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2020年中考数学试题分类汇编之13二次函数(试题+详细答案)

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2020年全国各地数学中考试题精选之二次函数(含答案)

2020年全国各地数学中考试题精选之二次函数(含答案)

2020年全国各地数学中考试题精选之二次函数一、单选题1.（2020·辽阳模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）.对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③4a﹣2b+c＜0；④8a+c＞0.其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.（2020·杭州模拟）在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y=x²+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y=mnx²+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）A. a=bB. a=b-1C. a=b或a=b+1D. a=b或a=b-13.（2020·广西模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②b2−4ac<0；③当y>0时，x的取值范围是−1<x<3；④当x>0时，y随x增大而增大；⑤若t为任意实数，则有a+b≥at2+ bt，其中结论正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.（2020·铁岭模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在下列说法中：①abc＞0；②a+b+c>0；③4a−2b+c>0；④当x>1时，y随着y的增大而增大.正确的说法个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.（2020·东城模拟）若点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=a(x+1)2+2(a<0)上，则下列结论正确的是（）A. 2>y1>y2B. 2>y2>y1C. y1>y2>2D. y2>y1>26.（2020·长丰模拟）若(−2,0)是二次函数y=ax2+bx(a>0)图象上一点，则抛物线y=a(x−2)2+ bx−2b的图象可能是（）A. B.C. D.7.（2020·南山模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc<0；②4a−2b+c<0；③若A（−12，y1）、B（32，y2）、C（−2，y3）是抛物线上的三点，则有y3<y1<y2；④若m，n（m<n）为方程a(x−3)(x+1)−2=0的两个根，则m>−1且n<3，以上说法正确的有（）A. ①②③④B. ②③④C. ①②④D. ①②③8.（2020·萧山模拟）已知二次函数y=a（x-2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1-2|>|x2-2|，则下列表达式正确的是（）A. y1+y2>0B. y1-y2>0C. a（y1-y2）>0D. a（y1+y2）>09.（2020·西安模拟）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A(7，0)，直线AB交y轴于点B(0，﹣7)，动点C(x，y)在直线AB上，且1＜x＜7，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D，则CD的最值情况是( )A. 有最小值9B. 有最大值9C. 有最小值8D. 有最大值810.（2020·广水模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a−b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠ x2，则x1+x2＝2.其中正确的有（）A. ①②③B. ②④C. ②⑤D. ②③⑤11.（2020·铜川模拟）若一个二次函数y=ax2−4ax+3(x≠0)的图像经过两点A(m+2,y1)、B(2−m,y2)，则下列关系正确的是（）A. y1=y2B. y1<y2C. y1>y2D. y1≥y212.（2020·连云模拟）竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+25 8，若小球经过74秒落地，则小球在上抛过程中，第（）秒离地面最高.A. 37B. 47C. 34D. 4313.（2020·红花岗模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①抛物线的对称轴是直线x＝1；②若OC＝OB，则c＝2；③若M（x0，y0）是x轴上方抛物线上一点，则（x0﹣a）（x0﹣b）＜0；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2.其中真命题个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 414.（2020·柯桥模拟）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y＝x2﹣2x+2，则抛物线B的顶点坐标为（）A. （﹣1，2）B. （1，2）C. （1，﹣2）D. （﹣1，﹣2）15.（2020·台州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c ﹣2＝0有两个相等的实数根.其中正确的结论是（）A. ③④B. ②④C. ②③D. ①④16.（2020·绍兴模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点坐标如图所示，下列说法中错误的是（）A. 一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1B. 抛物线的对称轴是x=−12C. 当x＞1时，y随x的增大而增大D. 抛物线的顶点坐标是(−12,9 4 )17.（2020·湖州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac ＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 418.（2020·南充模拟）将抛物线y=x(x+2)向左平移1个单位后的解析式为（）A. y=x(x+1)B. y=x(x+3)C. y=(x−1)(x+1)D. y=(x+1)(x+3)19.（2020·沙湾模拟）二次函数y=−x2−1的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）A. 开口向上B. 对称轴是x=1C. 当x=0时，函数的最大值是-1D. 抛物线与x轴有两个交点20.（2020·峨眉山模拟）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=(x+a)(x+b)的图像与x轴有M个交点，函数y=(ax+1)(bx+1)的图像与x轴有N个交点，则（）A. M=N−1或M=N+1B. M=N−1或M=N+2C. M=N或M=N+1D. M=N或M=N−121.（2020·峨眉山模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−2,0)，对称轴为直线x= 1．有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；3⑤若方程a(x+2)(4−x)=−2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤ x1＜x2＜4．其中正确结论的序号是（）A. ①②④B. ①③④C. ①③⑤D. ①②③⑤22.（2020·旌阳模拟）已知y关于x的函数表达式是y=ax2−4x−a，下列结论错误的是（）A. 若a=−1，函数的最大值是5B. 若a=1，当x≥2时，y随x的增大而增大C. 无论a为何值时，函数图象一定经过点(1,−4)D. 无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点23.（2020·新都模拟）关于二次函数y=x2−kx+k−1，以下结论：①抛物线交x轴有两个不同的交点；②不论k取何值，抛物线总是经过一个定点；③设抛物线交x轴于A、B两点，若AB=1，则k=4；④抛物线的顶点在y=−(x−1)2图象上；⑤抛物线交y轴于C点，若△ABC是等腰三角形，则k=−√2，0，1．其中正确的序号是（）A. ①②⑤B. ②③④C. ①④⑤D. ②④24.（2020·武侯模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为A(3，0)，下列说法错误的是（）A. b2＞4acB. abc＜0C. 4a﹣2b+c＞0D. 当x＜﹣1时，y随x的增大而增大25.（2020·青白江模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+ b+c<0；②b2－4ac<0；③b+2a<0；④c<0.其中所有正确结论的序号是( )A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②26.（2020·大邑模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−2，与x轴的一个交点坐标为(−4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①当x<0时，y随x增大而增大；②抛物线一定过原点；③方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=0或x=−4；④当−4<x<0时，ax2+bx+ c>0；⑤a−b+c<0．其中结论错误的．．．个数有（）个A. 1B. 2C. 3D. 427.（2020·永州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④4a﹣2b+c＜0：⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个28.（2020·怀化模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=−1，下列结论：①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0其中正确的是（）A. ①②B. 只有①C. ③④D. ①④29.（2020·黄石模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A. a＞0B. 当﹣1＜x＜3时，y＞0C. c＜0D. 当x≥1时，y随x的增大而增大30.（2020·乾县模拟）已知二次函数y=ax²-8ax（a为常数）的图象不经过第二象限，在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为3，则a的值为（）A. −14B. 14C. −15D. 15二、填空题31.（2020·海淀模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A(2,0),B(0,−2),C(−2,4),D(4,−2),E(7,0)，将二次函数y=a(x−2)2+m(m≠0)的图象记为W．下列的判断中①点A一定不在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是________．32.（2020·长丰模拟）若抛物线y=x2−2kx+k2+1在−1≤x≤1时，始终在直线y=2的上方，则k的取值范围是________．33.（2020·新疆模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−12,0)，对称轴为直线x=1,下列5个结论：①abc<0；②a−2b+4c=0；③2a+b>0；④2c−3b<0；⑤a+b≤m(am+b).其中正确的结论为________. (注：只填写正确结论的序号)34.（2020·昌吉模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点(12,0)，有下列结论：①abc<0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c<0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是________.（填写正确结论的序号）35.（2020·立山模拟）若二次函数y=mx2+(m−2)x+m的顶点在x轴上，则m=________.36.（2020·立山模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+(2m−1)x+2m−4与y=x2−(3m+n)x+n关于y轴对称，则符合条件的m=________；n=________.37.（2020·铁西模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③,3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大.⑤4a+2b≥am2−bm（m为任意实数）其中正确的结论有________.（填序号）38.（2020·梧州模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，-1）、B（3，3），且当1≤x≤3时，-1≤y≤3，则a的取值范围是________39.（2020·南充模拟）如图，抛物线y=x2+ax+2经过点P(−2，2)，Q(m，n).若点Q到y轴的距离小于2，则n的取值范围是________.40.（2020·海曙模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上一点，BD＝2AD，CD＝4，则S△ACD 的最大值为________.三、综合题41.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A（4，-5），点B（0，3）。

2023年湖南省中考数学真题分类汇编：一次函数、二次函数(含答案)

2023年湖南省中考数学真题分类汇编：一次函数、二次函数(含答案)

