直线与平面垂直的判定及其性质教案学生版
直线平面垂直的判定及其性质教学案
直线、平面垂直的判定及其性质考纲要求1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果直线l 和平面α内的__________一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作__________．(2)直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面内的两条__________都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．②结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号可表示为：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒__________.(3)直线与平面垂直的性质：①由直线和平面垂直的定义知：直线垂直于平面内的__________直线． ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．用符号可表示为：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒__________.③垂直于同一直线的两平面平行，即a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.(4)斜线与平面所成的角．斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做斜线和平面所成的角． 2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条__________，那么这两个平面互相垂直．简述为“线面垂直，则面面垂直”，记为：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βl ⊂α⇒__________. (3)平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号可表示为：⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l m ⊂αm ⊥l⇒__________.1．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则AC 的长为( )．A.2aB.22aC.32a D ．a3．(2012北京模拟)已知如图，六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( )．A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD4．设α，β，γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为__________(写出所有真命题的序号)．5．在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E为BB1的中点，∠A1DE＝90°，求证：CD⊥平面A1ABB1.一、直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.方法提炼证明直线和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理；(2)利用面面垂直的性质定理；(3)利用结论：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(4)利用结论：a⊥α，α∥β⇒a⊥β.请做演练巩固提升1,3二、平面与平面垂直的判定与性质【例2】 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P MAB 与四棱锥P ABCD 的体积之比． 方法提炼1．证明平面与平面垂直，主要方法是判定定理，通过证明线面垂直来实现，从而把问题再转化成证明线线垂直加以解决．2．线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想，其中线线垂直是最基本的，在转化过程中起穿针引线的作用，线面垂直是纽带，可以把线线垂直与面面垂直联系起来．请做演练巩固提升2要善于挖掘图形中存在的关系及添加辅助线【典例】 (12分)(2012课标全国高考)如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 规范解答：(1)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2分)又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC . 由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°， 所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .(4分) 又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(6分) (2)设棱锥B DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12.(8分)又三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积V ＝1，(10分) 所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.(12分)答题指导：解决垂直问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注： (1)缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面； (2)对几何体体积、面积及线面角的计算不准确；(3)不善于挖掘图形中存在的关系，缺乏通过添加辅助线解题的能力．另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于使用数学符号进行表达．1．已知α，β为不重合的两个平面，直线m α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．下列命题中错误的是( )．A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β3．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF ＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.4．(2012北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.图1 图2(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)任意l⊥α(2)①相交直线②b⊥α(3)①任意一条②a∥b2．(1)直二面角(2)垂线α⊥β(3)m⊥β基础自测1．B2．D 解析：取BD的中点E，连接AE，EC，则BD⊥AE，BD⊥EC，∠AEC是直二面角的平面角，即∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，AE＝EC＝2a2，于是AC＝AE2＋EC2＝a.3．D 解析：A中，∵CD∥AF，AF⊂面PAF，CD⊄面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.4．①②解析：③中l∥α也满足；④中α与β可能相交．5．证明：连接A1E，EC，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 2.设AD＝x，则BD＝22－x，∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(22－x)2，A1E2＝(22)2＋1.∵∠A1DE＝90°，∴A1D2＋DE2＝A1E2.∴x＝ 2.∴D为AB的中点．∴CD⊥AB.又AA1⊥CD，且AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1.考点探究突破【例1】证明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.又AC⊥CD，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.①又由∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，得PA＝AC.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD.∴AE⊥PD.②由①②，得PD⊥平面ABE.【例2】 (1)证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，得PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.所以BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，因此BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G ，F 分别为PB ，PC 的中点， 所以GF ∥BC ，因此GF ⊥平面PDC . 又GF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC .(2)解：因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1， 则PD ＝AD ＝2，所以V P ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83.