甘肃省兰州五十五中08—09学年高一下学期期末考试(数学).doc

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甘肃省兰州市城关区高一数学下册第二学期期末考试试题

cba第二学期期末考试试题高一数学说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分,考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，把答案填在答题卡的相应位置上.） 1.已知单位向量a 、b ，则下列各式成立的是（）A. 0a b -=B. 22a b = C. 1a b ⋅= D. 0a b ⋅= 2.已知角α终边上有一点1011(,sin())36-P cosππ，则tan =α（） A. C. 1- D. 13. 已知(0)tan 22∈-=-x x π，，，则sin()+=x π（）B. C. 4. 向量,,a b c 在正方形网格中，如图所示，若(,)=+∈c a b R λμλμ，则=λμ（） A. 2 B. 2- C. 6D.125.设cos56)=-a ，cos50cos128cos40cos38=+b ，cos80=c ,则a b c ，，的大小关系是（）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. a c b >>6.设向量,a b 满足||1,||2,()==⊥+a b a a b ，则a b 与的夹角为（） A.4πB.34π C.23π D.56π 7.若一圆弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角弧度数为（） B. 2 C.23πD.3π8.已知曲线123:cos :cos(2)4==-C y x C y x π，，则下面结论正确的是（） A.把1C 上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移34π个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移38π个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移38π个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移34π个单位长度，得到曲线2C 9.若3tan 4=α，则2cos 2sin 2+=αα ( ) A.6425 B. 4825 C. 1 D. 162510.已知函数()cos()(0)=+>f x A x ωϕω的部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A. 函数()f x 的最小周期为23πB. 图象()f x 的图象关于(,0)12-π中心对称C. 函数()f x 的图象关于直线12=x π对称D. 函数()f x 的最小值为1- 11.如果||4≤x π，那么函数2()cos sin =-+f x x x 的值域是（）A.1221[,]22--B.2121[,]22+--C.521[]42+-D.521[]42--12.在等腰直角∆ABC 中，P 为平面ABC 内的一点，斜边4,=AB 则()⋅+PC PA PB 的最小值是（）A. 89-B. 1-C. 2-D. 169-yo第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13.已知向量(3,2),(1,1)==-a b ，则2-a b 在b 上的投影为 . 14.设02≤<x πsin cos =-x x ，则x 的取值范围是 .15.在平面直角坐标系中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x轴对称，若cos =α则cos()-=αβ . 16.关于函数()tan(2),4=-f x x π，有以下命题：①函数()f x 的定义域是13{|,};28≠+∈x x k k Z ππ②函数()f x 是奇函数；③函数()f x 的图象关于点(,0)8π对称； ④函数()f x 的一个单调递增区间为(,)22-ππ.其中，正确的命题序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数1)4()cos -=x f x xπ.(Ⅰ)求()f x 的定义域；(Ⅱ)设α是第四象限的角，且12sin 13=-α，求()f α的值.18. （本小题满分12分）已知(cos ,sin )(cos ,sin )=a b ααββ＝，，0<<<βαπ. （Ⅰ）若||2-=a b ，求证：⊥a b ；（Ⅱ）设(0,1)=c ，若+=a b c ，求αβ，的值.19. （本小题满分12分）已知5sin()13+=αβ，1tan 22=α ，其中,(0,)∈αβπ，求tan ,cos αβ的值.20. （本小题满分12分）设函数()sin(),=+∈f x x x R ωϕ，其中0,||2><πωϕ.若()1,()0,24=-=f f ππ且()f x 的最小正周期大于2π.（Ⅰ）求函数()f x 的解析表达式；（Ⅱ）讨论()f x 在区间3[,]24-ππ内的单调性.21. （本小题满分12分）已知函数2()sin cos cos (0)=⋅+>f x a x x x b a (Ⅰ)写出函数()f x 的对称轴方程；(Ⅱ)设]20[π，∈x ，()f x 的最小值是2-，最大值是3，求实数,a b 的值.22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)=-a ，又点(8,0)A ，(,)B n t (sin ,)C k t θ,(02≤≤πθ).(Ⅰ)若⊥AB a ，且||5||=AB OA ，求向量OB ；(Ⅱ)若向量AC 与向量a 共线，当4>k ，且sin t θ取最大值4时，求⋅OA OC .兰州一中第二学期期末试题答案高一数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，把答案填在答题卡的相应位置上.）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13． - 14. 5[,]44ππ 15. 59- 16. ①③三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数1)4()cos --=x f x xπ.(Ⅰ)求()f x 的定义域；(Ⅱ)设α是第四象限的角，且12sin 13=-α，求()f α的值. 解：(Ⅰ)由cos 0,,.2x x k k Z ππ≠≠+∈得故()f x 的定义域为{|,}.2x x k k Z ππ≠+∈(Ⅱ) 12sin 13=-α，且α是第四象限的角，所以5cos 13α=，又21)1sin 2cos 22cos 2sin cos 4()2cos 2sin cos cos cos x x x x x x f x x x xx xπ---+-====-512342().131313=+=18. （本小题满分12分）已知(cos ,sin )(cos ,sin )=a b ααββ＝，，0<<<βαπ. （Ⅰ）若||2-=a b ，求证：⊥a b ；（Ⅱ）设(0,1)=c ，若+=a b c ，求αβ，的值.解（Ⅰ）证明：由题意得2||2a b -=，即2222a a b b -⋅+=，又因为2222||1,||1,a a b b ====，所以222,0a b a b -⋅=∴⋅=， .a b ∴⊥（Ⅱ）因为(cos cos ,sin sin )(0,1)a b αβαβ+=++=，所以cos cos 0,sin sin 1,αβαβ+=⎧⎨+=⎩所以cos cos()απβ=-，由0<<<βαπ，得0πβπ<-<. 又0,=-απαπβ<<故，代入sin sin 1αβ+=，得1sin sin 2αβ==，而αβ>，所以51,.66απβπ== 19. （本小题满分12分）已知5sin()13+=αβ，1tan 22=α ，其中,(0,)∈αβπ，求tan ,cos αβ的值.解：因为1tan22=α ， (0,)απ∈， 22tan142tan 331tan 24ααα∴===- ， 4tan 13α=> ， (,)42ππα∴∈，43sin ,cos 55αα∴==，又5sin()13αβ+=(,)2παβπ∴+∈，又12cos()13αβ∴+=-，则cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++ 1235416().13513565=-⋅+⋅=- 20. （本小题满分12分）设函数()sin(),=+∈f x x x R ωϕ，其中0,||2><πωϕ.若()1,()0,24=-=f f ππ且()f x 的最小正周期大于2π. （Ⅰ）求函数()f x 的解析表达式；（Ⅱ）讨论()f x 在区间3[,]24-ππ内的单调性.解：（Ⅰ）由()f x 的最小正周期大于2π，得42T π>，又()1,()0,24f f ππ=-=得34244T πππ=+=，∴3T π=，则223,3ππωω==．∴2()sin()sin()3f x x x ωϕϕ=+=+，由()1,2f π=2sin()132πϕ⋅+=，得sin()13πϕ+=．∴2,32k k R ππϕπ+=+∈．取0k =，得62ππϕ=<，满足题意．∴2,36πωϕ==，∴函数解析式为2()sin().36f x x π=+ （Ⅱ）当3[,]24x ππ∈-时，22[,],3663x πππ+∈- ∴由2,636222x x πππππ-≤+≤≤≤得-；由223,236324x x πππππ≤+≤≤≤得， ∴ 当3[,]24x ππ∈-时，()f x 单调递增区间为,]22ππ[-；单调递减区间为3[,]24ππ．21. （本小题满分12分）已知函数2()sin cos cos (0)=⋅+>f x a x x x b a (Ⅰ)写出函数()f x 的对称轴方程；(Ⅱ)设]20[π，∈x ，()f x 的最小值是2-，最大值是3，求实数,a b 的值.解：2()sin cos cos f x a x x x b =⋅+sin 2cos 2)sin 2222a a x x b x x b =-++=+ sin(2)3a xb π=-+(Ⅰ)令232x k πππ-=+，则 5212k x ππ=+，故函数()f x 的对称轴方程为5,.212k x k Z ππ=+∈ (Ⅱ)20,2,sin(2)1233323x x x πππππ≤≤-≤-≤-≤-≤min max ()2,()2f x a b f x a b =-+=-=+=2222a a b b a b ⎧=⎧-+=-⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎩⎪+=⎩22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)=-a ，又点(8,0)A ，(,)B n t (sin ,)C k t θ,(02≤≤πθ).(Ⅰ)若⊥AB a ，且||5||=AB OA ，求向量OB ；(Ⅱ)若向量AC 与向量a 共线，当4>k ，且sin t θ取最大值4时，求⋅OA OC . 解：(Ⅰ)由题意知(8,)AB n t =-，AB a ⊥，820n t ∴-+=，又||5||AB OA =，222564(8)5n t t ∴⨯=-+=，得8t =±，当8t =时， 24n =；当88.t n =-=-时, (24,8)(-8,-8)OB OB ∴==或. (Ⅱ) 由题意知向量(sin 8,)AC k t θ=-，AC 与a 共线，2sin 16t k θ∴=-+，2432sin (2sin 16)sin 2(sin )t k k k kθθθθ∴=-+=--+，4k >， 401k ∴<<，当4sin k θ=时， sin t θ取得最大值32k，而324,8,=,(4,8)6k OC k πθ===时得此时， (8,0)(4,8)32.OA OC ∴⋅=⋅=。

