恒成立，只需对恒成立，.故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在中，角，，的对边分别为，，，.（1）求的大小；（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，结合，可求tanC =1，根据范围C∈（0，π），可求C 的值．（2）由余弦定理可得BC2=5﹣4cosD，由△ABC为等腰直角三角形，可求，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．试题解析：(1) 在中，由，，又又（2）在中，由余弦定理可得又为等腰直角三角形，，当时，四边形面积有最大值，最大值为点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 如图，已知四棱锥，平面，底面中，，，且，为的中点．（1）求证：平面平面；（2）问在棱上是否存在点，使平面，若存在，请求出二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：(1)要证平面平面，即证平面，即证：(2) 存在点使平面，在内，过做垂足为，易知为二面角的平面角，从而得到结果.试题解析：方法一:（1）证明：∵平面，平面，∴. ∵为的中点，且梯形中，，∴∵平面，平面，且∴平面.平面，∴平面⊥平面（2）存在点使平面，在内，过做垂足为由（1）平面，平面，，，平面又平面，平面知，∵平面平面∴为二面角的平面角.在中，，，，故二面角的余弦值为.方法二:∴以为原点，射线，，分别为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图，，，，，，，为的中点，∴，（1）∴，平面，平面，且∴平面.平面，∴平面⊥平面（2）存在点使平面，在内，过做垂足为由（1）平面，平面，，，平面设平面的一个法向量为，则，，取.平面是平面的一个法向量.由图形知二面角的平面角是锐角，故所以二面角余弦值为点睛：点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 某省高中男生身高统计调查数据显示：全省名男生的身高服从正态分布，现从该生某校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组：第一组，第二组，…，第六组，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求该学校高三年级男生的平均身高；（2）求这名男生中身高在以上（含）的人数；（3）从这名男生中身高在以上（含）的人中任意抽取人，该中身高排名（从高到低）在全省前名的人数记为，求的数学期望.（附：参考数据：若服从正态分布，则，，.）【答案】(1)171.5cm(2)10人（3）【解析】试题分析：（1）计算平均身高用组中值×频率，即可得到结论；（2）先理解频率分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即每组中包含个体的个数；根据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（3）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上的50人中的人数，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．试题解析：（1）由直方图可知该校高三年级男生平均身高为（2）由频率分布直方图知，后两组频率为，人数为，即这名男生身高在以上（含）的人数为人（3）∵∴，而，所以全省前名的身高在以上（含），这人中以上（含）的有人.随机变量可取，，，于是，∴．20. 已知抛物线：（）的焦点是椭圆：（）的右焦点，且两曲线有公共点（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、右顶点分别为，，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，已知直线与相较于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.【答案】(1) (2) 点在定直线上【解析】试题分析：（1）由条件易得：，从而得到椭圆的方程；（2）先由特殊位置定出，猜想点在直线上，由条件可得直线的斜率存在，设直线，联立方程，消得：有两个不等的实根，利用韦达定理转化条件即可.试题解析：（1）将代入抛物线得∴抛物线的焦点为，则椭圆中，又点在椭圆上，∴，解得，椭圆的方程为（2）方法一当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点，，则直线和直线，联立，解得，当点为椭圆的下顶点时，由对称性知：.猜想点在直线上，证明如下：由条件可得直线的斜率存在，设直线，联立方程，消得：有两个不等的实根，，设，则，则直线与直线联立两直线方程得（其中为点横坐标）将代入上述方程中可得，即，即证将代入上式可得，此式成立∴点在定直线上.方法二由条件可得直线的斜率存在，设直线联立方程，消得：有两个不等的实根，，设，则，，由，，三点共线，有：由，，三点共线，有：上两式相比得，解得∴点在定直线上．21. 已知函数，，且曲线在处的切线方程为.（1）求，的值；（2）求函数在上的最小值；（3）证明：当时，.【答案】(1) (2) （3）见解析【解析】试题分析：（1）求出f（x）的导数，计算，，求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到f（x）在[0，1]递增，从而求出f（x）的最大值；（3）只需证明x＞0时，，因为，且曲线在处的切线方程为，故可猜测：当且时，的图象恒在切线的上方．试题解析：（1）由题设得，∴，解得，．（2）由（1）知，，令函数，∴，当时，，递减；当时，，递增；∴，即∴当时，，且仅当时，故在上单调递增，∴；（3）由题要证：当时，，即证：，因为，且曲线在处的切线方程为，故可猜测：当且时，的图象恒在切线的上方．下面证明：当时，，证明：设，，则，令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，，所以，存在，使得，当时，；当，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又，∴，当且仅当时取等号．故．由（2）知，，故，∴，当且仅当时取等号．所以，．即．所以，，即成立，当时等号成立.故：当时，， 12分方法二：要证，等价于，又，可转化为证明令，，，因此当时，，单调递增；当时，，单调递减；有最大值，即恒成立，即当时，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直角坐标系中动点，参数，在以原点为极点、轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点在曲线：上.（1）求点的轨迹的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若动点的轨迹和曲线有两个公共点，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）设点P的坐标为（x，y），消去参数α，得能求出点P 的轨迹E的方程；由，，能求出曲线C的方程；（2）由已知得直线与圆相交，圆心（1，0）到直线ax﹣y+a=0，（a≠0）的距离小于半径1，由此能求出实数a的取值范围．试题解析：（1）设点的坐标为，则有消去参数，可得，为点的轨迹的方程；由曲线：，得，且，由，故曲线的方程为：；（2）曲线的方程为：，即表示过点，斜率为的直线，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆由轨迹和曲线有两个公共点，结合图形可得．23. 选修4-5：不等式选讲已知，，，函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当的最小值为时，求的值，并求的最小值.【答案】(1) 或 (2)3【解析】试题分析：（1）当a=b=c=1时，不等式即|x+1|+|x﹣1|+1＞3，化为：|x+1|+|x ﹣1|＞2．对x与±1的大小关系分类讨论即可得出．（2）．可得，再利用均值不等式的性质即可得出．试题解析：（1）或或，解得或.（2），当且仅当时取得最小值．。