二次函数的图象特点及其应用
二次函数的性质及其图像变化
二次函数的性质及其图像变化二次函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和图像变化。
本文将详细介绍二次函数的性质，并探讨其图像在参数变化时的变化规律。
一、二次函数的定义和一般式二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和图像的开合程度，b决定了图像在x轴方向的平移，c则是二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的性质1. 开口方向二次函数的开口方向由系数a的正负决定。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
2. 零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即y = 0的解。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)求得零点。
3. 顶点二次函数的顶点是指函数图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，纵坐标则是将横坐标代入函数中得到的值。
4. 对称轴二次函数的对称轴是指通过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程可以通过将顶点的横坐标代入x = -b / (2a)得到。
5. 单调性二次函数的单调性是指函数图像在某个区间内的变化趋势。
当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
三、二次函数图像的变化规律在探讨二次函数图像的变化规律时，我们将分别讨论a、b、c的变化对图像的影响。
1. a的变化当a的绝对值增大时，二次函数图像的开合程度增加，即图像变得更加尖锐；当a的绝对值减小时，二次函数图像的开合程度减小，即图像变得更加平缓。
当a 的符号改变时，图像的开口方向也会改变。
2. b的变化当b增大时，二次函数图像整体向左平移；当b减小时，二次函数图像整体向右平移。
b的符号改变时，平移方向也会相应改变。
二次函数图像特点及应用
二次函数图像特点应用
二次函数应用⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
刹车距离最值问题
一、刹车距离问题
第一步：让学生观察影响汽车刹车距离的主要因素，找出这些因素是：
1.汽车行驶的速度
2.路面的摩擦系数
第二步：建立适当的函数模型
第三部：根据函数模型来解决实际生活中刹车距离问题
通过观察研究表明晴天在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹
车距离S（m）可由公式S=1
100V2确定；雨天行驶时，这一公式为S=1
50
V2．
这是两个二次函数图像，通过观察这两个二次函数图像，可以发现刹车距离都是随着行驶速度的增大而增大，同样的行驶速度，雨天的刹车距离比晴天的刹车距离要大，因此可以一次提醒广大的司机同志要想安全行车，行车速度不能太大，特别是在雨天，应该减少行车速度以避免车祸。
二、最值问题
在某一指定的高度让学生以一定的初速度向上抛出一物体，忽略空气阻力的情况下抛出时间和上升高度之间的关系。
这是一个和物理知识，因此大家很快就能找出其中的关系，从而建立了恰当的数学模型。
设在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V
（m/s）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：
S=V
0t-
1
2
gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），
为研究问题的方便可设V0=10m/s。
度，在0到一秒内，物体上升的高度随时间t的增大而增大，而在1秒到2秒之间物体上升的高度随着t的增大而减小，到2秒的时候物体就落地了。
通过这个实例，我们不仅可以研究到二次函数的最值，还可以通过图像观察它的单调性及其图像的开口方向。
二次函数及其图象和性质
二次函数及其图象和性质（二）一、内容提要（一）二次函数的解析式：1．一般式：y=ax2+bx+c；其中a≠0, a, b, c 为常数2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。
3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。
注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。
（二）二次函数的图象：抛物线（三）性质：1．对称轴，顶点坐标：2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。
a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。
3．增减性：（Ⅰ）a>0时，当x时，y随x增大而减少当x>时，y随x增大而增大（Ⅱ）a<0时，当x时，y随x增大而增大当x>时，y随x增大而减小4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时，（Ⅱ）a<0时，当x= 时，5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。
6．抛物线与x轴的位置关系：（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。
（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）二、典型例题：例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。
解：由题意得解得 m=-1∴y=-3x2+3x+6=,开口向下，顶点坐标（），对称轴x=。
说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。
例2．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c, Δ=b2-4a c的符号，(2)求证:a-b+c>0, (3)当x取何值时，y>0, 当x取何值时y<0。
二次函数特点及应用
三、要充分利用抛物线“顶点”的作用.
1、要能准确灵活地求出“顶点” .形如y=a（x＋h）2＋K →顶点（－h,k），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点.
