高三数学高考模拟题(一)
高三数学高考模拟试题精编(一)
课标全国卷数学高考模拟试题精编（一）【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知复数z ＝2i1＋i，z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝( ) A ．1－i B ．2 C ．1＋i D ．02．(理)条件甲：⎩⎨⎧ 2＜x ＋y ＜40＜xy ＜3；条件乙：⎩⎨⎧0＜x ＜12＜y ＜3，则甲是乙的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件(文)设α，β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A．4 B．5C．6 D．74．(理)下列说法正确的是()A．函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C．命题“∃x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”D．给定命题p、q，若p∧q是真命题，则綈p是假命题(文)若cos θ2＝35，sinθ2＝－45，则角θ的终边所在的直线为()A．7x＋24y＝0 B．7x－24y＝0C．24x＋7y＝0 D．24x－7y＝05．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为()A．0.04 B．0.06C．0.2 D．0.36．已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( ) A.3116 B ．2 C.3316 D.16337．已知l ，m 是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥βB ．若l ⊥α，α∥β，m ⊂β，则l ⊥mC ．若l ⊥m ，α∥β，m ⊂β，则l ⊥αD ．若l ∥α，α⊥β，则l ∥β 8．(理)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( ) A.16 B.14 C.13 D.512(文)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－e －1 D ．－e9．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( ) A.π8 B.3π8 C.3π4 D.π2 10.如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为( ) A ．a 3B.a 32C.a 33D.a 34 11.如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.2＋1 B.3＋1 C.2＋12 D.3＋1212．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( ) A ．－12 B ．－13 C ．－14 D ．－15 答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13．向平面区域{}(x ，y )|x 2＋y 2≤1内随机投入一点，则该点落在区域⎩⎨⎧2x ＋y ≤1x ≥0y ≥0内的概率等于________．14．(理)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC→＝________.(文)已知向量p ＝(1，－2)，q ＝(x,4)，且p ∥q ，则p ·q 的值为________． 15．给出下列等式：观察各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则依次类推可得a 6＋b 6＝________.16．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1,2]，且y ∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1(x ∈R )(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC→＝9，求a 的值．18.(理)(本小题满分12分)某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来． (1)求该参赛者恰好连对一条的概率；(2)设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望． (文)(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.(1)求x和y的值；(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．19.(理)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．(文)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AB＝1，AA1＝62，∠ABC＝60°.(1)求证：AC ⊥BD 1；(2)求四面体D 1－AB 1C 的体积． 20.(本小题满分12分)如图F 1、F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e ＝32，S △DEF 2＝1－32.若点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0a ，y 0b 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于A 、B 两点，A 、B 两点的“椭点”分别为P 、Q . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)问是否存在过左焦点F 1 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．21．(理)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x －2)，a ∈R 且a ≠0. (1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； (2)当a ＞0时，求函数f (|sin x |)的最小值；(3)在(1)的条件下，若y ＝kx 与y ＝f (x )的图象存在三个交点，求k 的取值范围． (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x 与g (x )＝kx ＋b (k ，b ∈R )的图象交于P ，Q 两点，曲线y ＝f (x )在P ，Q 两点处的切线交于点A .(1)当k ＝e ，b ＝－3时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(e 为自然常数) (2)若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ee －1，1e －1，求实数k ，b 的值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点C 、F ，连接CF 并延长交AB 于点E . (1)求证：E 是AB 的中点； (2)求线段BF 的长．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4 2.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－a . (1)当a ＝5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围．课标全国卷数学高考模拟试题精编（一）参考答案1．B z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，所以z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2.2．(理)C 当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜12＜y ＜3能得到⎩⎪⎨⎪⎧ 2＜x ＋y ＜40＜xy ＜3，但当⎩⎪⎨⎪⎧2＜x ＋y ＜40＜xy ＜3时，不妨取x＝2，y ＝1满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2＜x ＋y ＜40＜xy ＜3，但⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜12＜y ＜3不满足，所以甲是乙的必要而不充分条件，选C.(文)A 依题意，由l ⊥β，l ⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l ⊂α不能推出l ⊥β.因此“l ⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，选A.3．A 第一次循环为S ＝0，S ＝0＋20＝1，k ＝1；第二次循环为S ＝1，S ＝1＋21＝3，k ＝2；第三次循环为S ＝3，S ＝3＋23＝11，k ＝3；第四次循环为S ＝11，S ＝11＋211＞100，k ＝4；第五次循环，不满足条件，输出k ＝4.选A.4．(理)D A ．函数f (x )＝1x 在其定义域上是减函数，这种说法是错误的，应该说：函数f (x )＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)内是减函数；B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件，错误。
2023届四川省南充市高三下学期高考考前数学(理)模拟训练(一)【含答案】
2023届四川省南充市高三下学期高考考前数学（理）模拟训练（一）一、单选题1．若集合，则（ ）{}10,lg 01x A x B x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣A B = A ．B ．C ．D ．[)1,1-(]0,1[)0,1()0,1【答案】D【分析】先化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.【详解】解：由题意得，{11},{01}A xx B x x =-≤<=<≤∣∣，()0,1A B ∴= 故选：D.2．（ ）sin2023cos17cos2023sin17+=A ．B ．C ．D 1212-【答案】C【分析】根据诱导公式和正弦和角公式求解即可.【详解】解：因为3605182334020=⨯++所以，，()()4s 1in 8202n 3s 3605043sin 18s i 03i 4n 3=⨯++=+=-()()4c 1os 8202s 3c 3605043cos 18c o 03o 4s 3=⨯++=+=-所以，sin2023cos17cos2023sin17+.sin43cos17cos43sin17sin60=--=-= 故选:C.3．校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门.学校为了评估后勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），评价标准如下：中位数m85m ≥8085m ≤<7080m ≤<70m <评价优秀良好合格不合格2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查后勤部门的评价是（ ）A ．优秀B ．良好C ．合格D ．不合格【答案】B【分析】根据频率分布直方图求解中位数即可得答案.【详解】解：由频率分布直方图可知，前3组的频率分别为，第4组的频率为0.1,0.1,0.20.4所以，中位数，即满足，对应的评价是良好.0.1801082.50.4m =+⨯=m 8085m ≤<故选：B.4．双曲线 ）2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>A ．B ．2y x =±y =C ．D ．y x =12y x=±【答案】B【分析】根据.==ce a b a =【详解】由题意知，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>可得，解得，==ce a 22221()3a b b a a +=+=b a =所以双曲线的渐近线方程为.C by x a =±=故选：B.5．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，则（ ）O ()3,4A --()5,12B -cos OAB ∠=A ．B ．CD ．33653365-【答案】D【分析】利用计算即得结果.cos AO ABOAB AO AB⋅∠=【详解】由题设，(3,4),(8,8)AO AB ==-所以cos AO AB OAB |AO ||AB |⋅∠== 故选：D6．一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为4，下底长为2，腰长为的等腰梯形，则该四棱台的体积为（）A ．BC ．28D ．283【答案】A4，下底长为2的正四棱台求解.因为上底长为4，下底长为2，所以该棱台的高为，1h=棱台的体积，∴(128416133V =⨯+⨯=故选：.A 7．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO 的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO ，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．()sin x x xf -=()sin cos f x x x x=-()221f x x x =-()3sin f x x x =+【答案】B【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.