第一讲二次函数的意义
(完整版)二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数的意义
二次函数的意义二次函数是数学中的一个重要概念，是一种用于描述一些自然现象的数学模型。
在实际应用中，二次函数被广泛应用于物理、经济学、工程学等领域，具有重要的意义和作用。
本文将从二次函数的定义、图像和性质、应用等方面来探讨二次函数的意义。
一、二次函数的定义二次函数是指形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠0。
二次函数的定义域为所有实数，值域为y≥c（当a>0）或y≤c （当a<0）。
二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上，此时二次函数的最小值为c；当a<0时，抛物线开口朝下，此时二次函数的最大值为c。
二次函数的图像关于直线x=-b/2a 对称。
二、二次函数的图像和性质二次函数的图像具有以下特点：1. 抛物线开口的方向由二次项系数a的正负决定。
2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c)。
3. 抛物线与x轴相交的点称为根，当抛物线与x轴相切时，根的重合点称为重根，当抛物线不与x轴相交时，称为无实根。
4. 当a>0时，二次函数的最小值为c；当a<0时，二次函数的最大值为c。
5. 二次函数的对称轴为直线x=-b/2a，对称中心为顶点。
6. 当a>0时，二次函数的值域为y≥c；当a<0时，二次函数的值域为y≤c。
三、二次函数的应用二次函数在实际应用中有着广泛的应用，具体包括以下几个方面： 1. 物理应用二次函数在物理学中有着重要的应用，如自由落体运动、抛体运动等。
自由落体运动可以用二次函数y=1/2gt来描述，其中g为重力加速度，t为时间。
抛体运动可以用二次函数y=-1/2gt+v0t+h来描述，其中v0为初速度，h为初高度。
2. 经济学应用二次函数在经济学中也有着广泛的应用。
例如，成本函数、收益函数等都可以用二次函数来描述。
成本函数可以用二次函数y=ax+bx+c来表示，其中a为边际成本，b为固定成本，c为总成本。
二次函数几何意义
二次函数几何意义
函数是数学中概念最为重要的概念之一，广泛应用于科学技术、商业运算等领域。
今天，我们将讨论一下二次函数的几何意义。
首先，让我们从数学定义上来谈谈二次函数。
在几何意义上，二次函数是一种多项式函数，它的形式为y=ax2+bx+c，其中a、b、c
是常数，x是变量，y是函数的值。
其次，让我们来看看二次函数的几何意义。
一个二次函数可以用一个抛物线来表示，抛物线被平面内切成两个部分，其中一部分在x 轴的右边，另一部分在x轴的左边。
这条抛物线是一条开口向上的曲线，其图像上形成一个“U”形，其图形有两个交点，即抛物线的凹陷处，而抛物线的凸起处则是它的顶点。
再次，让我们来看看二次函数的特征值。
这类函数的特征值非常重要，它包括函数的顶点、凹陷处的值、单调性、对称性等等。
最后，让我们来讨论一下二次函数的应用。
二次函数广泛应用于工程学、物理学、生物学等领域，其中包括抛物线运动轨迹预测、空气动力学中流体动态计算、热传导计算、医学影像分析等。
此外，它还被用于几何图形分析、椭圆计算、逃逸率计算、圆周率求解等。
总之，二次函数是一个重要的数学概念，具有广泛的应用潜力。
它的几何特征包括顶点、凹陷处的值、单调性和对称性等，在工程学、物理学、生物学等领域都有应用，是很多数学模型的基础。
- 1 -。
二次函数的意义
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解：（ 1 ）a 0 (2)a = 0, b 0 (3)a = 0, b 0, c = 0
敢于创新
如果函数y= x +kx+1是二次函数, 0,3 则k的值一定是______
zxxkw
k - 3k+ 2
2
如果函数y=(k-3)x 数,则k的值一定是______ 0
y = 2( x 1) 4
2
（1）你能说出此函数的最小值吗？ 当x=1时,函数y有最小值为4 （2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？
x取任意实数
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量
的取值范围都是任意实数呢？ 2 例如：圆的面积 y (cm )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2 其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
k 2 - 3k+ 2
+kx+1是二次函
知识的升华
已知函数 y = (k k ) x kx 2 k (1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
2 2
k = 0 k 解（1）根据题意得 k 0
2
∴k=1时,y是x的一次函数。
2
(2) 当k - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时 y是x的二次函数
2
(o<x<10)
(2) y = 2 32 20 3 = 42m
小试牛刀
圆的半径是1cm,假设半径增加 xcm时,圆的面积增加ycm² . （1）写出y与x之间的函数关系表 达式；
（2）当圆的半径分别增加 1cm, 2cm ,2cm时,圆的面积增加多 少？
2211二次函数的意义
(2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
6.已知函数y (k2 k)x2 kx 2 k
(1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
作业：
1.y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m＋2)x＋3，当m为何值 时，y是x的二次函数？
｛1 p q 4 4 2 p q 5
解得，p 12, q 15.
