八年级数学比例1
人教版八年级下册数学：正比例函数(1)
别说出哪些是函数、常量和自变量． 这些函数解析式 函数解析式 函数 常量 自变量 有什么共同点？
l =2πr
l 2π
r
这些函数解析式都
是常数与自变量的
m =7.8V m 7.8 V
乘积的形式！
h = 0.5n h 0.5 n
函数=常数×自变量
T = -2t T -2 t
y＝ k﹒ x
一 正比例函数的概念
m-2≠0， ∴ m=-2.
|m|-1=1， (2)若 y (m 1)x m2 1 是正比例函数，则m= 1 ；
m+1≠0， m2-1=0， ∴ m=1.
（3）若 y (m 2)xm23 是关于x的正比例函数，m= -2 .
二 正比例函数的应用
问题3 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米. 设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题： （1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站， 约需多少小时（保留一位小数）？ （2）京沪高铁的行程 y（单位：千米）与时间t（单 位：时）之间有何数量关系？ （3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发 站1100千米的南京南站？
典例精析
已知函数 y (m 1)xm2 是正比例函数，求m的值.
解：∵函数y (m 1)xm2是正比例函数，
∴ m-1≠0， m2=1，
∴ m=-1.
即 m≠1， m=±1，
函数解析式可转化为y=kx 函数是正比例函数 （k是常数，k ≠0）的形式.
变式训练
(1)若y = (m - 2)x |m|- 1 是正比例函数，则m= -2 ；
。
2、若y =（3m-2）x是正比例函数，则m____.
3、若y=(m-1)xm2是关于 x的正比例函数，则
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期1正比例函数与反比例函数课件
三、正比例函数和反比例图象和性质
1. 概念： 形如
y kx （k 0) 称y是x的正比例函数 y k （k 0) 称y是x的反比例函数
x
• 2.图象特征
y kx(k 0)
k 0 k 0
y Ox
y
O
x
y k (k 0) x
y
O
x
y
O
x
3.性质
y kx(k 0)
当k＞0时，y随x的增大而增大 当k＜0时，y随x的增大而减小
yk x
K＞0，图象散布在第一、三象限， 在一、三象限，y随x的增大而减小
K＜0，图象散布在第二、四象限， 在二、四象限，y随x的增大而增大
4.求解析式 （1）正比例函数，只要知道图象上除原点
外的任一点坐标；
（2）y k (k 0) 可用图象上一点的坐标， x
或图象上一点引坐标轴的垂线所构成 的矩形的面积结合图象所在象限确定。
体体积应（ B ）
• A.不大于 24 m3
35
•
B.不小于
24 35
m3
•
C.不大于
24 37
m3
A(0.8，120)
•
D.不小于
24 37
m3
3.某校八年级学生到距学校6千米的郊外春游，一 部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同 路线前往，如图，分别表示步行和骑车的同学前 往目的地所走路程y（千米）与所用时间x（分钟） 之间的函数图象，则下列判断错误的是（ D ）
∴y=14x+10(80-x)+20(100-x)+8(x-30) =-8x+2560 x的取值范围为：30≤ x≤80
(2) ∵y=-8x+2560中，y随x的增大而减小， 又∵30≤ x≤80 ∴x＝80时，y最小＝1920（元） 总费用最低时的调配方案为：甲仓库80箱全部运
八年级数学解含有分数的比例方程
八年级数学解含有分数的比例方程解含有分数的比例方程是数学中的一个重要概念。
在八年级数学课程中，学生们将学习如何解决这类问题。
本文将详细介绍解含有分数的比例方程的步骤和方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、什么是含有分数的比例方程含有分数的比例方程是指方程中含有分数的比例关系。
通常用字母表示未知量，而比例关系可以用相等的分数表示。
例如，当我们遇到一个问题：如果小明将一块长方形地毯剪成两半，一半的面积是另一半的两倍，那么地毯的长和宽各是多少呢？这个问题中，我们可以设地毯的长为x，宽为y，根据题目中的比例关系，我们可以得到以下方程：x*y/2 = 2*(x*y/2)然后我们可以通过解方程来求解x和y的值。
二、解含有分数的比例方程的步骤解含有分数的比例方程的一般步骤如下：1. 将问题中的比例关系用方程表示。
设未知量为x，根据题目中的比例关系，写出方程。
2. 化简方程。
将方程中的分数进行化简，将方程转化为整数形式。
3. 解方程。
根据方程的类型，选择合适的方法进行解方程，求出未知量的值。
4. 检验解。
将求得的解代入原方程，验证是否满足题目中的比例关系。
若满足，则解正确；若不满足，则重新检查解的过程，找出错误之处。
三、常见问题的解法以下将通过一些常见的问题，介绍解含有分数的比例方程的具体方法。
问题1：将一个长方形纸片平均剪成两半，一半的面积是另一半的3倍，求原长方形的长和宽。
解法：设原长方形的长为x，宽为y。