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。
正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)
列表：
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-11
例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.
活动步骤：①举例：x²=y；x²+1=y；x²+x=y；x²+x+1=y。②画直角坐标系；列表（找出（x，y））；描点；连线。③小组一起观察图像并讨论他们的共同点。记下讨论结果。④利用统式（ax²+bx+c=y）证明讨论结果的必然性。
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
x
… -2 -1
0
1
y=2x2 …
y=2x2
…
(2)描点并连线:
2
…
…
…
【思路点拨】 首先列表求出函数图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.注 意连线时一定要用平滑的实线连接.
解:(1)8 2 0 2 8 -8 -2 0 -2 -8 (2)
类型二:二次函数y=ax2图象的性质的应用
例2 已知函数y=ax2的图象过点(1, 1 ).
2
增大而减小.
(2)在其图象上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1>x2>0,比较y1,y2的大小.
【思路点拨】 (2)二次函数y=ax2的对称轴为y轴,由(1)知a<0,所以在其对称轴 的右侧y随x的增大而减小,又x1>x2>0,故y1<y2. 解:(2)因为x1>x2>0, 所以y1<y2.
(1)简述函数y=ax2的性质;
2
【思路点拨】 (1)把点(1, 1 )代入函数y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函
数的性质.
2
解:由题意得 a=- 1 ,所以 y=- 1 x2.
2
2
(1)函数 y=- 1 x2,开口向下,在 y 轴左侧 y 随 x 的增大而增大,在 y 轴右侧 y 随 x 的
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
1.二次函数y=ax2的图象
二次函数y=ax2的图象是 抛物线 ,对称轴与抛物线的交点叫做 顶点 ,顶点是
(0,0) ,当a>0时,抛物线的开口 向上 ,顶点是抛物线的最 低 点;当a<0时, 抛物线的开口 向下 ,顶点是抛物线的最 高 点.对于y=ax2,|a|越 大 ,抛物 线的开口越小.
解读二次函数的图像特点
解读二次函数的图像特点二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将解读二次函数的图像特点，包括数轴上的开口方向、顶点坐标、对称轴以及图像的平移和缩放等内容。
一、数轴上的开口方向二次函数的图像可以分为两种开口方向：向上开口和向下开口。
当二次函数的开口方向向上时，表示二次函数的二次系数大于零；当二次函数的开口方向向下时，表示二次函数的二次系数小于零。
二次函数图像的开口方向与二次系数的正负有关，这一特点可以通过观察二次函数的表达式来判断。
二、顶点坐标二次函数的图像在数轴上表现为一个抛物线，抛物线的顶点是二次函数图像的最低点或最高点。
顶点坐标可以通过二次函数的标准式或顶点式来求解。
对于标准式y=ax^2+bx+c，顶点的横坐标为x=-\frac{b}{2a}，代入得到纵坐标。
对于顶点式y=a(x-h)^2+k，顶点的坐标为(h,k)。
顶点坐标是描述二次函数图像位置的重要指标，可以通过计算或观察图像来确定。
三、对称轴二次函数的图像是关于一条垂直于x轴的直线对称的，这条直线称为对称轴。
对称轴的方程可以通过二次函数的顶点坐标求解，其方程为x=-\frac{b}{2a}。
对称轴是二次函数图像的一条重要特点，它将二次函数图像分为左右对称的两部分。
四、图像的平移和缩放二次函数的图像可以通过平移和缩放进行变换。
平移可以改变二次函数图像在数轴上的位置，平移的方向和距离可以通过对标准式的自由项c进行调整。
缩放可以改变二次函数图像的大小，缩放系数可以通过对标准式的二次系数a进行调整。
平移和缩放可以使二次函数图像在数轴上发生水平或垂直方向的移动和变形。
综上所述，二次函数的图像特点包括数轴上的开口方向、顶点坐标、对称轴以及图像的平移和缩放等内容。
掌握这些特点可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。
在解决二次函数相关问题时，需要注意观察二次系数的正负、求解顶点坐标、确定对称轴方程以及根据需要进行图像的平移和缩放等操作。
二次函数基本概念与图象
二次函数基本概念与图象二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学建模、物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念与图象及相关性质。
一、二次函数的定义二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为实数且a不等于零。
其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，而b则决定了二次函数的图象在x轴方向上的位置，c为二次函数在y轴上的截距。
二、二次函数图象的性质1. 开口方向：当a大于零时，二次函数开口向上；当a小于零时，二次函数开口向下。
2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
3. 对称轴：二次函数的对称轴为x = -b/2a。
4. 零点：当二次函数存在零点时，其零点可通过求解ax^2 + bx + c = 0的解得。
