第13讲 二次函数
备战2024年中考数学压轴题之二次函数篇(全国通用)专题13 二次函数-费马点求最小值(学生版)
第十三讲二次函数--费马点最值必备知识点费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点【结论】如图，点M 为锐角△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小【证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ．∵△ABE 为等边三角形，∴AB ＝BE ，∠ABE ＝60°．而∠MBN ＝60°，∴∠ABM ＝∠EBN ．在△AMB 与△ENB 中，∵，∴△AMB ≌△ENB （SAS ）．连接MN ．由△AMB ≌△ENB 知，AM ＝EN ．∵∠MBN ＝60°，BM ＝BN ，∴△BMN 为等边三角形．∴BM ＝MN ．知识导航∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
点P 为锐角△ABC 内任意一点，连接AP 、BP 、CP ，求xAP+yBP+zCP 最小值解决办法：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。
如：保持BP 不变，xAP+yBP+zCP=)(y CP yz BP AP y x ，如图所示，B 、P 、P 2、A 2四点共线时，取得最小值。
例：点P 为锐角△ABC 内任意一点，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，连接AP 、BP 、CP ，求3AP+4BP+5CP 的最小值【分析】将△APC 绕C 点顺时针转90°到△A 1P 1C ，过P 2作P 1A 1的平行线，交CA 1于点A 2，且满足A 2P 2：P 1A 1=3：4.在Rt △PCP 2中，设PC=a ，由△CA 2P 2∽△CA 1P 1得CP 2=3a/4，则PP2=5a/4。
2020数学中考备考-第13讲 二次函数(二)
第13讲二次函数(二)(参考用时:60分钟)A层(基础)1.(2019岳阳)对于一个函数,当自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1,x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是( B )(A)c<-3 (B)c<-2(C)c< (D)c<1解析:由题意知x1,x2是方程x2+2x+c=x的两个实数根,且x1<1<x2,整理,得x2+x+c=0,则解得c<-2,故选B.2.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示,若y<0,则x的取值范围是( B )(A)-1<x<4(B)-1<x<3(C)x<-1或x>4(D)x<-1或x>3解析:由图象知,抛物线与x轴交于(-1,0),对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0),∵y<0时,函数的图象位于x轴的下方,∴-1<x<3.故选B.3.运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:下列结论:①足球距离地面的最大高度为20 m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=;③足球被踢出9.5 s时落地:④足球被踢出7.5 s时,距离地面的高度是11.25 m,其中不正确结论的个数是( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设该抛物线的解析式为h=at2+bt+c,将(0,0),(1,8),(2,14)代入,得解得∴h=-t2+9t=-(t-)2+,∴当t=时,h取得最大值,此时h=,故①错误;该抛物线的对称轴是直线t=,故②正确;当h=0时,得t=0或t=9,故③错误;当t=7.5时,h=-t2+9t=11.25,故④正确.综上可得,不正确的是①③.故选B.4.如图,二次函数y=-x2-2x的图象与x轴交于点A,O,在抛物线上有一点P,满足S△AOP=3,则点P的坐标是( D )(A)(-3,-3)(B)(1,-3)(C)(-3,-3)或(-3,1)(D)(-3,-3)或(1,-3)解析:令y=0,得-x2-2x=0,解得x=0,x=-2.∴A(-2,0),OA=2.∵S△AOP=OA·|y P|=3.∴|y P|=3.当y P=3时,-x2-2x=3,x2+2x+3=0,Δ=4-12<0,方程无解,此种情况不成立;当y P=-3时,-x2-2x=-3,x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3,∴点P的坐标为(1,-3)或(-3,-3).故选D.5.(2019天津)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x 与函数值y的部分对应值如下表:且当x=-时,与其对应的函数值y>0.有下列结论:①abc>0;②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;③0<m+n<.其中正确结论的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:当x=0时,c=-2,当x=1时,a+b-2=-2,∴a+b=0,∴y=ax2-ax-2,∴abc=2a2>0,故①正确;由表知直线x=是对称轴,当x=-2时,y=t,∴当x=3时,y=t,∴-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,故②正确;把x=-1代入,得m=a+a-2=2a-2,把x=2代入,得n=4a-2a-2=2a-2,∴m=n=2a-2,∴m+n=4a-4,∵当x=-时,y=a-b+c=a+a-2=a-2>0,解得a>,∴m+n>4×-4=,故③错误,∴正确结论是①②,共2个,故选C.6.