由于DA ⊥面MAB ，且PD ∥MA ，所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，V P MAB ＝13×12×1×2×2＝23，所以V P MAB ∶V P ABCD ＝1∶4. 演练巩固提升1．A 解析：根据面面垂直的判定定理可知若m ⊂α，m ⊥β⇒α⊥β，反之则不一定成立．2．D 解析：对于命题A ，在平面α内存在直线l 平行于平面α与平面β的交线，则l 平行于平面β，故命题A 正确．对于命题B ，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B 正确．对于命题C ，设α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，在平面γ内取一点P 不在l 上，过P 作直线a ，b ，使a ⊥m ，b ⊥n .∵γ⊥α，a ⊥m ，则a ⊥α，∴a ⊥l ，同理有b ⊥l .又a ∩b ＝P ，a ⊂γ，b ⊂γ， ∴l ⊥γ.故命题C 正确．对于命题D ，设α∩β＝l ，则l ⊂α，但l ⊂β. 故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D 错误． 3．证明：(1)设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形． 所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以AF ∥平面BDE . (2)连接FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1， 所以四边形CEFG 为菱形． 所以CF ⊥EG .所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.4．解：(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP. 所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。
高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》教学设计 (1)
《直线与平面垂直的判定》教学设计一．教材分析直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况．它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，同时它也为研究线面角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容进行了必要的知识准备．因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容．本节课主要研究了直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们初步应用，在此过程中蕴含着丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想．判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务．二．学情分析从学生已有的认知基础来看，学生已经学习了空间中的平行关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.从学生能力来看，学生学习的困难主要有以下两个：1．理解直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比较困难的．所以在设计教学时，首先通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性．2．用定义去判定直线与平面垂直是不方便的，如何在较短的时间内，让多数学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这需要一个较好的载体，去引导学生探究直线与平面垂直的判定定理，同时完成对定理条件的确认．所以，在教学过程中，通过折纸试验，精心设置问题，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．并且引导学生通过操作、摆出反例模型，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．三．目标分析教学目标：1．通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能对它们进行简单的应用.2．通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用.3．让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.并渗透事物间相互转化和理论联系实际的辨证唯物主义观点.教学重难点：教学重点是直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用．教学难点是对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．四．教学策略本课在设计上采用了由感性到理性、从具体到抽象的教学策略.同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点.教法:问题引导、启发探究和归纳总结相结合学法:教学手段:教学流程：五．教学过程Ⅰ．创设情境生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？①如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等.②将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系.活动设计：学生举例,教师通过PPT，展示生活中一些线面垂直的例子，引导学生观察直线与平面垂直的情况.【设计意图】从实例到图片，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备.数学源于现实，从日常生活中碰到的的问题，引导学生对实际问题进行数学抽象，激发学生学习兴趣和求知欲，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.Ⅱ．观察归纳自主探究Array（1）直线与平面垂直的定义请同学们回忆一下圆锥的形成过程.我们经常说“立竿见影”．在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子．如果某一时刻，你发现竿与影所成的角不是直角，是否可以断定竿发生了倾斜？问题1：①竿所在直线和地面影子所在直线是什么位置关系?②竿所在直线和地面内任意一条直线是什么位置关系?问题2：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？由此你能得到什么启发，你觉得怎样能用你学过的知识给出线面垂直的定义.定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直,记作：lα⊥,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线l与平面α垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.活动设计：多媒体演示：①圆锥的形成过程；②旗杆与它在地面上影子的位置变化.【设计意图】结合几何直观感知，学生就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义并让学生体会到线面垂直的本质是直线与平面内任意一条直线垂直.问题3：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？②如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线是否与这个平面内的任何直线都不垂直? ③如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？ 【设计意图】在问题3中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题：通过对概念的辨析,深化理解,同时得到线面垂直的一个性质. （2）直线与平面垂直的判定定理探究:准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触）问题4：①如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面α垂直？②由折痕AD BC ⊥，翻折之后垂直关系，即AD CD ⊥，AD BD ⊥发生变化吗？由此你能得到什么结论？定理：与此平面垂直.用符号语言表示为：【设计意图】引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的判定定理．让学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性.由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理.因而在探索直线与平面垂直判定定理过程中，安排学生动手实验，讨论交流、为便于b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα图1D CA B图2DBAααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,Cab\αmnAB C D αAA 'BB 'C 'DD '学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，并通过问题让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力.