根据题目中的比例关系，可以得到以下方程：x*y/2 = 3*(x*y/2)将方程两边的分数进行化简，得到：x*y = 3*x*y/2化简方程，得到：2*x*y = 3*x*y取消分母，得到：2*x = 3*x进一步化简，得到：x = 0根据比例关系，原长方形的长不能为0，所以这个方程没有解。
说明题目中的条件是矛盾的，没有满足题意的解。
问题2：甲、乙两人分别做一件事情，甲需要4个小时完成，乙需要6个小时完成。
八年级数学正反比例知识点
八年级数学正反比例知识点数学是一门需要长期积累和探索的科学，正反比例是其中一个重要的知识点。
在八年级的数学学习中，正反比例占有重要位置。
本文将从定义、性质、图像以及应用方面等多角度深入探讨正反比例的相关知识点。
一、定义正比例关系是指两个变量之间的比例关系一直保持不变，即一个变大，另一个也跟着变大，一个变小，另一个也跟着变小，也就是说，两个变量之间存在一个固定的比例因子。
例如：如果每增加一个小时的学习，成绩就会增加5分，那么时间和成绩之间就是正比例关系。
反比例关系是指两个变量之间的积一直保持不变，即一个变大，另一个就跟着变小，一个变小，另一个也跟着变大。
也就是说，两个变量之间的比例因子不是固定的。
例如：一个工厂生产一件商品需要的时间和工人数量之间就是反比例关系。
二、性质正比例关系具有以下性质：1. xy=k，当x或y有一个不同时，k不再相等。
2. k=0时，x、y必有一个为03. 若k>0，x、y同为正数或同为负数，若k<0，x、y一正一负4. 当k>1时，变化越大，比例因子越大，相关性越强5. 当k=1时，成比例关系，x和y具有相同的变化趋势。
6. 当k<1时，变化越大，比例因子越小，相关性越弱。
反比例关系具有以下性质：1. xy=k，当x或y有一个不同时，k不再相等。
2. 若k>0，x、y同时增大或同时减小；若k<0，则x、y反向变化。
3. k>1，x、y的变化越弱，k<1则变化越强。
4. x,y不能同时为0.三、图像正比例关系的图像可以用直线来表示，斜率为正值，越陡峭，相关性越强。
通过图像可以直观地反映出两个变量之间的比例关系。
反比例关系的图像可以用双曲线来表示。
短轴与x轴平行，长轴与y轴平行。
反比例函数的图像与x轴有渐近线，分别在负半轴和正半轴上，及y轴。
通过图像可以看出，当一个变量增大时，另一个变量就会变小。
四、应用正反比例关系在实际生活中有广泛的应用，例如：1.比例尺。
人教版八年级数学上册正比例函数的图像和性质
4、正比例函数y=kx在实际应用中、自变量、函数值受实际 条件的制约。
练习题
1，下列函数中，正比例函数是（ )
A. y=-8x
B. y=-8x+1
C. y=8x² +1
D. y=-8/x
2， 已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二，
四象限，那么( )
A,k>0
B,k<0
C k>2
D,k<-2
3， 函数y=(m-3)x³¯™是正比例函数，m为何值？
4.直线y=kx经过点（1，-4），那么k=___ 这条直线在第___象限内，直线上的点的纵坐标随 横坐标的增大而___。已知点A(a,1),B(-2,b)在这条
2
y
·
o1
y= 12x
小结：两图像都是经过原点的直线函数y=2x的图 像从左向右上升，经过第一，三象限；函数y=-2x 的图像从左向右下降，经过第二，四象限。
正比例函数性质：
对于正比例函数y=kx 1、图象都经过原点； 2、当k>0时，它的图象经过第一、三象限， y 随 x 的增大而增大； 3、当k<0时，它的图象经过第二、四象限， y 随 x 的增大而减少；
2.4
2.自变量x的取值范围0≤x≤35
1.8
3.蜡烛点燃35分钟后可燃烧完。
1.2
0.6
0 12
x
3 45 6
本章总结
1、正比例函数y=kx的图象是经过（0，0）（1，k）的一条直线， 我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx；
2、正比例函数y=kx的图象的画法；
3、正比例函数的性质：
苏科版八年级数学下册1反比例函数的图像与性质课件
△面积P1分A1别O、是△S1P、2AS22O、、S3△.则P（3A3DO，）设他们的y
A. S1＜S2＜S3 B. S2＜S1＜S3 C. S1＜S3＜S2
D. S1=S2=S3
P1 A1
P2
A2
P3
A3
ox
k
2．函数y= 与y=ax的图象的一个交点A的坐标
是(-1，-3)x，
(1)求这两个函数的解析式；
不相交
反比例函数y= k (k为常数，k≠0)的图 像是双曲线． x
当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限， 在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限， 在每一个象限内，y随x的增大而增大．
课前复习
1.函数y=ax-a 与
y
a x
a
0
在同一条直角
坐标系中的图象可能是
列结论中，正确的是（ D ）
• A. y1 <y2 • B. y1 >y2 • C. y1 =y2 • D. y1 与y2之间的大小关系不能确定
活动二
y
yy k6 y xx
y
P2(1,6) P1(3,2) P(m,n)
P(m,n)
A P(m,n)
o
x
oA
xo
x
S=︱k︱
1 S= 2 ︱ k︱
1.A是双曲线y=
x
(4)求不等式kx b m 0 解集（看图写）.