甘肃省西北师大附中08-09学年高一数学下学期期末考试人教版【会员独享】.doc

西北师大附中高一下学期数学期末考试试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间100分钟，满分150分。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，把答案填在后面的答题卡上。

1．若平面向量b r 与向量(1,2)a =-r 方向相反，且||b =r，则b =rA ．(3,6)-B ．(3,6)-C ．(6,3)-D ．(6,3)-2．下列条件中，不能使11a b<成立的是 A ．0a b << B ．0b a << C ．0b a << D ．0b a <<3．已知A 是△ABC 的一个内角，且2sin cos 3A A +=，则△ABC 是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不确定4．已知△ABC 三内角A 、B 、C 满足sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且三角形的周长是7.5，则三边的长是A ．a =4，b =5，c =6B ．a =1，b =1.5，c =5C ．a =2，b =3，c =2.5D ．a =2，b =2.5，c =3 5．若关于x 的不等式|2|||-+-≥x x a a 在R 上恒成立，则a 的最大值是 A ．-1B ．0C ．1D ．26．给出下列四个等式⑴0O AB ⋅=u r uu u r ；⑵O AB BA -=u r uu u r uu r ；⑶AB AC BC -=uu u r uuu r uu u r ；⑷0AB BA +=uu u r uu r其中正确的共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知向量(,)m a b =u r ，向量n m ⊥r u r ，且||||n m =r u r，则n r 的坐标可以为A ．(,)b a -B ．(,)a b -C ．(,)a b -D ．(,)b a --8．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD a =uuu r r ，BE b =uu u r r ，则BC uuu r为A ．4233a b +r rB ．2433a b +r rC ．2233a b -r rD ．2433b a -r r9．若1a b >>，P =1(lg lg )2Q a b =+，lg 2a b R +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A ．R P Q <<B ．P R Q <<C ．Q P R <<D ．P Q R <<10．在△ABC 中，若已知18a =，22b =，A=35°，求B 时，解的个数是A ．无解B ．一解C ．两解D ．无数解11．把一个函数的图象按(,2)4a π=r 平移后得到的图象的函数解析式为sin()24y x π=++，那么原来的函数解析式为A ．cos y x =B ．sin y x =C ．sin 2y x =+D ．cos 4y x =+12．设*,x y R ∈，2x y xy ++=，则x y +的最小值是A ．2B ．2--C ．2-D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上。

甘肃省兰州市高一数学下学期期末考试试题新人教A版

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7I =，集合{}2,4,6,7A =，则I C A = A ．{}1,2,5 B ． {}1,3,4 C ． {}1,3,5 D ． {}3,5,7 2．函数1lg(42)y x x =-+-的定义域为A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(1,2)D ．(1,2]3．已知二次函数2(3)y x mx m =+++有两个不同的零点，则m 的取值范围是（） A ．[2,6]- B ．(2,6)- C ．(,2)(6,)-∞-+∞ D ．{2,6}-4．下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为x -2-10 1 2 3 y116 14141664A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型 5.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（）Ａ３０° Ｂ４５° Ｃ６０° Ｄ９０° 6、若a>b ，下列不等式中一定成立的是（） A 、b a 11<B 、1<ab C 、22a b> D 、0lg()a b -> 7. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有 A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 18、下列不等式中，与不等式xx --23≥0同解的是（） A 、)2)(3(x x --≥0 B 、0)2)(3(>--x x C 、32--x x≥0 D 、)2lg(-x ≤0 9、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【答案】C【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++===10、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11- 解析：解析：通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =-2，带入所求式可知答案选D ，11．等比数列{}n a 中，9696==a a ，，则3a 等于 A ．3 B ．23C ．916 D ．4 12.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，xx f 2)(=，则=-)3(f ．8-14线过原点且倾角的正弦值是54，则直线方程为 .x y 34±= 15．函数)10(11≠>+=-a a ay x 且，无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 _______．16．已知242311(),3,()33a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 .（用 “<”号连接）a c b <<三、解答题17．（10分）建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，把总造价y （元）表示为底面一边长x （米）的函数。

