二次函数基本定义完整版
二次函数基本定义
二次函数基本定义一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c能够为0）的函数叫做二次函数（quadratic其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线[1]，顶点坐标，交点式为（仅限于与x轴有交点的抛物线），与x轴的交点坐标是和注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”仅仅一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。
[2-3]函数性质1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。
开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。
抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形。
对称轴为直线对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
|a|越小，则抛物线的开口越大。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0, c）6.抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点。
时，抛物线与x轴有1个交点。
当时，抛物线与x轴没有交点。
当时，函数在处取得最小值；在上是减函数，在上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是当时，函数在处取得最大值在上是增函数，在上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是当时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)。
完整版)二次函数知识点复习
完整版)二次函数知识点复习二次函数知识点一、二次函数概念：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax²的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值。
a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值。
2.y=ax²+c的性质：上加下减。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值c。
a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值c。
3.y=a(x-h)²的性质：左加右减。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，0），对称轴为x=h。
性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值。
ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值。
4.y=a(x-h)²+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。
性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值k。
ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值k。
三、二次函数图象的平移平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k，确定其顶点坐标（h，k），具体平移方法如下：保持抛物线y=ax²的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。
二次函数的基本性质
一、全面理解二次函数的定义（1）二次函数有四种表达形式①二次一项式型：形如y=ax2（a是常数，且a≠0），x取任意实数。
②二次二项式型：形如y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0），x取任意实数。
③二次二项式型：形如y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。
④二次三项式型：形如y=ax2+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c ≠0），x取任意实数。
（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。
（3）二次函数解析式的三种形式二、掌握二次函数的图像和性质①y=ax2（a是常数，且a≠0）的图像和性质②y=ax 2+bx （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0）的图像和性质 ③y=ax 2+c （a 是常数，且a ≠0，c 是常数，c ≠0）的图像和性质④y=ax 2+bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0）的性质 a ＞0时 ，开口向上；a ＜0时，开口向下顶点坐标是（-a b 2，a b ac 442-），对称轴是直线x=-a b 2。
当a ＞0时 ，函数有最小值，y=a b ac 442-；a ＜0时，函数有最大值，y=a b ac 442-；性质：当a ＞0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大； 当a ＜0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小. 一、填空题 1．已知a ≠0，(1)抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为______，对称轴为______． (2)抛物线y ＝ax 2＋c 的顶点坐标为______，对称轴为______． (3)抛物线y ＝a(x －m)2的顶点坐标为______，对称轴为______．2．若函数122)21(++-=m m x m y 是二次函数，则m ＝______．3．抛物线y ＝2x 2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y 随x 增大而减小；当x______时，y 随x 增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______． 4．抛物线y ＝－2x 2的开口方向是______，它的形状与y ＝2x 2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．5．抛物线y ＝2x 2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝2x 2向______平移______个单位得到．6．