(2019武汉)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x 的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是x1=-2,x2=5 .解析:由a(x-1)2+c=b-bx得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,把抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y=a(x-1)2+b(x-1)+c,∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(4,0),∴抛物线y=a(x-1)2+b(x-1)+c与x轴的两交点坐标为(-2,0),(5,0), ∴一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的解为x1=-2,x2=5.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是-2 .解析:∵四边形ABOC是正方形,∴点B的坐标为(-,-).∵抛物线y=ax2过点B,∴-=a(-)2,解得b1=0(舍去),b2=-2.即b的值为-2.8.如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D 同时出发,均以1 cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为 3 s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是18 cm2.解:设运动时间为t s(0≤t≤6),则AE=t,AH=6-t,根据题意,得S四边形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEH=6×6-4×t(6-t)=2t2-12t+36= 2(t-3)2+18,∴当t=3时,四边形EFGH的面积取最小值,最小值为18 cm2.9.已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,点O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.(1)证明:联立化简可得x2-(4+k)x-1=0,∵Δ=(4+k)2+4>0恒成立,∴直线l与该抛物线总有两个交点.(2)解:当k=-2时,y=-2x+1,如图,过点A作AF⊥x轴于点F,过点B作BE⊥x轴于点E,∴联立解得或∴点A的坐标为(1-,2-1),点B的坐标为(1+,-1-2),∴AF=2-1,BE=1+2.∵直线y=-2x+1与x轴的交点C的坐标为(,0),∴OC=,∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC·AF+OC·BE=OC·(AF+BE)=××(2-1+1+2)=.10.(2019青岛)某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数解析式;(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?解:(1)设销售量y与销售单价x之间的函数解析式为y=kx+b,将点(30,100),(45,70)分别代入,得解得故该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数解析式为y=-2x+160.(2)由题意,得w=(x-30)(-2x+160)=-2x2+220x-4 800=-2(x-55)2+ 1 250,∵-2<0,故当x<55时,w随x的增大而增大,∵30≤x≤50,∴当x=50时,w有最大值,最大值为w=1 200,故销售单价定为50元时,该商店销售该商品每天的利润最大,最大利润为1 200元.(3)由题意,得-2(x-55)2+1 250≥800,解得40≤x≤70,∵y=-2x+160,∴当x=70时,y取得最小值,最小值是y=-2×70+160=20,∴每天的销售量最少应为20件.B层(能力)11.已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如图所示),当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是( D )(A)-<m<3 (B)-<m<2(C)-2<m<3 (D)-6<m<-2解析:如图,当y=0时,-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,则A(-2,0),B(3,0),将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)(x-3),即y=x2-x-6(-2≤x≤3),当直线y=-x+m经过点A(-2,0)时,2+m=0,解得m=-2;当直线y=-x+m与抛物线y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点时,方程x2-x-6=-x+m有两个相等的实数解,解得m=-6,∴当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围为-6<m<-2.故选D.12.(2019衡阳)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2如图所示.已知A点的坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……,依次进行下去,则点A2 019的坐标为(-1 010,1 0102) .