思考：如图，有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂有两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把 它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上),C D .如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 练一练:1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两条边； ②梯形的两条边； ③圆的两条直径； ④正六边形的两条边．试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由. 2.判断正误:如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ( )Ⅲ．数学运用 深化认识例题: 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．证明：在平面α内作两条相交直线m ，n ． 因为直线a α⊥，根据直线与平面垂直的定义知,a m a n ⊥⊥．又因为b ∥a 所以m b ⊥，n b ⊥．又因为α⊂m ，α⊂n ，m ，n 是两条相交直线， 所以α⊥b ．如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直．练一练：1.如图，空间中直线l 和三角形的两边AC ,BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是（ ）A .平行B .垂直C .相交D .不确定2.探究：如图，直四棱柱////ABCD A B C D -（侧棱与底 面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD 满足什么 条件时,///A CB D ⊥？AVBC K【设计意图】通过对例题和习题的探究，培养学生的正、逆向思维能力，强化学生灵活运用线面垂直的定义和判定定理进行线线垂直和线面垂直之间转化的能力. 同时，例题为我们提供了判定线面垂直的又一种方法. Ⅳ．回顾反思 拓展延伸课堂小结:线面垂直的定义线 线面垂直的判定定理作业布置：1.判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）正方体''''ABCD A B C D -中，棱'BB 和底面ABCD 垂直．（2）正三棱锥P ABC -中，M 为棱BC 的中点，则棱BC 和平面PAM 垂直．2.如图，圆O 所在一平面为α，AB 是圆O 的直径，C 是 圆周上一点,且PA AC ⊥, PA AB ⊥,求证： （1）PA BC ⊥； （2）BC ⊥平面PAC ；（3）图中哪些三角形是直角三角形.3.如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =．求证：VB AC ⊥．D'B'DBAM PABA C EF K V 线线垂直线面垂直如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．变式引申 如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =，K 是AC 的中点．若E 、F 分别是AB 、BC 的中点，试判断直线EF 与平面VKB 的位置关系．【设计意图】小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一 方面，更是对探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训.六．板书设计。
直线、平面垂直的判定及其性质教案
教案学生姓名 _______ 科目______ 年级_______ 编号_____授课老师______ 授课时间___________上课日期__________ 总课时 ______ 本次课时_____ 剩余课时______教学重难点：1、直线与平面垂直（1）定义（2）线面垂直的判定定理（2）线面垂直的性质定理2、平面与平面垂直（1）定义（2）面面垂直的判定定理（3）面面垂直的性质定理教学过程(内容)：1、课前基础知识梳理，（问答式、填空式、回顾式）；2、学生自行完成基础自测环节，旨在检验基础知识应用情况；3、教师进行课堂考点讲解，使学生明确考点，有的放矢；4、考题演练，难度系数较第二环节高，可检验本次课教学情况；作业：1、本节所学课后务必再多加练习以期全部掌握；2、重在熟练解题思路、掌握解题模式、体会相关思想方法、习得突破口技能。
3、课时作业（四十一）课堂反馈：家长反馈意见：学生签字：家长签字：人的一生会经历风风雨雨，不是每一件事都由我们所控制，有些事的结果甚至会出乎我们的意料。
无论结果怎样，这对我们都不是最重要的，重要的是我们曾为它而经历过、拼搏过，只要有这个过程，我们就不会后悔。
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 知识梳理1、直线和平面垂直定义 线面垂直的判定定理线面垂直的性质定理 线 面 垂 直a α∀⊂，有l a ⊥ 记作: l α⊥ ,,l a lb a b O l a b αα⊥⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⎭I 即：线线垂直⇒线面垂直 ,//a b a b αα⊥⊥⇒ 即：线面垂直⇒线线平行2、平面与平面垂直定义 面面垂直的判定定理 面面垂直的性质定理 面面垂直如果两个平面所成的二面角是直二面角, 我们就说这两个平面互相垂直。
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
即：线面垂直⇒面面垂直 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
直线与平面垂直的判定教学设计
“直线与平面垂直的判定〃教学设计一、内容和内容解析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的根底，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的根底，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。
直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直。
定义中的“任意一条直线〃就是“所有直线〃。
定义本身也说明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线。
直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性。
对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括〃的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究那么遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用〃的认知过程展开，通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力，开展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力。
同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题〃，“无限问题转化为有限问题〃，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化〃。
教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
二、目标和目标解析目标：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理。
目标解析：1、借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。
2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理。
3、能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直。
直线与平面垂直的判定及其性质教案
5.设 m 、 n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ） A． m , n , m n C． , m , n // m n B． // , m , n // m n D． , m, n m n
小结： 两个平面互相垂直的判定方法有： (1)定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角； (2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直； (3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面. 二面角的计算方法： ①用定义作二面角的平面角 ②用垂面法作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面， 则该垂面与二面 角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角. ③ 面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面 角为 θ ，则 cosθ =
4、关于直线 m 、 n 与平面 、 ，有下列四个命题： ① m // , n // 且 // ，则 m // n ； ③ m , n // 且 // ，则 m n ； 其中真命题的序号是（ A. ①、② ） B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ ② m , n 且 ，则 m n ； ④ m // , n 且 ，则 m // n .
