反比例函数面积问题模型(八年级数学)
反比例函数三角形面积问题
反比例函数三角形面积问题1. 引言嘿，大家好！今天咱们要聊聊一个有趣的话题——反比例函数和三角形面积的结合。
乍一听，可能会觉得有点晦涩，但别担心，我们一步一步来，肯定能搞清楚！想象一下，三角形的面积和反比例函数就像是一对好朋友，他们相互影响，相互作用，带来不少趣味。
2. 反比例函数的基础知识2.1 什么是反比例函数？先从最基础的开始说起。
反比例函数其实很简单，它就是形如 (y = frac{k}{x}) 的函数，其中 (k) 是常数，(x) 和 (y) 是变量。
简而言之，当 (x) 增大时，(y) 会减小，反之亦然。
你可以把它想象成一个永远相反的游戏：一个上升，另一个就得下降。
2.2 反比例函数的图像说到图像，这个函数的图像是双曲线。
它的两个分支分别位于坐标轴的两侧，永远不会触碰坐标轴。
感觉像是两条永远不会交汇的路。
3. 三角形的面积3.1 基础公式提到三角形的面积，最简单的公式就是 (text{面积} = frac{1}{2} times text{底} times text{高})。
就这么简单，底和高就是构成三角形的两条直线，像是两个好朋友，缺一不可。
3.2 结合反比例函数现在，我们把反比例函数和三角形的面积结合起来。
假设有一个三角形，它的底边和高分别是 (x) 和 (y)，且这两者之间满足 (y = frac{k}{x})。
那三角形的面积就是(frac{1}{2} times x times y)。
代入反比例函数的关系，面积公式就变成了 (frac{1}{2} times x times frac{k}{x})，结果是 (frac{k}{2})，也就是说，三角形的面积只和常数 (k) 有关，而和底边 (x) 或高度 (y) 无关。
4. 例子解析4.1 具体例子举个例子来说明。
假设我们有一个三角形，底边 (x) 和高 (y) 满足 (y = frac{6}{x})。
我们把这些值带入面积公式中，计算过程如下：[。
由面积求反比例函数比例系数的4种常见压轴题型全攻略—2024学年八年级数学上册(沪教版)(解析版)
由面积求反比例函数比例系数的4种常见压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一由三角形面积求反比例的比例系数】 (1)【考点二由四边形面积求反比例的比例系数】 (2)【考点三由其它面积问题求反比例函数解析式】 (2)【考点四反比例函数中求面积问题的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一根据三角形面积求反比例的比例系数】，AMOA．2B．2−C．4D．4−【答案】D【分析】根据反比例函数系数【详解】解：设点A的坐标为，AMO的面积为若POM的面积等于A．6B．5C．5−D．6−【答案】CS=POMS=POM轴上，若ABC面积为A．4−B．1C．2D．4【答案】DAB y ⊥轴， 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数相等，是解决问题的前提．4．如图，点A 是反比例函数y 点．若点C 为x 轴上任意一点，且ABC 的面积为 A ．12−B ．8−C ．6−D ．6【答案】A 【分析】过点A 作AE x ⊥轴于E ，设,AD a AE b ==，由此可得出点A 的坐标，进而可得k ab =−，然后再根据ABC 的面积可求出12ab =，即可求解．【详解】解：过点A 作AE x ⊥轴于E ，如图，ABCS=A．4B．4−C．8D．8−【答案】D【分析】设点P坐标为⎛ ⎝A ．6B ．3C ．9D ．12【答案】A 【分析】过点A 作AE CD ⊥于点E ，然后平行四边形的性质可知AED BOC ≌，进而可得矩形ABOE 的面积与平行四边形ABCD 的面积相等，最后根据反比例函数k 的几何意义可求解．【详解】解：过点A 作AE CD ⊥于点E ，如图所示：∴90∠=∠=︒，AED BOC四边形ABCD是平行四边形，∴,=∥，BC AD BC AD∴ADE BCO∠=∠，∴≌（AAS），AED BOC平行四边形S=ABCDA．8B．11C．15D．16【答案】C12AOE BOF S S k ==AOC AOE COE S S S =+和 由反比例函数的性质可知1|2AOE BOF S S ==△△AOC AOE COE S S S =+△△△， ∴1211515()2222AC OE OE OE k k ⋅=⨯⨯==−①，BOD DOF BOF S S S =+△△△， ∴1113()3(8)222BD OF EF OE OE ⋅=⨯⨯−=⨯⨯−由①②两式得：351222OE OE −=，ABCD 为菱形，BD x ∥轴，6ABCD S =菱形，则k 的值（ ）A ．3B ．6C ．12D ．24四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，OA OC =，6ABCD S =菱形，∴11BD x ∥轴，AE x 轴，BD （1）若2AC BC =，ABE 的面积为（2）在（1）的条件下，若四边形12 3y x=− 5BDE S =AE 2AC BC =ACBDABE的面积为1）解：四边形S=14BDE−=a b12b=【答案】a b，依题意得【分析】首先设点B的坐标为(,)a______，b=______；(1)=(2)求反比例函数表达式；【答案】(1)−【分析】（1）由非负计算式相加等于（2）由点A和点B坐标，及中点E得到点坐标关系，最后代入解析式计算即可；）又1a+≥）点ABCD，【考点四反比例函数中求面积问题的拓展提高】−【答案】 2.4=，依题意得点【分析】首先设OC m表示出线段AB的长，然后依据若【详解】解：设点A横坐标为点点SS 6OAB =S ABC = 【答案】2【分析】过点A ，B 作AE ，都在曲线上，设出A 、B 坐标，由图形的面积公式求出【详解】解：过点A ，B 作 ∵点B 横坐标为点A 横坐标的两倍，且点∴设,k A m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，则∵S S S S 6ABO AEO BDO ABDE =+−=梯形，S ABC =【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式等，关键是对反比例函数性质的掌握．【过关检测】一、单选题，则ABC的面积为（A．34B．98【答案】A【分析】设1,A aa（），则1,B aa（4ABCS=2．如图，平行于x 轴的直线与函数点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为 A ．4B ．4−C ．2D ．2−【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积计算，设12ABC S =Rt BOC 的一条直角边过BOC 的斜边．若BOD 的面积是A ．6−B ．4−C ．4D ．6OAE OBC S S=OAE S =OBC S =OBC S =OAEOBC SS =OAE S=42OBC OAE SS k ==．OBC OCD BOD S S S ∠=+ 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质；理解反比例函数解析式解题的关键．A ．4B ．8C ．8−D ．10−【答案】C 【分析】通过证明(AAS COD BED ≌和BED 中，∴(AAS COD BED ≌【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，反比例函数k 值的几何意义，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及反比例函数k 值的几何意义．二、填空题 ，若ABO 的面积为【答案】4【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是12AOB S k ==，计算出来即可． AOB S =PAO 的面积为 【答案】10−又0k<，．若ABC的面积【答案】4 yx =【分析】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的综合问题，理解反比例函数和正比例函数的两个交点关于原点对称可知==2ACO BCOS S，再根据ACOS===2ACO BCOS S，ACOS=，若AOC 的面积为 【答案】5【分析】本题考查反比例函数【详解】解：∵AOC AOB BOC SS S =−，∴1 222k −=， x ①若4k =−，则CD 的长度为【答案】20【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，三角形的面积等，正确地作出辅助线构造三角形的中位线是解决问题的关键．CACD的中位线，则△同高，又∵AOB和COB=，∴AB BC∵CD x⊥轴，为ACD的中位线，2,OB OD=点DAC△S=AOD，AOP 的面积为【答案】12，又因为AOP 的面积为设OA a =，因为:1:2OA AB =，所以2AB a =，因为AP BP =，PH x ⊥轴因为AOP 的面积为1【答案】6【分析】连接,,,OA OC OB OD ,222OAE OBF OCE ODF m m S S S S ======−11,22OAE OCE AOC OBF ODF BOD S S S AC OE S S S BD OF +==+==，3AC =，2BD =，,222OAE OBF OCE ODF m n m S S S S ======− ∵11,22OAE OCE AOC OBF ODF BOD S S S AC OE S S S BD OF +==+==，3AC =，2BD =，∴11113,2222m n OE m −=⨯−∴3,2m n OE m n OF −=−=【答案】46OAB ABD SS ==．由11223AOC AOB S k S ===，则 ∵AB x ⊥轴，∴OD AB ∥．6OAB ABD S S ==．11223AOC AOB S k S ===，，EOF 的面积为AOM S =42EOF AOM S S ==− AOM S =1·422EOF AOM S OE OF S k ===−， EOF S，EOF S =，若AOB 的面积为积公式，即可求出AOC 的面积；过点52OBD ODE OBE SS S =+=，AOC ODE S S S =+四边形OBE S =AOB S =AOC S = OBD S=52OBD ODE OBE S S S =+=，AOC ODE S S S =+四边形OBE S=AOB OBE ABE ABE DCAE BDCA S S S S S S =+=+=四边形梯形∵点(2,4)A，∴84ADm=−，三、解答题若ODC的面积为，求ABO的面积．再利用分割法求出ABO的面积；，ODC的面积为∴2361m n m n +=⎧⎨−+=−⎩，解得：2m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 解析式为122y x =+，∴点()0,2F ，12ABO OFB AOF S S S =+=⨯12ABD ABC BCD S S S =+=⨯的面积等于ODE的面积，求点MBO S =ODE S =的面积等于ODE 的面积时，。
例谈反比例函数中的面积问题
例谈反比例函数中的面积问题———— 一道习题的延伸山东省莱阳市穴坊镇中心中学 王良良在鲁教版初中数学课本八年级下册P106页提出了这样一个问题：在一个反比例函数图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，过点Q 分别作x 轴和y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，那么S 1与S 2有什么关系？为什么？对于上面的问题，应结合反比例函数中的几何意义来解决。
如图1所示，若P(x,y)是双曲线y ＝xk (k ≠0)上任意一点，过P 作PB ⊥x 轴于B ，PC ⊥y 轴于C ，则OB=|x|,OC=|y|，所以S 矩形PBOC =OB ·OC=|xy|，又因xy=k ，即S 矩形PBOC =|k|，将其继续推广，可得S △POB =S △POC =2||k ，由此可以很容易解决课本中的问题。
将反比例函数和正比例函数的图像结合，也会有意想不到的结论。
如图2所示，反比例函数y ＝xk 与正比例函数y=mx 相交于两点A 、B ，过其中任意一点向某一坐标轴作垂线，由交点与垂足所构成的三角形的面积S △ABC =|k|。
若借助于这些基本图形，学生在解决反比例函数面积类的问题时，就不会觉得困难了。
下面结合几个例题分析此类问题的解法，供参考。
例1 如图3，一次函数的图象y=21x-2分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点，且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数y ＝x k (k ≠0)的图象于点Q ，S △OCQ =23,求k 的值和点Q 的坐标。
解析：因为S △OCQ =23，所以k=2×23=3，易求得点A(4,0)，点C 的横坐标为2，代入y=x 3，得y=23，所以点Q 的坐标为(2,3)。
例2 两个反比例函数y ＝x k (k ≠0)和y=x1在第一象限内的图象如图4所示，点P 在y ＝x k 的图象上，PC ⊥x 轴于点C,交y=x1的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y=x 1的图象于点B ，当点P 在y ＝xk 的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与 △OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当A 是PC 中点时，点B 一定是PD 的中点。
苏科版八年级数学下册11.2《反比例函数的图像与性质-面积问题》课件
变式1：如图，过反比例函数 y 2 (x 0)图象上任意两 点A、B分别作x轴的垂线，垂足分x别为C、D，连结OA
、OB，设AC与OB的交点为E，ΔAOE与梯形ECDB的
面积分别为 S1 、S2，比较它们的大小，可得 (B )
A．S1>S2
B．S1=S2
C．S1< S2 D．S1和S2的大小关系不确定
11.2 反比例函数的图像与性质 ——面积相关问题
回顾
如图,点P（m，n）是反比例函数 y k
x
图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,
垂足分别是点A、B，则S矩形OAPB=____k____.
结论1：
y
过双曲线上任意一点作x轴、 y轴的垂线，所得矩形的面 积S为定值，即S=|k|.
B P(m,n)
积为——8—— 。
F E
练习3 利用点求图形的面积或函数解析式
如图，已知双曲线 y k (x＞0)经过矩形OABC
x
边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF
的面积为2，则k＝__2___.
练习3利用坐标求图形的面积或函数解析式
变式1：如图，双曲线 y k (k 0)经过矩形OABC的
B P(m,n)
y轴）的垂线，所得直角三角
OA
x
形的面积S为定值，即S= 1 |k| .
2
回顾
图中这些三角形的 y 面积相等吗？
yk x
O
x
知识点
y k (k 0) x
y PB
y P
x A0
0Q
x
S矩形 k
k S三角形
2
例1 已知解析式 求图形的面积
反比例函数中的面积问题(共26张PPT)
课后精练
解：(1)如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H， ∵直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋4，∴B 点坐标为(0，4)， A 点坐标为(2，0)． ∵∠OAB＋∠DAH＝90°，∠ADH＋∠DAH＝90°， ∴∠BAO＝∠ADH. 又∵∠BOA＝∠AHD，∴△AOB∽△DHA. ∴ADOH＝ABOH＝AADB＝12.∴D2H＝A4H＝12，解得 DH＝4，AH＝8. ∴D(10，4)，则 k＝10×4＝40. 故答案为：40.
③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝2＋ 3；
7.如图，函数 y＝kx(k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线 相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧)，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别 交 x 轴，y 轴于点 E，F.现有以下四个结论：
课后精练
∵D(10，4)，∴D′(10，－4)． 设直线 CD′的解析式为 y＝ax＋d， 则180a＋a＋dd＝＝8－ ，4，解得da＝＝－566. ， 故直线 CD′的解析式为 y＝－6x＋56. 当 y＝0 时，x＝238，故 P 点坐标为238，0. 延长 CD 交 x 轴于 Q，此时|QC－QD|的值最大， ∵CD∥AB，D(10，4)，∴直线 CD 的解析式为 y＝－2x＋24. ∴Q(12，0)．∴PQ＝12－238＝83. 故 P 点坐标为238，0，Q 点坐标为(12，0)，线段 PQ 的长为83.