;2023年湖南省中考数学真题分类汇编：一次函数、二次函数一、选择题1．（2023·长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）A．y=2x+1B．y=x―4C．y=2x D．y=―x+1 2．（2023·邵阳）已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线y=a x2+4ax+3（a是常数，a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=―2；②点(0，3)在抛物线上；③若x1>x2>―2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=―2其中，正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2023·株洲）如图所示，直线l为二次函数y=a x2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）A．b恒大于0B．a，b同号C．a，b异号D．以上说法都不对4．（2023·衡阳）已知m>n>0，若关于x的方程x2+2x―3―m=0的解为x1，x2(x1<x2)．关于x的方程x2+2x―3―n=0的解为x3，x4(x3<x4)．则下列结论正确的是（ ）A．x3<x1<x2<x4B．x1<x3<x4<x2C．x1<x2<x3<x4D．x3<x4<x1<x2二、填空题5．（2023·郴州）在一次函数y=(k―2)x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 （任写一个符合条件的数即可）．6．（2023·郴州）抛物线y=x2―6x+c与x轴只有一个交点，则c= ．三、综合题7．（2023·常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A(―1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1．5（1）求二次函数的表达式；（2）求四边形ACDB的面积；（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．8．（2023·株洲）某花店每天购进16支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理、该花店记录了10天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表：日需求量n131415161718天数112411（1）求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；（2）当n<16时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：y=10n―80；当n≥16时，日利润为80元．①当n=14时，间该花店这天的利润为多少元？②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率．9．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a x2+bx+c的图象与x轴交于点A(―2，0)和点B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，6)．点D为线段BC上的一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，求△AOD周长的最小值；（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．10．（2023·郴州）已知抛物线y=a x2+bx+4与x轴相交于点A(1，0)，B(4，0)，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；的值；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC？若存在，求出点Q的坐（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12标；若不存在，请说明理由．11．（2023·邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x2+x+c经过点A(―2，0)和点B(4，0)，且与直线l：y=―x―1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．12．（2023·株洲）已知二次函数y=a x2+bx+c(a>0)．（1）若a=1，c=―1，且该二次函数的图象过点(2，0)，求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO =23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =―a 2―b 2，求2a +b 的值．13．（2023·岳阳）已知抛物线Q 1：y =―x 2+bx +c 与x 轴交于A(―3，0)，B 两点，交y 轴于点C(0，3)．（1）请求出抛物线Q 1的表达式．（2）如图1，在y 轴上有一点D(0，―1)，点E 在抛物线Q 1上，点F 为坐标平面内一点，是否存在点E ，F 使得四边形DAEF 为正方形？若存在，请求出点E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，将抛物线Q 1向右平移2个单位，得到抛物线Q 2，抛物线Q 2的顶点为K ，与x 轴正半轴交于点H ，抛物线Q 1上是否存在点P ，使得∠CPK =∠CHK ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2023·衡阳）如图，已知抛物线y =a x 2―2ax +3与x 轴交于点A(―1，0)和点B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，过B 、C 两点作直线．（1）求a的值．（2）将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO=45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．15．（2023·怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x2+bx―8与x轴交于A(―4，0)、B(2，0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y=―（3）设直线l1：y=kx+k―35437上总存在一点E，使得∠MEN为直角．4答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】3（答案不唯一）6．【答案】97．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x 轴交于A(―1，0)，B(5，0)两点．∴设二次函数的表达式为y =a(x +1)(x ―5)∵AO =1，tan ∠ACO =15，∴OC =5，即C 的坐标为(0，5)则5=a(0+1)(0―5)，得a =―1∴二次函数的表达式为y =―(x +1)(x ―5)；（2）解：y =―(x +1)(x ―5)=―(x ―2)2+9∴顶点的坐标为(2，9)过D 作DN ⊥AB 于N ，作DM ⊥OC 于M ，四边形ACDB 的面积=S △AOC +S 矩形OMDN ―S △CDM +S △DNB=12×1×5+2×9―12×2×(9―5)+12×(5―2)×9=30；（3）解：如图，P 是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO =∠PBC 时，连接PB ，过C 作CE ⊥BC 交BP 于E ，过E 作EF ⊥OC 于F ，∵OC =OB =5，则△OCB 为等腰直角三角形，∠OCB =45°．由勾股定理得：CB =52，∵∠ACO =∠PBC ，∴tan ∠ACO =tan ∠PBC ，即15=CE CB =CE 52，∴CE =2由CH ⊥BC ，得∠BCE =90°，∴∠ECF =180°―∠BCE ―∠OCB =180°―90°―45°=45°．∴△EFC 是等腰直角三角形∴FC =FE =1∴E 的坐标为(1，6)所以过B 、E 的直线的解析式为y =―32x +152令y =―32x +152y =―(x +1)(x ―5)解得x =5y =0，或x =12y =274所以BE 直线与抛物线的两个交点为B(5，0)，P(12，274)即所求P 的坐标为P(12，274)8．【答案】（1）解：当n <16时，该种花需要进行作废处理，则该种花作废处理情形的天数共有：1+1+2=4（天）；（2）解：①当n <16时，日利润y 关于n 的函数表达式为y =10n ―80，当n =14时，y =10×14―80=60（元）；②当n <16时，日利润y 关于n 的函数表达式为y =10n ―80；当n≥16时，日利润为80元，80>70，当y=70时，70=10n―80解得：n=15，由表可知n=15的天数为2天，则该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为2．9．【答案】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x―6)，将(0，6)代入上式得：6=a(0+2)(0―6)，a=―1 2所以抛物线的表达式为y=―12x2+2x+6；（2）解：作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，∵B(6，0)，C(0，6)，∠BOC=90°，∴OB=OC=6，∵O、E关于直线BC对称，∴四边形OBEC为正方形，∴E(6，6)，连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|=|DO|，此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，AE=AB2+BE2=82+62=10∵△AOD的周长为DA+DO+AO，AO=2，DA+DO的最小值为10，∴△AOD的周长的最小值为10+2=12；（3）解：由已知点A(―2，0)，B(6，0)，C(0，6)，设直线BC的表达式为y=kx+b，将B(6，0)，C(0，6)代入y=kx+b中，6k+b=0b=0，解得k=―1b=6，∴直线 BC 的表达式为 y =―x +6 ，同理可得：直线 AC 的表达式为 y =3x +6 ，∵PD ∥AC ，∴设直线 PD 表达式为 y =3x +a ，由（1）设 P(m ，―12m 2+2m +6) ，代入直线 PD 的表达式得： a =―12m 2―m +6 ，∴直线 PD 的表达式为： y =3x ―12m 2―m +6 ，由 y =―x +6y =3x ―12m 2―m +6 ，得 x =18m 2+14m y =―18m 2―14m +6 ，∴D(18m 2+14m ，―18m 2―14m +6) ，∵P ，D 都在第一象限，∴S =S △PAD +S △PBD =S △PAB ―S △DAB=12|AB|[(―12m 2+2m +6)―(―18m 2―14m +6)]=12×8(―38m 2+94m)=―32m 2+9m =―32(m 2―6m)=―32(m ―3)2+272，∴当 m =3 时，此时P 点为 (3，152) .S 最大值=272．10．【答案】（1）解：∵抛物线y =a x 2+bx +4与x 轴相交于点A(1，0)，B(4，0)，∴a +b +4=016a +4b +4=0，解得：a =1b =―5，∴y =x 2―5x +4；（2）解：∵y =x 2―5x +4，当x =0时，y =4，∴C(0，4)，抛物线的对称轴为直线x =52∵△PAC 的周长等于PA +PC +AC ，AC 为定长，∴当PA +PC 的值最小时，△PAC 的周长最小，∵A ，B 关于对称轴对称，∴PA +PC =PB +PC ≥BC ，当P ，B ，C 三点共线时，PA +PC 的值最小，为BC 的长，此时点P 为直线BC 与对称轴的交点，设直线BC 的解析式为：y =mx +n ，则：4m +n =0n =4，解得：m =―1n =4，∴y =―x +4，当x =52时，y =―52+4=32，∴P(52，32)，∵A(1，0)，C(0，4)，∴PA =(52―1)2+(32)2=322，PC =(52)2+(4―32)2=522，∴PA PC =35；（3）解：存在，∵D 为OC 的中点，∴D(0，2)，∴OD =2，∵B(4，0)，∴OB =4，在Rt △BOD 中，tan ∠OBD =OD OB =12，∵tan ∠QDB =12=tan ∠OBD ，∴∠QDB =∠OBD ，①当Q 点在D 点上方时：过点D 作DQ ∥OB ，交抛物线与点Q ，则：∠QDB =∠OBD ，此时Q 点纵坐标为2，设Q 点横坐标为t ，则：t 2―5t +4=2，解得：t =5±172，∴Q(5+172，2)或Q(5―172，2)；②当点Q 在D 点下方时：设DQ 与x 轴交于点E ，则：DE =BE ，设E(p ，0)，则：D E 2=O E 2+O D 2=p 2+4，B E 2=(4―p)2，∴p 2+4=(4―p)2，解得：p =32，∴E(32，0)，设DE 的解析式为：y =kx +q ，=2+q =0，解得：q =2k =―43，∴y =―43x +2，联立y =―43x +2y =x 2―5x +4，解得：x =3y =―2或x =23y =109，∴Q(3，―2)或Q(23，109)；综上：Q(5+172，2)或Q(5―172，2)或Q(3，―2)或Q(23，109)．11．【答案】（1）解：∵抛物线y =a x 2+x +c 经过点A(―2，0)和点B(4，0)，∴4a ―2+c =016a +4+c =0，解得：a =―12c =4，∴抛物线解析式为：y =―12x 2+x +4；（2）解：∵抛物线y =―12x 2+x +4与直线l ：y =―x ―1交于D 、E 两点，（点D 在点E 的右侧）联立y =―12x 2+x +4y =―x ―1，解得：x =2+14y =―3―14或x =2―14y =―3+14，∴D(2+14，―14―3)，E(2―14，14―3)，∴x D ―x E =(2+14)―(2―14)=214，∵点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．则M(t ，―t ―1)，N(t ，―12t 2+t +4)，∴MN =―12t 2+t +4―(―t ―1)=―12t 2+2t +5=―12(t ―2)2+7，当t =2时，MN 取得最大值为7，∵S △END =12(x D ―x E )×MN ，∴当MN 取得最大值时，S △END 最大，∴S △END =12×214×7=714，∴△NED 面积的最大值714；（3）解：∵抛物线与y 轴交于点C ，∴y =―12x 2+x +4，当x =0时，y =4，即C(0，4)，∵B(4，0)，M(t ，―t ―1)∴BC =42+42=42，B M 2=(4―t)2+(―t ―1)2=2t 2―6t +17，C M 2=t 2+(t +5)2=2t 2+10t +25，①当BC 为对角线时，MB =CM ，∴2t 2―6t +17=2t 2+10t +25，解得：t =―12，∴M(―12，―12)，∵BC ，MR 的中点重合，∴R x ―12=4R y ―12=4，解得：R x =92R y =92，∴R(92，92)，②当BC 为边时，当四边形BMRC 为菱形，BM =BC∴2t 2―6t +17=(42)2，解得：t =3―392或t =3+392，∴―t ―1=―3―392―1=―5+392或―t ―1=―3+392―1=―5―392，∴M(3―392，―5+392)或M(3+392，―39―52)，由CM ，BR 的中点重合，∴R x +4=3―392+0R y +0=―5+392+4或R x +4=3+392+0R y +0=―5―392+4，解得：R x =―5―392R y =3+392或R x =―5+392R y =3―392，∴R(―5―392，3+392)或R(―5+392，3―392)，当BC =MC 时；如图所示，即四边形CMRB 是菱形，点R 的坐标即为四边形BMRC 为菱形时，M 的坐标，∴R 点为R(3―392，―5+392)或R(3+392，―39―52)，综上所述，R 点为R(3―392，―5+392)或R(3+392，―39―52)或R(―5―392，3+392)或R(―5+392，3―392)或R(92，92)．12．【答案】（1）解：∵a =1，c =―1，∴二次函数解析式为y =x 2+bx ―1，∵该二次函数的图象过点(2，0)，∴4+4b―1=0解得：b=―32；（2）解：①∵∠DOF=∠DEO，∠ODF=∠EDO，∴△DOF∽△DEO∴DF DO =OF EO∴DO EO =OF DF∵OF=32DF∴DO EO =2 3；②∵该二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1<0<x2，∴OA=―x1，OB=x2，∵BE=1．∴OE=x2―1，∵⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍∴OD=―2x1，∵DO EO =2 3，∴―2x1x2―1=23，∴3x1+x2―1=0，即x2=1―3x1①，∵该二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，∴x1，x2是方程a x2+bx+c=0的两个根，∴x1+x2=―b a，∵4ac=―a2―b2，a≠0，∴4·ca+1+(ba)2=0，即4(x1x2)+1+(x1+x2)2=0②，①代入②，即4x1(1―3x1)+1+(x1+1―3x1)2=0，即4x1―12x21+1+1+4x21―4x1=0，整理得―8x21=―2，∴x21=14，解得：x 1=―12（正值舍去）∴x 2=1―(―32)=52，∴抛物线的对称轴为直线x =―b 2a =x 1+x 22=―12+522=1，∴b =―2a ，∴2a +b =0．13．【答案】（1）解：∵抛物线Q 1：y =―x 2+bx +c 与x 轴交于A(―3，0)，两点，交y 轴于点C(0，3)， ∴把A(―3，0)，C(0，3)代入Q 1：y =―x 2+bx +c ，得，―9―3b +c =0c =3，解得，b =―2c =3，∴抛物线的解析式为：y =―x 2―2x +3；（2）解：假设存在这样的正方形DAEF ，如图，过点E 作ER ⊥x 于点R ，过点F 作FI ⊥y 轴于点I ，∴∠AER +∠EAR =90°，∵四边形DAEF 是正方形，∴AE =AD ，∠EAD =90°，∴∠EAR +∠DAR =90°，∴∠AER =∠DAO ，又∠ERA =∠AOD =90°，∴△AER≅△DAO ，∴AR =DO ，ER =AO ，∵A(―3，0)，D(0，―1)，∴OA =3，OD =1，∴AR =1，ER =3，∴OR =OA ―AR =3―1=2，∴E(―2，3)；同理可证明：△FID≅△DOA，∴FI=DO=1，DI=AO=3，∴IO=DI―DO=3―1=2，∴F(1，2)；（3）解：∵y=―x2―2x+3=―(x+1)2+4，∴抛物线的顶点坐标为(―1，4)，对称轴为直线x=―1，令y=0，则―x2―2x+3=0，解得，x1=―3，x2=1，∴B(1，0)，∴将抛物线的图象右平移2个单位后，则有：K(―1，4)，对称轴为直线x=―1+2=1，H(1+2，0)，即H(3，0)，∴点B在平移后的抛物线的对称轴上，∴HB=HO―OB=3―1=2，KB=4，∴KH=KB2+HB2=42+22=25，CB=CO2+BO2=32+12=10；CH=CO2+HO2=32，设直线CH的解析式为y=kx+b，把(3，0)，(0，3)代入得，3k+b=0b=3，解得，k=―1 b=3，∴直线CH的解析式为y=―x+3，当x=1时，y=―1+3=2，∴S(1，2)，此时KS=4―2=2，∴CS=(0―1)2+(3―2)2=2，∴HS=CH―CS=32―2=22，又KH CH =2510=2；KSCS=22=2；HSBS=222=2，∴KH CH =KSCS=HSBS=2，∴△KSH∼△CSB，∴∠CBK=∠CHK，所以，当点P与点B重合时，即点P的坐标为(1，0)，则有∠CPK=∠CHK．14．【答案】（1）解：抛物线y=a x2―2ax+3与x轴交于点A(―1，0)，得a +2a +3=0，解得：a =―1；（2）解：存在D (―12，154)，理由如下：设B ′C ′与y 轴交于点G ，由（1）中结论a =―1，得抛物线的解析式为y =―x 2+2x +3，当y =0时，x 1=―1，x 2=3，即A (―1，0)，B (3，0)，C (0，3)，OB =OC ，∠BOC =90°，即△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BCO =45°，∵B ′C ′∥BC ，∴∠BCO =∠B ′GO =45°，设D (t ，―t 2+2t +3)，过点D 作DE ∥y 轴交B ′C ′于点E ，作DF ⊥B ′C ′于点F ，∴∠DEF =∠B ′GO =45°，即△DEF 是等腰直角三角形，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，代入B (3，0)，C (0，3)，得3k +b =0b =3，解得k =―1b =3，故直线BC 的解析式为y =―x +3，将直线BC 向下平移m(m >0)个单位长度，得直线B ′C ′的解析式为y =―x +3―m ，∴E (t ，―t +3―m )，DE =―t 2+2t +3―(―t +3―m )=―t 2+3t +m =―(t ―32)2+94+m ，当t =32时，DE 有最大值94+m ，此时DF =22DE 也有最大值，D (32，154)；（3）解：存在P (―23，119)或P (2，3)，理由如下：当点P 在直线BC 下方时，在y 轴上取点H (0，1)，作直线BH 交抛物线于（异于点B ）点P ，由（2）中结论，得∠OBC=45°，∴OH=OA=1，OB=OC，∠BOH=∠COA=90°，∴△BOH≌△COA(SAS)，∴∠OBH=∠AOC，∴∠PBC+∠ACO=∠PBC+∠OBH=∠OBC=45°，设直线BP的解析式为y=k1x+b1，代入点B(3，0)，H(0，1)，得3k1+b1=0b1=1，解得k1=―13b1=1，故设直线BP的解析式为y=―13x+1，联立y=―13x+1y=―x2+2x+3，解得x1=3y1=0（舍）x2=―23y2=119，故P(―23，119)；当点P在直线BC上方时，如图，在x轴上取点I，连接CI，过点P作BP∥CI抛物线于点P，∠PBC=∠BCI，OI=OA=1，OC=OC，∠COI=∠COA=90°，∴△COI≌△COA(SAS)，∴∠OCI=∠AOC，∴∠PBC+∠ACO=∠BCI+∠OCI=∠OCB=45°，设直线CI的解析式为y=k2x+b2，代入点I(1，0)，C(0，3)，得k2+b2=0b2=3，解得k2=―3b2=3，故设直线CI的解析式为y=―3x+3，BP∥CI，且过点B(3，0)，故设直线BP的解析式为y=―3x+9，联立y=―3x+9y=―x2+2x+3，解得x1=2y1=3，x2=3y2=0（舍），故P(2，3)，综上所述：P(―23，119)或P(2，3)15．【答案】（1）解：将A(―4，0)、B(2，0)代入y=a x2+bx―8，得16a―4b―8=04a+2b―8=0，解得：a=1 b=2，∴抛物线解析式为：y=x2+2x―8，∴对称轴为x=―b2a=―1∴当x=―1时，y=（―1）2+2×（―1）―8=―9∴顶点坐标为（-1，-9）；（2）解：如图所示，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，由y=x2+2x―8，令x=0，解得：y=―8，∴C(0，―8)，设直线AC的解析式为y=kx―8，将点A(―4，0)代入得，―4k―8=0，解得：k=―2，∴直线AC的解析式为y=―2x―8，设P(m，m2+2m―8)，则E(m，―2m―8)，∴PE=―2m―8―(m2+2m―8)=―m 2―4m=―(m +2)2+4，当m =―2时，PE 的最大值为4∵S △PAC =12PE ×OA =12×4×PE =2PE ∴当PE 取得最大值时，△PAC 面积取得最大值∴△PAC 面积的最大值为2×4=8，此时m =―2，m 2+2m ―8=4―4―8=―8∴P(―2，―8)（3）解：设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，MN 的中点坐标为Q(x 1+x 22，y 1+y 22)， 联立y =kx +k ―354y =x 2+2x ―8，消去y ，整理得：x 2+(2―k)x ―k +34=0， ∴x 1+x 2=k ―2，x 1x 2=―k +34，∴x 1+x 22=k 2―1，∴y 1+y 22=12k(x 1+x 2)+k ―354=12k(k ―2)+k ―354=12k 2―354，∴Q(12k ―1，12k 2―354)，设Q 点到l 2的距离为QE ，则QE =12k 2―354―(―374)=12k 2+12，∵M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，∴y 1+y 2=k 2―352，y 1―y 2=x 21―x 22+2(x 1―x 2)=(x 1―x 2)(x 1+x 2+2)=k(x 1―x 2)∴M N 2=(x 1―x 2)2+(y 1―y 2)2=(x 1―x 2)2+k 2(x 1―x 2)2=(x 1―x 2)2(1+k 2)=[(x 1+x 2)2―4x 1x 2](1+k 2)=[(k ―2)2+4k ―3](k 2+1)=(k 2+1)(k 2+1)=(k 2+1)2∴MN =k 2+1，∴12MN =QE∴QM =QN =QE ，∴E 点总在⊙Q 上，MN 为直径，且⊙Q 与l 2：y =―374相切，∴∠MEN 为直角．∴无论k 为何值，平行于x 轴的直线l 2：y =―374上总存在一点E ，使得∠MEN 为直角．。