定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。
平面与平面垂直的性质定理：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 平面与平面垂直的性质 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直（面面垂直，则线面垂直） 平面角 例 1：下列说法中正确的是 （ ）
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质教案教案要求：1. 学生年级：高中数学或几何学课程2. 课时：1课时3. 主题：直线与平面垂直的性质教学目标：1. 了解什么是直线与平面垂直的几何关系；2. 掌握直线与平面垂直的判定条件；3. 能够解答直线与平面垂直相关的数学问题。
教学准备：1. 平面几何教材；2. 黑板、白板或投影设备；3. 教学PPT或展示素材。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入问题：什么是直线与平面垂直的几何关系？- 引导学生回顾直线与平面的定义，根据直观经验，直线与平面垂直表示什么意思？2. 探究（10分钟）- 提示学生思考：如何判定一条直线与一个平面垂直？- 引导学生尝试给出判定准则，并解释其原理。
- 让学生讨论并交流，引导他们总结判定直线与平面垂直的条件。
3. 讲解（15分钟）- 结合学生的讨论结果，给出判定直线与平面垂直的条件，并用几何公式或示意图进行解释。
- 强调判定条件的重要性并给出几个典型的示例。
4. 示例分析（10分钟）- 提供一些例题或实际问题，让学生运用所学的知识判定直线与平面之间的垂直关系。
- 引导学生分析和解答问题，让他们积极思考并应用所学知识。
5. 拓展应用（10分钟）- 提供一些更复杂或具有挑战性的问题，让学生应用所学知识解决。
- 引导学生思考解决问题的方法和步骤，并鼓励他们进行讨论和合作。
6. 小结（5分钟）- 总结本节课所学的内容和思考问题，并强调直线与平面垂直的判定条件。
- 提醒学生复习和巩固所学的知识，并鼓励他们提出对直线与平面垂直性质的理解和感悟。
教学延伸：如果时间允许，可以让学生进行实践活动或小组讨论，进一步探究直线与平面垂直性质的应用。
可以使用动画或虚拟现实技术来展示直线与平面垂直的几何关系，以增加学生的兴趣和参与度。
直线与平面垂直的教案
8.6.2 直线与平面垂直——直线与平面垂直的判定一、教学目标1.探索直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中以“化繁为简”的转化思想.二、教学重难点重点：直线与平面垂直的判定定理的理解难点：直线和平面垂直的判定定理及其应用三、教学过程1.复习回顾直线与平面垂直的定义：一般地，如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α．直线l 叫做平面α的垂线，平面α 叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足．注：通过解读直线与平面垂直的定义，得出下面这个结论：,.l a l a αα⊥⊂⇒⊥简记为：线面垂直，则线线垂直.2.探究新知下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件．根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．那么，有没有可行的方法？【探究活动】引导学生动手操作；如图准备一块三角形纸片ABC，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，并请学生思考;（1）折痕AD与桌面垂直吗？不一定（2）如何翻折才能得到使折痕AD与桌面垂直？为什么？折痕AD是BC边上的高根据基本事实推论2可知：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面。
猜想：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，这条直线就和这个平面垂直.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．图形语言：符号语言：简记为：线线垂直⇒线面垂直思考 两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？平面内的两条相交直线代表两个不共线向量，而平面内的任意向量都可以以它们为基底进行线性表示，从而平面内的两条相交直线可以“代表”这个平面上的任意一条直线；而两条平行直线所表示的向量是共线的，它们不能作为平面内的任意向量的基底，用它们不能“代表”这个平面上的任意一条直线．如果将上述问题中的“”两条相交直线“”改为“无数条直线”的话，答案也是否定的。
直线与平面垂直的判定的教案
直线与平面垂直的判定的教案一、教学目标1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.二、教学重点、难点重点：直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究；难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．三、教学过程1. 从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？(一学生用教具演示)问题2：在日常生活中你见到最多的直线与平面相交的情形是哪种？试举例说明．（师生互动，给出实例与图片）2.提炼直线与平面垂直的定义问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？教师（在学生发言的基础上归纳）：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，由这样的思路启发我们：能否将线面垂直问题转化为线线垂直问题呢？请学生结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．问题4：(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子的位置也会移动,而旗杆AB与影子所成的角度是否会发生改变?教师引导学生发现：旗杆AB所在的直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直．(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？引导学生再发现：旗杆AB所在的直线也与地面上任意一条不过点B的直线垂直．教师：现在，你能给直线与平面垂直下个定义吗？请学生用自己理解的语言概括定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.教师继而引导学生用数学符号与图形语言表述之）教师：这样我们就从线与线的垂直来定义线面垂直．即把空间问题转化为了平面问题．你对定义中的“任意”两个字是如何理解的？思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？