三、二次函数图象的变化与平移1. a的变化：改变a的值可以使得二次函数图象的开口方向发生改变，当a的绝对值增大时，开口越窄，图象变得更陡；当a的绝对值减小时，开口越宽，图象变得更平缓。
2. b的变化：改变b的值可以使得二次函数图象在x轴方向上平移，当b为正时，图象向左平移；当b为负时，图象向右平移。
平移的距离与|b|成正比。
3. c的变化：改变c的值可以使得二次函数图象在y轴方向上平移，当c为正时，图象向上平移；当c为负时，图象向下平移。
平移的距离与|c|成正比。
四、二次函数的特殊情况1. 完全平方式：当二次函数的顶点坐标为(0, 0)时，称其为完全平方式，表示为f(x) = ax^2。
2. 平移形式：当二次函数的顶点坐标为(h, k)时，表示为f(x) = a(x-h)^2 + k。
五、二次函数的实际应用1. 物理学上，二次函数可用于描述自由落体运动、抛物线轨迹等。
2. 经济学中，二次函数可用于描述成本、收益等与产量关系的图象。
3. 数学建模中，二次函数可用于拟合实验数据、预测趋势等。
总结：二次函数作为一种重要的函数形式，具有广泛的应用和重要的数学性质。
二次函数的图像与性质
二次函数的图象与性质知识要点概述1、二次函数的定义：如果y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)，那么y叫x的二次函数．2、二次函数的图象：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．3、二次函数的解析式有下列三种形式：(1)一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0)；)(x－x2) (a≠0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．(3)交点式：y=a(x－x1确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．4、抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向．a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．5、抛物线顶点式y=a(x－h)2＋k(a≠0)的特点(1)a>0，开口向上；a<0，开口向下；(2)x=h为抛物线对称轴；(3)顶点坐标为（h，k）．依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．6、抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的联系与区别抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．7、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A(x1，0)，B(x2，0)．典型剖析例1、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；③abc>0；④b=2a．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：选A．令x=1及由图象知a＋b＋c<0，①正确；令x=－1及由图象a－b＋c>0，②正确；由对称轴知，④正确；由④知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c>0，故③正确．所以选A．例2、二次函数y=x2＋(a－b)x＋b的图象如图所示．那么化简的结果是____________．解：原式=－1．∵图象与y轴交点在x轴上方，∴b＞0．又∵图象的对称轴在y轴右边且二次项系数为1，一次项系数为a－b，例3、已知抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．(1)用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若AB的长为，求抛物线的解析式．解：(1)∵y=x2－(2m＋4)x＋m2－10=[x－(m＋2)] 2－4m－14，∴顶点C的坐标为(m＋2，－4m－14)．(2)∵A、B是抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴的交点且|AB|=，化简整理得：16m=－48，∴m=－3．当m=－3时，抛物线y=x2＋2x－1与x轴有交点且AB=，符合题意．故所求抛物线的解析式为y=x2＋2x－1．例4、如果抛物线y=－x2＋2(m－1)x＋m＋1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．(1)求m的取值范围；(2)若a︰b=3︰1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式．解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．∵A、B分处原点两侧，∴xx2<0，1即－(m＋1)<0，得m>－1．又∵△=[2(m－1)]2－4×(－1)(m＋1)=4m2－4m＋8=4(m－)2＋7>0，∴m>－1为m的取值范围．(2)∵a︰b=3︰1．设a=3k，b=k(k>0)，=3k，x2=－k．则x1例5、已知某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式．解：∵二次函数当x=1时有最大值－6，∴抛物线的顶点为（1，－6），故设所求的二次函数解析式为y=a(x－1)2－6．由题意将点（2，－8）的坐标代入上式得：a(2－1)2－6=－8，∴a=－2，∴二次函数的解析式为y=－2(x－1)2－6，即y=－2x2＋4x－8．例6、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由；(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C．