x
练习．函数y= k 与y=ax的图象的一个交点A的坐标 是(-1，-3)， x
(1)求这两个函数的解析式； (2)在同一直角坐标系内，画出它们的图象； (3)你能求出这两个图象的另一个交点B的坐标
八年级数学上册《正比例函数》教案、教学设计
3.设计具有梯度的问题，引导学生逐步深入理解正比例函数。从简单的判断题、选择题到综合应用题，让学生在解决问题的过程中，掌握正比例函数的知识。
4.创设小组合作交流的机会，让学生在讨论中互相启发，共同进步。教师适时给予指导，帮助学生突破难点。
-目的：培养学生团队协作、共同解决问题的能力，提高学生的沟通表达能力。
5.课后反思：要求学生撰写ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ后反思，总结自己在学习正比例函数过程中的收获和不足。
-反思内容：可以包括对本节课知识点的理解、解题方法的掌握、学习过程中的困惑等。
6.家长参与：鼓励家长参与学生的作业过程，了解学生的学习情况，为学生提供必要的帮助和支持。
-提问：“那么，我们如何用数学公式来表示这种关系呢？”
（二）讲授新知
1.正比例函数的定义：教师给出正比例函数的定义，并解释相关概念。
-解释：“正比例函数是指一个函数，当自变量x的值增大或减小时，其对应的函数值y也按照相同的比例增大或减小。”
2.正比例函数的表达式：引导学生根据定义推导正比例函数的表达式y=kx（k≠0）。
-提示：在解决提高题时，鼓励学生运用图像分析、逻辑推理等方法，提高问题解决能力。
3.创新实践：设计具有挑战性的创新题目，要求学生结合生活实际，运用正比例函数模型解决实际问题。
-要求：学生需将问题解决过程和结果以书面形式呈现，注重解题思路和方法的创新。
4.小组合作：布置小组合作作业，让学生在组内共同探讨、解决一个综合性的正比例函数问题。
-提问：“根据正比例函数的定义，我们可以得出什么样的数学表达式？”
八年级数学重要知识点整理：比例的性质
八年级数学重要知识点整理：比例的性质八年级数学重要知识点整理：比例的性质(1)比例的基本性质如果a：b=c：d，那么ad=bc如果ad=bc，那么a：b=c：d(2)合比性质如果a／b=c／d，那么(a±b)／b=(c±d)／d(3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0)，那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a ／b用面积法证比例式或等积式比例：在数学中，比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
要想判断两个比式子能不能组成比例，要看它们的比例是不是相等。
比例性质：比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
是代数学中常用的比例性质，主要包括合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质以及它们的推广。
这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中。
其中尤其以等比性质的应用最为广泛。
比例性质释义：1.合比性质：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比。
例：已知a，b，c，d∈C，且有b≠0，d≠0，如果，则有证明：2.分比性质：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。
例：已知a，b，c，d∈C，且有b≠0，d≠0，如果，则有。
证明：3.合分比性质：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。
例：已知a，b，c，d∈C，且有b≠0，d≠0，如果，则有。
证明：令，则4.等比性质：在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等。
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比例（一）
目的与要求：
1、理解比例的概念、比例的基本性质、以及比例的内项、外项、第四比例项和比例中项；
2、理解比例的合比性质和等比性质。
教学重点和难点：比例的性质和比例的性质的应用。
复习提问：
什么叫做比例？比例有什么性质？
新授一：
1、在比例d
c b a =中，a 、b 、c 、
d 分别叫做比例的第一、二、三、四项，其中d 又叫做比例的第四比例项，比例的一，四两项叫做比例的外项，二、三两项叫做比例的内项。