【详解】A ：，即在定义域上递增，不符合；()1cos 0f x x '=-≥()f x B ：，()cos (cos sin )sin f x x x x x x x '=--=在上，在上，在上，(2π,π)--()0f x '<(π,π)-()0f x '>(π,2π)()0f x '<所以在、上递减，上递增，符合；()f x (2π,π)--(π,2π)(π,π)-C ：由且定义域为，为偶函数，222211()()()()f x x x f x x x -=--=-=-{|0}x x ≠所以题图不可能在y 轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；(0,)+∞32()20f x x x +'=>()f x D ：由且定义域为R ，为奇函数，33()sin()()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-研究上性质：，故在递增，(0,)+∞2()cos 30f x x x =+>'()f x (0,)+∞所以在R 上递增，不符合；()f x 故选：B8．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch 曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．168120818271027【答案】A【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的，按照等比数列即可求得结果.23【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，13所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，23由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，n 213nn S ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭即经过4次操作之后所得图形的面积是.442161381S ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭故选：A9．将3个1和3个0随机排成一行，则3个0都不相邻的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．1202151512【答案】C【分析】先求出总数，再由插空法，得到满足题意的情况，由古典概型的公式即可得出答案.【详解】先考虑总的情况，6个位置选3个放1，有种，36C 再考虑3个0都不相邻的情况，将3个0插入3个1形成的4个空中，有种，34C 可得.3436C 1C 5P ==故选：C ．10．定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）R ()f x ()()2=f x f x -()21f x +-()20231k f k ==∑A ．B ．C ．2022D ．20232023-2022-【答案】D【分析】利用抽象函数的轴对称与中心对称性的性质，得出函数的对称轴和中心对称点及周()f x 期，利用相关性质得出具体函数值，即可得出结果.【详解】∵，∴关于对称，()()2=f x f x -()f x 1x =∵为奇函数，∴由平移可得关于对称，且，()21f x +-()f x ()2,1()21f =，即(2)1(2)1f x f x ∴+-=--++(2)(2)2f x f x ++-=()()2=f x f x -(2)()2f x f x ∴++=(4)(2)2f x f x ∴+++=上两式比较可得()(4)f x f x =+∴函数是以4为周期的周期函数.，，()f x ()()()13222f f f +==()()421f f ==∴， ∴.()()()()12344f f f f +++=()()2023120244420234k f k f ==⨯-=∑故选：D.11．如图，在梯形ABCD 中，，，，将△ACD 沿AC 边折起，AB CD ∥4AB =2BC CD DA ===使得点D 翻折到点P ，若三棱锥P -ABC 的外接球表面积为，则（ ）20πPB=A ．8B ．4C ．D ．2【答案】C【分析】先找出两个三角形外接圆的圆心及外接球的球心，通过证明，可得12OO O M=12O M OO =四边形为平行四边形，进而证得BC ⊥面APC ，通过勾股定理可求得PB 的值.12OO MO【详解】如图所示，由题意知，，60ABC ︒∠=所以，AC =AC BC ⊥所以AB 的中点即为△ABC 外接圆的圆心，记为，2O 又因为，2PA PC ==所以，，120APC ︒∠=1PM =所以在中，取AC 的中点M ，连接PM ，则△APC 的外心必在PM 的延长线上，记为，APC △1O所以在中，因为，，所以为等边三角形，APC △160APO ︒∠=11O P O A =1APO △所以，12O P =（或由正弦定理得：）11242sin AC O P O P APC ===⇒=∠所以，11O M =在中，，，，ACB △2122O B AB ==2112O M BC ==2//O M BC 设外接球半径为R ，则，解得：，24π20πR =25R =设O 为三棱锥P -ABC 的外接球球心，则面ABC ，面APC ．2OO ⊥1OO ⊥所以在中，，2Rt OO B △21OO =又因为在，，1Rt OO P△11OO ===所以，，121OO O M ==121O M OO ==所以四边形为平行四边形，12OO MO 所以，12//OO O M 又因为，2//O M BC 所以，1OO //BC又因为面APC ，1OO ⊥所以BC ⊥面APC ，所以，BC PC ⊥所以，即：22222228PB PC CB =+=+=PB =故选：C.12．设函数，其中，是自然对数的底数（…），则（ ）()e ln x f x ax x=-R a ∈e e 2.71828≈A ．当时，B ．当时，1a =()e f x x≥3e 4a =()0f x >C ．当时，D ．当时，1a =-()e f x x≥3e 4a =-()0f x >【答案】B【分析】令，结合，判断AC ；将不等式转化为()e ln e x ax x xg x =--()10g =()1g a'=-()0f x >，，再构造函数求解最值即可判断B ；借助特殊值判断D.324e ln e x x x x ⋅>()1,x ∈+∞10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】解：令，则，且，，()e ln e x ax x xg x =--()e ln ex a x a g x '=---()10g =()1g a'=-当，，∴存在一个较小的正数使得都有，1a =()110g '=-<ε()1,1x ε∀∈+()0g x <当时，，∴存在一个较小的正数使得都有，1a =-()110g '=>ε()1,1x ε∀∈-()0g x <故A ，C 都不正确，对于选项B ，当，则显然成立，当时，即证明，(]0,1x ∈()1,x ∈+∞3e e ln 04xx x ->也即证明，，324e ln e x x x x ⋅>()1,x ∈+∞令，则，12e ()x h x x =()312e()xx h x x -'=所以，时，，单调递增，时，，单调递减，()2,x ∈+∞1()0h x '>1()h x ()0,2x ∈1()0h x '<1()h x 所以，的最小值为，12e ()x h x x =()21e 24h =令，则，()2ln xh x x =()221ln x h x x -'=所以，时，，单调递减，时，，单调递增，()e,x ∈+∞2()0h x '<()2h x ()0,e x ∈2()0h x '>()2h x 所以，的最大值为，()2ln xh x x =()21e e h =所以，，()()()()21122323334e 444e 1ln 2e e e e e 4e x xh x h h h x x x ⋅=≥=⋅==≥=因为不同时取等，所以，，即选项B 正确，324e ln e x x x x ⋅>对于选项D ，当时，（成立），即1e x =11132243e e 2e 11e e e e ln e e 0e 16e 4e e 4416+⋅=-<-<⇔<⇔<，所以选项D 不正确．10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据不同选项，构造不同的函数，利用函数值的大小，特殊值等，实现大小比较.二、填空题13．设是虚数单位，复数的模长为__________.i 2i1i +【分析】先根据复数的除法化简，然后由模长公式可得.【详解】解：()()()2i 1i 2i 1i,1i 1i 1i -==+∴++-=.14．某班有48名学生，一次考试的数学成绩X （单位：分）服从正态分布，且成绩在()280,N σ上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.[]80,90【答案】8【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】由X （单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在()280,N σ80x=上的学生人数为16，[]80,90由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.24168-=故答案为：815．如图，在中，.延长到点，使得，则ABCπ3AC ACB ∠==BA Dπ2,6AD CDA ∠==的面积为__________.ABC 【分析】根据正弦定理和面积公式求解即可.【详解】解：因为在中，，，ADC △π3AC ACB ∠==π2,6AD CDA ∠==所以，由正弦定理得，sin sin AD AC ACD CDA ∠∠=sin ACD ∠=π4ACD ∠=所以，，5ππ,124CAB ABC ∠∠==在中，由正弦定理可得ABC sin sin AB ACACB CBA ∠∠=AB =因为ππππππsin sin sin cos cos sin 464646CAB ⎛⎫∠=+=+=⎪⎝⎭所以，1sin 2ABC S AB AC CAB ∠=⨯⨯⨯=16．《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离记为，双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>d 的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕C 1y =1y =-C（其中），则双曲线的离心率为______.yπ222c a b =+C 【分析】先利用条件求出，直线与渐近线及双曲线的交点，从而求出截面积，再利题设所给d 1y =信息建立等量关系，从而求出结果.【详解】由题意知渐近线方程为，右焦点为，所以，by xa =±(),0F c 22bc d b a b ==+由，得，1y b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩a xb =由，得()2222110y x y x a b =⎧⎪⎨-=>⎪⎩x ==所以截面面积为，()2222221ππa b a a b b ⎛⎫+ ⎪-= ⎪⎝⎭由题知，阴影部分绕y 轴转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，∴，22πππV a ===2bc =所以，即，()4222226a b c c a c ==-44226a c a c =-∴，解得，所以42e e 60--=2e 3=e =三、解答题17．据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期1314､至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知4400⨯甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；23343445丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.2356(1)甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；(2)设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.ξξ【答案】(1)乙进入决赛的可能性最大(2)答案见解析【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算得解；（2）根据（1）及相互独立事件同时发生的概率公式计算，列出分布列.【详解】（1）甲队进入决赛的概率为，231342⨯=乙队进入决赛的概率为，343455⨯=丙队进入决赛的概率为，255369⨯=显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．（2）由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为，135,,259的可能取值为，ξ0,1,2,3，()1354011125945P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()135********2(1(1)(1)25952995290P ξ==-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=，()135132596P ξ==⨯⨯=，()()()()43711110231459063P P P P ξξξξ==-=-=-==---=所以的分布列为：ξξ0123P4451337901618．