2020年中考数学二次函数真题汇编(带答案)

2020年中考数学二次函数真题汇编(带答案)

2020年中考数学二次函数真题汇编(名师精选全国真题，值得下载练习)一、单选题1.如图，一段抛物线y=﹣x 2+4（﹣2≤x≤2）为C 1 ， 与x 轴交于A 0 ， A 1两点，顶点为D 1；将C 1绕点A 1旋转180°得到C 2 ， 顶点为D 2；C 1与C 2组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2），与线段D 1D 2交于点P 3（x 3 ， y 3），设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，t=x 1+x 2+x 3 ， 则t 的取值范围是（ ）A. 6＜t≤8 B. 6≤t≤8 C. 10＜t≤12 D. 10≤t≤12 【答案】D【解析】【解答】解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x ﹣4）2﹣4=x 2﹣8x+12， ∵设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，∴点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限， 根据对称性可知：x 1+x 2=8， ∵2≤x 3≤4，∴10≤x 1+x 2+x 3≤12即10≤t≤12， 故答案为：D ．【分析】根据题意可求出翻折后的抛物线的解析式，设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，可得出点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限，根据对称性可求出x 1+x 2=8，由2≤x 3≤4，可得出x 1+x 2+x 3的取值范围，从而得出t 的取值范围。

2.已知，平面直角坐标系中，直线y 1=x+3与抛物线y=-x x 的图象如图，点P 是y 2上的一个动点，则点P 到直线y 1的最短距离为（ ）A.B.C. D.【答案】D【解析】【解答】解、∵点P 到直线y 1的距离最短， ∴点P 是直线与抛物线相切时的交点。

设直线y 1平移k 个单位长度，则此时的解析式为 =x+3+k ， 把 =x+3+k 代入y=-x 2+2x 整理得，-x 2+x-3-k=0，△=b 2-4ac=1-4 (-) (-3-k)=0，解得k=-，即直线y 1向下平移个单位长度与抛物线相切， 把k=-代入解析式解方程组可求得点P 的坐标为（1，）；过点P 作PD ⊥直线y 1于点D ，则直线PD 的解析式可设为y 3=-x+b ，把点P （1，）代入可求得b=,即直线PD 的解析式为y 3=-x+，将y 1和y 3的解析式联立解方程组可求得点D 的坐标为（-，）；若直线PD与x轴相较于点C，直线y1=x+3与x、y轴分别相较于点A、B，易得点A （-3,0）、B（0,3），∴∠BAC==∠DCA，由勾股定理可得：CD=，CP=，∴PD=CD-CP=。

2020-2021全国各地中考数学分类：二次函数综合题汇编含详细答案

2020-2021全国各地中考数学分类：二次函数综合题汇编含详细答案

2020-2021全国各地中考数学分类：二次函数综合题汇编含详细答案一、二次函数1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--.【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ， ∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩，∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭.点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．如图1，对称轴为直线x =1的抛物线y =12x 2+bx +c ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且点A 坐标为(-1，0).又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，点C 与坐标原点O 关于该对称轴成轴对称. （1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式； （2）当 AE ：EP =1：4 时，求点 E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋23C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AEAP=AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP=AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x =9时，y =30，即P （9，30），PF =30，∴EG =6，∴E （1，6）．（3）由E （1，6）、A （-1，0）可得AP 的函数表达式为y =3x +3，则D （0，3）． ∵原点O 与点C 关于该对称轴成轴对称，∴EG =6，∴C （2，0），∴OC ′＝OC ＝2． 如图，取点M （0，43），连接MC ′、BM ．则OM ＝43，BM ＝2243()3+＝97． ∵423'23OM OC ==，'23OC OD =，且∠DOC ′＝∠C ′OD ，∴△MOC ′∽△C ′OD ．∴'2'3MC C D =，∴MC ′＝23C ′D ，∴C ′B ＋23C ′D ＝C ′B ＋MC ′≥BM ＝4103，∴C ′B ＋23C ′D 的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF 的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．3．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式； ()2求ABC V 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC V 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-V 当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC V 的面积计算拆分为APF CPF S S +V V 即可. 【详解】()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-， 又∵函数图象经过点()6,0A -， ∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点，∴点C 的坐标是()0,3-， 又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =， ∴点B 的坐标是()2,0， 则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=V ；()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+， ∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -， ∴603k b b-+=⎧⎨-=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅V V V 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S V 有最大值274， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.4．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（33 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的3，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =3x =33∴点A 30），B （330），∴抛物线的对称轴为x 3（2）∵OA 3OC =3，∴tan ∠CAO 3∴∠CAO =60°． ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO 3=1，∴点D 的坐标为（0，1）． 设点P 3a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 30）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 3，﹣4）．综上所述，点P 的坐标为（3，0）或（3，﹣4）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：330m -+=，解得：m =3，∴直线AC 的解析式为33y x =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =13k-+=31k -．将33y x =+与y =kx +1联立解得：x =3k -，∴点M 的横坐标为3k -．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =33k +-．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG 33k +-233k k -，∴11AM AN +323231k k k ---33232k k --3(31)2(31)k k --3点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．5．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．()1求抛物线的表达式；()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；()3若AOC V 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中AOC V 与OBD V 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32332+332-；（3）13． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|43x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 16=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13． 【详解】（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y 43=-x 2133+x ． （2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣（43-x 2133+x ）|=|43x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43x 2﹣4x |=3．若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x 32+=或x 32-= 若43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 32=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32或32+或32-． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13=x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，1133+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （43t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，12t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12t 16=-（t ﹣1）213+当t =1时，S 有最大值为13，∴S 的最大值为13．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．6．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上 所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62b x a =-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得1266x x =+=-12x x -=答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用．7．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．8．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r ，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。

2020年上海16区中考数学二模分类汇编-专题13 二次函数(解答题24题压轴题)(逐题详解板)

2020年上海16区中考数学二模分类汇编-专题13 二次函数(解答题24题压轴题)(逐题详解板)

