九年级数学上册第22章一元二次方程222一元二次方程的解法2221第1课时直接开平方法同步练习新版华东师大版
九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.1第1课时直接开平方法
22.2.1 第1课时 直接开平方法1．解方程：x 2＝25.因为x 是25的平方根，所以x ＝________．所以原方程的解为x 1＝________，x 2＝________．2．一元二次方程x 2－4＝0的解是( )A ．x 1＝2，x 2＝－2B ．x ＝－2C ．x ＝2D ．x 1＝2，x 2＝03．［教材例1变式］用直接开平方法解下列方程：(1)x 2－5＝0; (2)16x 2＝81；(3)5x 2－125＝0; (4)x 2－5＝49.知识点 2 用直接开平方法解形如(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的一元二次方程4．将方程(2x －1)2＝9的两边同时开平方，得2x －1＝________，即2x －1＝________或2x －1＝________，所以x 1＝________，x 2＝________．5．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A ．x 2－3＝0B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2＝0D ．(x －1)2＝(－2)26．用直接开平方法解下列方程：(1)(x ＋2)2＝27； (2)(x －3)2－9＝0；(3)(2x －8)2＝16； (4)9(3x －2)2＝64.7．若a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a ＞b ，则a b＝( )A ．－5B ．－4C ．1D ．38．［2016·深圳］给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n －1.例如：若函数y ＝x 4，则y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的根是( )A ．x 1＝4，x 2＝－4B ．x 1＝2，x 2＝－2C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝2 3，x 2＝－2 39．若(x 2＋y 2－1)2＝4，则x 2＋y 2＝________．10．已知直角三角形的两边长x ，y 满足||x 2－16＋y 2－9＝0，求这个直角三角形第三边的长．11． ［2017·河北］对于实数p ，q ，我们用符号min {}p ，q 表示p ，q 两数中较小的数，如min {}1，2＝1.因此，min {}－2，－3＝________；若min {}（x －1）2，x 2＝1，则x ＝________．1．±5 5 －5 2.A3．解：(1)x 2＝5，x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－ 5. (2)∵x 2＝8116，∴x ＝±8116， 即x 1＝94，x 2＝－94. (3)∵5x 2＝125，∴x 2＝25，∴x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－5.(4)x 2－5＝49，x 2＝499，解得x 1＝73，x 2＝－73. 4．±3 3 －3 2 －15．C [解析] x 2－3＝0移项得x 2＝3，可用直接开平方法求解；(x －1)2－4＝0移项得(x －1)2＝4，可用直接开平方法求解；(x －1)2＝(－2)2＝4，可用直接开平方法求解．故选C.6．解：(1)∵x ＋2＝±27，∴x ＝－2±3 3，∴x 1＝－2＋3 3，x 2＝－2－3 3.(2)∵(x －3)2－9＝0，∴(x －3)2＝9，∴x －3＝±3，∴x 1＝6，x 2＝0.(3)∵2x －8＝±16，∴2x ＝8±4，∴x 1＝6，x 2＝2.(4)∵(3x －2)2＝649， ∴3x －2＝83或3x －2＝－83， 解得x 1＝149，x 2＝－29. 7．A [解析] x 2－4(x ＋1)＝1，∴x 2－4x －4＝1，∴(x －2)2＝9，∴x 1＝5，x 2＝－1.∵a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a >b ，∴a ＝5，b ＝－1，∴a b ＝5－1＝－5. 故选A.8． B [解析] 由函数y ＝x 3得n ＝3，则y ′＝3x 2，∴3x 2＝12，则x 2＝4，∴x ＝±2，∴x 1＝2，x 2＝－2.故选B.9． 3 [解析] (x 2＋y 2－1)2＝4直接开平方得x 2＋y 2－1＝±2.解得x 2＋y 2＝3或x 2＋y 2＝－1.∵x 2≥0，y 2≥0，∴x 2＋y 2＝3. 10．解：根据题意，得x 2－16＝0，y 2－9＝0，所以x ＝±4，y ＝±3.因为三角形的边长是正数，所以x＝4，y ＝3.若第三边为斜边，则第三边的长为32＋42＝5；若第三边为直角边，则第三边的长为42－32＝7，所以这个直角三角形第三边的长为7或5.11．－ 3 2或－1 [解析] min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x －1)2，x 2}＝1，当x ＝0.5时，x 2＝(x －1)2，不可能得出最小值为1，当x>0.5时，(x－1)2<x2，则(x－1)2＝1，x－1＝±1，即x－1＝1或x－1＝－1，解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)；当x<0.5时，(x－1)2>x2，则x2＝1，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1. 综上所述，x的值为2或－1.。
九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.1 直接开平方法和因
22.2.1 直接开平方法和因式分解法【学习目标】1、了解直接开平方法的几种形式。
2、能熟练运用直接开平方法解一元二次方程。
3、了解因式分解法解一元二次方程的步骤。
4、能运用因式分解法解一元二次方程。
5、了解因式分解法与直接开平方法的联系。