已知分别为三个内角的对边，且.,,a b c ABC ,,A B C ()sin 2sin A B C-=(1)证明:；2222a b c =+(2)若，，，求AM 的长度.2π3A =3a =3BC BM =【答案】(1)证明见解析(2)1AM =【分析】（1）先利用三角形的内角和定理结合两角和差的正弦公式化简，再利用正弦定理和余弦定理化角为边，整理即可得证；（2）在中，由（1）结合余弦定理求出，再在中，利用余弦定理即可得解.ABC ,b c ABM 【详解】（1）由，()()sin 2sin 2sin A B C A B -==+得，sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin A B A B A B A B -=+则，sin cos 3cos sin 0A B A B +=由正弦定理和余弦定理得，2222223022a c b b c a a b ac bc +-+-⋅+⋅=化简得；2222a b c =+（2）在中，，ABC 2229a b c bc =++=又因为，所以，所以2222a b c =+222229b c b c bc +=++=b c ==所以，π6B C ==由，得，3BC BM = 13a BM ==在中，，ABM 2222cos 313133a a AM c c B ⎛⎫=+-⨯⋅=+-= ⎪⎝⎭19．如图，正三棱柱的体积为P 是面内不同于顶点的一点，111ABC A B C -AB =111A B C 且．PAB PAC ∠=∠(1)求证：；⊥AP BC (2)经过BC 且与AP 垂直的平面交AP 于点E ，当三棱锥E -ABC 的体积最大时，求二面角平面角的余弦值．1P BC B --【答案】(1)证明见解析．【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）由分析知，三棱锥E -ABC 的体积最大，等价于点E 到面ABC 的距离最大，由分析知，∠PFD为二面角的平面角，以F 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和，代入1P BC B --FP FD即可得出答案.【详解】（1）设线段BC 的中点为F ，则，AF BC ⊥∵，，AP 为公共边，AB AC =PAB PAC ∠=∠∴，PAB PAC △△≌∴，PB PC =∴，又，面APF ，PF BC ⊥AF PF F = ,AF PF ⊂∴BC ⊥面APF ，面APFAP ⊂（2）设线段的中点为D ，由题意，点P 在线段上，11B C 1A D由，111ABC A B C V -=AB =12AA =∴三棱锥E -ABC 的体积最大，等价于点E 到面ABC 的距离最大，∵AP ⊥面BCE ，面BCE ，∴，EF ⊂AP EF ⊥∴点E 在以AF 为直径的圆上，如图，易知，3AF =从而，45EAF EFA ∠=∠=︒由（1）知PF ⊥BC ，DF ⊥BC ，平面，DF 平面，PF ⊂PBC ⊂1BCB 平面平面，PBC1BCB BC =∴∠PFD 为二面角的平面角，1P BC B --如图，以F 为原点建立空间直角坐标系，则，，，，()0,0,0F 330,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭()B ()0,1,2P ，()0,0,2D于是，，从而，()0,1,2FP =()0,0,2FD =cos ,FP FD <>==∴二面角．1P BC B --20．已知，两点分别在x 轴和y 轴上运动，且，若动点G 满足()0,0M x ()00,N y 1MN =，动点G 的轨迹为E .2OG OM ON =+(1)求E 的方程；(2)已知不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的A 、B 两点，总满足，Q ⎫⎪⎪⎭AQO BQO ∠=∠证明：直线l 过定点.【答案】(1)；2214x y +=(2)证明见解析.【分析】(1)根据平面向量的坐标运算可得，结合和两点坐标求距离公式可得002xx y y ==、1MN =，将代入计算即可；22001x y +=002x x y y ==、(2)设直线l 的方程为：、，联立椭圆方程并消去y ，根据韦达定理表y kx m =+()()1122A x y B x y ，、，示出，利用两点求斜率公式求出，结合题意可得，列出关于k 和m1212+、x x x x AQ BQk k 、AQ BQk k =-的方程，化简计算即可.【详解】（1）因为，即，2OG OM ON =+0000(,)2(,0)(0,)(2,)x y x y x y =+=所以，则，002x x y y ==，002xx y y ==又，得，即，1MN =22001x y +=22()12x y +=所以动点G 的轨迹方程E 为：；2214x y +=（2）由题意知，设直线l 的方程为：，，y kx m =+()()1122A x y B x y ，，，则，1122y kx m y kx m=+=+，，消去y ，得，2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222(41)8440k x kmx m +++-=由，得，22226416(41)(1)0k m k m ∆=-+->2241m k <+，21212228444141km m x x x x k k --+==++，直线的斜率为，直线的斜率为，AQAQ k =BQ BQ k =又，所以AQO BQO ∠=AQk =BQk-=整理，得，1212120y x x y y y +=12122()()0kx x m x x ++=，2222228(1)80414141km km k mk k k --+=+++由，化简得，2410k +≠m =所以，(y kx k x ==故直线过定点.21．已知函数为的导函数．1()ln (0,0),()f x kx a x x a f x x ->'=-+>()f x (1)当时，求函数的极值；1,2a k ==()f x (2)已知，若存在，使得成立，求证：()1212,(0,)x x x x ∈+∞≠k ∈R ()()12f x f x =．()()120f x f x ''+>【答案】(1)极大值为，无极小值．3-(2)证明见解析【分析】（1），求导，利用函数的单调性及极值的定义求解；1()2ln f x x xx =--+（2）不妨设，因为，所以，结合12x x >()()12f x f x =121212ln 1x x a kx x x x +=-，得()()1222121211112f x f x a k x x x x ⎛⎫''+=+++- ⎪⎝⎭，设， 构造函数()()()2121211222121221212ln x x x x x f x f x ax xx x x x x -⎛⎫''+=+-- ⎪-⎝⎭12(1,)x t x =∈+∞，结合函数的单调性，可证得结论.1()2ln (1)t t t t tϕ=-->【详解】（1）当时，此时，1,2a k ==1()2ln f x x xx =--+则，2211(21)(1)()2x x f x x x x +-'=-+=-当时，，则在单调递增；01x <<()0f x '>()f x (0,1)当时，，则在单调递减；1x >()0f x '<()f x (1,)+∞所以的极大值为，无极小值．()f x (1)3f =-（2）不妨设，因为，12x x >()()12f x f x =则，11221211ln ln kx a x kx a x x x --+=--+即，所以，()12112122ln x x x a k x x x x x -+=-121212ln1x x a k x x x x +=-由，则，21()a f x k x x '=+-()()1222121211112f x f x a k x x x x ⎛⎫''+=+++- ⎪⎝⎭，()()12122212121212ln111112x x f x f x a ax x x x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪''+=+++-+ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭即，()()12122212121212ln 112112x x f x f x a x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪''+=+-++-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()()222121211222121212212ln x x x x x f x f x a x x x x x x x -⎛⎫-''+=+-⎪-⎝⎭即，()()()2121211222121221212ln x x x x x f x f x ax x x x x x x -⎛⎫''+=+-- ⎪-⎝⎭设， 构造函数，12(1,)x t x =∈+∞1()2ln (1)t t t t t ϕ=-->则，2221221()10t t t t t t ϕ-+'=+-=>所以在上为增函数，()t ϕ(1,)+∞所以，()(1)0t ϕϕ>=因为，()21222121210,0,0x x a x x x x ->>>-所以．()()120f x f x ''+>【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．22．“太极图”是关于太极思想的图示，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．在平面直角坐标系中，“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为的圆，其中黑、白区域xOy 4分界线，为两个圆心在轴上的半圆，在太极图内，以坐标原点为极点，轴非负半1C 2C y (2,2)P -x轴为极轴建立极坐标系．(1)求点的一个极坐标和分界线的极坐标方程；P 1C (2)过原点的直线与分界线，分别交于，两点，求面积的最大值．l 1C 2C M N PMN 【答案】(1)，：3π4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1C 24sin 0ρρθ-=(2)4【分析】（1）由直角坐标和极坐标的互化公式转化即可；（2）由图形对称性知，，在极坐标系中，求，并求其最大值即可.2PMN POM S S = POM S 【详解】（1）设点的一个极坐标为，，，P (),P P P ρθ0P ρ>[)0,2πP θ∈则，P ρ===2tan 12P P P y x θ===--∵点在第三象限，∴，∴点的一个极坐标为.P 3π4P θ=P 3π4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为的圆，4∴分界线的圆心直角坐标为，半径为，1C ()10,2C 2r =∴的直角坐标方程为（），即（），1C ()2224x y +-=0x ≥2240x y y +-=0x ≥将，，代入上式，得，，cos x ρθ=sin y ρθ=222x y ρ+=24sin 0ρρθ-=π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦化简，得分界线的极坐标方程为，.1C 4sin ρθ=π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）∵在上，∴设点的极坐标为，则，，M 1C M (),M M M ρθ4sin MM ρθ=π0,2M θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴的面积POM ()11sin sin 22POM P M P M S OP OM POM ρρθθ=⋅⋅∠=⋅⋅- 13π4sin sin 24M M θθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭24sin cos 4sin M M Mθθθ=+()2sin 221cos 2M M θθ=+-2sin 22cos 22M M θθ=-+π224M θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵，∴，π0,2M θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π2,444M θ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当，即时，的面积的最大值为.ππ242M θ-=3π8M θ=POM ()max 2POM S = ∵直线过原点分别与，交于点，，∴由图形的对称性易知，，l 1C 2C M N OM ON =∴面积，PMN 2PMN POM S S =∴面积的最大值为.PMN ()()max max 24PMN POM S S == 23．已知，且，证明：0,0,1a b c >>>222422a b c c ++-=(1)；24a b c ++≤(2)若，则.2a b =1131b c +≥-【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）由均值的不等式可得，由（1）可得()()11112141911a b c b c b c b c ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+++-=++-≥ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭，即可证明.11213a b c ≥++-1131b c +≥-【详解】（1）由，得，222422a b c c ++-=2224(1)3a b c ++-=由柯西不等式有，()2222222(2)(1)111(21)a b c a b c ⎡⎤++-++≥++-⎣⎦，当且仅当时等号成立，213a b c ∴++-≤211a b c ==-=，当且仅当时等号成立；24a b c ∴++≤11,,22a b c ===（2）由可得2a b =，()()1111412141559111b c a b c b c b c b c c b -⎛⎫⎛⎫⎡⎤+++-=++-=++≥+= ⎪ ⎪⎣⎦---⎝⎭⎝⎭当且仅当时取等，12c b -=由（1）可得，当且仅当时等号成立，11213a b c ≥++-11,,22a b c ===从而，当且仅当时等号成立.11193121b c a b c +≥⋅≥-++-11,,22a b c ===。
广东省2023届高三高考模拟数学试题(原卷版)
数学
本试卷共4页满分150分考试用时120分钟.