抛物线y ＝3(x －2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．二、选择题7．要得到抛物线2)4(31-=xy，可将抛物线231xy=( )A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向右平移4个单位D．向左平移4个单位8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )A．y＝2x2与y＝3x2 B．2212+=xy与2122+=xyC．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－29．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数231xy-=的图象相同的抛物线是( )A．2)5(31-=xyB．5312--=xyC．2)5(31+-=xyD．2)5(31+=xy三、会结合图像确定y= 2ax+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0）的四种符号a的符号：看抛物线的开口方向：开口向上，a＞0；开口向下a＜0;b的符号：有对称轴的位置和的a符号确定：对称轴是y轴，b=0；对称轴在原点的左侧：0 2ab-，对称轴在原点的右侧，0 2ab-；c的符号：看抛物线与y轴交点的位置：交点在原点，c=0；交点在原点以上，c＞o；交点在原点以下，c＜0。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
其中，a 控制抛物线的开口方向和大小，b控制抛物线在x轴方向的平移，c控制抛物线在y轴方向的平移。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个称为抛物线的曲线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的图像在抛物线上的最高（或最低）点称为顶点，顶点的横坐标x=-b/2a，即抛物线的对称轴，纵坐标等于f(-b/2a)，即y的最小值或最大值。
4. 二次函数的零点二次函数在x轴上的交点称为零点，满足f(x)=0时的x值。
零点的判别式为Δ=b²-4ac，当Δ>0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实根。
5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
二、解析式求解1. 一般形式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c。
通过配方法、完全平方式或因式分解，可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式来方便求解相关参数。
2. 标准形式将一般形式的二次函数转化为标准形式f(x) = a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。
3. 顶点形式将一般形式的二次函数转化为顶点形式f(x) = a(x-p)(x-q)，其中(p,q)为零点的坐标。
4. 判别式通过二次函数的判别式Δ=b²-4ac，可以方便地判断二次函数的零点类型和数量。
三、图像解析1. 抛物线的开口方向二次函数的参数a的正负决定了抛物线的开口方向，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2. 抛物线的顶点、对称轴和最值通过二次函数的顶点坐标和对称轴方程，可以方便地求得抛物线的顶点和对称轴，并进而求得最小值或最大值。
二次函数基本概念与图象
二次函数基本概念与图象二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学建模、物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念与图象及相关性质。
一、二次函数的定义二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为实数且a不等于零。
其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，而b则决定了二次函数的图象在x轴方向上的位置，c为二次函数在y轴上的截距。
二、二次函数图象的性质1. 开口方向：当a大于零时，二次函数开口向上；当a小于零时，二次函数开口向下。
2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
3. 对称轴：二次函数的对称轴为x = -b/2a。
4. 零点：当二次函数存在零点时，其零点可通过求解ax^2 + bx + c = 0的解得。
三、二次函数图象的变化与平移1. a的变化：改变a的值可以使得二次函数图象的开口方向发生改变，当a的绝对值增大时，开口越窄，图象变得更陡；当a的绝对值减小时，开口越宽，图象变得更平缓。
2. b的变化：改变b的值可以使得二次函数图象在x轴方向上平移，当b为正时，图象向左平移；当b为负时，图象向右平移。
平移的距离与|b|成正比。
3. c的变化：改变c的值可以使得二次函数图象在y轴方向上平移，当c为正时，图象向上平移；当c为负时，图象向下平移。
平移的距离与|c|成正比。
四、二次函数的特殊情况1. 完全平方式：当二次函数的顶点坐标为(0, 0)时，称其为完全平方式，表示为f(x) = ax^2。
2. 平移形式：当二次函数的顶点坐标为(h, k)时，表示为f(x) = a(x-h)^2 + k。
五、二次函数的实际应用1. 物理学上，二次函数可用于描述自由落体运动、抛物线轨迹等。
2. 经济学中，二次函数可用于描述成本、收益等与产量关系的图象。
3. 数学建模中，二次函数可用于拟合实验数据、预测趋势等。
总结：二次函数作为一种重要的函数形式，具有广泛的应用和重要的数学性质。
(完整word)二次函数的定义、图像及性质
二次函数的定义、图像及性质一、基本概念：1．二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2。
二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c =+的性质:（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减） 4。
()2y a x h k =-+的性质:三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下:【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移;k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减"． 方法2:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。
二次函数的基本概念
二次函数的基本概念二次函数是一种重要的数学概念，广泛应用于数学、物理、经济等领域。
它的基本形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
本文将介绍二次函数的定义、图像特征以及常见的应用。