【学习重难点】直接开平方法及因式分解法的运用【学习过程】一、课前准备因式分解3(2)5(2)x x x +-+ ()222x y x y -++二、学习新知自主学习：试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1）x 2＝4； （2）x 2－1＝0;解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得 x =____ ______________＝0，必有 x －1＝0，或______＝0,得x 1＝___，x 2＝_____.概括：叫直接开平方法.叫因式分解法.想一想：（1）方程x 2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？（2）方程x 2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？实例分析：例1、解下列方程：（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0.解：例2、解下列方程：（1）3x2＋2x=0；（2）x2＝3x.解：例3、解下列方程：（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0.分析：两个方程都可以转化为（）2＝a的形式，从而用直接开平方法求解.解：（1）原方程可以变形为（_____）2＝____，（2）原方程可以变形为________________________，有________________________.所以原方程的解是x1＝________，x2＝_________.【随堂练习】1、解下列方程：（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）12y2－25＝0；（4）x 2－2x ＝0； （5）（t －2）（t +1）=0；（6）x （x ＋1）－5x ＝0.【中考连线】若2是关于x 的方程012)3(2=++-x k x 的一个根，则以2和k 为两边的等腰三角形的周长是多少？【参考答案】随堂练习1.(1)1x =13,2x =-13 (2)1x =35,2x =-35(3)1y =635,2y =-635 (4) 1x =0,2x =2(5) 1t =2,2t =-1 (6) 1x =0,2x =4中考连线解：∵2是方程012)3(2=++-x k x 的根∴012)3(24=++-k解得5=k ∵构成三角形必须满足两边之和大于第三边∴等腰三角形的腰只能是5，∴等腰三角形的周长为5+5+2=12。
九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.1直接开平方法和因式分解法直
九年级数学上册第22章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法直接开平方法解一元二次方程同步练习2 （新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第22章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法直接开平方法解一元二次方程同步练习2 （新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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直接开平方法解一元二次方程1．x 2－16＝0的根是( )．A.只有4B.只有－4C.±4D.±8 2．3x 2＋27＝0的根是（ )．A.x 1＝3，x 2＝－3B 。
x ＝3 C.无实数根 D 。
以上均不正确解答题(用直接开平方法解一元二次方程）3．2y 2＝8．4．(x ＋3）2＝2．5．.25)1(412=+x 6．3（2x －1)2－12＝0．7．(3x －2)（ 3x ＋2）＝8．8．(5－2x )2＝9(x ＋3)2．9．.063)4(22=--x 10．（x －m ）2＝n ．(n 为正数)参考答案1．C ． 3．C ．4．y 1＝2，y 2＝－2． 5．.32,3221--=-=x x6．x 1＝9，x 2＝－11． 6．⋅-==21,2321x x7．⋅±=3322,1x 8．.14,5421-=-=x x9．x 1＝1,x 2＝7．10．.,21m n x m n x +-=+=。
2022九年级数学上册 第22章 一元二次方程22.2 一元二次方程的解法1 直接开平方法和因式分解
11、人总是珍惜为得到。22.5.609:02:0609:02May-226-May-22 12、人乱于心，不宽余请。09:02:0609:02:0609:02Fri day, May 06, 2022 13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.5.622.5.609:02:0609:02:06May 6, 2022 14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年5月6日 星期五 上午9时 2分6秒 09:02:0622.5.6 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年5月 上午9时2分22.5.609:02May 6, 2022 16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年5月6日 星期五9时2分6秒09:02:066 May 2022 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时2分6秒上 午9时2分09:02:0622.5.6
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。22.5.622.5.6F riday, May 06, 2022 10、低头要有勇气，抬头要有低气。09:02:0609:02:0609:025/6/2022 9:02:06 AM
11、人总是珍惜为得到。22.5.609:02:0609:02May-226-May-22 12、人乱于心，不宽余请。09:02:0609:02:0609:02Fri day, May 06, 2022 13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.5.622.5.609:02:0609:02:06May 6, 2022 14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年5月6日 星期五 上午9时 2分6秒 09:02:0622.5.6 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年5月 上午9时2分22.5.609:02May 6, 2022 16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年5月6日 星期五9时2分6秒09:02:066 May 2022 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时2分6秒上 午9时2分09:02:0622.5.6
九年级数学上册第22章一元二次方程的解法1直接开平方法和因式分解法上课pptx课件新版华东师大版
解 （1）原方程可以变形为
(x + 1)2 = 4.
你是这样解的 吗？还有没有
直接开平方，得
其他解法？
x + 1 = ±2.