第I卷选择题
一、单项选择题：本题共8小题每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 则 （）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足 则z在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
17．（10分）请在这三个条件：① ；② ；③ 中任选一个条件补充在下面的橫线上并加以解答.如图锐角 中 ______ 在边 上且 点 在边 上且 交 于点 .
（1）求 的长；
（2）求 及 的长.
18.设等差数列 的前n项和为 已知 且 是 与 的等比中项数列 的前n项和 ．
（1）求数列 的通项公式；
C.y与x的线性相关系数
D.七月的借阅量一定不少于6. 12万册
10.已知 下列选项正确的是（）
A. 的值域为
B. 的对称中心为
C. 的单调递增区间为 和
D. 图像向右平移 个单位与 的图像重合
11.如图点M是棱长为l的正方体 中的侧面 上的一个动点（包 平面
（2）若 对任意 总有 恒成立求实数 的最小值．
19.甲乙两人进行围棋比赛约定先连胜两局者直接赢得比赛若赛完5局仍末出现连胜则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 乙获胜的概率为 各局比赛结果相互独立.
（1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率；
（2）记 为比赛决出胜负时的总局数求 的分布列和期望.
3.已知向量 满足 则 在 方向上的投影向量的模为（）
A. B.3C. D.
4.如图l在高为h的直三棱柱容器 中 现往该容器内灌进一些水水深为 然后固定容器底面的一边AB于地面上再将容器倾斜当倾斜到某一位置时水面恰好为 （如图2）则 =（）
2023高考数学模拟卷(一)(含答案解析)
9.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，直线 与抛物线交于 两点，若 ，则
A B.8C.16D.
10.已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，同时 的图象向左平移 个单位之后与原来的图象重合，当 ，且 时， ，则
A. B.-1C.1D.
11.下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为
20.已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 .不过原点的直线 与椭圆 相交于 两点，设直线 ，直线 ，直线 的斜率分别为 ，且 成等比数列.
（1）求 的值；
（2）若点 在椭圆 上，满足 直线 是否存在？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
21.已程 的两个实数根为 ，求证： ；
设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为dM，dN，
由抛物线的定义可知|MF|=dM=x1+1，|NF|=dN=x2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．
∵ ，
∴ ，即 ，∴ .
∴ ,∴直线AB的斜率为 ，
∵F（1，0），∴直线PF的方程为y= （x﹣1），
将y= （x﹣1），代入方程y2=4x，得3（x﹣1）2=4x，化简得3x2﹣10x+3=0，
A. B. C. D.
6.已知 展开式中 的系数为0，则正实数
A.1B. C. D.2
7.已知数列 的前 项和 ，若 ，则
A. B.
C. D.
8.如图是正四面体的平面展开图， 分别是 的中点，在这个正四面体中：① 与 平行；② 与 为异面直线；③ 与 成60°角；④ 与 垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（）
深圳市育才中学2024年高三高考数学试题系列模拟卷(1)
深圳市育才中学2024年高三高考数学试题系列模拟卷（1）注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．12．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-53．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．4．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．125．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ）A ．12-B ．12C ．-8D ．86．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C 与圆22:(3)3C x y +-='交于M ,N 两点,若||6MN =,则MNF 的面积为( )A ．28B ．38C ．328D ．3247．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8y x =+，则表中数据m 的值为（ ）变量x 01 2 3 变量y m35.57A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.58．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 9．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =-- B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+D ．(1)2ni i -=+10．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元11．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
贵州省安顺市2024年数学(高考)统编版真题(评估卷)模拟试卷
贵州省安顺市2024年数学（高考）统编版真题(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（）A．B．C．D．第(2)题函数是定义在R上奇函数，且，，则（）A．0B．C．2D．1第(3)题技术的数学原理之一是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.假设目前信噪比为若不改变带宽，而将最大信息传播速度提升那么信噪比要扩大到原来的约（）A．倍B．倍C．倍D．倍第(4)题在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，A＝，则该三角形面积的最大值是A ．2B．3C．4D．4第(5)题欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(6)题如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（）A．B．C．D．第(7)题设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题若（为虚数单位），则（）A．5B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，则关于的说法正确的是（）A．最小正周期为B．奇函数C．在上单调递增D．关于中心对称第(2)题已知复数，，则下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则或C．若且，则D．若，则第(3)题双曲线：，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点,与其两条渐近线分别交于，两点,则下列命题正确的是（）A．存在直线，使得B．在运动的过程中，始终有C．若直线的方程为，存在，使得取到最大值D．若直线的方程为，，则双曲线的离心率为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
2023-2024学年四川省成都市高三高考冲刺卷(一)数学(理)模拟试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高三高考冲刺卷（一）数学（理）模拟试题一、单选题1．已知集合2{|60},{|4}A x x x B y y x =+-≥=≤≤，则集合()A B =R ð（）A ．(,0)[2,)-∞⋃+∞B ．(,0)(2,)-∞+∞C ．(,3][2,)-∞-+∞UD ．(,3](2,)-∞-+∞ 【正确答案】A【分析】根据题意，将集合,A B 分别化简，然后结合集合的运算，即可得到结果.【详解】因为{2{|60}2A x x x x x =+-≥=≥或}3x ≤-，且{}{|4}02B y y x y x ==≤≤=≤≤，则()(),02,B =-∞+∞R ð，所以(,0)[2(),)A B -∞⋃+=∞R ð.故选：A2．走路是最简单优良的锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A ．甲走路里程的极差等于10B ．乙走路里程的中位数是26C ．甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数D ．甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差【正确答案】C【分析】根据折线图，得到甲、乙下半年的走路历程数据，根据极差、中位数、平均数以及标准差与数据稳定性之间的关系求解.【详解】对于A 选项，712-月甲走路的里程为：31、25、21、24、20、30，甲走路里程的极差为312011-=公里，A 错；对于B 选项，712-月乙走路的里程为：29、28、26、28、25、26，由小到大排列分别为：25、26、26、28、28、29，所以，乙走路里程的中位数是2628272+=，B 对；对于C 选项，甲下半年每月走路里程的平均数31252124203015166+++++=，乙下半年每月走路里程的平均数为2928262825261622766+++++==，所以，甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数，C 对；对于D 选项，由图可知，甲下半年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据，所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差，D 错.故选：C.3．已知平面向量||2a = ，||1b = ，,a b 的夹角为60 ，)a tb t +=∈R ，则实数t （）A ．1-B ．1C ．12D ．1±【正确答案】A【分析】对a tb +=两边平方，再由数量积公式计算可得答案.【详解】因为a tb += ，所以22223a a b t t b +⋅⋅+= ，即2422cos603t t +⨯⨯+= ，解得1t =-.故选：A.4．若直线y ax =是曲线2ln 1y x =+的一条切线，则实数=a A ．12e -B ．122e -C ．12e D ．122e 【正确答案】B【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，进行比较建立方程关系进行求解即可．【详解】数的定义域为（0，+∞），设切点为（m ，2lnm+1），则函数的导数2f x x'=（），则切线斜率2k m =，则对应的切线方程为22122y lnm x m x m m-+=-=-（）（），即221y x lnm m=+-，2y ax a m=∴= ，且210lnm -=，即12lnm =，则12m e =，则121222a ee-=，故选B ．