2020年上海市16区中考数学二模汇编专题13 二次函数（解答题24题压轴题）1. （2020闵行二模）2.（2020松江二模）3.（2020宝山二模）4.（2020奉贤二模）5.（2020金山二模）6.（2020静安二模）7.（2020嘉定二模）8.（2020长宁二模）9.（2020崇明二模） 10.（2020浦东二模） 11.（2020徐汇二模） 12.（2020青浦二模） 13.（2020虹口二模） 14（2020杨浦二模） 15（2020黄浦二模） 16.（2020普陀二模）1.（2020闵行二模）在平面直角坐标系xOy 中，我们把以抛物线2y x 上的动点A 为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为32，且与y 轴交于点C ．设点A 的横坐标为m （m ＞0），过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ．（1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式； （2）用含m 的代数式表示∠ACB 的余切值； （3）如果∠OAC=135°，求m 的值．2.（2020松江二模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，且OA=OB ，又抛物线的顶点为M ，联结AB 、AM . （1）求这条抛物线的表达式和点M 的坐标； （2）求的值；（3）如果Q 是线段OB 上一点，满足∠MAQ=45°，求点Q 的坐标.23y x bx =-++sin BAM ∠3.（2020宝山二模）如图6，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2230y ax ax a a =--<与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线:l y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =.（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k b 、用含a 的式子表示） （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若ACE ∆的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A D P Q 、、、为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标.4.（2020奉贤二模） 如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2yx bx 经过点A (2，0)．直线xOy122y x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ． （1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）将抛物线2y x bx 向右平移，使平移后的抛物线经过点B ，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线2yx bx 向下平移，使平移后的抛物线交y 轴于点D ，交线段BC 于点P 、Q ，（点P 在点Q 右侧），平移后抛物线的顶点为M ，如果DP ∥x 轴，求∠MCP 的正弦值．5.（2020金山二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0）和点B （0，3），其顶点为C ．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）我们把坐标为（n ，m ）的点叫做坐标为（m ，n ）的点的反射点，已知点M 在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点M 的坐标；（3）点P 是抛物线在第一象限部分上的一点，如果∠POA =∠ACB ，求点P 的坐标．6.（2020静安二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图9），已知抛物线c bx x y ++-=221（其中b 、c 是常数）经过点A （-2，-2）与点B （0，4），顶点为M ． （1）求该抛物线的表达式与点M 的坐标；（2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y 轴交于点C （点C 在点B 的下方），且△BCM 的面积为3．新抛物线的对称轴l 经过点A ，直线l 与x 轴交于点D ．①求点A 随抛物线平移后的对应点坐标；②点E 、G 在新抛物线上，且关于直线l 对称，如果正方形DEFG 的顶点F 在第二象限内，求点F 的坐标．7.（2020嘉定二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图7），已知经过点)0,3(-A 的抛物线322-+=ax ax y与y 轴交于点C ，点B 与点A 关于该抛物线的对称轴对称，D 为该抛物线的顶点. （1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B 的坐标、点C 的坐标、点D 的坐标； （2）联结AD 、DC 、CB ，求四边形ABCD 的面积；（3）联结AC .如果点E 在该抛物线上，过点E 作x 轴的垂线， 垂足为H ，线段EH 交线段AC 于点F.当FH EF 2=时，求点E 的坐标.8（2020长宁二模）如图7，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线n mx x y ++=2经过点)2-2(，A ，对称轴是直线1=x ，顶点为点B ，抛物线与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式和点B 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位， 平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点D ，求BCD ∆的面积； （3）如果点P 在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP 交线段OA 于点Q ，51=PQ BQ ，求点P 的坐标.y x-3-3-2-2-1-11AO19.（2020崇明二模）已知抛物线24y ax bx =+-经过点(1,0),(4,0)A B -，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接AC BC CD BD 、、、．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴； （2）当4BCD AOC S S ∆∆=时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E 是x 轴上一点，点F 是抛物线上一点，当以点A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E 的坐标．10.（2020浦东二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，对称轴是直线1x =．（1）求抛物线的表达式；（2）直线MN 平行于x 轴，与抛物线交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），且34MN AB =，点C 关于直线MN 的对称点为E ，求线段OE 的长；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结CP 、EP ，EP 交线段BC 于点F ，当:1:2CPF CEF S S =△△时，求点P 的坐标．11.（2020徐汇二模） .如图，已知直线22y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，矩形ACBE 的顶点B 在第一象限的反比例函数my x=图像上，过点B 作BF ⊥OC ，垂足为F ，设OF=t ．（1）求∠ACO 的正切值；（2）求点B 的坐标（用含t 的式子表示）； （3）已知直线22y x =+与反比例函数my x=图像都经过第一象限的点D ，联结DE ，如果DE x ⊥轴，求m 的值．12.（2020青浦二模）如图7，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数243y a x a x =-+ 的图像与x 轴正半轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，且tan 3∠=CAO ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP ，交对称轴于点F ，当:2:3CDFFDPS S=时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将△PCD 沿直线MN 翻折，当点P 恰好与点O 重合时，折痕MN 交轴于点M ，交轴于点N ，求OM ON的值．x y13. （2020•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +3经过点A （﹣1，0）和点B （3，0），该抛物线对称轴上的点P 在x 轴上方，线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°至PC （点B 对应点C ），点C 恰好落在抛物线上．（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴； （2）求点P 的坐标；（3）点Q 在抛物线上，联结AC ，如果∠QAC ＝∠ABC ，求点Q 的坐标．14（2020杨浦二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +4经过点A （-3，0）和点B （3，2），与y 轴相交于点C .（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P 是抛物线在第一象限内一点，联结AP ，如果点C 关于直线AP 的对称点D 恰好落在x 轴上，求直线AP 的截距；（3）在第（2）小题的条件下，如果点E 是y 轴正半轴上一点，点F 是直线AP 上一点．当△EAO 与△EAFyx DO CBAyxDO CBA全等时，求点E 的纵坐标．15（2020黄浦二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝21x 2+bx+c 经过点A （﹣4，0）和B （2，6），其顶点为D ．（1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD 的面积；（3）设C 为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为点H ，如果△OCH 与△ABD 相似，求点C 的坐标．16.（2020普陀二模）2020年上海市16区中考数学二模汇编专题13 二次函数（解答题24题压轴题）2.（2020闵行二模） 2.（2020松江二模）3.（2020宝山二模）4.（2020奉贤二模）5.（2020金山二模）6.（2020静安二模）7.（2020嘉定二模）8.（2020长宁二模）9.（2020崇明二模） 10.（2020浦东二模） 11.（2020徐汇二模） 12.（2020青浦二模）13.（2020虹口二模） 14（2020杨浦二模） 15（2020黄浦二模） 16.（2020普陀二模）1.（2020闵行二模）在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线2y x上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为32，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．（1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式；（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；（3）如果∠OAC=135°，求m的值．【分析】（1）先求出m=1时点A的坐标，进而可得到这条“子抛物线”的解析式；（2）先根据A点坐标求出“子抛物线”的解析式和AB,OB的长度，然后令x = 0求出y值即可得到C点坐标，进而可求出BC的长度，最后利用cotBCACBAB∠=即可求解；（3）过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F, 首先证明△AED≌△DFO，则有AE=DF，DE=OF，设AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED，通过OB=EF得到22m m n=+，然后再通过cotDEADEAE∠=得到32m nmn+=，将两个关于m,n的方程联立即可求出m 的值．【详解】解：（1）∵点A 在2y x 上，点A 的横坐标为m ，∴A （m ，m 2），当m =1时，21m = ，∴A （1，1），∴这条“子抛物线”的解析式为23(1)12y x =-+． （2）由A （m ，m 2），且AB ⊥y 轴，可得AB =m ，OB = m 2．∴“子抛物线”的解析式为223()2y x m m =-+． 令x = 0，252y m =， ∴点C 的坐标（0，252m ），252OC m =， ∴232BC OC OB m =-=． 在Rt △ABC 中，2332cot 2m BC ACB m AB m ∠===．（3）如图，过O 点作OD ⊥CA 的延长线于点D ，过点D 作y 轴的平行线分别交BA 的延长线于点E ，交x 轴于点F ．∵∠OAC=135°，∴∠OAD=45°．又∵OD ⊥CA ，90ADO ∴=︒∴∠AOD=∠OAD=45°，∴AD=OD ，90,90EAD ADE ODF ADE ∠+∠=︒∠+∠=︒ ，EAD ODF ∴∠=∠．90DEA DFO ∠=∠=︒，∴△AED ≌△DFO ，∴AE=DF ，DE=OF ．设AE=n ，那么DF=n ，BE= m + n=OF=ED ．又∵OB=EF ，∴22m m n =+．又//EF OC ∴，∴∠BCA=∠ADE ， ∴3cot 2DE m n ADE m AE n +∠===． 解方程组2232m m n m n m n⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得12m =，213m =-（舍去） ， m 的值为2．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的应用，子抛物线的定义，掌握全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义是解题的关键．2.（2020松江二模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，且OA=OB ，又抛物线的顶点为M ，联结AB 、AM .（1）求这条抛物线的表达式和点M 的坐标；（2）求的值；（3）如果Q 是线段OB 上一点，满足∠MAQ=45°，求点Q 的坐标.23y x bx =-++sin BAM ∠解：（1）∵抛物线23y x bx =-++与y 轴交于B 点令x=0得y=3,∴B (0,3) ………………………………………………………………1分∵AO=BO,∴A (3,0) …………………………………………………………………1分把A (3,0)代入23y x bx =-++,得9330b -++=解得b=2,∴这条抛物线的表达式y =-x 2+2x +3 ………………………………………1分顶点M (1,4) ……………………………………………………………………………1分（2）∵ A (3,0)，B (0,3) M (1,4)，∴22BM =,218AB =,220AM =∴∠MBC =90°………………………………………………………………………2分 ∴210sin =1025BM BAM AM ∠==………………………………………………………2分 （3）∵OA=OB,∴∠OAB =45°∵∠MAQ=45°,∴∠BAM=∠OAQ ………………………………………………1分由(2)得10sin 10BAM ∠=,∴10sin 10OAQ ∠= ∴1tan 3OAQ ∠= ……………………………………………………………………1分 ∴133OQ OQ OA ==,∴1OQ = …………………………………………………………1分 ∴Q (0,1) ………………………………………………………………………………1分(3)另解∵OA=OB,∴∠OAB =45°∵∠MAQ=45°,∴∠BAM=∠OAQ ………………… ………………………………1分由（2）可知1tan 3BAM ∠=,∴1tan 3OAQ ∠= ……………………………………1分∴133OQ OQ OA ==,∴1OQ = ……………………………………………………………1分 ∴Q (0,1) ………………………………………………………………………………1分3.（2020宝山二模）如图6，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2230y ax ax a a =--<与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线:l y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =.（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k b 、用含a 的式子表示）（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若ACE ∆的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A D P Q 、、、为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标.【解答】解：（1）当y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝a （x +1）（x ﹣3），得A （﹣1，0），B （3，0），∵直线l ：y ＝kx +b 过A （﹣1，0），∴0＝﹣k +b ，即k ＝b ，∴直线l ：y ＝kx +k ，∵抛物线与直线l 交于点A ，D ，∴ax 2﹣2ax ﹣3a ＝kx +k ，即ax 2﹣（2a +k ）x ﹣3a ﹣k ＝0，∵CD ＝4AC ，∴点D的横坐标为4，∴﹣3−ka=−1×4，∴k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；（2）如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF=12（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）−12（ax2﹣3ax﹣4a）x=12（ax2﹣3ax﹣4a）=12a（x−32）2−258a，∴△ACE的面积的最大值═258 a，∵△ACE的面积的最大值为5 4，∴−258a=54，解得a=−2 5；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，m），①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2＝AP2，∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，即a2=1 7，∵a＜0，∴a=−√7 7∴P（1，−26√7 7）；②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q （2，﹣3a ），∴m ＝5a ﹣（﹣3a ）＝8a ，则P （1，8a ），∵四边形APDQ 是矩形，∴∠APD ＝90°，∴AP 2+PD 2＝AD 2，∴（﹣1﹣1）2+（8a ）2+（1﹣4）2+（8a ﹣5a ）2＝52+（5a ）2，即a 2=14，∵a ＜0，∴a =−12，∴P （1，﹣4），综上所述，点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P （1，−26√77）或（1，﹣4）．4.（2020奉贤二模）如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx 经过点A (2，0)．直线122y x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ． （1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线2y x bx 向右平移，使平移后的抛物线经过点B ，求平移后抛物线的表达式；xOy（3）将抛物线2y x bx 向下平移，使平移后的抛物线交y 轴于点D ，交线段BC 于点P 、Q ，（点P 在点Q 右侧），平移后抛物线的顶点为M ，如果DP ∥x 轴，求∠MCP 的正弦值．解：（1）由题意，抛物线2yx bx 经过点A (2，0)， 得042b ， 解得 2b ···················································································· （2分） ∴抛物线的表达式是22y x x =-. ··················································································· （1分） 它的顶点C 的坐标是（1，-1）. ························································································· （1分）（2）∵直线122y x =-与x 轴交于点B ， ∴点B 的坐标是(4，0) . ···························· （1分） ①将抛物线22y x x =-向右平移2个单位，使得点A 与点B 重合，此时平移后的抛物线表达式是231（）y x =--. ································································ （2分） ②将抛物线22y x x =-向右平移4个单位，使得点O 与点B 重合，此时平移后的抛物线表达式是251（）y x =--. ································································ （1分） （3）设向下平移后的抛物线表达式是：22y x x n =-+，得点D （0，n ）.∵DP ∥x 轴，∴点D 、P 关于抛物线的对称轴直线1x对称，∴P （2，n ）.∵点P 在直线BC 上，∴12212n =⨯-=-. ∴平移后的抛物线表达式是：222y x x =--. ································································ （2分） ∴新抛物线的顶点M 的坐标是（1，-2）. ······································································· （1分）B CA xyo∴MC //OB ，∴∠MCP =∠OBC ．在Rt △OBC 中，sin OC OBC BC ， 由题意得：OC =2，25BC， ∴5sin sin 25MCP OBC . ·············································································· （1分） 即∠MCP 的正弦值是5. 5.（2020金山二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0）和点B （0，3），其顶点为C ．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）我们把坐标为（n ，m ）的点叫做坐标为（m ，n ）的点的反射点，已知点M 在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点M 的坐标；（3）点P 是抛物线在第一象限部分上的一点，如果∠POA =∠ACB ，求点P 的坐标．解：（1），抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0）和点B （0，3），，23303b c c ⎧-++=⎨=⎩,--------------------------------------------------------------------------------（1分） ，b =2，c =3，抛物线的解析式为223y x x =-++，--------------------------------------（2分） 顶点C 的坐标为（1，4）.---------------------------------------------------------------------------（1分）（2）设点M 的坐标为（t ，223t t -++），点M 的反射点为（223t t -++，t ），------------------------------------------------------------（1分） 由抛物线的对称轴为直线x =1，得223=1t t -++，----------------------------------------（1分）解得：1t 2=1t ，∴M 的坐标为（1）或（1-，1）.--------（2分） （3）过点P 作PH ，x 轴，垂足为点H ，由A （3，0）、点B （0，3）、点C （1，4），得AB=AC =BC ，，222AB BC AC +=，∴∠ABC =90°，tan 3AB ACB BC ∠===，----（1分） ∵∠POA =∠ACB ，∴tan 3POH ∠=，∵∠PHO =90°，∴tan 3PHPOH OH∠==， 设PH =3s ，OH =s ，由点P 在第一象限得点P 的坐标是（s ，3s ）,∴2233s s s -++=--------------------------------------------------------------------------（1分）解得11=2s -+，21=2s --（不合题意，舍去），∴1=2s -+，--（1分）点P ）.-----------------------------------------------（1分）6.（2020静安二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图9），已知抛物线c bx x y ++-=221（其中b 、c 是常数）经过点A （-2，-2）与点B （0，4），顶点为M ． （1）求该抛物线的表达式与点M 的坐标；（2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y 轴交于点C （点C 在点B 的下方），且△BCM 的面积为3．新抛物线的对称轴l 经过点A ，直线l 与x 轴交于点D ．①求点A 随抛物线平移后的对应点坐标；②点E 、G 在新抛物线上，且关于直线l 对称，如果正方形DEFG 的顶点F 在第二象限内，求点F 的坐标．.解：（1）将A （-2，-2）、B （0，4）代入c bx x y ++-=221得，21(2)22200 4.b c c ⎧-⨯--+=-⎪⎨⎪++=⎩，·············································································· （2分） 解得⎩⎨⎧==.42c b ，∴该抛物线的表达式为：42212++-=x x y ； ···················································· （1分） 顶点M 的坐标是：（2，6）． ···················································································· （1分） （2）①∵平移后抛物线的对称轴经过点A （-2，-2），∴可设平移后的抛物线表达式为：k x y ++-=2)221（． ····································· （1分） ∴C （0，-2+ k ）．∴32)]2(4[21221=⋅+--=⋅=∆k BC S BCM ，························································· （1分） 解得k=3． ∴3)2212++-=x y （． ······································································· （1分）即原抛物线向左平移4个单位，向下平移3个单位可以得到新的抛物线．∴点A 对应点的坐标为（-6，-5）． ········································································· （1分） ②设EG 与DF 的交点为H ． 在正方形DEFG 中，EG ⊥DF ，EG =DF =2EH =2DH ．∵点E 、G 是这条抛物线上的一对对称点，∴EG //x 轴． ∴DF ⊥x 轴，由此可设F （-2，2a ）．∵点F 在第二象限内，∴a >0．∴EG =DF =2EH =2DH =2a ．不妨设点E 在点G 的右侧，那么E （-2 +a ，a ）． ··················································· （1分） 将点E 代入3)2212++-=x y （得：a a =+-3212． ············································· （1分） 解得171-=a ，172--=a （不合题意，舍去）．········································· （1分）∴F （-2，272-）． ································································································ （1分）7.（2020嘉定二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图7），已知经过点)0,3(-A 的抛物线322-+=ax ax y 与y 轴交于点C ，点B 与点A 关于该抛物线的对称轴对称，D 为该抛物线的顶点. （1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B 的坐标、点C 的坐标、点D 的坐标； （2）联结AD 、DC 、CB ，求四边形ABCD 的面积；（3）联结AC .如果点E 在该抛物线上，过点E 作x 轴的垂线， 垂足为H ，线段EH 交线段AC 于点F.当FH EF 2=时，求点E 的坐标.解：（1）该抛物线的对称轴为直线1-=x ······································································ 1分点B 的坐标为（1，0）. ················································································· 1分 点C 的坐标为（0，-3）. ················································································ 1分 点D 的坐标为（-1，-4）. ··············································································· 1分（2）过点D 作AB DM ⊥，垂足为M ，易得：1=OM ，4=DM ，2=AM ，1=OB .4422121=⨯⨯=⋅=DM AM S ADM △， ·································································· 1分 271432121=⨯+=⋅+=）（（梯形OM )DM OC S OCDM ， ············································ 1分 23312121=⨯⨯=⋅=OC OB S OBC △， ······································································ 1分 所以923274=++=++=OBC OCDM ADM ABCD S S S S △梯形△四边形 ································ 1分 y x-3-3-2-2-1-11AO1（3）设直线AC 的表达式为b kx y +=，∵)0,3(-A ，)3,0(-C 在直线b kx y +=上，∴⎩⎨⎧-=+-=330b b k .解得⎩⎨⎧-=-=31b k ，故直线AC 的表达式为3--=x y . ····························· 1分方法1.∵点F 在直线3--=x y 上，所以可设)3,(--x x F .∵AB EH ⊥，点F 在线段EH 上，且HF EF 2=，可得)93,(--x x E . ································ 1分 ∵)93,(--x x E 在抛物线322-+=x x y 上，∴32932-+=--x x x . ································· 1分 整理，得 0652=++x x .解得 21-=x ，32-=x (不符合题意，应舍去).8（2020长宁二模）如图7，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线n mx x y ++=2经过点)2-2(，A ，对称轴是直线1=x ，顶点为点B ，抛物线与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式和点B 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位， 平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点D ，求BCD ∆的面积； （3）如果点P 在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP 交线段OA 于点Q ，51=PQ BQ ，求点P 的坐标.x解：（1） 抛物线n mx x y ++=2经过点)2,2(-A ，对称轴是直线1=x∴42212m n m ++=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22m n =-⎧⎨=-⎩ （2分）∴抛物线的解析式为222y x x =--，顶点B 的坐标是(1,3)- （2分） （2）抛物线222y x x =--与y 轴交于点），（2-0C 平移后的抛物线表达式为： 223y x x =-- ，点D 的坐标是(3,0) （2分） 过点B 做y BH ⊥轴，垂足为点H ∴=S S S BCD BCH COD BHOD S ∆∆∆--梯形1111=(13)31123=22222⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯ （2分） （3）∵直线OA 经过点00O （，）、)2,2(-A ，∴直线OA 的表达式为：y x =- 设对称轴与直线OA 相交于点E ，则11E （，-） ∵ (1,3)B - ∴2BE = （1分） 过点P 作PF//BE ，交直线OA 于点F设点）（22,2--t t t P 1t >（），则）（t t F -, ∴22PF t t =-- （1分） ∵ PF//BE ∴15BE BQ PF PQ == ∴22125t t =-- ∴2120t t --= ∴3t =- （舍去）或4t = （1分） ∴)6,4(P （1分）9.（2020崇明二模）已知抛物线24y ax bx =+-经过点(1,0),(4,0)A B -，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接AC BC CD BD 、、、．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴； （2）当4BCD AOC S S ∆∆=时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E 是x 轴上一点，点F 是抛物线上一点，当以点A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E 的坐标．【整体分析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可写出对称轴；（2）连接OD ，求出C 点坐标，根据A 、B 、C 点坐标求出8BCD S ∆=，设2(,34)D x x x --，根据=16OCD OBD OBC BCD OCDB S S S S S ∆∆∆∆=++=四边形，列出关于x 的方程，解方程即可求出D 点坐标；（3）分两种情形：如图2中，当AE 为平行四边形的边时，根据DF=AE=1，求解即可．如图3中，当AE ，DF 是平行四边形的对角线时，根据点F 的纵坐标为6，求出点F 的坐标，再根据中点坐标公式求解即可． 【满分解答】（1）∵24y ax bx =+-经过点(1,0),(4,0)A B -，4016440a b a b --=⎧∴⎨+-=⎩，13a b =⎧∴⎨=-⎩， ，，，，，，，，，234y x x =--， 对称轴为直线32x =． （2）连接OD ，，，，，234y x x =--经过点C ，(0,4)C ∴-， (10),(4,0)A B -，， 1,4OA OB OC ∴===，又90AOC BOC ∠=∠=︒，11142,44822AOC BOC S S ∆∆∴=⨯⨯==⨯⨯=，4BCD AOC S S ∆∆=， 8BCD S ∆∴=，设2(,34)D x x x --， ，，D 在第四象限，20340x x x ∴>--<，， OCD OBD OCDB S S S ∆∆∴=+四边形=21144(34)22x x x ⨯+⨯-++ =2288x x -++，88=16OBC BCD OCDB S S S ∆∆=+=+四边形，228816x x∴-++=，122x x∴==，(2,6)D∴-．（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，∵DF∥AE，D（2，-6）∴F（1，-6），∴DF=1，∴AE=1，∴E（0，0），或E′（-2，0）．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，∵点D与点F到x轴的距离相等，∴点F 的纵坐标为6， 当y=6时，6=x 2-3x-4， 解得x=-2或5，∴F（-2，6）或（5，6）， 设E （n ，0），则有12222n -+-+=或21522n -++=， 解得n=1或8，∴E（1，0）或（8，0），综上所述，满足条件的点E 的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（-2，0）．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10.（2020浦东二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，对称轴是直线1x =．（1）求抛物线的表达式；（2）直线MN 平行于x 轴，与抛物线交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），且34MN AB =，点C 关于直线MN 的对称点为E ，求线段OE 的长；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结CP 、EP ，EP 交线段BC 于点F ，当:1:2CPF CEF S S =△△时，求点P 的坐标．【整体分析】（1）根据抛物线与y 轴交于点(0,3)C 可得出c 的值，然后由对称轴是直线1x =可得出b 的值，从而可求出抛物线的解析式；（2）令y=0得出关于x 的一元二次方程，求出x ，可得出点A 、B 的坐标，从而得到AB 的长，再求出MN 的长，根据抛物线的对称性求出点M 的横坐标，再代入抛物线解析式求出点M 的纵坐标，再根据点的对称可求出OE 的长；（3）过点E 作x 轴的平行线EH ，分别过点F ，P 作EH 的垂线，垂足分别为G ，Q ，则FG ∥PQ ，先证明△EGF ∽△EQP ，可得E E QF EG FG EP PQ ==，设点F 的坐标为（a ，-a+3），则EG=a ，FG=-a+3-12=-a+52，可用含a 的式子表示P 点的坐标，根据P 在抛物线的图象上，可得关于a 的方程，把a 的值代入P 点坐标，可得答案． 【满分解答】解：（1）将点C （0，3）代入2y x bx c =-++得c=3， 又抛物线的对称轴为直线x=1， ∴-2b-=1，解得b=2， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3；（2）如图，令y=0，则-x 2+2x+3=0，解得x 1=-1，x 2=3， ∴点A （-1，0），B （3，0），∴AB=3-（-1）=4， ∵34MN AB =，∴MN=34×4=3， 根据二次函数的对称性，点M 的横坐标为31122-=-， 代入二次函数表达式得，y=22()3211724⎛⎫--⨯-++= ⎪⎝⎭， ∴点M 的坐标为17,24⎛⎫-⎪⎝⎭，。

2020年江苏省中考数学试题分类汇编(4)——二次函数(含答案)

2020年江苏省中考数学试题分类汇编(4)——二次函数(含答案)

2020年江苏省中考数学试题分类（4）——二次函数一．二次函数的性质（共4小题）1．（2020•镇江）点P （m ，n ）在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2+ax +4的图象上．则m ﹣n 的最大值等于（ ）A ．154B ．4C ．−154D ．−174 2．（2020•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴： ．3．（2020•无锡）二次函数y ＝ax 2﹣3ax +3的图象过点A （6，0），且与y 轴交于点B ，点M 在该抛物线的对称轴上，若△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为 ．4．（2020•淮安）二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +3的图象的顶点坐标为 ．二．二次函数图象与几何变换（共2小题）5．（2020•宿迁）将二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（ ）A ．y ＝（x +2）2﹣2B ．y ＝（x ﹣4）2+2C ．y ＝（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝（x ﹣1）2+56．（2020•南京）下列关于二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1（m 为常数）的结论：①该函数的图象与函数y ＝﹣x 2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x ＞0时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y ＝x 2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．三．抛物线与x 轴的交点（共3小题）7．（2020•南通）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （2，0），B （3n ﹣4，y 1），C （5n +6，y 2）三点，对称轴是直线x ＝1．关于x 的方程ax 2+bx +c ＝x 有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若n ＜﹣5，试比较y 1与y 2的大小；（3）若B ，C 两点在直线x ＝1的两侧，且y 1＞y 2，求n 的取值范围．8．（2020•盐城）若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0）（0＜x 1＜x 2），且经过点A （0，2）．过点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与该函数的图象交于点B （异于点A ）．满足△ACN 是等腰直角三角形，记△AMN 的面积为S 1，△BMN 的面积为S 2，且S 2=52S 1．（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）；（2）求直线l 相应的函数表达式；（3）求该二次函数的表达式． 9．（2020•苏州）如图，二次函数y ＝x 2+bx 的图象与x 轴正半轴交于点A ，平行于x 轴的直线l 与该抛物线交于B 、C 两点（点B 位于点C 左侧），与抛物线对称轴交于点D （2，﹣3）．（1）求b 的值；（2）设P 、Q 是x 轴上的点（点P 位于点Q 左侧），四边形PBCQ 为平行四边形．过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与抛物线交于点P '（x 1，y 1）、Q '（x 2，y 2）．若|y 1﹣y 2|＝2，求x 1、x 2的值．四．二次函数的应用（共4小题）10．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．11．（2020•宿迁）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：55 60 65 70销售单价x（元/千克）销售量y（千克）70 60 50 40（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？12．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B 地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．（1）小丽出发时，小明离A地的距离为m．（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？13．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD 和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y；（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．五．二次函数综合题（共8小题）14．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a ＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．（1）当a ＝﹣1时，求点N 的坐标及AA AA 的值； （2）随着a 的变化，AA AA 的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图②，E 是x 轴上位于点B 右侧的点，BC ＝2BE ，DE 交抛物线于点F ．若FB ＝FE ，求此时的二次函数表达式．15．（2020•宿迁）二次函数y ＝ax 2+bx +3的图象与x 轴交于A （2，0），B （6，0）两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E 的坐标；（2）如图①，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时，求点D 的坐标；（3）如图②，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接OP ，取OP 中点Q ，连接QC ，QE ，CE ，当△CEQ 的面积为12时，求点P 的坐标． 16．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝﹣ax 2+2ax +3a （a ＞0）的图象交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，它的对称轴交x 轴于点E ．过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ，连接DE 并延长交y 轴于点F ，交抛物线于点G ．直线AF 交CD 于点H ，交抛物线于点K ，连接HE 、GK ．（1）点E 的坐标为： ；（2）当△HEF 是直角三角形时，求a 的值；（3）HE 与GK 有怎样的位置关系？请说明理由．17．（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P 是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．（1）b＝，n＝；（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．18．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．19．（2020•泰州）如图，二次函数y 1＝a （x ﹣m ）2+n ，y 2＝6ax 2+n （a ＜0，m ＞0，n ＞0）的图象分别为C 1、C 2，C 1交y 轴于点P ，点A 在C 1上，且位于y 轴右侧，直线P A 与C 2在y 轴左侧的交点为B ．（1）若P 点的坐标为（0，2），C 1的顶点坐标为（2，4），求a 的值；（2）设直线P A 与y 轴所夹的角为α．①当α＝45°，且A 为C 1的顶点时，求am 的值；②若α＝90°，试说明：当a 、m 、n 各自取不同的值时，AA AA 的值不变；（3）若P A ＝2PB ，试判断点A 是否为C 1的顶点？请说明理由．20．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy 中，把与x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L 1：y =12x 2−32x ﹣2的顶点为D ，交x 轴于点A 、B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ．抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”，其顶点为P ．（1）若抛物线L 2经过点（2，﹣12），求L 2对应的函数表达式；（2）当BP ﹣CP 的值最大时，求点P 的坐标；（3）设点Q 是抛物线L 1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ 与△ABC 相似，求其“共根抛物线”L 2的顶点P 的坐标． 21．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线OA 交二次函数y =14x 2的图象于点A ，∠AOB＝90°，点B 在该二次函数的图象上，设过点（0，m ）（其中m ＞0）且平行于x 轴的直线交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，以线段OM 、ON 为邻边作矩形OMPN ．（1）若点A 的横坐标为8．①用含m的代数式表示M的坐标；②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．2020年江苏省中考数学试题分类（4）——二次函数参考答案与试题解析一．二次函数的性质（共4小题）1．【解答】解：∵点P （m ，n ）在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2+ax +4的图象上，∴a ＝0，∴n ＝m 2+4，∴m ﹣n ＝m ﹣（m 2+4）＝﹣m 2+m ﹣4＝﹣（m −12）2−154，∴当m =12时，m ﹣n 取得最大值，此时m ﹣n =−154，故选：C ．2．【解答】解：∵图象的对称轴是y 轴，∴函数表达式y ＝x 2（答案不唯一），故答案为：y ＝x 2（答案不唯一）．3．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x =−122×(−16)=32， 设点M 的坐标为：（32，m ），当∠ABM ＝90°，过B 作BD 垂直对称轴于D ，则∠1＝∠2，∴tan ∠2＝tan ∠1=63=2， ∴AA AA =2，∴DM ＝3， ∴M （32，6），当∠M ′AB ＝90°时，∴tan ∠3=A′A AA =tan ∠1=63=2， ∴M ′N ＝9， ∴M ′（32，﹣9），综上所述，点M 的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．故答案为：（32，﹣9）或（32，6）． 4．【解答】解：∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x 2+2x +1﹣1）+3＝﹣（x +1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．二．二次函数图象与几何变换（共2小题）5．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y ＝（x ﹣1）2+2+3，即y ＝（x ﹣1）2+5；故选：D ．6．【解答】解：①∵二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m +1（m 为常数）与函数y ＝﹣x 2的二次项系数相同， ∴该函数的图象与函数y ＝﹣x 2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1中，令x ＝0，则y ＝﹣m 2+m 2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；③∵y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝m ，当x ＞m 时，y 随x 的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x ＝m 时，函数y 有最大值m 2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y ＝x 2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．三．抛物线与x 轴的交点（共3小题）7．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （2，0），∴0＝4a +2b +c ①，∵对称轴是直线x ＝1，∴−A 2A =1②， ∵关于x 的方程ax 2+bx +c ＝x 有两个相等的实数根，∴△＝（b ﹣1）2﹣4ac ＝0③，由①②③可得：{A =−12A =1A =0，∴抛物线的解析式为y =−12x 2+x ；（2）∵n ＜﹣5，∴3n ﹣4＜﹣19，5n +6＜﹣19∴点B ，点C 在对称轴直线x ＝1的左侧，∵抛物线y =−12x 2+x ，∴−12＜0，即y 随x 的增大而增大，∵（3n ﹣4）﹣（5n +6）＝﹣2n ﹣10＝﹣2（n +5）＞0，∴3n ﹣4＞5n +6，∴y 1＞y 2；（3）若点B 在对称轴直线x ＝1的左侧，点C 在对称轴直线x ＝1的右侧时，由题意可得{3A −4＜15A +6＞11−(3A −4)＜5A +6−1， ∴0＜n ＜53， 若点C 在对称轴直线x ＝1的左侧，点B 在对称轴直线x ＝1的右侧时，由题意可得：{3A −4＞15A +6＜13A −4−1＜1−(5A +6)，∴不等式组无解，综上所述：0＜n ＜53．8．【解答】解：（1）如图，如二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0）（0＜x 1＜x 2），且经过点A （0，2）．∴y ＝ax 2+bx +2，令y ＝0，则ax 2+bx +2＝0，∵0＜x 1＜x 2，∴2A ＞0，∴a ＞0，∴抛物线开口向上，故答案为：上；（2）①若∠ACN ＝90°，则C 与O 重合，直线l 与抛物线交于A 点，因为直线l 与该函数的图象交于点B （异于点A ），所以不合题意，舍去；②若∠ANC ＝90°，则C 在x 轴的下方，与题意不符，舍去；③若∠CAN ＝90°，则∠ACN ＝∠ANC ＝45°，AO ＝CO ＝NO ＝2，∴C （﹣2，0），N （2，0），设直线l 为y ＝kx +b ，将A （0，2）C （﹣2，0）代入得{A =2−2A +A =0， 解得{A =1A =2， ∴直线l 相应的函数表达式为y ＝x +2；（3）过B 点作BH ⊥x 轴于H ，S 1=12AA ⋅AA ，S 2=12AA ⋅AA ，∵S 2=52S 1， ∴BH =52OA ， ∵OA ＝2，∴BH ＝5，即B 点的纵坐标为5，代入y ＝x +2中，得x ＝3，∴B （3，5），将A 、B 、N 三点的坐标代入y ＝ax 2+bx +c 得{A =24A +2A +A =09A +3A +A =5，解得{A =2A =−5A =2，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2﹣5x +2．9．【解答】解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D （2，﹣3），故抛物线的对称轴为x ＝2，即−12b ＝2，解得：b ＝﹣4，（2）∵b ＝﹣4∴抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣4x ；把y ＝﹣3代入y ＝x 2﹣4x 并解得x ＝1或3，故点B 、C 的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC ＝2，∵四边形PBCQ 为平行四边形，∴PQ ＝BC ＝2，故x 2﹣x 1＝2，又∵y 1＝x 12﹣4x 1，y 2＝x 22﹣4x 2，|y 1﹣y 2|＝2，故|（x 12﹣4x 1）﹣（x 22﹣4x 2）|＝2，|x 1+x 2﹣4|＝1．∴x 1+x 2＝5或x 1+x 2＝3，由{A 2−A 1=2A 1+A 2=5，解得{A 1=32A 2=72； 由{A 2−A 1=2A 1+A 2=3，解得{A 1=12A 2=52． 四．二次函数的应用（共4小题）10．【解答】解：根据题意：y ＝﹣0.2x 2+1.5x ﹣2，当x =−1.52×(−0.2)=3.75时，y 取得最大值， 则最佳加工时间为3.75min ．故答案为：3.75．11．【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：{55A +A =7060A +A =60， 解得：{A =−2A =180． ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝﹣2x +180．（2）由题意得：（x ﹣50）（﹣2x +180）＝600，整理得：x 2﹣140x +4800＝0，解得x 1＝60，x 2＝80．答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．（3）设当天的销售利润为w 元，则：w ＝（x ﹣50）（﹣2x +180）＝﹣2（x ﹣70）2+800，∵﹣2＜0，∴当x ＝70时，w 最大值＝800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．12．【解答】解：（1）∵y 1＝﹣180x +2250，y 2＝﹣10x 2﹣100x +2000，∴当x ＝0时，y 1＝2250，y 2＝2000，∴小丽出发时，小明离A 地的距离为2250﹣2000＝250（m ），故答案为：250；（2）设小丽出发第xmin 时，两人相距sm ，则s ＝（﹣180x +2250）﹣（﹣10x 2﹣100x +2000）＝10x 2﹣80x +250＝10（x ﹣4）2+90，∴当x ＝4时，s 取得最小值，此时s ＝90，答：小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m ．13．【解答】解：（1）当x ＝5时，EF ＝20﹣2x ＝10，EH ＝30﹣2x ＝20，y ＝2×12（EH +AD ）×20x +2×12（GH +CD ）×x ×60+EF •EH ×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；（2）EF ＝（20﹣2x ）米，EH ＝（30﹣2x ）米，参考（1），由题意得：y ＝（30+30﹣2x ）•x •20+（20+20﹣2x ）•x •60+（30﹣2x ）（20﹣2x ）•40＝﹣400x +24000（0＜x ＜10）；（3）S 甲＝2×12（EH +AD ）×x ＝（30﹣2x +30）x ＝﹣2x 2+60x ， 同理S 乙＝﹣2x 2+40x ，∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴﹣2x 2+60x ﹣（﹣2x 2+40x ）≤120，解得：x ≤6，故0＜x ≤6，而y ＝﹣400x +24000随x 的增大而减小，故当x ＝6时，y 的最小值为21600，即三种花卉的最低种植总成本为21600元．五．二次函数综合题（共8小题）14．【解答】解：（1）分别过点M 、N 作MG ⊥CD 于点E ，NT ⊥DC 于点T ，∵MG ∥TN ∥x 轴，∴△DMG ∽△DAC ，△DCB ∽△DTN ，∴AA AA =AA AA ，AA AA =AA AA ，∵a ＝﹣1，则y ＝﹣x 2+2x +c ，将M （﹣1，1）代入上式并解得：c ＝4，∴抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +4，则点D （1，5），N （4，﹣4），则MG ＝2，DG ＝4，DC ＝5，TN ＝3，DT ＝9，∴2AA =45，AA 3=59，解得：AC =52，BC =53， ∴AA AA =32；（2）不变，理由：第（2）问有错误MG ＝2，DG ＝4a∵y ＝ax 2﹣2ax +c 过点M （﹣1，1），则a +2a +c ＝1，解得：c ＝1﹣3a ，∴y ＝ax 2﹣2ax +（1﹣3a ），∴点D （1，1﹣4a ），N （4，1+5a ），∴MG ＝2，DG ＝4a ，DC ＝1﹣4a ，FN ＝3，DF ＝﹣9a ，由（1）的结论得：AC =1−4A −2A ，BC =1−4A −3A ，∴AA AA =32；（3）过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，则FH ∥l ，则△FHE ∽△DCE ，∵FB ＝FE ，FH ⊥BE ，∴BH ＝HE ，∵BC ＝2BE ，则CE ＝6HE ，∵CD ＝1﹣4a ，∴FH =1−4A 6， ∵BC =4A −13A ， ∴CH =54×4A −13A =20A −512A ，∴F （53−512A +1，16−23a ）， 将点F 的坐标代入y ＝ax 2﹣2ax +（1﹣3a ）＝a （x +1）（x ﹣3）+1得： 16−23a ＝a （53−512A +1+1）（53−512A +1﹣3）+1，解得：a =−54或14（舍弃）， 经检验a =−54，故y =−54x 2+52x +194． 15．【解答】解：（1）将A （2，0），B （6，0）代入y ＝ax 2+bx +3， 得{4A +2A +3=036A +6A +3=0， 解得{A =14A =−2 ∴二次函数的解析式为y =14A 2−2x +3．∵y =14A 2−2A +3=14(A −4)2−1，∴E （4，﹣1）．（2）如图1，图2，连接CB ，CD ，由点C 在线段BD 的垂直平分线CN 上，得CB ＝CD ．设D （4，m ），∵C （0，3），由勾股定理可得：42+（m ﹣3）2＝62+32．解得m ＝3±√29．∴满足条件的点D 的坐标为（4，3+√29）或(4，3−√29)．（3）如图3，设CQ 交抛物线的对称轴于点M ，设P （n ，14A 2−2n +3），则Q （12A ，18A 2−A +32）， 设直线CQ 的解析式为y ＝kx +3，则18A 2−A +32=12nk +3． 解得k =14A −2−3A ，于是CQ ：y ＝（14A −2−3A ）x +3，当x ＝4时，y ＝4（14A −2−3A ）+3＝n ﹣5−12A， ∴M （4，n ﹣5−12A ），ME ＝n ﹣4−12A ．∵S △CQE ＝S △CEM +S △QEM =12×12A ⋅AA =12⋅12A ⋅(A −4−12A )=12． ∴n 2﹣4n ﹣60＝0，解得n ＝10或n ＝﹣6，当n ＝10时，P （10，8），当n ＝﹣6时，P （﹣6，24）．综合以上可得，满足条件的点P 的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．16．【解答】解：（1）对于抛物线y ＝﹣ax 2+2ax +3a ，对称轴x =−2A −2A=1， ∴E （1，0），故答案为（1，0）．（2）如图，连接EC ．对于抛物线y ＝﹣ax 2+2ax +3a ，令x ＝0，得到y ＝3a ，令y ＝0，﹣ax 2+2ax +3a ＝0，解得x ＝﹣1或3，∴A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3a ），∵C ，D 关于对称轴对称，∴D （2，3a ），CD ＝2，EC ＝DE ，当∠HEF ＝90°时，∵ED ＝EC ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∵∠DCF ＝90°，∴∠CFD +∠EDC ＝90°，∠ECF +∠ECD ＝90°，∴∠ECF ＝∠EFC ，∴EC ＝EF ＝DE ，∵EA ∥DH ，∴F A ＝AH ，∴AE =12DH ，∵AE ＝2，∴DH ＝4，∵HE ⊥DFEF ＝ED ，∴FH ＝DH ＝4，在Rt △CFH 中，则有42＝22+（6a ）2，解得a =√33或−√33（不符合题意舍弃），∴a =√33．当∠HFE ＝90°时，∵OA ＝OE ，FO ⊥AE ，∴F A ＝FE ，∴OF ＝OA ＝OE ＝1，∴3a ＝1，∴a =13， 综上所述，满足条件的a 的值为√33或13．（3）结论：EH ∥GK ．理由：由题意A （﹣1，0），F （0，﹣3a ），D （2，3a ），H （﹣2，3a ），E （1，0），∴直线AF 的解析式y ＝﹣3ax ﹣3a ，直线DF 的解析式为y ＝3ax ﹣3a ，由{A =−3AA −3A A =−AA 2+2AA +3A ，解得{A =−1A =0或{A =6A =−21A ， ∴K （6，﹣21a ），由{A =3AA −3A A =−AA 2+2AA +3A ，解得{A =2A =3A 或{A =−3A =−12A ， ∴G （﹣3，﹣12a ），∴直线HE 的解析式为y ＝﹣ax +a ，直线GK 的解析式为y ＝﹣ax ﹣15a ，∵k 相同，a ≠﹣15a ，∴HE ∥GK ．17．【解答】解：（1）将点A （﹣1，2）代入二次函数y ＝﹣x 2+bx +4中，得﹣1﹣b +4＝2，∴b ＝1，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+x +4，将点B （3，n ）代入二次函数y ＝﹣x 2+x +4中，得n ＝﹣9+3+4＝﹣2，故答案为：1，﹣2；（2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +a ，由（1）知，点B （3，﹣2），∵A （﹣1，2），∴{−A +A =23A +A =−2， ∴{A =−1A =1， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +1，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+x +4，∵点P （m ，0），∴M （m ，﹣m +1），N （m ，﹣m 2+m +4），∵点N 在点M 的上方，且MN ＝3，∴﹣m 2+m +4﹣（﹣m +1）＝3，∴m ＝0或m ＝2；（3）①如图1，由（2）知，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +1，∴直线CD 的解析式为y ＝﹣x +1+4＝﹣x +5，令y ＝0，则﹣x +5＝0，∴x ＝5，∴C （5，0），∵A （﹣1，2），B （3，﹣2），∴直线AC 的解析式为y =−13x +53，直线BC 的解析式为y ＝x ﹣5，过点N 作y 轴的平行线交AC 于K ，交BC 于H ，∵点P （m ，0），∴N （m ，﹣m 2+m +4），K （m ，−13m +53），H （m ，m ﹣5），∴NK ＝﹣m 2+m +4+13m −53=−m 2+43m +73，NH ＝﹣m 2+9，∴S 2＝S △NAC =12NK ×（x C ﹣x A ）=12（﹣m 2+43m +73）×6＝﹣3m 2+4m +7，S 1＝S △NBC =12NH ×（x C ﹣x B ）＝﹣m 2+9，∵S 1﹣S 2＝6，∴﹣m 2+9﹣（﹣3m 2+4m +7）＝6，∴m ＝1+√3（由于点N 在直线AC 上方，所以，舍去）或m ＝1−√3；∴S 2＝﹣3m 2+4m +7＝﹣3（1−√3）2+4（1−√3）+7＝2√3−1，S 1＝﹣m 2+9＝﹣（1−√3）2+9＝2√3+5；②如图2，记直线AB 与x 轴，y 轴的交点为I ，L ，由（2）知，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +1，∴I （1，0），L （0，1），∴OL ＝OI ，∴∠ALD ＝∠OLI ＝45°，∴∠AOD +∠OAB ＝45°，过点B 作BG ∥OA ，∴∠ABG ＝∠OAB ，∴∠AOD +∠ABG ＝45°，∵∠FBA ＝∠ABG +∠FBG ，∠FBA +∠AOD ﹣∠BFC ＝45°，∴∠ABG +∠FBG +∠AOD ﹣∠BFC ＝45°，∴∠FBG ＝∠BFC ，∴BG ∥CF ，∴OA ∥CF ，∵A （﹣1，2），∴直线OA 的解析式为y ＝﹣2x ，∵C （5，0），∴直线CF 的解析式为y ＝﹣2x +10，过点A ，F 分别作过点M 平行于x 轴的直线的垂线，交于点Q ，S ，由旋转知，AM ＝MF ，∠AMF ＝90°，∴△AMF 是等腰直角三角形，∴∠F AM ＝45°，∵∠AIO ＝45°，∴∠F AM ＝∠AIO ，∴AF ∥x 轴，∴点F 的纵坐标为2，∴F （4，2），∴直线OF 的解析式为y =12x ①，∵二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+x +4②， 联立①②解得，{A =1+√654A =1+√658或{A =1−√654A =1−√658， ∴直线OF 与该二次函数图象交点的横坐标为1+√654或1−√654．18．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x+3，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AAAA=13，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC=√9+9=3√2，CD=√1+1=√2，BD=√(4−2)2+(3+1)2=2√5，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan ∠DBC =AA AA =√23√2=13=tan ∠ACE ， ∴∠ACE ＝∠DBC ，∴∠ACE +∠ECB ＝∠DBC +∠BCF ，∴∠ACB ＝∠CFD ，又∵∠CQD ＝∠ACB ，∴点F 与点Q 重合，∴点P 是直线CF 与抛物线的交点，∴0＝x 2﹣4x +3，∴x 1＝1，x 2＝3，∴点P （3，0）；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH ⊥DB 于H ，在线段BH 的延长线上截取HF ＝QH ，连接CQ 交抛物线于点P ，∵CH ⊥DB ，HF ＝QH ，∴CF ＝CQ ，∴∠CFD ＝∠CQD ，∴∠CQD ＝∠ACB ，∵CH ⊥BD ，∵点B （4，3），点D （2，﹣1），∴直线BD 解析式为：y ＝2x ﹣5，∴点F （52，0）， ∴直线CH 解析式为：y =−12x +12， ∴{A =−12A +12A =2A −5，解得{A =115A =−35， ∴点H 坐标为（115，−35）， ∵FH ＝QH ，∴点Q （1910，−65）， ∴直线CQ 解析式为：y =−43x +43， 联立方程组{A =−43A +43A =A 2−4A +3，解得：{A 1=1A 1=0或{A 2=53A 2=−89，∴点P （53，−89）； 综上所述：点P 的坐标为（3，0）或（53，−89）；（3）如图，设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH ⊥BD 于H ，过点N 作MN ⊥x 轴，过点E 作EM ⊥MN ，连接CG ，GF ，∵点A （0，3），点C （1，0），∴直线AC 解析式为：y ＝﹣3x +3，∴{A =−3A +3A =2A −5， ∴{A =85A =−95， ∴点N 坐标为（85，−95），∵点H 坐标为（115，−35）， ∴CH 2＝（115−1）2+（35）2=95，HN 2＝（115−85）2+（−35+95）2=95， ∴CH ＝HN ，∴∠CNH ＝45°，∵点E 关于直线BD 对称的点为F ，∴EN ＝NF ，∠ENB ＝∠FNB ＝45°，∴∠ENF ＝90°，∴∠ENM +∠FNM ＝90°，又∵∠ENM +∠MEN ＝90°，∴∠MEN ＝∠FNM ，∴△EMN ≌△NKF （AAS ）∴EM ＝NK =95，MN ＝KF ，∴点E 的横坐标为−15，∴点E （−15，185）， ∴MN =275=KF ，∴CF =85+275−1＝6， ∵点F 关于直线BC 对称的点为G ，∴FC ＝CG ＝6，∠BCF ＝∠GCB ＝45°，∴∠GCF ＝90°，∴点G （1，6），∴AG =√12+(6−3)2=√10．19．【解答】解：（1）由题意m ＝2，n ＝4，∴y 1＝a （x ﹣2）2+4，把（0，2）代入得到a =−12．（2）①如图1中，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点P 作PM ⊥AN 于M ． ∵y 1＝a （x ﹣m ）2+n ＝ax 2﹣2amx +am 2+n ，∴P （0，am 2+n ），∵A （m ，n ），∴PM ＝m ，AN ＝n ，∵∠APM ＝45°，∴AM ＝PM ＝m ，∴m +am 2+n ＝n ，∵m ＞0，∴am ＝﹣1．②如图2中，由题意AB ⊥y 轴， ∵P （0，am 2+n ），当y ＝am 2+n 时，am 2+n ＝6ax 2+n ，解得x ＝±√66m ， ∴B （−√66m ，am 2+n ），∴PB =√66m ，∵AP ＝2m ，∴AA AA =√66A =2√6．（3）如图3中，过点A 作AH ⊥x 轴于H ，过点P 作PK ⊥AH 于K ，过点B 作BE ⊥KP 交KP 的延长线于E ．设B （b ，6ab 2+n ），∵P A ＝2PB ，∴点A 的横坐标为﹣2b ，∴A [﹣2b ，a （﹣2b ﹣m ）2+n ]，∵BE ∥AK ， ∴AAAA =AAAA =12， ∴AK ＝2BE ，∴a （﹣2b ﹣m ）2+n ﹣am 2﹣n ＝2（am 2+n ﹣6ab 2﹣n ），整理得：m 2﹣2bm ﹣8b 2＝0，∴（m ﹣4b ）（m +2b ）＝0，∵m ﹣4b ＞0，∴m +2b ＝0，∴m ＝﹣2b ，∴A （m ，n ），∴点A 是抛物线C 1的顶点．20．【解答】解：（1）当y ＝0时，12x 2−32x ﹣2＝0，解得x ＝﹣1或4，∴A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2），由题意设抛物线L 2的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4），把（2，﹣12）代入y ＝a （x +1）（x ﹣4），﹣12＝﹣6a ，解得a ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝2（x +1）（x ﹣4）＝2x 2﹣6x ﹣8．（2）∵抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”，A （﹣1，0），B （4，0），∴抛物线L 1，L 2的对称轴是直线x =32， ∴点P 在直线x =32上，∴BP ＝AP ，如图1中，当A ，C ，P 共线时，BP ﹣PC 的值最大，此时点P 为直线AC 与直线x =32的交点，∵直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，∴P （32，﹣5）（3）由题意，AB ＝5，CB ＝2√5，CA =√5，∴AB 2＝BC 2+AC 2，∴∠ACB ＝90°，CB ＝2CA ，∵y =12x 2−32x ﹣2=12（x −32）2−258，∴顶点D （32，−258）， 由题意，∠PDQ 不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ ＝90°时，①如图3﹣1中，当△QDP ∽△ABC 时，AA AA =AA AA =12， 设Q （x ，12x 2−32x ﹣2），则P （32，12x 2−32x ﹣2），∴DP =12x 2−32x ﹣2﹣（−258）=12x 2−32x +98，QP ＝x −32， ∵PD ＝2QP ，∴2x ﹣3=12x 2−32x +98，解得x =112或32（舍弃）， ∴P （32，398）．②如图3﹣2中，当△DQP ∽△ABC 时，同法可得PQ ＝2PD ，x −32=x 2﹣3x +94，解得x =52或32（舍弃）， ∴P （32，−218）． 第二种情形：当∠DQP ＝90°．①如图3﹣3中，当△PDQ ∽△ABC 时，AA AA =AA AA =12， 过点Q 作QM ⊥PD 于M ．则△QDM ∽△PDQ ，∴AA AA =AA AA =12，由图3﹣3可知，M （32，398），Q （112，398）， ∴MD ＝8，MQ ＝4，∴DQ ＝4√5，由AA AA =AA AA ，可得PD ＝10， ∵D （32，−258） ∴P （32，558）．②当△DPQ ∽△ABC 时，过点Q 作QM ⊥PD 于M ．同法可得M （32，−218），Q （52，−218）， ∴DM =12，QM ＝1，QD =√52，由AA AA =AA AA ，可得PD =52， ∴P （32，−58）． 综上所述：P 点坐标为（32，398）或（32，−218）或（32，558）或（32，−58）． 21．【解答】解：（1）①∵点A 在y =14x 2的图象上，横坐标为8， ∴A （8，16），∴直线OA 的解析式为y ＝2x ，∵点M 的纵坐标为m ，∴M （12m ，m ）．②假设能在抛物线上，连接OP ．∵∠AOB ＝90°，∴直线OB 的解析式为y =−12x ，∵点N 在直线OB 上，纵坐标为m ，∴N （﹣2m ，m ），∴MN 的中点的坐标为（−34m ，m ），∴P （−32m ，2m ），把点P 坐标代入抛物线的解析式得到m =329．（2）①当点A 在y 轴的右侧时，设A （a ，14a 2），∴直线OA 的解析式为y =14ax ， ∴M （8A，2），∵OB ⊥OA ， ∴直线OB 的解析式为y =−4A x ，可得N （−A 2，2），∴P （8A −A 2，4），代入抛物线的解析式得到，8A −A 2=±4，解得，a ＝4√2±4，∴直线OA 的解析式为y ＝（√2±1）x ．②当点A 在y 轴的左侧时，即为①中点B 的位置，∴直线OA的解析式为y=−4A x＝﹣（√2±1）x，综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（√2±1）x或y＝﹣（√2±1）x．。

2020-2021中考数学二次函数综合经典题附答案解析

2020-2021中考数学二次函数综合经典题附答案解析

2020-2021中考数学二次函数综合经典题附答案解析一、二次函数1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332t ≤<或72t =. 【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=2a 12a--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．【详解】解：（1）∵2a x 12a-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，∴抛物线过点()1,4.得a 2a 34-+=，解得a 1=-.∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.C 点坐标为()0,3，顶点D 的坐标为()1,4.（2）①∵PC PD CD -≤，∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===∴PC PD -.易得直线CD 的方程为y x 3=+.把()P t,0代入，得t 3=-.∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.②2y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩ 设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-. ∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=. 当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点. 所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （3）将y 2x 2t =-+带入()2y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.令288t 0-=，解得7t 2=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2=. 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）的对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线交x 轴于A 、C 两点，与直线y ＝x ﹣1交于A 、B 两点，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 在直线AB 上方的抛物线上运动，若△ABP 的面积最大，求此时点P 的坐标． （3）在平面直角坐标系中，以点B 、E 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D 的坐标．【答案】(1)y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)点P(32-，154)；(3)符合条件的点D 的坐标为D 1(0，3)，D 2(﹣6，﹣3)，D 3(﹣2，﹣7)．【解析】【分析】 (1)令y ＝0，求出点A 的坐标，根据抛物线的对称轴是x ＝﹣1，求出点C 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m ，﹣m 2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B 的坐标，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ，利用S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ，用含m 的式子表示出△ABP 的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P 的坐标；(3)求出点E 的坐标，然后求出直线BC 、直线BE 、直线CE 的解析式，再根据以点B 、E 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D 1D 2、直线D 1D 3、直线D 2D 3的解析式，即可求出交点坐标．【详解】解：(1)令y ＝0，可得：x ﹣1＝0，解得：x ＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y ＝ax 2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x ＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，∴309330a b a b ++⎧⎨-+⎩＝＝ ，解得：12a b -⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)∵点P 在直线AB 上方的抛物线上运动，∴设点P(m ，﹣m 2﹣2m+3)，∵抛物线与直线y ＝x ﹣1交于A 、B 两点，∴2231y x x y x ⎧--+⎨-⎩＝＝ ，解得：1145x y -⎧⎨-⎩＝＝，2210x y ＝，＝⎧⎨⎩ ∴点B(﹣4，﹣5)，如图，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ， 则点F(m ，m ﹣1)，∴PF ＝﹣m 2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m 2﹣3m+4，∴S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ＝12(﹣m 2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m 2﹣3m+4)(1﹣m) ＝-52（m+32 ）2+ 1258， ∴当m ＝32-时，P 最大， ∴点P(32-，154). (3)当x ＝﹣1时，y ＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E(﹣1，﹣2)，如图，直线BC 的解析式为y ＝5x+15，直线BE 的解析式为y ＝x ﹣1，直线CE 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，∵以点B 、C 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D 1D 3的解析式为y ＝5x+3，直线D 1D 2的解析式为y ＝x+3，直线D 2D 3的解析式为y ＝﹣x ﹣9，联立533y x y x +⎧⎨+⎩＝＝ 得D 1(0，3)， 同理可得D 2(﹣6，﹣3)，D 3(﹣2，﹣7)，综上所述，符合条件的点D 的坐标为D 1(0，3)，D 2(﹣6，﹣3)，D 3(﹣2，﹣7)．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．3．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（14，y1），D（34，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【解析】【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，∴M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，∴点M在直线y＝4x+1上；（2）如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴A（5，0）．由图象，得当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）如图2，∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A（5，0），B（0，5）得直线AB的解析式为y＝﹣x+5，联立EF，AB得方程组415 y xy x=+⎧⎨=-+⎩，解得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点E（45，215），F（0，1）．点M在△AOB内，1＜4b+1＜215，∴0＜b＜45．当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣14＝34﹣b，∴b＝12，且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，综上：①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，交x轴正半轴于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；（3）将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S与m的函数表达式是S＝252m m--，S的最大值是25 8，此时动点M的坐标是（52，74）；（3）点M在整个运动过程中用时最少是823秒．【解析】【分析】（1）首先求出B点的坐标，根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值，进而即可计算出二次函数的解析式;（2）计算出C点的坐标，设出M点的坐标，再根据△ABM的面积为S＝S四边形OAMB﹣S△AOB ＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.（3）首先证明△OHA′∽△OA′B，再结合A′H+A′C≥HC即可计算出t的最小值.【详解】（1）将x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，∴点B的坐标为（0，3），∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，∴3＝a+4，得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）将y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，∴点C的坐标为（3，0），∵点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，点M的横坐标为m，∴0＜m ＜3，点M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3）， 将y ＝0代入y ＝﹣3x +3，得x ＝1， ∴点A 的坐标（1，0）， ∵△ABM 的面积为S ，∴S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ＝()2123313222m m m ⨯-++⨯⨯+-， 化简，得S ＝252m m --＝21525228m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴当m ＝52时，S 取得最大值，此时S ＝258，此时点M 的坐标为（52，74）， 即S 与m 的函数表达式是S ＝252m m--，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是（52，74）； （3）如右图所示，取点H 的坐标为（0，13），连接HA ′、OA ′， ∵∠HOA ′＝∠A ′OB ，13OH OA '=，13OA OB '=， ∴△OHA ′∽△OA ′B ，∴3BA A H''=， 即3BA A H ''=，∵A ′H +A ′C ≥HC ＝22182333⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴t ≥823， 即点M 在整个运动过程中用时最少是82秒．【点睛】本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.6．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.7．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．考点：二次函数综合题．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴10930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．抛物线的对称轴为x＝222(1)ba-=-⨯-＝1．当x＝1时，y＝4，∴点D的坐标为（1，4）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，则430 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，则y＝﹣2×2+6＝2，∴点P的坐标为（2，2）．【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．9．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（12，92），对称轴交AB于点N．①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．【解析】【分析】（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a21922x⎛⎫-+⎪⎝⎭，把点B的坐标代入求得a的值即可；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝32，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD ＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．【详解】解：①如图1，∵顶点M的坐标是19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴设抛物线解析式为y＝21922a x⎛⎫-+⎪⎝⎭（a≠0）．∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．又∵点B在该抛物线上，∴21922a⎛⎫-+⎪⎝⎭＝4，解得a＝﹣2．故该抛物线的解析式为：y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭＝﹣2x2+2x+4；②不存在．理由如下：∵抛物线y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭的对称轴是直线x＝12，且该直线与直线AB交于点N，∴点N的坐标是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴93322MN=-=．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝32．解得 m1＝12（舍去），m2＝32．此时P（32，1）．∵PN∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形．∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝12OB•OA＝12×4×2＝4．则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．S△ABD＝12（y D﹣y P）（x A﹣x B）＝y D﹣y P＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．10．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=， 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =，∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况，∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154， 当点N 的纵坐标为154时，如点N 2，此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x =-=+ ∴315(114,)4N +-，415(114,)4N --， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，∵115(1,)4N -，D(3，154)， ∴N 1D=4，∴BM 1=N 1D=4，∴OM 1=OB+BM 1=8，∴M 1(8，0)， 综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.11．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y （件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y10000x80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b300006k b20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k10000b80000=-⎧⎨=⎩。