一、二次函数的定义二次函数是一个具有二次项的多项式，其中最高次数是 2。
它的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向二次函数图像的开口方向由二次项的系数 a 决定。
如果 a > 0，图像开口向上；如果 a < 0，图像开口向下。
2. 对称轴二次函数的图像是关于对称轴对称的，对称轴的方程为 x = -b/2a。
3. 顶点对于开口向上的二次函数，顶点是图像的最低点；对于开口向下的二次函数，顶点是图像的最高点。
顶点的 x 坐标为 -b/2a，y 坐标为代入 x 值所得到的 y 值。
4. 零点零点是二次函数图像与 x 轴交点的横坐标值，可以通过求解方程ax^2 + bx + c = 0 来确定。
三、二次函数的常见应用1. 抛物线二次函数的图像形状类似于一个U型的抛物线，因此在物理学中经常用于描述抛体运动的轨迹。
例如，从地面抛出的物体在忽略风阻等因素时，其运动轨迹可以使用二次函数来描述。
2. 经济学在经济学中，二次函数常常用于建模分析。
例如，成本函数、收益函数等均可使用二次函数来表达。
通过对二次函数的研究，可以分析经济决策的最优解以及变化的趋势。
3. 工程工程领域中，二次函数广泛应用于设计和优化问题。
例如，工程结构的抗弯强度、最优路径的寻找等问题都可以通过建立相应的二次函数模型来解决。
4. 自然科学自然科学中，二次函数可以用于描述和分析物理量之间的关系。
例如，光的折射、声音的传播等现象可以通过二次函数来描绘。
总结通过对二次函数的基本概念的介绍，我们了解了二次函数的定义、图像特征以及常见的应用。
二次函数百科
二次函数百科一、二次函数的定义和基本形式二次函数是指一个含有二次项的函数，其一般形式为f(x) = ax + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
二次函数是初中数学中的重要内容，同时也是高中数学的基础。
二、二次函数的图像和性质1.图像：二次函数的图像是一个抛物线。
根据a的正负性，抛物线开口向上或向下。
2.性质：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，对称轴为x = -b/2a。
此外，二次函数还有两个实根，分别为x = (-b + √(b - 4ac))/2a 和x = (-b - √(b - 4ac))/2a。
三、二次函数的求解方法1.因式分解法：将二次函数转化为两个一次函数相乘的形式，如f(x) = ax + bx + c = (ax + m)(x + n)。
2.完全平方公式法：将二次函数转化为完全平方的形式，如f(x) = ax + bx + c = a(x + (b/2a)) - (b/4a)。
3.韦达定理：已知二次函数的两根为x和x，可得x + x = -b/a，xx =c/a。
四、二次函数在实际生活中的应用1.物理：如抛物线运动、弹簧的弹性势能等。
2.工程：如测量距离、构建信号传输模型等。
3.经济学：如成本函数、收益函数等。
五、二次函数与其他数学概念的关系1.一次函数：二次函数是一次函数的特殊情况，当a = 0时，二次函数退化为一元一次函数。
2.三角函数：二次函数与三角函数有密切的联系，如正弦函数、余弦函数的图像均为抛物线。
3.微积分：二次函数的求导和求积分是微积分的基本内容之一。
通过掌握二次函数的知识，我们可以更好地理解高中数学和实际生活中的许多问题。
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二次函数基本定义
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基本定义一般地，把形如
（a、b、c是）的叫做二次函数，其中a称为，b为，c为。
x 为，y为。
等号右边自变量的最高次数是2。
顶点坐标
为
（仅限于与x轴有交点的抛物线），
与x轴的交点坐标是和
顶点式
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)[4]，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2
的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
注意：与点在中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
[2]
具体可分为下面几种情况：
当h>0时，y=a(x-h)2的图像可由抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位得到；
当h<0时，y=a(x-h)2的图像可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
[5]
交点式
[仅限于与x轴即y=0有交点时的
与X轴交点的情况:
当时，函数图像与x轴有两个交点，分别是(x1,0)和
(x2,0)。
当时，函数图像与x轴只有一个切点，即。
[2]
当
时，抛物线与x轴没有公共交点。
x的取值范围是虚数
抛物线，即b2-4ac≥0].
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和B(x2,0),我们可设
平移得到的。
[2]
二次函数图像?[6]
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。
当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。
即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（x≠0）
,。
[2]
开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
[2]
决定位置因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a>0，b>0或a<0，b<0）；当对称轴在y轴右时，a与b异号（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
[2]
决定交点因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于（0,C）点
注意：顶点坐标为（h,k)，与y轴交于（0,C)。
[2]
与x轴交点数
a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
质疑点：a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与x轴无交点。
当a>0时，函数在x=h处取得最小值y=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
当a<0时，函数在x=h处取得最大值
=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x 的变大而变小），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k 当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数[2]。