本题主要考查函数的导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．5．函数1e ()sin 1e xxf x x -=⋅+的部分图象大致形状是（）A ．B ．C．D．【正确答案】C【分析】先判断函数的奇偶性，结合对称性以01x <<时的函数值的正负判断可得答案.【详解】由1e ()sin 1e xxf x x -=⋅+，x ∈R ，定义域关于原点对称，得()()()()1e e 11e sin sin sin 1e e 11ex x xx x x f x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除BD ；当01x <<时，1e 0x-<，1e 0x+>，sin 0x >，所以()1e sin 01e xxf x x -=⋅<+，排除A.故选：C.6．已知正方体1111ABCD A B C D -(如图1)，点P 在棱1DD 上(包括端点).则三棱锥1B ABP -的侧视图不可能．．．是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据题意结合三视图逐项分析判断.【详解】对于选项A ：当点P 于点D 重合，则1B ABP -的侧视图如选项A 所示，故A 正确；对于选项B ：当点P 于点1D 重合，则1B ABP -的侧视图如选项B 所示，故B 正确；对于选项C ：当点P 为线段1DD 的中点，则1B ABP -的侧视图如选项C 所示，故C 正确；对于选项D ：因为点P 在棱1DD 上运动，则侧视图中右边的一条边与底边垂直，且右边的一条边的边长与正方体的棱长相等，所以1B ABP -的侧视图如不可能如选项D 所示，故D 错误；故选：D.7．已知抛物线24y x =的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（）A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22154x y +=D ．22165x y +=【正确答案】B【分析】根据椭圆的焦点以及31,2⎛⎫-± ⎪⎝⎭在椭圆上，即可求解,,a b c 的值.【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0，准线为=1x -，设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，椭圆中，1c =，当=1x -时，32y =，故229141,a b+=又222a b c =+，所以2,a b ==，故椭圆方程为22143x y +=，故选：B8．已知()()sin f x x ωϕ=+（0,ωϕ>为常数），若()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且π5ππ263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ϕ的值可以是（）A ．5π6-B ．π6-C ．π3D ．2π3【正确答案】A【分析】根据()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可得03ω<≤，再由π5ππ263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得()f x 的一条对称轴和一个对称中心，进而求得2ω=，再求ϕ的值.【详解】对于函数()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，因为()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以πππ262T ω-≤=，即03ω<≤.又π5ππ263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π5π2π2623x +==为()f x 的一条对称轴，且ππ23,02⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心，因为2π5πππ312432T-=<≤，所以2π3x =和5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则2π5π4312T =-，即πT =，所以(]2π20,3Tω==∈，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心，则5π2π12k ϕ⨯+=，Z k ∈，则5ππ6k ϕ=-+，Z k ∈，当0k =时，5π6ϕ=-.故选：A.9．如图，在矩形ABCD 中，E F 、分别为边AD BC 、上的点，且3AD AE =，3BC BF =，设P Q 、分别为线段AF CE 、的中点，将四边形ABFE 沿着直线EF 进行翻折，使得点A 不在平面CDEF 上，在这一过程中，下列关系不能．．成立的是（）A ．直线//AB 直线CD B ．直线AB ⊥直线PQC ．直线//PQ 直线ED D ．直线//PQ 平面ADE【正确答案】C【分析】画出翻折之后的立体图形，根据点线面之间的位置关系以及平行与垂直的相关定理，可以证明或证伪相关命题.【详解】翻折之后如图所示：①因为3AD AE =，3BC BF =，所以//AB EF 且//EF CD ，因此//AB CD ，故选项A 成立；②连接FD ，因为P Q 、分别为FA FD 、的中点，所以//PQ AD ，又因为AB AD ⊥，所以AB PQ ⊥，故选项B 成立；③因为//PQ AD ，⋂=ED AD D ，所以PQ 与ED 不平行，故选项C 不成立；④因为//PQ AD ，且PQ ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以//PQ 平面ADE ，故选项D 成立.故选：C10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为1.5m ，筒车的半径r 为2.5m ，筒车每秒转动rad 12π，如图2所示，盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则2s 后盛水桶M 到水面的距离近似为（）A ．3.2mB ．3.4mC ．3.6mD ．3.8m【正确答案】D设ts 后盛水桶M 到水面的距离h 关于t 的函数解析式为()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，根据题中信息求出函数()h t 的解析式，再令2t =即可得解.【详解】设ts 后盛水桶M 到水面的距离h 关于t 的函数解析式为()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，由题意可得()()max min 41.52.51h t A b h t A b ⎧=+=⎪⎨=-=-=-⎪⎩，解得 2.51.5A b =⎧⎨=⎩，由于筒车每秒转动rad 12π，所以，函数()h t 的最小正周期为()22412T s ππ==，所以，212T ππω==，则() 2.5sin 1.512t h t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则()0 2.5sin 1.53h ϕ=+=，可得3sin 5ϕ=，由于函数()h t 在0=t 附近单调递增，则ϕ为第一象限角，所以，4cos 5ϕ=，所以，()12 2.5sin 1.5 2.5cos 1.5622h πϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2.5 1.5 3.8m =≈.故选：D.思路点睛：建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题：审清题目条件、要求、理解数学关系；（2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型；（3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得出结论.11．已知双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>l 与圆2220(0)x y mx m +-=>相切于M ，与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B ，且M 为AB中点，则双曲线C 的离心率为（）A ．2BCD【正确答案】B 【分析】.设出直线l 的方程，求出A ，B 的坐标，从而可得点M 的坐标，代入圆方程中即可求离心率【详解】依题意，设直线l的方程为(0)y n n =+>，圆2220(0)x y mx m +-=>的方程可化为222()x m y m -+=，即圆心坐标为(,0)m ，半径为m ，因为直线l 与圆相切于Mm =，由0n >可化简得m =，则直线l的方程为()3y x m =+，双曲线C 的两条渐近线分别为b y x a =，b y x a =-，由)y x m b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得A，同理可得B ，因为M 为AB中点，由中点坐标公式可得222(3ma M b a -，M 在圆上，将M 的坐标代入圆方程可得222222())3ma m m b a -+=-，化简整理得222()0a b -=，从而可得a b =，则双曲线C 的离心率ce a==故选：B12．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且满足(1)(3)4,(1)(3)6---=++-=f x g x g x f x ，(2)g x +为奇函数，则1071()n f n ==∑（）A ．5350-B ．5250-C ．5150-D ．5050-【正确答案】A【分析】由条件通过赋值，结合周期函数的定义证明()()h x f x x =+为周期为2的周期函数，再求()()0,1h h ，结合周期函数性质求1071()n h n =∑，由此可得结论.【详解】因为函数(2)g x +为奇函数，所以()()220g x g x ++-+=，在(1)(3)4f x g x ---=中将x 代换为1x +可得()(2)4f x g x --=①，在(1)(3)6g x f x ++-=中将x 代换为1x +可得(2)(2)6g x f x ++-=②，①②两式相减可得()()(2)(2)22g x f x f x g x ++--+-+=，所以()(2)2f x f x --=，即()(2)2f x x f x x -+-=+，设()()h x f x x =+，则()()2h x h x +=，所以函数()()h x f x x =+为周期为2的周期函数，由()()220g x g x ++-+=取0x =可得()20g =，由()(2)4f x g x --=取0x =可得(0)(2)4f g -=，所以(0)4f =，在()(2)2f x f x --=中取1x =可得()(1)12f f --=，在()(2)4f x g x --=中取1x =可得(1)(1)4f g -=④，在()(2)4f x g x --=中取=1x -可得(1)(3)4f g --=⑤，在()()220g x g x ++-+=中取1x =可得()()310g g +=⑥，将④⑤⑥相加可得()(1)18f f -+=，又()(1)12f f --=，所以()13f =，又(0)4f =，()()h x f x x =+，所以()()0004h f =+=，()()1114h f =+=，又函数()()h x f x x =+为周期为2的周期函数，所以()()()()1071()1231074107428n h n h h h h ==+++⋅⋅⋅+=⨯=∑，所以()()()()()1071()112210710742812107n h n n h h h =-=-+-+⋅⋅⋅+-=-++⋅⋅⋅+∑，所以()()()10711107107428428577853502n h n n =+⨯-=-=-=-∑，所以1071()5350n f n ==-∑.