解析:∵点A的坐标为(1,1),∴直线OA为y=x,点A1的坐标为(-1,1),∵A1A2∥OA,∴直线A1A2为y=x+2,则解得∴点A2的坐标为(2,4),∴点A3的坐标为(-2,4),∵A3A4∥OA,∴直线A3A4为y=x+6,则解得∴点A4的坐标为(3,9),∴点A5的坐标为(-3,9)…,∴其规律为A2(n-1)(n,n2),A2n-1(-n,n2),∴A2 019的坐标为(-1 010,1 0102),13.图中是抛物线形拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4 m,从O,A两处观测P处,仰角分别为α,β,且tan α=,tan β=,以O为原点,OA 所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)求点P的坐标;(2)水面上升1 m,水面宽多少?(取1.41,结果精确到0.1 m)解:(1)过点P作PH⊥OA于点H,如图.设PH=3x,在Rt△OHP中,∵tan α==,∴OH=6x.在Rt△AHP中,∵tan β==,∴AH=2x,∴OA=OH+AH=8x=4,∴x=.∴OH=3,PH=.∴点P的坐标为(3,).(2)若水面上升1 m后到达BC位置,如图,过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的解析式可设为y=ax(x-4), ∵P(3,)在抛物线y=ax(x-4)上,∴3a(3-4)=,解得a=-.∴抛物线的解析式为y=-x(x-4).当y=1时,-x(x-4)=1,解得x 1=2+,x2=2-.∴BC=(2+)-(2-)=2≈2×1.41=2.82≈2.8(m).答:水面上升1 m,水面宽约为2.8 m.。
2015中考夺分自主复习课件_第13讲二次函数的应用(35张PPT)
图 13－1
第13讲┃ 二次函数的应用
【归纳总结】
1．抛物线与 x 轴的交点和一元二次方程的根之间的关 系： 如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有公共点，公共点的 横坐标即为方程___________ ax2＋bx＋c＝0 _的解． 2．由抛物线与 x 轴的位置关系判断一元二次方程的根 的情况： (1)当抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有两个交点时，方程 两个不相等的 ax2＋bx＋c＝0 有_______ _____实数根； (2)当抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有一个交点时，方程 两个相等的 实数根； ax2＋bx＋c＝0 有____________ (3)当抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴无交点时，方程 ax2 没有 实数根． ＋bx＋c＝0________ 第13讲┃ 二次函数的应用
第13讲┃ 二次函数的应用
解：(1)y＝[6＋2(x－1)]×[95－5(x－1)]， 整理，得 y＝－10x2＋180x＋400(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)． (2)由－10x2＋180x＋400＝1120， 化简，得 x2－18x＋72＝0. 配方，得(x－9)2＝9， 解得 x1＝6，x2＝12(不合题意，舍去)． 所以该产品为第 6 档次的产品．
2
第13讲┃ 二次函数的应用
3．[2014· 咸宁] 用一条长为 40 cm 的绳子围成一个面积 为 a cm2 的长方形，a 的值不可能 为 ( D ) ．．． A．20 B．40 C．100 D．120 4．[2013· 贵阳] 已知二次函数 y＝x2＋2mx＋2，当 x>2 时， y 的值随 x 的增大而增大，则实数 m 的取值范围是 ________ m≥－2 ． 5． 若函数 y＝mx2＋2x＋1 的图象与 x 轴只有一个公共点， 则常数 m 的值是________ 1或0 ．
第13讲 二次函数综合题(11分)
设 P(a，－12a2＋2a＋6)，其中 0＜a＜6，则 D(a，－a＋6)， ∴PD＝－12a2＋2a＋6－(－a＋6)＝－12a2＋3a. ∵点 P 和点 E 关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线 x＝2， ∴点 E 的横坐标为 4－a， ∴PE＝|4－2a|， ∴－12a2＋3a＝|4－2a|.
示．
设直线 A B 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)， b＝6，
将点 A (0，6)，B (6，0)代入，得 6k＋b＝0， k＝－1，
解得 b＝6. ∴直线 A B 的解析式为 y＝－x＋6. 设 P (t，－12t2＋2t＋6)，其中 0＜t＜6，则 N (t，－t＋6)，
∴PN＝－12t2＋2t＋6－(－t＋6)＝－12t2＋2t＋6＋t－6＝－12t2＋3t， ∴S△PAB＝S△PAN＋S△PBN ＝12PN·AG＋12PN·BM ＝12PN·(AG＋BM) ＝12PN·OB
2线段的最值问题：线段长的最值，周长的最值，面积的最值，是线段问题的延 伸，最终都可归结为用点坐标表示出线段长，周长和面积后，将表达式通过配方法转 化为顶点式，从而获得最值，但需要考虑自变量的取值范围，有时在顶点处取得最值， 有时并非在顶点处取得最值.
类型二 面积问题
(2018·资阳)已知：如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与坐标轴分别交于点 A (0， 6)，B (6，0)，C (－2，0)，点 P 是线段 A B 上方抛物线上的一个动点．
【自主作答】
解：(1)将 A (3，0)，B (－1，0)，C (0，－3)代入 y＝ax2＋bx＋c 中，
9a＋3b＋c＝0， 得 a－b＋c＝0，
c＝－3，
a＝1， 解得 b＝－2，
c＝－3.
【精品】2020中考数学考点举一反三讲练第13讲 二次函数及其应用 (学生版)
第13讲 二次函数及其应用一、考点知识梳理【考点1 二次函数的图像及性质】1.二次函数的概念：一般地，如果两个变量x 和y 之间的函数关系，可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a ≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项． 2．三种表示方法：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；(3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标． 3．三种表达式之间的关系 顶点式――→确定一般式――→因式分解两点式 4.图像性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)a ＞0时开口向上， 对称轴：直线x ＝－b 2a ，顶点坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，增减性：在对称轴的左侧，即x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而增大，简记为“左减右增”a ＜0时开口向下，对称轴：直线x ＝－b 2a ，顶点坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，增减性：在对称轴的左侧，即当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而减小，简记为“左增右减”【考点2 二次函数的实际应用】1.二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用．2.出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景．3.设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案．【考点3 二次函数的图像与方程的关系】二次函数与一元二次方程的关系：1．当抛物线与x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根．2．当抛物线与x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根．3．当抛物线与x轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根．【考点4 二次函数的图像与几何图形的关系】1.平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．平移步骤：(1)将抛物线表达式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．2.二次函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据．【考点5 二次函数的图像其它函数的关系】二次函数与一次函数、二次函数与反比例函数、两个二次函数之间的关系是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。
备战2019中考初中数学导练学案50讲—第13讲二次函数(暂不涉及复杂综合题)(讲练版)
备战2019中考初中数学导练学案50讲第13讲二次函数（暂不涉及复杂综合题）【疑难点拨】1. 把握不好抛物线与表达式的关系，从而出错. 主要表现为以下几点：（1）据抛物线的特征，判断y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的系数a、b、c的符号容易混淆；（2）关于二次函数的增减性和抛物线的对称性的题，由于同一个二次函数的增减性也要以抛物线对称轴为分界线进行分类讨论，相对难度较大，有的同学容易出现错误，还有就是“关于抛物线的对称轴对称”的抛物线上的点的特征，有的同学则把握不好；（3）由抛物线的平移造成表达式变化的题，也是同学们经常出错的地方.求二次函数的表达式的方法很多，可以设成一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0），顶点式y＝a（x－h）2＋k（a≠0）和交点式y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.2. 许多同学因为不能灵活地选择求二次函数表达式的方式，导致解答费时费力，还容易出错.3. 忽视自变量的实际取值范围而出错.在利用二次函数知识解决生活中的“最大利润”和几何图形的最大面积等问题时，利用二次函数表达式求抛物线的顶点坐标来解决问题成了部分同学的思维定式，却很少考虑这些最大（小）值是否符合实际情况和题目要求，导致出错.【基础篇】一、选择题：1.关于函数y=2x2﹣4x，下列叙述中错误的是（）A．函数图象经过原点B．函数图象的最低点是（1，﹣2）C．函数图象与x轴的交点为（0，0），（2，0）D．当x＞0时，y随x的增大而增大2.（2018·台湾·分）已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（）A．1 B．9 C．16 D．243.（2018•四川成都•3分）关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-34.（2018•山东菏泽•3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a 与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．5.（2018•山东滨州•3分）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：6.（2018·广东广州·3分）已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）7.（2018·四川自贡·4分）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为．8. (2018四川省绵阳市)右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
九年级一对一教案-第12讲-二次函数图像与性质
第13讲二次函数的图像与性质知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.【例题1】（2018•奉贤区一模）下列函数中是二次函数的是（）A．y=2（x﹣1）B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=a（x﹣1）2D．y=2x2﹣1【例题2】函数的图象是抛物线，则m=．知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为.开口向上向下对称轴x＝2ba-顶点坐标24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭增减性当x>2ba-时，y随x的增大而增大；当x＜2ba-时，y随x的增大而减小.当x>2ba-时，y随x的增大而减小；当x＜2ba-时，y随x的增大而增大.最值x=2ba-，y最小＝244ac ba-.x=2ba-，y最大＝244ac ba-.考点1 ：二次函数的图像（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0）然后以原点为中心对称地选取x值求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．xyy=ax2+bx+c(a＞0)Oxyy=ax2+bx+c(a＜0)O【例题剖析】二次函数的图像基本判断【例题1】（2017•河南模拟）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第（）象限．A.一B．二C．三D．四【例题2】（2016秋•慈溪市期末）二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象大致是（）A．B．C．D．【例题3】（2016秋•路北区期末）抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（）A．y=x2B．y=﹣3x2C．y=﹣x2D．y=2x2【例题4】（2017秋•诸暨市校级期中）函数y=x2+1与y=x2+2的图象的不同之处是（）A．对称轴B．开口方向C．顶点D．形状【例题剖析】二次函数与一次函数的综合图像判断【模型A】【例题1】（2017秋•肇源县期末）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【例题2】在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+b的大致图象为（）A．B．C．D．【模型B】【例题1】已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是（）A B C D【例题2】（2017•曲江区校级三模）已知二次函数y=a（x﹣1）2+c的图象如图，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．【例题3】（2017秋•颍州区期中）一次函数y=ax+b（a≠0，b≠0）的图象如图所示，则二次函数y=bx2+a的大致图象是（）A．B．C．D．【模型C】【例题1】当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【例题2】（2017•广阳区二模）当ab＜0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【例题3】（2016•重庆校级二模）已知正比例函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则二次函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【例题4】（2016秋•宁海县期中）已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当x=2时，y的值为．考点2 ：二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左（右）平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．【例题剖析】二次函数的对称轴【例题1】（2017秋•遵义期末）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（3，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）C．（﹣2，0）D．（﹣1，0）【例题2】（2017•武侯区模拟）二次函数y=2x2+4x﹣3的图象的对称轴为（）A．直线x=2B．直线x=4C．直线x=﹣3D．直线x=﹣1【例题3】（2017秋•潮南区期末）抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为，顶点坐标是．【例题剖析】二次函数的顶点【例题1】抛物线y=2x2﹣4的顶点在（）A．x轴上B．y轴上C．第三象限D．第四象限【例题2】（2018•崇明县一模）抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（）A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣3，﹣4）【例题3】（2017•凉山州二模）若k为任意实数，则抛物线y=﹣2（x﹣k）2+k 的顶点在（）A．直线y=x上B．直线y=﹣x上C．x轴上D．y轴上【例题4】如果二次函数y=x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m=．【例题5】已知二次函数y=ax2﹣2x﹣2（a≠0）图象的顶点为（1，﹣3），则a 的值为（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【例题6】（2017•宁波）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【例题剖析】二次函数的增减性【例题1】二次函数y=x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（）A．12B．11C．10D．9【例题2】（2016秋•文安县期末）在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x＞﹣1D．x＜﹣1【例题3】已知二次函数y=﹣3（x﹣h）2+5，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则有（）A．h≥﹣2B．h≤﹣2C．h＞﹣2D．h＜﹣2【例题剖析】二次函数的性质的综合【例题1】（2017•陕西）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A．（1，﹣5）B．（3，﹣13）C．（2，﹣8）D．（4，﹣20）【例题2】（2017•南雄市模拟）对于二次函数y=2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．当x=﹣1时，取得最小值为y=﹣8C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=﹣1【例题3】关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（）A．它的开口方向是向下B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小C．它的顶点坐标是（2，3）D．当x=0时，y有最大值是3【例题4】对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【练习1】（2017•大石桥市校级一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x…﹣2012…y…7﹣1﹣2﹣1…A．抛物线开口向下B．抛物线的对称轴是y轴C．x＜1时，y随x的增大而减小D．抛物线与y轴交于正半轴【练习2】（2016秋•杭州期末）对于二次函数y=﹣（x﹣4）2+5的图象，有下列说法：①其图象开口向上；②对称轴是直线x=4；③顶点坐标是（﹣4，5）；④与y轴的交点坐标是（0，3），其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【练习3】（2017秋•天津月考）已知二次函数y=（x﹣）2+1，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个系数a、b、c a决定抛物线的开口方向及开口大小当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下.某些特殊形式代数式的符号：①a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.③2a+b的符号，需判断对称轴－b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则－b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a－b的符号，需判断对称轴与－1的大小.a、b决定对称轴（x=－b/2a）的位置当a，b同号，－b/2a＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，－b/2a=0，对称轴为y轴；当a，b异号，－b/2a＞0，对称轴在y轴右边．c决定抛物线与y轴的交点的位置当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式5.二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＜0，无实根例：已经二次函数y=x2－3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2－3x+m=0的两个实数根为2,1.6.二次函数与不等式抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.【例题1】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b＜0；③c＞0；④2a+b=0；⑤a﹣b+c＜0，其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【例题2】（2017秋•遵义期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac，②abc＜0；③a＞c；④4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例题3】（2017秋•定边县期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【例题4】（2017•黔东南州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例题5】（2017•资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【例题6】（2017•黔南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0正确的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【练习1】（2017•济南）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0；④2a+c＜0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【练习2】（2017•遵义）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示．则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）A．①③B．②③C．②④D．②③④【练习3】（2017•烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【练习4】（2017•南充）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．4ac＜b2B．abc＜0C．b+c＞3a D．a＜b【练习5】（2017•安顺）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m ≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点3 ：二次函数图像上的点的坐标特征二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x=﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=．【例题剖析】二次函数的坐标点特征【例题1】抛物线y=2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，﹣1）D．（0，0）【例题2】若抛物线y=ax2（a≠0）过点（﹣1，3），则a等于（）A．3B．﹣3C．﹣D．【例题3】抛物线y=﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴的交点坐标为（）A．（0，3）B．（0，﹣5）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【例题4】抛物线y=ax2+bx﹣3经过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）A．3B．9C．15D．﹣15【例题剖析】二次函数的坐标特征应用【例题1】已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1【例题2】（2017秋•余姚市期末）已知：点（﹣1，y1），（0，y2），（4，y3）都在抛物线y=ax2﹣2ax+5（a＞0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1【例题3】设点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y=﹣2（x﹣1）2+m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y1＞y3＞y2【例题4】（2017•连云港）已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0【例题5】（2017•姑苏区校级二模）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y=﹣（x+2）2﹣1上，则（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y22.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c①顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;①交点式：y=a(x－x1)(x－x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.【例题1】（2018•静安区一模）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．【例题2】（2017秋•荔湾区期末）已知抛物线y=x2+mx+n的图象经过点（﹣3，0），点（1，0）（1）求抛物线解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．【例题3】已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．【例题4】已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．【例题5】已知抛物线y=x2﹣bx+2经过点A（﹣2，8）．（1）求此抛物线的函数解析式，并写出此抛物线的对称轴．（2）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．知识点三 ：二次函数的平移4.平移与解析式的关系注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式失分点警示：抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.例：将抛物线y =x 2沿x 轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y =（x －2）2．【例题1】 将抛物线y=（x +m ）2向右平移2个单位后，对称轴是y 轴，那么m的值是 ．【例题2】 抛物线y=2x 2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为 ．【例题3】 把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是 ．【例题4】 如果将抛物线y=x 2﹣2x ﹣1向上平移，使它经过点A （0，3），那么所得新抛物线的表达式是 ．平移|k |个单位平移|h |个单位向上(k ＞0)或向下(k ＜0)向左(h ＜0)或向右(h ＞0)y =a (x －h )2＋k 的图象y =a (x －h )2的图象y =ax 2的图象第13讲二次函数的应用知识点一：二次函数的应用关键点拨实物抛物线一般步骤若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；①使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.①据题意，结合函数图象求出函数解析式；①确定自变量的取值范围；①根据图象，结合所求解析式解决问题.实际问题中求最值①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；① 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；⑤解决提出的实际问题.解决最值应用题要注意两点：①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；①求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；③利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.。
中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第三单元 函数 第13讲 二次函数的图象与性质
提升数学核心素 养
1．(2020·岳阳)对于一个函数，自变量x取c时，函
数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的
二次函数y＝－x2－10x＋m(m≠0)有两个不相等的
零点x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋10x－m－2
＝0有A两个不相等的非零实数根x3，x4(x3＜x4)，
则下A列．关0＜系xx31式＜1一定正确B的.xx是13＞(1)
(1)解：乙求得的结果不正确，理由如下： 根据题意，知图象经过点(0，0)，(1，0)， 所以y＝x(x－1)， 当x＝1/2时，y＝1/2×(1/2－1)＝－1/4≠－1/2， 所以乙求得的结果不正确．
(2)解：函数图象的对称轴为 x＝x1＋2 x2， 当 x＝x1＋2 x2时，函数有最小值 M， ∴M＝(x1＋2 x2－x1)(x1＋2 x2－x2)＝－（x1－4x2）2. (3)证明：因为 y＝(x－x1)(x－x2)，
延伸训 练
4．(2020·自贡)函数y＝k/x与y＝ax2＋bx＋c的图象
如图所示，则函数Dy＝kx－b的大致图象为()
5．如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线
l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象
沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，
得到一个新图象．若新图象对应C的函数的最大值与
所以 m＝x1x2，n＝(1－x1)(1－x2)，
所以 mn＝x1x2(1－x1)(1－x2)＝(x1－x12)(x2－x22)＝
－（x1－12）2＋14·－（x2－12）2＋14.
因为 0<x1<x2<1，结合函数 y＝x(1－x)的图象，可得 0<－(x1－12)2＋14≤14，
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11． 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴 于A(1， 0)， B(3，0)两点， 点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点 C. (1)求抛物线y＝－x2＋ax＋b的解析式； (2)当点P是线段BC的中点时， ①求点P的坐标； ②求sin∠OCB的值．
C
C
7． 将抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度， 再向上平移2个单位长
度，平移后所得抛物线的解析式为(
A )
A． y＝2x2＋1 B．y＝2x2－3
C． y＝2(x－8)2＋1 D．y＝2(x－8)2－3
8． 如图， 在平面直角坐标系中， 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经 过 点A(2， 2)， 对称轴是直线x＝1，顶点为B. (1)求这条抛物线的解析式； (2)将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线 上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP＝OQ，求点Q的坐标．
3．(2017·绍兴)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)． 一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合， 此时抛物线的函数表达式为y＝x2， 再次平移透明纸， 使这个点与点C重合， 则该抛物线的函数表达式变为( A) A． y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14 C． y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋3
【解析】如图，A(2，1)，则可得C(－2，－1)．由A(2，1)到C(－2，－1)， 需要向左平移4个单位， 向下平移2个单位， 则抛物线的函数表达式为y＝x2， 经过平移与y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.故选A.
1． (2018·预测)二 次函D数y＝ 2x2－ 3的 图 象是一条抛物线 ， 下列关于该抛物 线的说法，正确的是( ) A．抛物线开口向下 B．抛物线经过 点(2，3) C．抛物线的对称轴是直线x＝1 D．抛物线与x轴 有两个交点 B进行判断；利用方程2x2－3＝0解的情况对D进行判断．
第13讲 二次函数
数学
1．(2017·上海)已知一个二次函数的图象开口向上，顶 点坐标为(0，－1 )，那么这个二次函数的解析式可以是
y＝2x2－1 ．
2． (2017·枣庄)已 知函数y＝ ax2－ 2ax－ 1(a是 常数， a≠0)， 下列结论 正确的 D
是( )
A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) B．当a＝－2时 ，函数图象与x轴没有交点 C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
【解析】(1)将点A，B代入抛物线，解得a，b或用交点式；(2)求出P点的横坐 标后代入抛物线解析式，就可以得到P点坐标；(3)求出OC的长后再在 Rt△OCB中求sin∠OCB的值．
12． 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1. (1)求证：2a＋b＝0； (2)若关于x的方程ax2＋bx－8＝0的一个根为4， 求方程的另一个根． 【解析】(1)由抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1， 根据对称轴公式列 式化简即可得出结果；(2)根据二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方 程的两个根是二次函数ax2＋bx－8＝0的图象与x轴交点的横坐标， 即两根关 于对称轴对称，据此列式求解即可．
【解析】第2题由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故 此QP＝3，然后由点OQ＝OP，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点 Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可 得到点Q的坐标．
9． 如图， 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2， 0)， B(0， －1)和C(4， 5)三点， 求二次函数的解析式． 【解析】待定系数法求二次函数解析式，得出关于a，b，c的三元一次方程 组，求得解析式．
15. (2018·预测)某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30 元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单 位：元)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润 为w元． (1)求w与x之间的函数解析式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是 多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种 双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
B
3． 如图， 抛物线y＝ax2＋bx＋c经 过 点(－1， 0)， 对 称轴l如图所示， 则 下 列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0，其中所有正 确的结论是(D ) A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
4． 二B次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如右图所示， 下列说法正确的个数是( ) ①a＞0；②b＞0；③c＜0； ④b2－4ac＞0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13． 二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方， 在 6<x<7这一段位于x轴的上方，试求a的值． 解：∵抛物线y＝a(x－4)2－4(a≠0)的对称轴为直线x＝4， 而抛物线在6<x<7这 一段位于x轴上方，∴抛物线在1<x<2这一段位于x轴上方， 又∵抛物线在 2<x<3这一段位于x轴的下方，∴抛物线过点(2，0)，把(2，0)代入抛物线得a ＝1
14．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)， 中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m， 则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为多少？
解：如图， 设总占地面积为S(m2)， CD的长度为x(m)， 由题意知：AB＝CD＝EF＝GH＝x，∴BH＝48－4x，∵0＜BH≤50，CD＞0， ∴0＜x＜12， ∴S＝AB·BH＝x(48－4x)＝－4(x－6)2＋144， ∴x＝6时， S有 最大值， 最大值为144， 则总占地面积的最大值为144 m2