所求的二次函数是y x2 12x 15
数,则k的值一定是___0___
3 、 m取何值时，函数是y= (m+1)xm2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？
4、若函数y (m2 1)xm2 m 为二次函数，
求m的值。
5.函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)，
当a,b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
2
2
3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
y=20(1+x)2
即 y=20x2+40x+20
认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出 哪些是常数、自变量和函数．
2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.
1、判断下列函数式二次函数吗？为什么？ (1) y 3x2 2 (2) y x2 1
x (3) y (x 2)(x 3)
(4)y x2 2x 3
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2
2.下列函数中,哪些是二次函数？
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敢于创新
x 如果函数y= k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值0,3一定是______
如果函数y=(k-3)
x +kx+1是k二2 -次3函k数+,2则k的值一定是_Hale Waihona Puke ____0.精品课件.
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知识的升华
已知函数 y (k 2 k)x2 kx 2 k
m 2 1 0(2)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得： m 1且m 1
所以m=2
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超级链接
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解：（1）a 0 (2)a 0,b 0
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2) k为何值时，y是x的二次函数？
解（1）根据题意得
k2 k k 0
0
∴k=1时,y是x的一次函数。
(2) 当k2 - k ≠ 0,即k ≠ 0且k ≠1时
y是x的二次函数 .精品课件.
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例2、当m为何值时，函数 y＝(m－2)xm2－2＋4x－5 是x的二次函数
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
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展示才智
3、若函数 y (m2 为 1)二xm2次m 函数，求m的 值。
解：因为该函数为二次函数，
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++〔a b ca≠〕的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：〔上加下减〕3. ()2y a x h =-的性质：〔左加右减〕4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞．概括成八个字“左加右减，上加下减〞．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系〔二次函数与x 轴交点情况〕：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：二次函数考察重点与常见题型1． 考察二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 那么m 的值是2． 综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是〔 〕y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
《二次函数的意义》二次函数
二次函数是一种数学函数，它的一般形式为`y = ax^2 + bx + c`，其中`a`、`b`和`c`是常数，且`a`不等于0。
二次函数的研究对象是二次多项式及其图像，它描述了一个曲线在平面直角坐标系中的形态。
什么是二次函数二次函数的表达方式二次函数的系数和常数项常数项`c`表示函数在y轴上的截距，而一次项系数`b`则表示函数在x轴上的位移。
二次项系数`a`决定了函数的开口方向和大小，如果`a > 0`，函数图像开口向上，如果`a < 0`，函数图像开口向下。
二次函数的系数包括`a`、`b`和`c`，它们分别表示二次项、一次项和常数项的系数。
顶点二次函数图像的顶点取决于一次项系数b和二次项系数a的符号。