故选：A.知识点点睛：本题考查奇函数的性质，周期函数的定义，周期函数的性质，组合求和法，等差数列求和，考查赋值法，属于综合题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题13．若复数z 满足(2i)12i z +=-，则z 的共轭复数z 的虚部为________.【正确答案】1【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可由共轭复数的概念以及虚部概念求解.【详解】由(2i)12i z +=-得()()()()12i 2i 12i 2i 4i 2i 2i 2i 2i 5z ------====-++-，故i z =，且虚部为1，故114．在[]4,4-之间任取一个实数m ，使得直线0x y m ++=与圆222x y +=有公共点的概率为________.【正确答案】12/0.5【分析】利用直线与圆的位置关系求出m 的取值范围，再利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】圆222x y +=因为直线0x y m ++=与圆222x y +=≤，解得22m -≤≤，因此，所求事件的概率为()()221442P --==--.故答案为.1215．已知正三棱柱111ABC A B C -所有顶点都在球O 上，若球O 的体积为32π3，则该正三棱柱体积的最大值为________.【正确答案】8【分析】由条件结合球的体积公式求球的半径，设正三棱柱的底面边长为x ，求出三棱柱的高，结合棱柱的体积求三棱柱的体积，再利用导数求其最大值.【详解】设正三棱柱111ABC A B C -的上，下底面的中心分别为12,O O ，连接12O O ，根据对称性可得，线段12O O 的中点O 即为正三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心，线段OA 为该外接球的半径，设OA R =，由已知3432ππ33R =，所以2R =，即2OA =，设正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为x ，设线段BC 的中点为D ，则2AD x =，1223323AO AD ==⨯=，在1Rt AO O △中，1OO ==所以12O O =，0x <<，又ABC 的面积1122S BC AD x =⋅=⨯=所以正三棱柱111ABC A B C -的体积242x V x =⨯设t ，则22123x t =-，02t <<，所以)2123V t t =-，02t <<，所以)2129V t '=-，令0V '=，可得3t =或3t =-，舍去，所以当0t <<0V '>，函数)2123V t t =-在0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，当2323t <<时，0V '<，函数()231232V t t =-在23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当233t =时，()231232V t t =-取最大值，最大值为8，所以当22x =时，三棱柱111ABC A B C -的体积最大，最大体积为8.故答案为.816．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a C c A b c -=-，且1a c +=，则当边c 取得最大值时，ABC 的周长为________.【正确答案】33/33【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值，利用正弦定理可求得c 的最大值及其对应的C 的值，进而可求得b 的值，由此可得出ABC 的周长.【详解】因为cos cos a C c A b c -=-，由正弦定理可得sin cos cos sin sin sin A C A C B C -=-，即()sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C -=+-=+-，整理可得2cos sin sin A C C =，因为A 、()0,πC ∈，所以，sin 0C >，则1cos 2A =，故π3A =，由正弦定理可得)231sin sin 332c a c c C A =-，整理可得2332332sin 31sin 23sin Cc C C C=+++因为2π03C <<，当π2C =时，c 取最大值，且c 4323=-+，此时，(1143a c =-=--=，π6B =，所以，22c b ==因此，当边c 取得最大值时，ABC的周长为()((32423a b c ++=+-+-=-.故答案为.3三、解答题17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*231n n S a n N =-∈．()1求{}n a 的通项公式；()2若()()1311nn n n b a a +=++，求{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)13n n a -=．(2)311 2231n n T ⎛⎫=- +⎝⎭．【分析】()1利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．()2利用()1的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】() 1等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*231.n n S a n N =-∈①当1n =时，解得11a =．当2n ≥时11231n n S a --=-②-①②得1323n n n a a a --=，所以13(nn a a -=常数)，故11133n n n a --=⋅=．()2由于13n n a -=，所以()()1133111123131n n n n n n b a a -+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以011311113112313131312231n n n n T -⎛⎫⎛⎫=-+⋯+-=- ⎪ ⎪+-+++⎝⎭⎝⎭．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．18．“五一黄金周”期间，某商场为吸引顾客，增加顾客流量，推出购物促销优惠活动，具体优惠方案有两种：方案一：消费金额不满300元，不予优惠；消费金额满300元减60元；方案二：消费金额满300元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3个红球和3个白球共6个球的盒子中任取3个球（这些小球除颜色不同其余均相同），抽奖者根据抽到的红球个数不同将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下：抽到的红球个数0123优惠折扣无折扣九折八折七折(1)现有甲乙两位顾客各获得一次抽奖活动，求这两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率；(2)若李女士在该商场消费金额为x 元（300x >），请以李女士实付金额的期望为决策依据，对李女士选择何种优惠方案提出建议.【正确答案】(1)99200(2)答案见解析【分析】（1）先求事件抽奖的顾客获得八折优惠的概率，再根据独立重复试验的概率公式求两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率；（2）在300x >条件下，分别求两种方案下李女士实付金额的期望，由此提出建议.【详解】（1）设事件A ：抽奖的顾客获得八折优惠，则213336C C 9()C 20P A ⋅==；由于甲乙两位顾客获得八折优惠的概率均为920，设甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率P ，则129999C (12020200P =⨯-=；所以甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率为99200.（2）方案一：设实付金额1ξ，则160x ξ=-,（300x >）.方案二：设实付金额2ξ，则2ξ的可能取值有：x ，0.9x ，0.8x ，0.7x ；（300x >）.03236C 1()C 20P x ξ===；1233236C C 9(0.9)C 20P x ξ===；29(0.8)20P x ξ==；33236C 1(0.7)C 20P x ξ===；所以()219998178520201020102010100E x x x x x ξ=+⨯+⨯+⨯=.①若8560100x x -<，解得300400x <<，选择方案一；②若8560100x x -=，解得400x =，选择方案一或方案二均可；③若8560100x x ->，解得400x >，选择方案二.，所以当消费金额大于300且小于400时，选择方案一；当消费金额等于400时，选择方案一或方案二均可；当消费金额大于400时，选择方案二.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是BC ，11AC 中点，平面11ABB A 平面AEF l =．(1)证明：l EF ∥；(2)若AB AC ==，平面11ACC A ⊥平面11ABB A ，且1AB EF ⊥，求直线l 与平面11A B E 所成角的余弦值．【正确答案】(1)证明过程见详解【分析】（1）取AB 中点G ，连接EG ，1A G ，先证明四边形1EGA F 为平行四边形，再证明EF ∥平面11ABB A ，再根据直线与平面平行的性质即可证明l EF ∥；（2）根据题意先证明11AC ，11A B ，1AA 两两垂直，从而建立空间直角坐标系，再根据1AB EF ⊥求得1AA 的值，再利用线面角的向量求法即可求解．【详解】（1）取AB 中点G ，连接EG ，1A G ，∵E ，G 分别是BC ，AB 中点，∴EG AC ∥且12EG AC =，又∵1A F AC ∥且112A F AC =，∴1A F EG ∥且1=A F EG ，∴四边形1EGA F 为平行四边形，∴1EF A G ∥，又EF ⊄平面11ABB A ，1AG ⊂平面11ABB A ，∴EF ∥平面11ABB A ，∵EF ⊂平面AEF ，平面AEF ⋂平面11ABB A l =，∴EF l ∥．（2）由三棱柱为直棱柱，∴1AA ⊥平面111A B C ，∴111AA AC ⊥，111AA A B ⊥，∵平面11ACC A ⊥平面11ABB A ，平面11ACC A 平面111ABB A AA =，11AC ⊂平面11ACC A ，∴11A C ⊥平面11ABB A ，∴1111A C A B ⊥，故以1A 为坐标原点，以11A C ，11A B ，1AA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设1AA a =，则1B ，F ，)E a ，(0,0,)A a ，所以1)AB a =- ，(0,)EF a =-，又1AB EF ⊥，则10AB EF ⋅=，解得2a =，所以2)E ，(0,0,2)A，则11A B =，12)A E =，设平面11A B E 法向量为(,,)n x y z =，所以11100n A B n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020z ⎧=⎪+=，取x =，得1)n =- ，由（1）知直线EF l ∥，则l方向向量为(0,2)EF =-，设直线l 与平面11BCC B 所成角为α，则sin cos ,3n EF n EF n EF α⋅===⋅，则cos α=所以直线l 与平面11BCC B所成角的余弦值为3．20．已知抛物线C ：22y x =，过(1,0)P 的直线与C 相交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点.