所以
x1 = 1，x2 = – 3.
（4）(x – 4)2 = (5 – 2x)2
(x – 4)2 – (5 – 2x)2 =0
[(x – 4)-(5 – 2x)] [(x – 4)+(5 – 2x)] =0
2.当方程出现相同因式（单项式或多项式） 时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.
教学反思
本节课教师引导学生探讨直接开平方法和 因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论， 归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、 恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法， 在整个教学过程中注意整体划归的思想.
所以 得
x(x – 3) = 0. x = 0 或 x – 3 = 0. x1 = 0，x2 = 3.
例3 解下列方程： （1）(x + 1)2 – 4 = 0； （2）12(2 – x)2 – 9 = 0.
分析 两个方程都可以通过简单的变形，化 为
(
)2 = a (a ≥ 0)
的形式，用直接开平方法求解.
（直1接）开移平项方，，得得x2x==9±0300，，（所2以）(x左+边30因)(式x –分3解0)，= 得0，
∴x1 = 30，x2 = – 30.
x + 30 = 0或x – 30 = 0，
得 x1 = 30，x2 = – 30.
（2）x2 = 3x
（2）移项，得
x2 – 3x = 0. 方程左边分解因式，得
对于题（2）x2 – 1 = 0,有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得
九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 因式分解
因式分解法解一元二次方程1．方程x(x－2)＝2(2－x)的根为( )．A.x＝－2B.x＝2C.x1＝2，x2＝－2D.x1＝x2＝22．方程(x－1)2＝1－x的根为 ( )．A.0B.－1和0C.1D.1和03．若实数x、y满足(x－y)(x－y＋3)＝0，则x－y的值是( )．A.－1或－2B.－1或2C.0或3D.0或－34.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A．7m B．8mC．9m D．10m5.已知三角形的两边长是方程x2－5x+6＝0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（）A．1<L<5 B．2<L<6C．5<L<9 D．6<L<106.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，知方程(x －2)*1＝0的解为_____________.7.如果x2－x－1＝（x+1）0，那么x的值为_____________.三、用因式分解法解下列方程8．3x(x－2)＝2(x－2)．9．x2－4x＋4＝(2－3x)2．10.解方程：(2y－1)2＝3(1－2y).11.阅读下面材料：把方程x2－4x+3＝0写成x2－4x+4－4+3＝0，(x－2)2－1＝0.因式分解，得(x－2+1)(x－2－1)＝0，(x－1)(x－3)＝0.发现：(－1)+(－3)＝－4，(－1)×(－3)＝3.结论：方程x2－(p+q)x+pq＝0可变形为(x－p)·(x－q)＝0.应用上面的解题方法，解下列方程：（1）x2+5x+6＝0；（2）x2－7x+10＝0；（3）x2－5x－6＝0；（4）x2+3x－4＝0.12.已知：关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解.参考答案1．C ． 2．D ． 3．D ．4.A 解析 设原正方形空地的边长为xm.依题意有(x －3)(x －2)＝20，解得x 1＝7，x 2＝－2（不合题意，舍去），∴原正方形空地的边长为7m5.D 解析 设此三角形的第三边长为A ．∵x 2－5x+6＝0，∴(x －2)(x －3)＝0，∴x ＝2或x ＝3，即三角形的两边长分别是2和3，∴此三角形第三边长a 的取值范围是1<a<5，∴该三角形的周长L 的取值范围是6<L<10.6.x 1＝2，x 2＝3 解析 根据题意，得(－2)2－12＝0.因式分解，得(x －2+1)(x －2－1)＝0，即(x －1)(x －3)＝0，所以x －1＝0或x －3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3.7.2 解析 x 2－x －1＝(x+1)0＝1，即x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1（舍去）. 8．x 1＝2，⋅=322x 9．x 1＝0，x 2＝1． 10.解：原方程可化为(2y －1)2－3(1－2y)＝0，因式分解，得(2y －1)(2y+2)＝0.∴112y =，y 2＝－1. 11.解：（1）方程变形为(x+2)(x+3)＝0，∴x 1＝－2，x 2＝－3.（2）方程变形为(x －2)(x －5)＝0，∴x 1＝2，x 2＝5.（3）方程变形为(x －6)(x+1)＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1.（4）方程变形为(x+4)(x －1)＝0，∴x 1＝－4，x 2＝1.12.解：（1）由题意可得∆＝22－4k>0，解得k<1.（2）由（1）中的k<1得k 取的最大整数值为0，即k ＝0，当k ＝0时，原方程可化为x 2+2x ＝0，∴x(x+2)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2.。
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22.2.1 第1课时 直接开平方法
知识点 1 用直接开平方法解形如x 2＝p (p ≥0)的一元二次方程
1．解方程：x 2＝25.