专题2 反比例函数中的面积问题
考点解读
反比例函数中的面积类问题是最能体现数形结合思想 方法的一类问题，几何中的函数问题使图形性质代数 化，函数中的几何问题使代数知识图形化，利用“数”
反比例函数中的面积问题
反比例函数与面积问题
反比例函数内容丰富、涉及的数学知识较多，是函数的重要内容之一。
下面讨论几个反比例函数与图象的面积问题，供同学们学习时参考。
一. 求函数解析式
例 1. 如图1，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形
PEOF 的面积为3。
求这个反函数的解析式。
分析：利用反比例函数
x k y =的特点及矩形PEOF 的面积为3，求k 的值。
二. 求面积
例2. 图2中正比例函数和反比例函数的图象相交于A 、B 两点，分别
以A 、B 两点为圆心，画与y 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（1，2），
求图中两个阴影面积的和。
分析：利用反比例函数和圆的对称性求解。
三. 特殊点组成图形的面积
例3. 如图3，反比例函数
x 8y -=与一次函数2x y +-=的图象相交于
A 、
B 两点。
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求AOB ∆的面积。
分析：将AOB ∆的面积转化为AOD ∆与BOD ∆面积和求解。
四. 探讨面积的变化
例4. 如图4，x y =和)0m (mx y >=的图象与
)0k (x k y >=的图象分别交于第一象限内的两点A ，C ，过A ，C 分别向x 轴作垂线，垂
足分别为B ，D ，若直角三角形AOB 与直角三角形COD 的面积分
别为21、S S ，则1S 与2S 的关系为（ ）
A. 21S S >
B. 21S S =
C. 21S S <
D. 与k ,m 的值无关 分析：利用函数)0k (x k y >=的解析式与面积的关系求解。
反比例函数的面积问题的解题技巧
反比例函数的面积问题的解题技巧
反比例函数是数学中比较重要的一种函数类型，在解题过程中也存在许多面积问题。
下面介绍一些解题技巧，帮助大家更好地理解和应用反比例函数的面积问题。
1. 理解反比例函数的定义
反比例函数是指当一个变量的值增加时，另一个变量的值会相应地减小，其函数式表示为
y=k/x(k≠0)。
如果在x的取值范围内对y进行积分，可以得到反比例函数的面积。
在解题时，需要先理解反比例函数的数学定义和性质。
2. 熟练掌握积分运算法则
反比例函数的面积问题需要用到积分运算法则，因此需要熟练掌握积分运算的基本法则和计算方法。
同时也需要掌握一些积分公式，例如x的倒数的积分公式为ln(x)+C。
3. 熟练掌握反比例函数变形技巧
在解题时，有时需要对反比例函数进行变形，例如将y=k/x转化为y=kx^(-1)。
掌握反比例函数的变形技巧有助于更好地解决面积问题。
4. 利用几何图形思维解决问题
反比例函数的面积问题通常涉及到图形的面积计算，因此需要掌握几何图形的基本概念和计算方法。
在解题时，可以利用几何图形思维来解决问题，例如通过画图和分割图形的方法求解。
5. 熟练运用数学知识解决实际问题
反比例函数的面积问题通常涉及到实际问题的解决，因此需要熟练掌握数学知识与实际问题的应用。
在解题时，应该将数学知识与实际情况相结合，运用数学方法求解实际问题。
总之，反比例函数的面积问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。
只有在熟练掌握这些知识和技巧的基础上，才能更好地解决反比例函数的面积问题。
- 1 -。
反比例函数中的面积问题
解得 k=2 评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。 第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相 等，列出含k的方程求k值。
例2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数 与函数 在第二象限的交点， 轴于B， 轴于D，且矩形ABOD的பைடு நூலகம்积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标．
图象上，∴
解得x=1从而所求面积为π 评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有 对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
四、 讨论与面积有关的综合问题 例8．（2008山东省）（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：
与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积.
.解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上 ∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=
（2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2 ∴B(-4，2) ∵点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上 ∴ 4=-2k+b 且2=-4k+b 解得 k=1 b=6 ∴直线AB为y=x+6 与x轴的交点坐标C（-6，0）
（3）若点P是y轴上一动点，且 ， 求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得 -k=3 ∴
∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 （2）由 ，解得 ，
∴点A、C的坐标分别为（
，3），（3， ） （3）设点P的坐标为（0，m） 直线 与y轴的交点坐标为M（0，2） ∵