如果b=0，顶点在y轴上；如果b>0，顶点在x轴上方；如果b<0，顶点在x轴下方。
开口方向二次函数图像的开口方向取决于二次项系数a的符号。
如果a>0，图像开口向上；如果a<0，图像开口向下。
与x轴的交点二次函数图像与x轴的交点取决于判别式Δ的符号。
如果Δ>0，有两个实数根；如果Δ=0，有一个实数根；如果Δ<0，没有实数根。
二次函数的图像偶函数单调性二次函数的性质1二次函数的对称性和开口方向23二次函数图像的对称轴是x=-b/2a。
对称轴二次函数的开口方向与a的符号有关。
如果a>0，函数图像开口向上；如果a<0，函数图像开口向下。
开口方向当a>0时，二次函数的极值点出现在对称轴处，即x=-b/2a；当a<0时，二次函数的极值点出现在离对称轴最远的点处，即x=(4ac-b^2)/4a。
极值点二次函数的解法030201二次函数的应用场景与方程的联系与不等式的联系二次函数与其他数学知识的联系二次函数与现实生活的联系物理运动在经济学中，二次函数被用来描述成本、收益、产量等之间的关系。
经济学信号处理二次函数在数学学科中的地位和作用解析几何近似计算基础数学03多做练习如何学好二次函数的意义和方法建议01理解基本概念02掌握图像和性质一元二次方程的解法一元二次方程的判别式一元二次方程的标准形式一元二次方程的基本概念二次函数二次函数与一元二次方程的关系和区别二次函数与一元二次方程的区别二次函数与一元二次方程的联系问题描述解决方法示例利用二次函数解决一元二次方程问题举例。
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第1讲二次函数复习学案
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【知识要点】
1.二次函数的定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
2.抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“+”，下“－”）平移k（k﹥0）个单位得到函数y=ax2k±；将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“+”）平移h（h﹥0）个单位得到y=a（x2)h
±.在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（（左加右减）．
【典型例题】
例1抛物线y=（x－2）2+3的顶点坐标是（）
A. （－2，3）B .（2，3）C .（－2，－3）D .（2，－3）
分析：考查二次函数的顶点式y=a（x－h）2+k，确定顶点坐标（h，k）。
例2将二次函数y=x2+4x－8，化为y=（x+m）2+n的形式正确的是（）。
A. y=（x+2）2－8
B. y=（x+2）2－4
C.y=（x+2）2+12
D. y=（x+2）2－12
分析：考查配方法．
例3二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次
函数表达式是（）。
A .y=x2－2 B. y=（x－2）2 C. y=x2+2 D. y=（x+2）2
分析：考查函数图象平移的规律，关键看抛物线的顶点移动前后的位置（即坐标），抛物线形状未变.
例4 已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1
(1)根据表中给出的值，计算对应的函数值，并填在表格中；
(2)观察第（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围
内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立。
分析：证明y1≤y2，可以说明y2－y1≥0。
解：（略）
【知识运用】
一、选择题
1.下列函数中,是二次函数的是( )
A .2
=B. y=2x2C. y=x2－2x3+1 D .y=x+2π
5x
y+
2.抛物线y=（x－1）2+2的对称轴是( )
A.直线x=－1
B.直线x=1
C.直线x=2
D.直线x=－2
3.已知抛物线y=x2－2bx+4的顶点在x轴上,则b的值一定是( )
A .1 B. 2 C.－2 D. 2或－2
4. 把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2－3x+5，则有( )
A .b=3，c=7 B. b=－9，c=－15 C. b=3，c=3 D. b=－9，c=21
二、填空题
5.平移抛物线y=x2+2x－8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式．
6.若将二次函数y=x2－2x+3配为y=(x－h)2+k的形式,则y= ．
7.已知二次函数y=ax2+bx－1的图象如图20－1－1所示,
则点(a，b)关于原点的对称点在第______ 象限．
图20-1-1
三、解答题
8.等边三角形边长为x，面积为y，求x与y之间的函数关系式．
9.当a= 时,y=(a－4)142 a x+5是二次函数.
10.把一个长为100m，宽为60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场，如果把游泳池的长增加x m．
（1）写出扩建后面积y（m2）与x（m）之间的关系式；
（2）水上游乐场的面积能否达到20000m2？。