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2009——2010学年第二学期期末试卷高一年级数学挣胖座位号I&号二再廿«---- ……」_一、选释践（本衣遥共n小曲，毎JS4 5E共輻分）评歳人I•已知理足第二尊限角，MJ么更是2A-第…象昵角C.第一威第的象螟如H.第二兼眼甜D.第一*三昴眼角2-已卿佝口的终辿经ill点（叭刃.H.taii«= - h J.Jj s jfia的值为4（A - fi. C.上 D.二5 55 3工在平行四边形d£t（；Q中.M为蔚上任一点，剧齐-雨+丽等于（A. BCB. ABC. AC D,7b4.若芫（Uh 3JI则疝-&二(B- (5J) G (-13) D.〈7—3)5.化简sinl胪-由COS1511制到的纺果是N、7》B-r -C. -i/fi ■-^2 D. 十6若点P分駅丹所俶的比为-匚则内分方所成的岀为（工已知7$沟为单壷向器它们的灭箱为册t那纠占+昭二-1 -8. P是皿眈所在平面上•点’殛丙二而贡=况-亘L刪F培的( )A.外右B.内心C.蜃心P.垂心一-一一=山」”立蝕,9一耙函散严亦n2x的图販按佝畳2的方向平轸，得到&y = 2sin(2x+j) +i的囲黛,剧向臥［的坐标为( )A (-^1) 斑亠舟小 C.(^t-I)J O J 0讥在△ABC 中” e^l2sinAc<KB=s!nC・则AABC-^> ( )A.等精二矗形B,克角三角疤C.等勰直角D.正三轮形11-谡向的夹他为飢宦製5与A的“向雄积人娃一牛向牘「它的0B”x»=*卜岡伽叭若口=(-曲,一1)上= (h75}*刚OK^| =c. 275 D. 4② AB 1 BC f CA -.& 1 ③荐題号 1 2 3 A 5 6 ~T""~8~"9 '10li12菩案二、境空返E木大腔共百小题・每魅4分・共却井)V2.在曲肚中+有命題①石-忌土盘；( AB ^AC)(AB-AC)-Q・则心肚为啡麽三和陌*④若花<侖".Hid ±4£C为锐粕二轴廉.上雄谕遐止确的呈A.①®与.溝卷人得井B,已知向＞u^(3,l)p b = (k,2),若a/fbt则2 _____________14, Ffijfey-asmi + l的姑大值足乩则它的場小值肯 _____ _____1S.若囱肛R胡，HUffs /的关慕册____________I氐已知芫(2】). b = (-^7)t则7枉&方向上的殺塞垦_________________________________________________________■4 -散学第2页，Jt£页-2 --3 -17- c 知向弧之沁皿咖砒，蔥如/U 血d 向鮎钿的“为旳则cosg-和的俏为1社厲分〉已知问m 円“斶的换g 求便爾s 眄跖"> 宜的卖割U 的值*mu 设o 为原点* f 必=仅4厉=D 黃丄爲磁尿试求斶足 6S+ cw=g 的尤的坐标一肌⑹炉壮磁中.加卯丽的边井别为讹心已剜心，心 cosJJ ■右.⑴或血的值;⑵*晌匸的值.21. < 12 井)已知向 < <JF-(2co5x+lco52jr-siiix + l)X^ ^=(MSX F /(r) = C?/; dy. <1)求函数川巧的单调逆越区间：⑵求两歡HE 的最大锻及驭得蜃大值时的值卑合.二、解暮童（本大題共$小Jg»共眾外）22. (12#)巴知札Ik C三点的翌标分别是A (3. 0). B (0, 3)C(?m.r苴屮专“舟+⑴ 若岡=岡・求航的值$C2)若AC BC = - H求沁凹旦的值*药谧常»4«(其屯奥-4 -2009 2010学年第二学期期末考试高一数学参考答秦，选择腿「木大題英12谥屮理.毎趣」佥，共幅分｝【D 2.C 3, H 4. A 5.EJ 6.D 7 C 8.D 9.B 10 A IU1 12.C.埴空比（本人雌体,小题”毎題4分・.K20严冷A 1G垂直1H V砧⑺它飞尹蠡<^±0^,-5 小题，It 52 J* 18. (8 #V：由 C 知,得© +亦]•(鮎・H乂”卜J2，|耳=I斜八3“1“斛得2 気： n(: = QC- OB (x +4, y-l)liOC 丄斗总(A-：■!)+ 2(F * 1)=。