2、在比例
d c b a =中，如果b=c ，那么b 2=ad ，这时，我们把b 叫做a 与d 的比例中项。
例题讲解：
例1 判断0.2、1.2、5、30四个数是否成比例，为什么？
例2 求3和27的比例中项。
练习一：
1、在下列各比例中，哪些是外项？哪些是内项？
（1）a ∶b=c ∶d (2) 5
2b a = (3) (x+y)∶3=(x-y)∶2 2、已知：a=1 b=32+ c=32-
求（1）a 、b 、c 的第四比例项；
（2）c 、b 、c 的第四比例项；
（3）b 、c 的比例中项。
3、用3、6、7和14这四个数组成四个比例。
4、根据下列各式，求y
x 的值： （1）3x=5y (2) 4
3y x = (3) 3∶x=2∶y 5、求下列各式中的x 的值： （1）3∶x=2∶8 （2）
322=+x x （3）（x+3）∶2=3∶(x-3) 新授二：
1、如果d c b a =，那么,d d c b b a +=+,d
d c b b a -=-这叫做合比定理
2、在b+d+···+n ≠0时，如果
n m d c b a =⋅⋅⋅==，那么n
m d c b a n d b m c a ⋅⋅⋅===+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 这叫做等比定理
例题讲解：
例4 已知5
32z y x ==，且x ＋y ＋z ＝15。
求x 、y 、z 的值。
例5 已知f
d b
e c a
f e d c b a ++++===求,32的值。
例6 已知：
532z y x ==，求证：53210z y x z y x ===++ 练习二：
1、已知2x ＝3y ＝6z 求x ∶y ∶z 的值。
2、已知
,53=-y y x 求y x 的值。
2、已知x ∶y ∶z ＝3∶5∶7，且x+y+z=36,求a 、b 、c 的值。
4、若523=+b b a ，求b
b a -的值。
强化训练题
1、已知a 2=bc ，下列结论中，正确的是（ ）
A 、b 是a 和c 的比例中项
B 、a 是b 和c 的比例中项
C 、c 是a 和b 的比例中项
D 、a 、b 、c 中不存在比例中项关系
2、已知d
c b a =，m ≠0,下列各式中，正确的是（ ） A 、
d m c b m a -=- B 、m d m c b a ++= C 、d c b
a = D 、2222d c
b a = 3、已知3x=4y ≠0,下列各式中，错误的是（ ）
A 、37=+y y x
B 、3
1=-y y x C 、17=-+x y x y D 、41=-x y x
4、设k b
a c a c
b
c b a =+=+=+，则k 的值为（ ） A 、2 B 、-1 C 、2或-1 D 、不能确定
5、（2001年常州市中考题）已知____________),0(32=++≠+==q
n p m q n q p n m 则 6、（2001年温州市中考题）已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 和b 的比例中项，a=4，b=9，则c 等于（ ）
A 、4
B 、6
C 、9
D 、36
7、（2001年天津市中考题）已知5
922=-+b a b a ，则a ∶b 的值为___________________. 8、（2000年内蒙古自治区中考题）下列各式中，正确的是（ ）
A 、b a m b m a =++
B 、0=++b a b a
C 、1111--=-+c b ac ab
D 、y x y
x y x +=--122 9、已知：6x=4y=3z 求z
y x z y x ++-+23的值。
10、若b=2
15-是a 与c 的比例中项，且a=1,求c 的值。
11、若x+1是x 和x+3的比例中项，求x 的值。
12、若a 、a-1、a+4的第四比例是3，求a 的值。
13、若34=y x ，3
2=z y ，求x ∶y ∶z 的值。
14、已知3x=4y=5z,且x ≠0,求
z y x z y x 423632+-+-的值。
15、已知x ∶y ∶z=2∶3∶4，x+y-z=1,求a 、b 、c 的值。
16、已知：f
d b
e c a
f e d c b a -+-+===求,53的值。
17、已知：a 、b 、c 、d 成比例，求证：
d c c b a a +=+。
18、（思考题）如图：在△ABC 中，已知CD ⊥AB ，且线段CD 是线段AD 和线段BD 的
比例中项，求证：△ABC 是直角三角形。