当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．解：（1）由图象可知：a<0，图象过点（0，1），∴c=1．图象过点（1，0），∴a＋b＋c=0，∴b=－(a＋c)=－(a＋1)．由题意知，当x=－1时，应有y>0，∴a－b＋c>0，∴a＋(a＋1)＋1>0，∴a>－1，∴实数a的取值范围是－1<a<0．(2)此时函数为y=ax2－(a＋1)x＋1,与x轴两交点A、C之间的距离为例7、根据下列条件，求抛物线的解析式．(1)经过点（0，－1），（1，），（－2，－5）；(2)经过点（－3，2），顶点是（－2，3）；(3)与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，－6）．分析：求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷．但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2＋bx＋c．解：（1）设y=ax2＋bx＋c，把（0，－1），（1，），（－2，－5）代入得方程组∴解析式为y=＋x－1．（2）设y=a(x＋2)2＋3，把（－3，2）代入得2=a(－3＋2)2＋3，解得a=－1．解析式为y＝－x2－4x－1.（3）设y=a(x＋1)(x－2)，把（3，－6）代入得－6=a(3＋1)(3－2)，解得．∴解析式为y=(x＋1)(x－2)，即．。
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二次函数的图象特点及其应用
二次函数的图象特点及其应用
课题名称: 二次函数的图象特点及其应用
课题的研究及意义:
数学是一门很有用的学科。
古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。
数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。
数学是人们用来解决实际问题的，其实数学问题就产生在生活中。
比如说，上街买东西自然要用到加减法，修房造屋总要画图纸。
类似这样的问题数不胜数，这些知识就从生活中产生，最后被人们归纳成数学知识，解决了更多的实际问题。
现在，就让我们一起领略数学中二次函数的无穷魅力
课题研究内容:
1.发展史:函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。
如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。
这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。
他和牛顿是微积分的发明者。
17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function" 一词。
翻译成汉语的意思就是“函数。
不过，它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样，它表示”幂”、“坐标”、“切线长”等概念。
直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。
后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。
我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。
如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系，各自有它们的优点，但是如果作为函数的定义，还有欠缺。
因为这两种方法都还停留在表面现象上，而没有提示出函数的本质来。
19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量
的函数。
黎曼定义的最大特点在于它突出了就是之间的依赖、变化的关系，反映了函数概念的本质属性。
2. 定义:表达式如y=ax^2+bx+c (a≠0,且a,b,c是常数)的函数,我们把y 叫做x的一元二次函数. 二次函数有三种表达式:
(1)一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
(2)顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)</CA>
(3)交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x?，0）和B（x?，0）的抛物线
其中x1，2= -b±√b^2－4ac
3.图象特征:一条抛物线,对称轴是x=-b/2a,顶点为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
当a>0开口向上,在对称轴的左侧y随x的增大而减小, 在对称轴的右侧y随x的增大而增大
当a<0开口向下, 在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
4借助二次函数的图象和性质解决有关生活实际问题的基本方法：
数学模型转化实际问题（二次函数的图象和性质）
实际问题（二次函数的图象和性质）回归数学模型
转化关键点：正确建立直角坐标系
1）能够将实际距离（准确的）转化为点的坐标；
2）选择运算简便的方法。
5.应用: 二次函数如空气般,无时无刻不萦绕于我们身边.只是它太平凡,太普通.而使我们似乎觉察不到它在我们身旁.我们无时无刻不在利用二次函数解决难题.
(1)商业:然而有谁理解二次函数的奥妙.二次函数在生活中有许多应用.比如在商场上,二次函数就为必不可少的工具.在实际生活和经济活动中，很多问题都与二次函数密切相关。
在生活中，很多盈利问题都与二次函数有关，尤其是图象。
利用二次函数我们可以解决许多盈利问题。
如商业利润与广告投资的关系等等.