(1)证明：直线OA ，OB 的斜率之积为定值；(2)若线段AB 的垂直平分线交y 轴于M ，且12tan 5AMB ∠=，求直线AB 的方程.【正确答案】(1)证明见解析(2)10x -=或10x -=【分析】（1）直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示斜率乘积；（2）结合二倍角公式，求||4||3AB MN =，以及弦长公式求AB ，并利用韦达定理表示MN ，利用比值，即可求直线方程.【详解】（1）设1222(,),(,)A x y B x y ，设直线AB ：x =my +1.联立221y x x my ⎧=⎨=+⎩化简可得：2220.y my --=由韦达定理可得：12122,2y y m y y +==-；所以1212221212124222OA OB y y y y k k y y x x y y ⋅====-⋅，所以直线OA ，OB 的斜率之积为定值2-.（2）设线段AB 的中点N ，设AMN θ∠=.则22tan 12tan tan 21tan 5AMB θθθ∠===-，解得2tan 3θ=，所以||2||3AN MN =，即||4||3AB MN =；所以12|||AB y y =-=又线段AB 的中点N ，可得122N y y y m +==，所以211N N x my m =+=+.因为MN AB ⊥，所以MN k m =-，所以2|||1)N M MN x x m =-=+.所以||4||3AB MN =，解得m =所以直线AB 的方程为：10x -=或10x +-=.21．已知()ln 1(R)f x x kx k =-+∈，()(e 2)x g x x =-.(1)求()f x 的极值；(2)若()()g x f x ≥，求实数k 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)1k ≥【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，然后分0k ≤与0k >讨论，即可得到结果.（2）根据题意，将问题转化为1n 2e l xx k x+≥-+在0x >恒成立，然后构造函数1ln ()e 2xx h x x+=-+，求得其最大值，即可得到结果.【详解】（1）已知1()ln 1,(),0f x x kx f x k x x'=-+=->（），当0k ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 无极值，当0k >时，1()kx f x x -'=，()f x 在10k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在1,k ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭单调递减，当1x k =时，()f x 有极大值，1(ln f k k=-，无极小值，综上：当0k ≤时，()f x 无极值；当0k >时，极大值为1()ln f k k=-，无极小值；（2）若()()g x f x ≥，则(e 2)ln 10x x x kx --+-≥在0x >时恒成立，l 2e 1n x x k x +∴≥-+恒成立，令()()221ln ln e e 2,xx x x x h x h x x x '+--=-+=，令2ln e x x x x φ=--（），则21(2)e 0(0)x x x x x xφ'=--+<>（），()x φ在()0+∞，单调递减，又12e 11e 0,(1)e 0e φφ-⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理知，存在唯一零点01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00x φ=，即0001ln 20000000111ln e lne ,ln e e x x x x x x x x x x x -===，，令e (0),()(1)e 0,()x x x x x x x x ωωω'=>=+>（）在()0+∞，上单调递增，000011ln(),ln x x x x ωω⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭，即00ln x x -=∴当0(0,)x x ∈时，()h x 单调递增，0(,)x x ∈+∞单调递减，()()0000max 0001ln 11e 221x x x h x h x x x x +-==+=-+=，0()1k h x ∴≥=，即k 的取值范围为1k ≥.关键点睛：本题主要考查了用导数研究函数极值问题，难度较难，解答本题的关键在于分离参数，然后构造函数，将问题转化为最值问题.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为：1cos x y φφ⎧=⎪⎨⎪=⎩（φ为参数），曲线2C 的参数方程为：sin 2sin cos x ty t t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)将曲线12,C C 化为普通方程；(2)若曲线2C 与y 轴相交于,A B ，与x 轴相交于C ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线π:(0)6l θρ=≥与曲线2C 相交于P ，求四边形ACBP 的面积.【正确答案】(1)2212y x -=；21y x =+，[1,1]x ∈-(2)1【分析】（1）根据关系2221sin 1cos cos φφφ-=消去曲线1C 的参数可得其普通方程，根据平方关系消去参数t 可得曲线2C 的普通方程，（2）先求点,,,A B C P 的坐标，再求四边形ACBP 面积即可.【详解】（1）曲线1C的参数方程为：1cos x y φφ⎧=⎪⎨⎪=⎩（φ为参数）可得222221cos sin 2cos x y φφφ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（φ为参数）消去参数φ可得：2212y x -=，所以曲线1C 的普通方程为.2212y x -=曲线2C 的参数方程为sin 2sin cos x t y t t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）可得22sin cos 12sin cos x t ty t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）消去参数t 可得21y x -=，又因为sin 2[1,1]t ∈-，所以[1,1]x ∈-.所以曲线2C 的普通方程为：21y x =+，[1,1]x ∈-.（2）易得曲线2C 与y 轴交于(0,1)±，与x 轴交于(1,0)-.将射线π:(0)6l θρ=≥化为直角坐标方程.(0)3y x =≥联立()22012y x y x ⎧=≥⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以四边形ACBP 的面积()112ACB ACPC P S S SAB x x =+=+=+所以四边形ACBP的面积为123．设,,x y z 均为正数，且1x y z ++=，证明：（Ⅰ）13xy yz zx ++≤（Ⅱ）22212x y z y z x z x y ++≥+++【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【分析】（1）先由基本不等式可得222x y z xy yz xz ++≥++，再结合()2x y z ++的展开式即可证明原式成立；（2）利用柯西不等式[]2222()()()()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭证明.【详解】证明：（Ⅰ）：因为()()()2222222222xy y z x z x y z xy yz xz+++++++=≥++所以22221()2223()x y z x y z xy yz xz xy yz zx =++=+++++≥++故13xy yz zx ++≤，当且仅当x y z ==时“=”成立.（Ⅱ）,,x y z 均为正数，由柯西不等式得：2222[()()()]()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭即22221x y z y z x z x y ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭，故22212x y z y z x z x y ++≥+++，当且仅当x y z ==时“=”成立.本题考查利用基本不等式、柯西不等式等证明不等式，难度一般.证明时，利用整体思想，注意“1”的巧妙代换.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学高考模拟题（一）一. 选择题（12小题，共60分，每题5分）1. 已知集合{}{}M N x x x x Z P M N ==-<∈=⋃13302，，，，又|，那么集合P 的子集共有( )A. 3个B. 7个C. 8个D. 16个 2. 函数y x =-的反函数的图象大致是( )A BC D3. 已知直线l 与平面αβγ、、，下面给出四个命题：()//(),()()////12314若，，则若，若，，则若，，则l l l l l ααββαββγαγγγββαβαβ⊥⊥⊥⊥⊥⊂⊥⊥⊂其中正确命题是( )A. (4)B. (1)(4)C. (2)(4)D. (2)(3)4. 设cos ()31233x x x =-∈-，且，，则ππ等于( )A B C D ....±±±±ππππ18929518 5. 设a b c a b c =+=-=sin cos cos 131322142622 ，，，则、、之间的大小关系是( )A b c aB c a bC a c bD c b a....>>>>>>>>6. ()15+x n 展开式的系数和为a x n n ，()572+展开式的系数和为b a b a b n n n nn n，则lim→∞-+234等于( )A B C D ....---1213171 7.椭圆x y M 2249241+=上有一点，椭圆的两个焦点为F F MF MF MF F 121212、，若，则⊥∆的面积是( )A. 96B. 48C. 24D. 128. 已知椭圆x y t 2212211+-=()的一条准线的程为y =8，则实数t 的值为( ) A. 7和－7 B. 4和12 C. 1和15 D. 09. 函数y x x x =+2sin (sin cos )的单调递减区间是( )A k k k ZB k k k ZC k k k ZD k k k Z .[].[].[].[]2827827821588583878ππππππππππππππππ-+∈++∈-+∈++∈，，，，10. 如图在正体ABCD －A B C D 1111中，M 是棱DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A B 11上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角( )A. 是π4B. 是π3C. 是π2D. 与P 点位置有关111. 在平面直角坐标系中，由六个点O(0，0)、A(1，2)、B(－1，－2)、C(2，4)、D(－2，－1)、E(2，1)可以确定不同的三角形共有( )A. 14个B. 15个C. 16个D. 20个12. 过点M C x y l l ax y a l ()()()--+-=++=242125320221，作圆：的切线，：与平行，则l l 1与间的距离是( )A B C D (852528512)5二. 填空题（4小题，共16分，每题4分）13. 函数y x xx x=+-cos sin cos sin 2222的最小正期是_________。
14. 抛物线y px p 280=>()上一点M 到焦点的距离为a ，则点M 到y 轴的距离为_______。