因为x 是25的平方根，所以x ＝________．
所以原方程的解为x 1＝________，x 2＝________．
2．一元二次方程x 2－4＝0的解是( )
A ．x 1＝2，x 2＝－2
B ．x ＝－2
C ．x ＝2
D ．x 1＝2，x 2＝0
3．［教材例1变式］用直接开平方法解下列方程：
(1)x 2－5＝0; (2)16x 2＝81；
(3)5x 2－125＝0; (4)x 2－5＝49.
知识点 2 用直接开平方法解形如(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的一元二次方程
4．将方程(2x －1)2＝9的两边同时开平方，
得2x －1＝________，
即2x －1＝________或2x －1＝________，
所以x 1＝________，x 2＝________．
5．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )
A ．x 2－3＝0
B ．(x －1)2－4＝0
C ．x 2＋2＝0
D ．(x －1)2＝(－2)2
6．用直接开平方法解下列方程：
(1)(x ＋2)2＝27； (2)(x －3)2－9＝0；
(3)(2x －8)2＝16； (4)9(3x －2)2＝64.
7．若a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a ＞b ，则a b
＝( )
A ．－5
B ．－4
C ．1
D ．3
8．［2016·深圳］给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n －1.例如：若函数y ＝x 4，则y ′＝4x 3.已知
函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的根是( )
A ．x 1＝4，x 2＝－4
B ．x 1＝2，x 2＝－2
C ．x 1＝x 2＝0
D ．x 1＝2 3，x 2＝－2 3
9．若(x 2＋y 2－1)2＝4，则x 2＋y 2＝________．
10．已知直角三角形的两边长x ，y 满足||x2－16＋y2－9＝0，求这个直角三角形第三边的长．
11． ［2017·河北］对于实数p ，q ，我们用符号min {}p ，q 表示p ，q 两数中较小的数，如min {}1，2＝1.因此，min {}－2，－3＝________；若min {}（x －1）2，x2＝1，则x ＝________．
1．±5 5 －5 2.A
3．解：(1)x 2＝5，x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－5.
(2)∵x 2＝8116，∴x ＝±
8116， 即x 1＝94，x 2＝－94.
(3)∵5x 2＝125，
∴x 2＝25，
∴x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－5.
(4)x 2－5＝49，x 2＝499，解得x 1＝73，x 2＝－73.
4．±3 3 －3 2 －1
5．C [解析] x 2－3＝0移项得x 2＝3，可用直接开平方法求解；(x －1)2－4＝0移项得(x －1)2＝4，可用直
接开平方法求解；(x －1)2＝(－2)2＝4，可用直接开平方法求解．故选C.
6．解：(1)∵x ＋2＝±27，
∴x ＝－2±3 3，
∴x 1＝－2＋3 3，x 2＝－2－3 3.
(2)∵(x －3)2－9＝0，
∴(x －3)2＝9，
∴x －3＝±3，
∴x 1＝6，x 2＝0.
(3)∵2x －8＝±16，
∴2x ＝8±4，
∴x 1＝6，x 2＝2.
(4)∵(3x －2)2＝649，
∴3x －2＝83或3x －2＝－83，
解得x 1＝149，x 2＝－29
.
7．A [解析] x 2－4(x ＋1)＝1，
∴x2－4x－4＝1，
∴(x－2)2＝9，
∴x1＝5，x2＝－1.
∵a，b为方程x2－4(x＋1)＝1的两根，且a>b，∴a＝5，b＝－1，
∴a
b
＝
5
－1
＝－5.
故选A.
8． B [解析] 由函数y＝x3得n＝3，则y′＝3x2，
∴3x2＝12，则x2＝4，∴x＝±2，
∴x1＝2，x2＝－2.故选B.
9． 3 [解析] (x2＋y2－1)2＝4直接开平方得x2＋y2－1＝±2.解得x2＋y2＝3或x2＋y2＝－1.
∵x2≥0，y2≥0，
∴x2＋y2＝3.
10．解：根据题意，得x2－16＝0，y2－9＝0，所以x＝±4，y＝±3.因为三角形的边长是正数，所以x＝4，y＝3.若第三边为斜边，则第三边的长为32＋42＝5；若第三边为直角边，则第三边的长为42－32＝7，所以这个直角三角形第三边的长为7或5.
11．－32或－1 [解析] min{－2，－3}＝－3.
∵min{(x－1)2，x2}＝1，
当x＝0.5时，x2＝(x－1)2，不可能得出最小值为1，
当x>0.5时，(x－1)2<x2，则(x－1)2＝1，
x－1＝±1，
即x－1＝1或x－1＝－1，
解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)；
当x<0.5时，(x－1)2>x2，则x2＝1，
解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1.
综上所述，x的值为2或－1.。