甘肃省高一下学期期末数学试卷

甘肃省高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共13题；共26分)1. （2分）把1 011(2)化为十进制数为（）A . 11B . 12C . 112D . 10112. （2分）有如下程序运行后输出结果是（）A . 3 4 5 6B . 4 5 6C . 5 6D . 63. （2分）一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员人数为（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分） (2017高二下·潍坊期中) 某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费x（万元）3456销售额y（万元）25304045根据表可得回归直线方程 =7x+ ，若广告费用为10万元，则预计销售额为（）A . 73万元B . 73.5万元C . 74万元D . 74.5万元5. （2分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序（i为虚数单位），则输出的S的值为（）A . －1B . 1C . iD . 06. （2分） (2016高一下·商水期中) 在△ABC中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 无法判定7. （2分）在数列中，为非零常数），且前n项和为，则实数t的值为（）A .B .C . -1D . 18. （2分） (2019高二上·六安月考) 若满足约束条件，则的最小值为（）A . -2B .C .D .9. （2分） (2019高二上·新蔡月考) 已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）.A .B .C .D .11. （2分）设x＞0，y＞0，，，则A，B的大小关系是（）A . A=BB . A＜BC . A≤BD . A＞B12. （2分）若函数f（x）=g（x）+x2为奇函数，且f（1）=1，则函数g（x）的解析式可能为（）A . y=x3B . y=2x3﹣x2C . y=2x3+x2D . y=x5﹣x213. （2分）已知数列{an}，{bn}满足bn=log2an ，n∈N* ，其中{bn}是等差数列，且a8•a2008=，则b1+b2+b3+…+b2015=（）A . log22015B . 2015C . ﹣2015D . 1008二、填空题 (共5题；共14分)14. （1分） (2016高一下·台州期末) 已知各项都不为0的等差数列{an}，设bn= （n∈N*），记数列{bn}的前n项和为Sn ，则a1•a2018•S2017=________15. （1分） (2017高三上·武进期中) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，B=120°，则角C等于________．16. （1分） (2020高一上·厦门期中) 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．17. （10分） (2018高二下·保山期末) 已知函数 .（1）若函数在上单调递增的，求实数的取值范围；（2）当时，求函数在上的最大值和最小值.18. （1分） (2016高一上·厦门期中) 已知函数f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，则当x∈（0，），不等式f（x）+2＜logax恒成立时，实数a的取值范围是________三、解答题 (共7题；共85分)19. （15分） (2020高一上·上海期中) 设关于的不等式和的解集分别为和 .（1）求集合；（2）是否存在实数，使得？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由；（3）若，求实数的取值范围.20. （10分） (2018高一下·雅安期中) 已知a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边长，且.（1）求角C的值；（2）若c=4,a+b=7，求. .的值.21. （15分） (2018高二上·宾阳月考) 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)频数62638228（1）作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？22. （10分） (2016高一下·海珠期末) 一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如表：原料磷酸盐（单位：吨）硝酸盐（单位：吨）种类甲420乙220现库存磷酸盐8吨、硝酸盐60吨，计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料．（1）设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）若生产1车皮甲种肥料，利润为3万元；生产1车皮乙种肥料，利润为2万元．那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？23. （15分）(2020·桂林模拟) 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.表中， .附：对于一组数据，，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？24. （10分） (2016高三上·湖州期末) 设正项数列{an}的前n项和为Sn ，且a +2an=4Sn（n∈N*）．（1）求an；（2）设数列{bn}满足：b1=1，bn= （n∈N* ，n≥2），求数列{bn}的前n项和Tn ．25. （10分） (2018高二上·烟台期中) 已知等差数列的各项为正数，其公差为1，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求．参考答案一、选择题 (共13题；共26分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共14分)答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共85分)答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、。

甘肃省兰州市高一下学期数学期末考试试卷

甘肃省兰州市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）一扇形所在的圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则下列结论正确的是（）A . 扇形的面积不变B . 扇形的圆心角不变C . 扇形的面积增大到原来的2倍D . 扇形的圆心角增大到原来的2倍2. （2分） (2019高一下·南海月考) 某班有位同学，座位号记为．用如图的随机数表选取组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第列和第列数字开始．由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个志愿者的座号是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·伊通期末) 已知，则（）A .B .C .D .4. （2分）在下列各数中，最大的数是（）A .B .C .D .5. （2分）已知样本数据3，4，5，x，y的平均数是5，标准差是，则xy=（）A . 42B . 40C . 36D . 306. （2分）平面向量、的夹角为，，，则（）A .B .C .D . 27. （2分）已知x，y的取值如下表：如果y与x成线性相关，且线性回归方程为，则b= X234Y546A .B .C .D .8. （2分）已知θ∈（﹣，0）且3tanθ•sinθ=8，则cos（﹣2θ）的值为（）A . ﹣B .C . ﹣D .9. （2分）(2020·邵阳模拟) 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·黄山期末) 某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间[481，720]的人数为（）A . 10B . 11C . 12D . 1311. （2分）函数y=|x﹣3|的单调递减区间为（）A . （﹣∞，+∞）B . [3，+∞）C . （﹣∞，3]D . [0，+∞）12. （2分） (2016高三上·宜春期中) 已知向量 =（x，）， =（x，﹣），若（2 + ）⊥ ，则| |=（）A . 1B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）用更相减损术求152与92的最大公约数时,需要做减法的次数是________.14. （1分） (2016高二下·黑龙江开学考) 向量 =（m﹣2，m+3）， =（2m+1，m﹣2），若与的夹角为锐角，则m的取值范围是________．15. （1分） (2018高二下·海安月考) 设有1个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都为6cm.现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为________．16. （1分） (2019高三上·和平月考) 已知函数，有以下结论：①若，则；② 在区间上是增函数；③ 的图象与图象关于轴对称；④设函数，当时，。

【推荐】甘肃省兰州市城关区高一数学下册第二学期期末考试试题

第二学期期末考试试题高一数学说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分,考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，把答案填在答题卡的相应位置上.）1.已知单位向量a r 、b r，则下列各式成立的是（）A. 0a b -=r r rB. 22a b =r rC. 1a b ⋅=r rD. 0a b ⋅=r r2.已知角α终边上有一点1011(,sin())36-P cosππ，则tan =α（） A. C. 1- D. 13. 已知(0)tan 22∈-=-x x π，，，则sin()+=x π（）B. C. 4. 向量,,r r r a b c 在正方形网格中，如图所示，若(,)=+∈r r rc a b R λμλμ，则=λμ（） A. 2 B. 2- C. 6D.125.设cos56)=-o o a ，cos50cos128cos40cos38=+o o o o b ，cos80=o c ,则a b c ，，的大小关系是（）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. a c b >>6.设向量,r r a b 满足||1,||()==⊥+r r r r ra b a a b ，则a b r r 与的夹角为（） A.4π B.34π C.23π D.56π 7.若一圆弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角弧度数为（） B. 2 C.23πD.3π8.已知曲线123:cos :cos(2)4==-C y x C y x π，，则下面结论正确的是（） A.把1C 上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移34π个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移38π个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移38π个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移34π个单位长度，得到曲线2C 9.若3tan 4=α，则2cos 2sin 2+=αα ( ) A.6425 B. 4825 C. 1 D. 162510.已知函数()cos()(0)=+>f x A x ωϕω的部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A. 函数()f x 的最小周期为23πB. 图象()f x 的图象关于(,0)12-π中心对称C. 函数()f x 的图象关于直线12=x π对称D. 函数()f x 的最小值为1- 11.如果||4≤x π，那么函数2()cos sin =-+f x x x 的值域是（）A.1221[,]22--B.2121[,]22+--C.521[]42+-D.521[]42--12.在等腰直角∆ABC 中，P 为平面ABC 内的一点，斜边4,=AB 则()⋅+u u u r u u u r u u u rPC PA PB 的最小值是（）A. 89-B. 1-C. 2-D. 169-yo第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13.已知向量(3,2),(1,1)==-r r a b ，则2-r ra b 在r b 上的投影为 . 14.设02≤<x πsin cos =-x x ，则x 的取值范围是 .15.在平面直角坐标系中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x轴对称，若cos =α则cos()-=αβ . 16.关于函数()tan(2),4=-f x x π，有以下命题：①函数()f x 的定义域是13{|,};28≠+∈x x k k Z ππ②函数()f x 是奇函数；③函数()f x 的图象关于点(,0)8π对称； ④函数()f x 的一个单调递增区间为(,)22-ππ.其中，正确的命题序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数1)4()cos -=x f x xπ.(Ⅰ)求()f x 的定义域；(Ⅱ)设α是第四象限的角，且12sin 13=-α，求()f α的值.18. （本小题满分12分）已知(cos ,sin )(cos ,sin )=r ra b ααββ＝，，0<<<βαπ.（Ⅰ）若||-=r r a b ⊥r ra b ；（Ⅱ）设(0,1)=r c ，若+=r r ra b c ，求αβ，的值.19. （本小题满分12分）已知5sin()13+=αβ，1tan 22=α ，其中,(0,)∈αβπ，求tan ,cos αβ的值.20. （本小题满分12分）设函数()sin(),=+∈f x x x R ωϕ，其中0,||2><πωϕ.若()1,()0,24=-=f f ππ且()f x 的最小正周期大于2π.（Ⅰ）求函数()f x 的解析表达式；（Ⅱ）讨论()f x 在区间3[,]24-ππ内的单调性.21. （本小题满分12分）已知函数2()sin cos cos (0)=⋅+>f x a x x x b a (Ⅰ)写出函数()f x 的对称轴方程；(Ⅱ)设]20[π，∈x ，()f x 的最小值是2-，最大值是3，求实数,a b 的值.22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)=-ra ，又点(8,0)A ，(,)B n t (sin ,)C k t θ,(02≤≤πθ).(Ⅰ)若⊥u u u r r AB a ，且|||u u u r u u u r AB OA ，求向量u u u r OB ；(Ⅱ)若向量u u u r AC 与向量a r 共线，当4>k ，且sin t θ取最大值4时，求⋅u u u r u u u rOA OC .兰州一中第二学期期末试题答案高一数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，把答案填在答题卡的相应位置上.）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13． - 14. 5[,]44ππ 15. 59- 16. ①③三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数1)4()cos --=x f x xπ.(Ⅰ)求()f x 的定义域；(Ⅱ)设α是第四象限的角，且12sin 13=-α，求()f α的值. 解：(Ⅰ)由cos 0,,.2x x k k Z ππ≠≠+∈得故()f x 的定义域为{|,}.2x x k k Z ππ≠+∈(Ⅱ) 12sin 13=-α，且α是第四象限的角，所以5cos 13α=，又21)1sin 2cos 22cos 2sin cos 4()2cos 2sin cos cos cos x x x x x x f x x x xx xπ---+-====-512342().131313=+=18. （本小题满分12分）已知(cos ,sin )(cos ,sin )=r ra b ααββ＝，，0<<<βαπ. （Ⅰ）若||-=r r a b ⊥r ra b ；（Ⅱ）设(0,1)=r c ，若+=r r ra b c ，求αβ，的值.解（Ⅰ）证明：由题意得2||2a b -=r r ，即2222a a b b -⋅+=r r r r ，又因为2222||1,||1,a a b b ====r r r r ，所以222,0a b a b -⋅=∴⋅=r r r r ， .a b ∴⊥r r（Ⅱ）因为(cos cos ,sin sin )(0,1)a b αβαβ+=++=r r ，所以cos cos 0,sin sin 1,αβαβ+=⎧⎨+=⎩所以cos cos()απβ=-，由0<<<βαπ，得0πβπ<-<. 又0,=-απαπβ<<故，代入sin sin 1αβ+=，得1sin sin 2αβ==，而αβ>，所以51,.66απβπ== 19. （本小题满分12分）已知5sin()13+=αβ，1tan 22=α ，其中,(0,)∈αβπ，求tan ,cos αβ的值.解：因为1tan22=α ， (0,)απ∈， 22tan142tan 331tan 24ααα∴===- ， 4tan 13α=>Q ， (,)42ππα∴∈，43sin ,cos 55αα∴==，又5sin()13αβ+=Q(,)2παβπ∴+∈，又12cos()13αβ∴+=-，则cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++ 1235416().13513565=-⋅+⋅=- 20. （本小题满分12分）设函数()sin(),=+∈f x x x R ωϕ，其中0,||2><πωϕ.若()1,()0,24=-=f f ππ且()f x 的最小正周期大于2π. （Ⅰ）求函数()f x 的解析表达式；（Ⅱ）讨论()f x 在区间3[,]24-ππ内的单调性.解：（Ⅰ）由()f x 的最小正周期大于2π，得42T π>，又()1,()0,24f f ππ=-=得34244T πππ=+=，∴3T π=，则223,3ππωω==．∴2()sin()sin()3f x x x ωϕϕ=+=+，由()1,2f π=2sin()132πϕ⋅+=，得sin()13πϕ+=．∴2,32k k R ππϕπ+=+∈．取0k =，得62ππϕ=<，满足题意．∴2,36πωϕ==，∴函数解析式为2()sin().36f x x π=+ （Ⅱ）当3[,]24x ππ∈-时，22[,],3663x πππ+∈- ∴由2,636222x x πππππ-≤+≤≤≤得-；由223,236324x x πππππ≤+≤≤≤得， ∴ 当3[,]24x ππ∈-时，()f x 单调递增区间为,]22ππ[-；单调递减区间为3[,]24ππ．21. （本小题满分12分）已知函数2()sin cos cos (0)=⋅+>f x a x x x b a (Ⅰ)写出函数()f x 的对称轴方程；(Ⅱ)设]20[π，∈x ，()f x 的最小值是2-，最大值是3，求实数,a b 的值.解：2()sin cos cos f x a x x x b =⋅+sin 2cos 2)sin 2222a a x x b x x b =-++=+ sin(2)3a xb π=-+(Ⅰ)令232x k πππ-=+，则 5212k x ππ=+，故函数()f x 的对称轴方程为5,.212k x k Z ππ=+∈ (Ⅱ)20,2,sin(2)1233323x x x πππππ≤≤-≤-≤-≤-≤min max ()2,()2f x a b f x a b =-+=-=+=2222a a b b a b ⎧=⎧-+=-⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎩⎪+=⎩22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)=-r a ，又点(8,0)A ，(,)B n t (sin ,)C k t θ,(02≤≤πθ).(Ⅰ)若⊥u u u r r AB a ，且|||=u u u r u u u r AB OA ，求向量u u u rOB ；(Ⅱ)若向量u u u r AC 与向量a r 共线，当4>k ，且sin t θ取最大值4时，求⋅u u u r u u u rOA OC .解：(Ⅰ)由题意知(8,)AB n t =-u u u r ， AB a ⊥u u u r rQ ，820n t ∴-+=，又|||AB OA =u u u r u u u rQ ，222564(8)5n t t ∴⨯=-+=，得8t =±，当8t =时， 24n =；当88.t n =-=-时, (24,8)(-8,-8)OB OB ∴==u u u r u u u r或.(Ⅱ) 由题意知向量(sin 8,)AC k t θ=-u u u r ， AC u u u r Q 与a r共线，2sin 16t k θ∴=-+，2432sin (2sin 16)sin 2(sin )t k k k kθθθθ∴=-+=--+，4k >Q ， 401k ∴<<，当4sin k θ=时， sin t θ取得最大值32k，而324,8,=,(4,8)6k OC k πθ===u u ur 时得此时， (8,0)(4,8)32.OA OC ∴⋅=⋅=u u u r u u u r。

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兰州五十五中2008—2009学年度第二学期期末试卷
高一数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(3,1),(1,2),a b =-=-
则32a b -- 的坐标是
A ．（7，1）
B ．(7,1)--
C ．(7,1)-
D ．(7,1)-
2．已知(1,3),(,1),a b x =-=-
且//a b ，则x 等于
A ．3
B ．3-
C ．
13 D ．13- 3．已知向量(1,),(1,),a n b n ==- 若2a b - 与b 垂直，则||a
=
A ．1 B
C ．2
D ．4
4．若4,6m n == ，m 与n 的夹角是135︒
，则m n ⋅ 等于
A ．12 B
． C
．- D ．12-
5．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-
，则必有
A ．0AD =
B ．0AB = 或0AD =
C ．ABC
D 是矩形 D ．ABCD 是正方形
6．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =
A ．(1,2)--
B ．(1,2)-
C ．(1,2)-
D ．（1，2）
7．已知点C 在线段AB 的延长线上，且2,BC AB BC CA λ==
，则λ等于
A ．3
B ．
13 C ．3- D ．13
- 8．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ ，且2AB AC AB AC ⋅=⋅ ，则
ABC ∆为
A ．三边都不等的三角形
B ．直角三角形 B ．等腰不等边三角形 D ．等边三角形 9．已知AB
C ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为a,b,c
若a c ==75A ︒
∠=，则b=
A ．2
B ．4+
C ．4-
D 10．已知tan 2,θ=则2
2
sin sin cos 2cos θθθθ+-=
A ．43-
B ．54
C ．34-
D ．45
11．函数sin 23y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
在区间,2ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
的简图是
12．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，则该函数的图象 A ．关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 B ．关于直线4x π=对称
C ．关于点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．关于直线3x π=对称
选择题答题卡
13．函数2
()2cos sin 2f x x x =+的最小值是_________________。

14．写出函数tan ,y x x R =∈的，单调增区间______________。

15．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示，则ω=__________。

16．已知以下五个命题： ①若a 0,≠则a b 0,⋅=则b=0；
②若a=0，则a b ⋅=0； ③若a b a c ⋅=⋅，（其中a 、b 、c 均为非零向量），则b=c ； ④若a 、b 、c 均为非零向量，（a b)c a (b c)⋅⋅=⋅⋅一定成立；
⑤已知a 、b 、c 均为非零向量，则|a b c ||a ||b ||c |++=++成立的充要条件是a 、b 与c 同向其中正确命题的序号是_______________。

三、解答题：每小题共6小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分8分）已知(3,2),(8,0),A AB -=
求线段AB 的中点C 的坐标。

18．（本小题满分8分）
已知4,5,a b a == 与b 的夹角为60︒
，求3a b - 的值。

在ABC ∆中，内角A 、b 、c 的对边分别为a 、b 、c 已知2
2
2a c b -=，且s i n 4c o s s i n ,B A C
=求b 。

20．（本小题满分10分）
已知ABC ∆三个顶点的直角坐标分别为A （3，4）、B （0，0）、C （c ，0）（1）若0AB AC ⋅=，求c 的值；（2）若5c =，求sin A ∠的值。

已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =
， (sin ,sin ),(2,2),n B A p b a ==--
若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形；
若m p ⊥ ，边长2,c =角3
C π
=，求ABC ∆的面积
22．（本小题满分10分）
设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，2
3cos()cos ,2
A C
B b ac -+==，求B
2008—2009学年度第二学期期末试卷高一数学答案
一、选择题
二、填空题
13．1 14．,,2
2
k x k k Z π
π
ππ-<<+
∈ 15．
3
2
16．②、⑤ 三、解答题
17．设385
(,),(,)(3,2)(8,0),202
x x B x y AB x y y y +==⎧⎧=--=∴⇒⎨⎨
-==⎩⎩ (5,2),1,2(1,2)C C B x y C ∴==⇒
18．222(3)961093a b a a b b a b -=-⋅+=⇒-=
19．由余现定理得222222cos ,2,0,a c b bc A a c b b -=--=
≠ 2
2cos
2b bc A b ∴-=，即2cos 2b c A =+。

由正现定理及sin 4cos sin B A C =得sin 2cos 2sin 2B b
A C c
=
=，∴
22
b
b =
+，即 4.b =
20．（1）(3,4),(3,4),AB AC c =--=-- 由3(3)162530AB AC c c ⋅=--+=-=
，得25
3
c =
（2）(3,4),(2,4),cos AB AC AB AC A AB AC ⋅=--=-∠==
=⋅
sin
5
A ∠==
21．（1）
sin sin ,a A b B ∴=即22a b a b R R
⋅
=⋅，其中R 是三角形ABC 外接圆半径， a b ABC =∴∆为等腰三角形
（2）由题意可知
=0，即(2)(2)0a b b a a b ab -+-=∴+=
由余现定理可知，2
2
2
4()3a b ab a b ab =+-=+-即2
()340ab ab --=
4ab ∴=（舍去1)ab =-，11sin 4sin 223
S ab C π
∴=
=⋅⋅=22．由3cos()cos 2A C B -+=
及()B A C π=-+得3cos()cos()2
A C A C --+=
3cos cos sin sin (cos cos sin sin ),2A C A C A C A C +--=3
sin sin ,4
A C =又由2b a c
=及正弦定理得
2sin sin sin ,B A C =故23sin ,sin 42B B ==
或sin 2
B =-（舍去），于是3B π=或223B b ac π=
⋅=知b a ≤或b c ≤所以3
B π
=。