15. 若E 、F 、G 、H 分别是三棱锥A －BCD 的AB 、BC 、CD 、DA 棱的中点，则三棱锥A －BCD 满足条件________时，四边形EFGH 是矩形(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 16. 在平面，(1)到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆；(2)到两个定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线；(3)到定直线x a c =-2和定点F c ()-，0的距离之比为acc a ()>>0的点的轨迹是双曲线；(4)到定点F c ()，0和定直线x a c =2的距离之比为caa c ()>>0的点的轨迹是椭圆。
请将正确命题的代号都填在横线上__________。
三. 解答题：本大题共6小题；共74分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分12分) 已知x R y R ∈∈，，复数z x x y i z y x i z i z i 1212224121=--=++-=-+()()()，，当时，()()()I z z II z z 求；求的值。
12125⋅-18. (12分)设集合{}A x x x zB x ax a x a a =+->-⎧⎨⎩⎫⎬⎭=-<-<|log ()|1222630，，，求使A B a ⋂=φ的的取值围。
19. (12分)某集团投资兴办甲、乙两个企业，1998年甲企业获得利润320万元，乙企业获得利润720万元，以后每年企业的利润甲以上年利润1.5倍的速度递增，而乙企业是上年利润的23，预期目标为两企业年利润之和是1600万元，从1998年年初起，(I)哪一年两企业获利之和最小；(II)需经过几年即可达到预期目标(精确到一年)20. (12分)如图，圆锥的轴截面是等腰Rt SAB Q ∆，为底面圆上一点， (I)若QB 的中点为C ，OH SC OH SBQ ⊥⊥，求证平面 (II)若∠==AOQ QB 6023 ，求此圆锥的体积。
(III)若二面角A －SB －Q 为θθ，且，求的大小tg AOQ =∠63。
21. (13分)设F 1是椭圆C 1：()x -+=1294927122的左焦点M 是C 1上任意一点，P是线段F M 1上的点且满足F M MP 131：：=()I C 求点Ｐ的轨迹2()()II A l l C 过点，作直线与Ｃ相交，求与有且0222仅有两个交点时，l 的斜率的取值围。
(III)过A 与F 1的直线交C 2于BC ，求∆F BC 2的面积。
(F 2为C 2的右焦点) 22. (13分)已知函数f x a x f x b f x a b f ()()()()()满足，⋅⋅=+⋅≠=012且f x f x ()()+=--22对定义域中任意x 都成立。
(I)求函数f x ()的解析式(II)若数列{}{}a S a n n n 的前几项和为，满足当n=1时，a f n 1122==≥()，当时，S f a n n n n -=+-212522()()试给出数列{}a n 的通项公式，并用数学归纳法证明。
【试题答案】 1.{}{}x x x x ZN P C 2330031212328-<<<∈∴=∴==又，，，它的子集有个()2. y x y x x D =-=≤的反函数是故20()()3. A4.x x x x x C ∈-⇒∈-=-∴=±∴=±()(cos ()ππππππ33331232329，，）又5.a b c b c a A =+=====>>∴>>2134525822826262260626050sin()sin cos sin sin ()6.a b a b a b A n n n nn n n n n n ==-+=-⋅+→-612234122312412()()()7．设将代入：||||()()()()()()MF r MF r r r a r r c r r r r C 1122121222221222122141210021221410244224==+==+==⎧⎨⎪⎩⎪=-=⋅∴=8.中心(0，t)t a c t C ±=∴=28115或()9.y x x x x x x x k k x k k k Z D =+=⋅+=-+++++∴∈++∈22242241242223878sin (sin cos )sin sin()cos()cos()[][]()()πππππππππππ的单调递增区间是，，10.1过及作平面，、为棱中点面O A B EFB A E F AM A E AM A B AM EFB A AM OP C 111111111⊥⊥∴⊥∴⊥()11.O 、A 、B 、C 四点共线，D 、O 、E 三点共线∴--=C C B 6343115()12. 注意M 点在⊙上，∴-+=++==-≠∴=-∴-+==-=切线：：：与的距离l x y l ax y a a a a l x y l l d D 43200320433220443802085125111||()13.y x x x x x x x x tg x T =+-=+-=++=+∴=cos sin cos sin sin()sin()sin()cos()()22222242422424242ππππππ14.y px x p M a a x pM y x a p2008222==-=+∴=-的准线为由抛物线定义点到准线距离为点到轴距离为15.四边形对边平行是平行四边形只须邻边垂直，它就是矩形即可。
或填底面，或为正三棱锥，或为正四面体等均可EFGH AC BD AC BCD A BCD A BCD ∴∴⊥⊥--()D16.(1)常数大于两定点距离时，才是椭圆 (2)常数小于两定点距离时，才是双曲线 由定义可知(3)(4)正确。
17.()()I z i z i y x x y z i z iz z z z 由得解得1212121221632612121211222-=-+-=-+=-⎧⎨⎪⎩⎪=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴=-+=-∴⋅=⋅=⋅=()()()[(cossin )]()[cossin ][cos()sin()]II z z i i i i i1255552222343422154154128244128128-=-+=+=+=-+-=-ππππππ18.log ()()()()()()122222226260642123212330033252+->-⇔+->+-<⎧⎨⎪⎩⎪⇔∈--⋃∴=--⋃->-≥-<-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇔<≤><⎧⎨⎪⎩⎪⇔<≤x x x x x x x A x a ax a ax a x a a x a x a x a a x a，，，，或∴=⋂=≤-<≥-⎧⎨⎪⎩⎪-≤<∴≤--≤<B a a A B a a a a a a (]220211202120，为使或即或为所求φ19. 设98年为第1年则第n 年甲企业获利a n n =⋅-320151(.) 乙企业获利720⋅-()()231n 单位万元(I)设第n 年两企业获利之和最小a b n n n n n n nn n n n n +=⋅+⋅=⋅+⋅≥⋅⋅==⋅==∴=-----+----32032720233203272032232072032960320327203232720320322199911111111222()()()()()()()()()()()万元当且仅当时取等号即即第二年两企业获利之和最小(II)设经过n 年两企业可达到预期目标即有即令则即或32032720321600432932203232149200920402291111112⋅+⋅≥⋅+⋅≥==∴+-≥-+≥≥≤------()()()()()()n n n n n n t tt t t t t t当时，舍当时即需经过年年t n t n n n ≥<≤≤-≤⋅≥-⋅=+⋅⋅=+=+>+⋅=∴-2029322912912913322321242944520021323232323232()()log log log log log log ()20.()I C QB OC QBSO AQBQB SC QB SOCQB SQBSQB SOC SCOH SCOH SQB 为中点面面又面面面且交于又面∴⊥⊥∴⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥()()II AOQ BOQ COQ QC QB R OQ OC AB OQ SAB Rt SO V R h∠=∴∠=∴∠===∴===∴==∴=∴=60120601232124213832，是等腰＝立方单位⊙锥∆∆ππ()()sin cos cos (cos )(cos )()sin (cos )sin cos III SAB ABQ ABQ QD AB D QD SAB Q QP SB P DP DP SB QPD tg QD PD AOQ O RQD R OD R PBD DB R R R PD BD R QD PD R R 面面且交于过作于，则面过作于，连，则设，⊙半径为则，中：代入⊥∴⊥⊥⊥⊥∴∠===∠====+=+∴==+=+=∴+=⋅θθαααααααααα631122*********1226∆3332332306060====∠=即即tg AOQ ααα21.()()()()()()I F M x y P x y F P PM x x y y x x y y x x y P C x a b c 10010000022222102112120212123132129490271431231-===-++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+=+====，设，，用定比分点坐标公式得代入并化简得为点轨迹，它是中心在原点长轴在轴上的椭圆：，，λ ()()()II l y kx y kx x y y k x kx k k k k k ：消或=+=++-=⎧⎨⎪⎩⎪+++==-+>⇒>><-2234120341640161634014121222222222∆()()()()()()III F A F x y x y x y x y y x x B x y C x y BC x x x x 21222112221221221021220220341201932401245321944196019，过、的直线方程为即消得设，，-+=-+=-+=+-=⎧⎨⎪⎩⎪++==+⋅+-=⋅-⋅=k S BC h F BC =⋅-+=∴=⋅=120254512245192∆ 22.()()()()()()()()()()()()()()(I axf x b f x ax f x bax b ax f x b ax f b a a bf x f x b a x b a x a a b f x x x x =+∴-=-==∴-≠∴=-=-=∴-=+=--+-=---→=∴==-∴=--=-≠11001011122212221214212111121222若则有不可能由得代入得) ()()()()()()(*)II S f a n n S a n n S a n n n S a a a a n a n a a n n n n nn n n -=+---=+-∴+=++=+=++==-=∴======+2125222212521252212410282863344512222221234即当时，当时，得当时，得由此猜想证明：时，成立设时有时，112112112521252111215122127821278125212211212122 n a n k a k S a k k S k k k n k S a k k S a k k a k k k k k k k k k k k k k k ===+==++=++∴=++--∴=++=+++++=++=++-+++++++(*)()()[()()]()()()+=+∴=+=++∴=+∈=++12421111211k a k k n k n N a n k n 时真由、，对有(*)。