对问（1），在学生回答的基础上教师可用直角三角板在黑板上直观演示,或引导学生：可将教材中每一行字看成平行线,当钢笔所在直线与其垂直时,钢笔不一定就与教材所在平面垂直；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若，则.教师引导学生体悟：线线垂直线面垂直线线垂直的转化思想教师：通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．那么，是否有更简捷、可行的方法来判定直线与平面垂直呢？3.探究直线与平面垂直的判定定理创设情境猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？学生发表自己的见解，……？（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们先一起来做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）问题5：（1）折痕AD与桌面所在的平面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？提出问题让学生思考：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？根据学生思考情况启发学生可从线与线的位置关系来考虑．再提出:使得折痕与桌面所在平面垂直的的关键因素是什么？问题6：如果我们把折痕抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D 始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内．问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）问题7：如果，将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？教师:这说明了什么?要判断一条直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.根据试验，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？学生叙写判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则称该直线与此平面垂直.给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化问题8：（1）和直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?（师生共同揭示本节课蕴涵的丰富的数学思想方法）思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？“为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证，即不翻折无法使其竖立在桌面上）4.直线与平面垂直判定定理的应用如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．引导学生分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明，并用文字语言概括：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．教师：这个问题给出了判断直线和平面垂直的又一个方法，间接判定直线与平面垂直．这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．练习：如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；（请学生判定后，追问：EF与VB的位置关系如何？）(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？5.小结回授（1）本节课你学会了哪些判定直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述．（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？6.作业布置（1）课本P73探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．（2）如图９，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形.（3）课本P74练习2.。
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C．①④
D．②③
知识点二：直线与平面垂直的判定定理
定理：一条直线与平面垂直内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 图形语言: 符号语言:
题型二 直线与平面垂直的判定定理的运用 例题 1：如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。 求证：PC⊥BC
2．下列命题中，不正确的是（ ） A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面
B. C. D.
平面的垂线一定与平面相交 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
3.已知平面 ⊥平面 ， l ，点 P∈ l ，则给出下面四个结论： ①过 P 和 l 垂直的直线在平面 内； ③过 P 和 l 垂直的直线必与 垂直； 其中真命题是： （ A. ② ） B. ③ C. ①、④ D. ②、③ ②过 P 和平面 垂直的直线在平面 内； ④过 P 和平面 垂直的平面必与 l 垂直。
D1
变式训练 1：已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ， O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证： A1C 面 AB1 D1 ．
C1 B1
A1 D O A
C B
题型三 ：线线 、线面垂直的相互转换
例题 1：已知正四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 与它的侧视图（或称左视图） E 是 DD1 上一点， AE B1C ．求 ， 证 AE 平面B1C同的直线， ，， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） ， A．若 m ， ，则 m C．若 m ， m ∥ ，则 B．若 m , n ， m ∥ n ，则 ∥ D．若 ， ⊥ ，则
4、关于直线 m 、 n 与平面 、 ，有下列四个命题： ① m // , n // 且 // ，则 m // n ； ③ m , n // 且 // ，则 m n ； 其中真命题的序号是（ A. ①、② ） B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ ② m , n 且 ，则 m n ； ④ m // , n 且 ，则 m // n .
S 射影多边形面积 S 原多边形面积
.