例如:某企业信息部进行市场调查发现:信息一:如果单独投资A种产品,则所获利润y（A）与投资金额x之间存在正比例关系：y(A)=kx,并且当投资5万元时，可获利润2万元并且当投资2万元时，可获利润2。
4
万元；当投资4万元时；可获利润3。
2万元。
而该企业要对A。
B两种产品进行10万元投资，怎样才可获得最大利润。
假如你无法熟练掌握二次函数，那么你将会失去了商机，用最少投入，获得最大产出，这就是效率。
假如，你是该企业成员，该如何设计投资方案呢？
设：能获得最大利润为y，则=y(A)+y(B)投资产品x万元，则产品（10-x)万元。
则y=2/5(10-x)-0.4x2+1.6x=-0.4(x-3/2)2+4.9由二次函数的知识，我们能很明白，当B投资3/2万元，A投资8。
5万元时，就能获得最大利润。
假如你体会并能掌握二次函数的魄力，解决诸如此类的商业问题，就是小菜一碟。
然而，这不过是二次函数被利用于商业竞争的一小部分，二次函数的魄力又何仅限于此呢？
(2)建筑:二次函数在建筑中的运用十分广泛。
如某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。
再如人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷水水流的最高点P到水枪AB所在直线的距离为1m，且水流的着地点C距离水枪底部B的距离为5/2m,那么，水流的最高点距离地面是多少米？水流沿抛物线落下，容易联想到二次函数的图象，从而用有关二次函数的知识解决问题。
二次函数与拱桥问题也有密切联系。
也可由二次函数求出桥的高低与游船通行的关系。
(4)战争:战争中也不乏运用二次函数的例子。
如某防空部队进行射击训练时，若导弹运行轨道为一抛物线，可求该抛物线的解析式，再运用函数知识预知导弹能否命中目标。
（5）体育：二次函数也与体育息息相关。
先就篮球来说说：抛物线是指投篮出手后，球在空中飞行的弧形轨迹，以距离投篮为例，可归纳为低，中高三种弧线。
1。
球的飞行路线最短，力量容易控制，但由于飞行路线低平，篮圈暴露在求下面的面积很小，不易投中。
2。
中弧线：球飞行弧线的最高点大致在篮板的上沿，在一条水平线上球篮的大部分暴露在球的下面，这是一种比较适宜的抛物线。
3。
高弧线：球接近于垂直下落，篮圈几乎全暴露在球的下面，球容易入篮。
但球的飞行路线太平，不宜控制，实际会降低命中率。
上述投篮的抛物线，只是原地投篮的一种规律，抛物线的高低还与出手力量有关。
在实际应用中，应根据不同的距离，队员的高低，跳投时跳起的高度，不同的投篮方式及防守，干扰等采用不同的抛物线投篮。
生活中也不乏用二次函数的知识来计算体育成绩的例子
如一名运动员推铅球，铅球在点A处出手时球距离地面约为1 m，铅球落地在点B处，铅球运行中在运动员前4m处到达最高点C，最高点高为3m。
已知铅球经过的路线是抛物线，你能算出该运动员的成绩吗？再如一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离地面多高时才能中？以上二问题都可先建立坐标系，再运用二次函数相关知识得出结论。
类似的还有跳远，足球射门，羽毛球等体育运动。
总结:
数学的魄力，在于其古老与神奇，总是与美联系在一起，只要怀有一颗欣赏之心，就会在生活的每一个角落捕捉到其“魅影”——抛物线。
这种魄力是独特的，内在的，正如英国著名哲学家，数学家罗素所说：“数学，如果正确看它，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。
这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那种华丽修饰，它可以纯净到高崇的地步，能够达到严格的只有伟大的的艺术能显示的那种完美的境界。
”
二次函数能于历史长河之中经风暴而不朽，难以比拟的艺术美为其塑造朦胧而迷幻的形象，但更为主要的是二次函数在商业，建设，体育等日常生活中不可代替的地位。
在生活中，只要我们善于观察，善于思考，将所学知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣。