第5讲：二次函数(一)

2011届盐城景山中学高三文科数学二轮讲义 班级 姓名 学号
二轮讲义（5）——基本函数（1）
一、知识清单：
常见的初等函数：一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。

特别指出,分段函数也是重要的函数模型。

1.一元一次函数：)0(≠+=a b ax y ，当0>a 时，是增函数；当0<a 时，是减函数；
2.一元二次函数：
一般式:)0(2
≠++=a c bx ax y ；对称轴方程是2b x a =-；顶点为24(,)24b ac b a a --； 两点式：))((21x x x x a y --=；对称轴方程是 ；与x 轴的交点为 ；
顶点式：h k x a y +-=2)(；对称轴方程是 ；顶点为 ；
⑴一元二次函数的单调性：
当0>a 时： 为增函数； 为减函数；
当0<a 时： 为增函数； 为减函数； ⑵二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为h k x a y +-=2)(的形式，
(Ⅰ)、若顶点的横坐标在给定的区间上，则当0>a 时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当0<a 时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
(Ⅱ)若顶点的横坐标不在给定的区间上，则当0>a 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当0<a 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
二、基础练习
1.若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．
2．函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是
3．已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是
4． 已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，则实数b 取值范围是
5．已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，则a =
6．已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=．给下列命题：
①)(x f 必是偶函数；
② 当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x =1对称；
③ 若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数；
④)(x f 有最大值||2b a -．其中正确的序号是________．
三、例题选讲
例1．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+。

(Ⅰ)求函数()g x 的解析式；
(Ⅱ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围。

例2．已知二次函数 f (x ) = a x 2 + bx （a 、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x ) = f (1－x )，且方程 f (x ) = x 有等根．
(1)求 f (x ) 的解析式；
(2)是否存在实数 m 、n （m < n ），使 f (x ) 的定义域和值域分别为 [m ,n ] 和 [3m ,3n ]，如果存在，求出 m 、n 的值，如果不存在，说明理由．
例3．已知二次函数()2f x ax bx c =++.是否存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足以下条件 ① 对,(4)(2)x R f x f x ∀∈-=-，且()0f x 的最小值是；
② 对x R ∀∈,都有210()(1)2
f x x x ≤-≤-。

若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由。

例4．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e =3(0,)2P 到这个椭圆
上的点的最远距离是求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P
例5．设二次函数)()(2c b a c bx ax x f >>++=,已知0)1(=f ,且存在实数m ,使a m f -=)(
(1).试推断)(x f 在区间[)+∞,0上是否为单调函数,并说明你的理由
(2)设bx x f x g +=)()(,对于R x x ∈2,1,且21x x ≠,若0)()(21==x g x g 求21x x -的取值范围
(3)求证:0)3(>+m f .
例6．设a ∈R ，函数f (x )=x 2+|x －a |+1,x ∈R.
（1）讨论f (x )的奇偶性
（2）求f (x )的最小值.。