定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。 面面垂直的判定方法： 1、 定义法
2、 判定定理
平面与平面垂直的性质定理： 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们_______的________垂直于另一个平面。 平面与平面垂直的性质 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_______的直线与另一个平面垂直（面面垂直，则_______垂直）
变式训练 1：如图，在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，各棱长都相等，D、E 分别为 AC1，BB1 的中点。 （1）求证： DE∥平面 A1B1C1； （2）求二面角 A1—DE—B1 的大小。
A
D
A1 C1
B
C
E
B1
两个平面垂直 例 1：在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 求证: 平面 A1C1CA⊥面 B1D1DB . D1 A1 D A B B1 C C1
5.设 m 、 n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ） A． m , n , m n C． , m , n // m n B． // , m , n // m n D． , m, n m n
D．a 或 a∥
变式训练 2：已知 m ， n 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（
）
A ． m , n , m // , n // // C． m , m n n //
B． // , m , n m // n D． m // n, n m ）
变式训练 1：如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形，∠ＤＡＢ＝60°,PD⊥平面 ABCD，PD=AD,点 E 为 AB 中点，点 F 为 PD 中点， 求证：(1)平面 PED⊥平面 PAB ; (2)求二面角 F-AB-D 的正切值． P F D A E B C
变式训练 2.：判断下列命题是否正确，并说明理由： ① α ⊥γ , β ⊥γ , 则α //β ；错 ②若α ⊥β , β ⊥γ , 则α ⊥γ ；错 ③若α //α 1, β //β 1, α ⊥β , 则α 1⊥β 1，正确 变式训练 3：已知直线 PA 垂直于O 所在的平面，A 为垂足，AB 为O 的直径，C 是圆周上异于 A、B 的一点。 1) 求证：平面 PAC平面 PBC； 6 2) 若 PA=AB=a, AC a，求二面角A PB C的大小。
6. 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，AB∥DC， DAB 90 , PA 底面 ABCD，且 PA=AD=DC= M 是 PB 的中点。 （Ⅰ）证明：面 PAD⊥面 PCD； （Ⅱ）求 AC 与 PB 所成的角； （Ⅲ）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。
1 AB=1， 2
平面角 例 1：下列说法中正确的是 （ ）
A.二面角是两个平面相交所组成的图形 B.二面角是指角的两边分别在两个平面内的角 C.角的两边分别在二面角的两个面内, 则这个角就是二面角的平面角 D.二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱. 例 2 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中: (1)求二面角 D1-AB-D 的大小; (2)求二面角 A1-AB-D 的大小 D1 A1 D A B B1 C C1
D1 A1
E
D
C1 B1
D1
A1
4
C
A
D
图5
2
A
B
知识点二：面与面垂直
二面角 角 A 图形 顶点 O 边 边 B A ——l B α 从空间一直线出发的两个____所组成 的图形 半平面 一 线（____）一 半平面 二面角α -l-β 或α -AB-β β 二面角
从平面内一点出发的两条____（半 定义 直线）所组成的图形 构成 表示 射线 — 点（____）一 射线 ∠AOB
小结： 两个平面互相垂直的判定方法有： (1)定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角； (2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直； (3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面. 二面角的计算方法： ①用定义作二面角的平面角 ②用垂面法作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面， 则该垂面与二面 角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角. ③ 面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面 角为θ ，则 cosθ =
学生姓名 授课题目：
授课教师
日 期
教学主管签名
直线与平面垂直的判定及其性质 重点难点： 1.直线与平面垂直的判定与性质 2.平面与平面垂直的判定与性质
重要知识点讲解 知识点一：直线与平面垂直的定义
定义： 如果直线 l 与平面 内的_______一条直线都垂直， 我们就说直线 l 与平面 互相垂直。 记作 l ， 直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面，直线与平面垂直时，它们_______的公共点 P 叫做垂足 符号语言：任意 a , 都有l a l ，其中“任意直线”等同于“_______直线” 规律与方法 （1）直线与平面垂直是直线与平面_______的特殊情形。 （2）由定义可知，若直线与平面垂直，则直线与平面内的_______直线垂直，这是证线线垂直的重要方法 （3）重要结论：过一点和已知平面垂直的直线只有_______ 题型一： 直线与平面垂直的判定定义 例题 1 下列命题中，正确的序号是 ① 若直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则 l ； ② 若直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则 l ③ 若直线 l 不垂直于平面 ，则 内没有与 l 垂直的直线 ④ 若直线 l 不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 l 垂直 ⑤ 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 变式训练 1：直线 a 与 b 垂直，b⊥平面 ，则 a 与平面 的位置关系是 ( A．a∥ B．a⊥ C．a )
变式训练 3：已知两条直线 m, n ，两个平面 , ，给出下面四个命题： （ ① m // n, m n ③ m // n, m // n // 其中正确命题的序号是（ ） A．①③ B．②④ ② // , m , n m // n ④ // , m // n, m n