2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总及答案

2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总及答案

2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总及答案一、二次函数1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）． 【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC V V 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， 故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ， ∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，∴∠BDE=∠BCO ，∵∠BDE=∠PDF ，∴∠PDF=∠BCO ，∵∠PFD=∠BOC=90°，∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BCV V 的周长的周长， 由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故△BOC 的周长=12， ∴2334125m m L -+=， 即L=﹣95（m ﹣2）2+365，∴当m=2时，L 最大=365； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3， 当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ， 当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，∴∠PCQ=∠CPD ，∴∠PCD=∠CPD ，∴CD=PD ，∴CD=DP=PQ=QC ，∴四边形CDPQ 是菱形，过D 作DG ⊥y 轴于点G ，设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ， 而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，∴﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②， 解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去）， 当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．2．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y＝﹣20x+500，（x≥6）；（2）当x＝15.5时，w的最大值为1805元；（3）当x＝13时，w＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【解析】【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b即可求解；（2）由题意得：w＝y（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），∵﹣20＜0，故w有最大值，即可求解；（3）当x＝15.5时，y＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，当x＝13时，既能销售完又能获得最大利润．【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩， 即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （1, 0）、C （3, 0）、D （3, 4）．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD 向点D 运动，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥x 轴交抛物线于点M ，交AC 于点N ．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）2085-或20 13．【解析】（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x －1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），∵抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，代入点C（3, 0），可得a＝－1．∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）∵P（112t+，４），将112x t=+代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝2144t-，∴M （112t +，2144t -）， 设直线AC 的解析式为，将A （１,４），C （３,０）代入，得：， 将112x t =+代入得， ∴N （112t +，）， ∴MN， ∴， ∴当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1．（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，∵Ｎ（112t +，），P （112t +，４）， ∴P Ｎ＝４—（）＝＝CQ ，又∵PN ∥CQ ， ∴四边形PNCQ 为平行四边形，∴当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形，PQ 2＝PD 2+DQ 2 ＝，∴， 整理，得240800t t -+=．解得12085t =-，22085t =+（舍去）；②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形，NQ 2＝CQ 2，得：．整理，得213728000t t -+=．()()1320400t t --=．所以12013t =，（舍去）．“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.4．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若25MN =C 的值；（Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解;(3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解.【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点， ∴一元二次方程260x x c -++=有实根。

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2020年中考数学试题分类汇编之13二次函数一、选择题1．（2020安徽）（4分）如图，ABC ∆和DEF ∆都是边长为2的等边三角形，它们的边BC ，EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合．现将ABC ∆在直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动．在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．2.（2020福建）已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22y ax ax =-上的点，下列命题正确的是（ ）A. 若12|1||1|->-x x ，则12y y >B. 若12|1||1|->-x x ，则12y y <C. 若12|1||1|-=-x x ，则12y y =D. 若12y y =，则12x x =3．（2020陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m （m ＞1）沿y 轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020哈尔滨）（3分）将抛物线2y x =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为( ) A ．2(3)5y x =++ B ．2(3)5y x =-+ C ．2(5)3y x =++ D ．2(5)3y x =-+5．(2020杭州)（3分）设函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ，h ，k 是实数，a ≠0），当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，（ ） A ．若h ＝4，则a ＜0 B ．若h ＝5，则a ＞0C ．若h ＝6，则a ＜0D ．若h ＝7，则a ＞06．(2020杭州)（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝x 2+ax +1，y 2＝x 2+bx +2，y 3＝x 2+cx +4，其中a ，b ，c 是正实数，且满足b 2＝ac ．设函数y 1，y 2，y 3的图象与x 轴的交点个数分别为M 1，M 2，M 3，（ ） A ．若M 1＝2，M 2＝2，则M 3＝0 B ．若M 1＝1，M 2＝0，则M 3＝0 C ．若M 1＝0，M 2＝2，则M 3＝0D ．若M 1＝0，M 2＝0，则M 3＝07．(2020天津)已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点()2,0，其对称轴是直线12x =．有下列结论： ①0abc >①关于x 的方程2ax bx c a ++=有两个不等的实数根； ①12a <-． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38.（2020河北）如图，现要在抛物线(4)y x x =-上找点(,)P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下， 甲：若5b =，则点P 的个数为0； 乙：若4b =，则点P 的个数为1； 丙：若3b =，则点P 的个数为1． 下列判断正确的是（ ）A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对9.（2020江西）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB ∆向右上方平移，得到'''Rt O A B ∆，且点'O ，'A 落在抛物线的对称轴上，点'B 落在抛物线上，则直线''A B 的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+ C ．12y x =+D ．2y x =+ 10.（2020四川绵阳）三孔桥横截面的三个孔都是呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同。

当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米。

若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）.A. 43米B.52米C.213米D.7米11.（2020贵阳）已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过(3,0)-与(1,0)两点，关于x 的方程20ax bx c m +++=(0)m >有两个根，其中一个根是3．则关于x 的方程20ax bx c n +++=(0)n m <<有两个整数根，这两个整数根是（ ）A. 2-或0B. 4-或2C. 5-或3D. 6-或412．（2020贵州黔西南）（4分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交y 轴于点A ，交过点A 且平行于x 轴的直线于另一点B ，交x 轴于C ，D 两点（点C 在点D 右边），对称轴为直线x =52，连接AC ，AD ，BC ．若点B 关于直线AC 的对称点恰好落在线段OC 上，下列结论中错误的是（ ）A ．点B 坐标为（5，4） B ．AB ＝ADC ．a =−16 D ．OC •OD ＝1613.（2020山东青岛）已知在同一直角坐标系中二次函数2y ax bx =+和反比例函数cy x=的图象如图所示，则一次函数cy x b a=-的图象可能是（ ）A. B. C. D.14.（2020长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p 与加工煎炸的时间t （单位：分钟）近似满足函数关系式：2p at bt c =++（0,a ≠a ，b ，c 为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )A. 3.50分钟B. 4.05分钟C. 3.75分钟D. 4.25分钟15．（2020齐齐哈尔）（（3分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（4，0），其对称轴为直线x ＝1，结合图象给出下列结论： ①ac ＜0； ②4a ﹣2b +c ＞0；③当x ＞2时，y 随x 的增大而增大；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根． 其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．（2020新疆生产建设兵团）（5分）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax +b 和反比例函数y =cx 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．17．（2020四川南充）（4分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y ＝ax 2的图象与正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．19≤a ≤3B ．19≤a ≤1C ．13≤a ≤3D ．13≤a ≤118．（2020四川南充）（4分）关于二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣5（a ≠0）的三个结论：①对任意实数m ，都有x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 对应的函数值相等；②若3≤x ≤4，对应的y 的整数值有4个，则−43＜a ≤﹣1或1≤a ＜43；③若抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB≤6，则a＜−54或a≥1．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③19．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD ⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．20．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（）A．0B．﹣1C．﹣D．﹣21．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5 B．当x＝12时，y有最小值a﹣9C．x＝2对应的函数值比最小值大7D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点22．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴正半轴交于A ，B 两点，与y 轴负半轴交于点C ．若点(4,0)B ，则下列结论中，正确的个数是( ) ①0abc >； ②40a b +>； ③1(M x ，1)y 与2(N x ，2)y 是抛物线上两点，若120x x <<，则12y y >；④若抛物线的对称轴是直线3x =，m 为任意实数，则(3)(3)(3)a m m b m -+-；⑤若3AB ，则430b c +>．A ．5B ．4C ．3D ．223．（2020四川遂宁）（4分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）A ．b 2＞4acB ．abc ＞0C ．a ﹣c ＜0D ．am 2+bm ≥a ﹣b （m 为任意实数）24．(2020山东枣庄)（3分）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =．给出下列结论：①0ac <； ②240b ac ->； ③20a b -=； ④0a b c -+=． 其中，正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个25．（2020湖南岳阳）（3分）（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞126．（3分）（2020•玉林）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A．﹣4B．0C．2D．627．（3分）（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．128．（2020贵州遵义）（4分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020山西）（3分）竖直上抛物体离地面的高度h （m ）与运动时间t （s ）之间的关系可以近似地用公式h ＝﹣5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0（m ）是物体抛出时离地面的高度，v 0（m /s ）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20m /s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ） A ．23.5mB ．22.5mC ．21.5mD ．20.5m30．（2020四川自贡）（4分）函数y =kx与y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则函数y ＝kx ﹣b 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．31．（2020山东滨州）（3分）对称轴为直线1x =的抛物线2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数，且0)a ≠如图所示，小明同学得出了以下结论：①0abc <，②24b ac >，③420a b c ++>，④30a c +>，⑤()(a b m am b m ++为任意实数），⑥当1x <-时，y 随x 的增大而增大．其中结论正确的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．632．（2020四川眉山）（4分）已知二次函数y ＝x 2﹣2ax +a 2﹣2a ﹣4（a 为常数）的图象与x 轴有交点，且当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥﹣2B ．a ＜3C ．﹣2≤a ＜3D ．﹣2≤a ≤333．（2020山东泰安）（4分）在同一平面直角坐标系内，二次函数y ＝ax 2+bx +b （a ≠0）与一次函数y ＝ax +b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．34．（2020浙江宁波）（4分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）A ．abc ＜0B ．4ac ﹣b 2＞0C ．c ﹣a ＞0D ．当x ＝﹣n 2﹣2（n 为实数）时，y ≥c35．（2020浙江温州）（4分）已知（﹣3，y 1），（﹣2，y 2），（1，y 3）是抛物线y ＝﹣3x 2﹣12x +m 上的点，则（ ） A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 3＜y 1＜y 2C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 236．（4分）（2020•株洲）二次函数y ＝ax 2+bx +c ，若ab ＜0，a ﹣b 2＞0，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在该二次函数的图象上，其中x 1＜x 2，x 1+x 2＝0，则（ ） A ．y 1＝﹣y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1、y 2的大小无法确定二、填空题37．（2020哈尔滨）（3分）抛物线23(1)8y x =-+的顶点坐标为 ．38．（2020南京）（2分）下列关于二次函数22()1(y x m m m =--++为常数）的结论：①该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当0x >时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数21y x =+的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．39.（2020无锡）二次函数233y ax ax =-+的图像过点()6,0A ，且与y 轴交于点B ，点M 在该抛物线的对称轴上，若ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为__________．40.（2020无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴：__________． 41.（2020山东青岛）抛物线()2221y x k x k =+--（k 为常数）与x 轴交点的个数是__________．42.（2020湖北武汉）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a <）经过(2,0)A ，(4,0)B -两点，下列四个结论：①一元二次方程20ax bx c ++=的根为12x =，24x =-； ①若点()15,C y -，()2,D y π在该抛物线上，则12y y <； ①对于任意实数t ，总有2at bt a b +≤-；①对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数，0p >）的根为整数，则p 的值只有两个．其中正确的结论是________（填写序号）．43．（2020上海）（4分）如果将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．44．（2020宁夏）（3分）若二次函数y ＝﹣x 2+2x +k 的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 ．45．（2020黑龙江牡丹江）（3分）将抛物线21y ax bx =+-向上平移3个单位长度后，经过点(2,5)-，则8411a b --的值是 ．46．（2020黑龙江牡丹江）（6分）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为P ．已知(1,0)B ，(0,3)C -．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连接AP ，AP 的垂直平分线交直线PE 于点M ，则线段EM 的长为 ．注：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2b x a=-，顶点坐标是(2b a -，24)4ac b a -．47．（2020江苏连云港）（3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：)min 满足函数表达式20.2 1.52y x x =-+-，则最佳加工时间为 min ．48．（3分）（2020•荆门）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，顶点为C ，对称轴为直线x ＝1，给出下列结论：①abc ＜0；②若点C 的坐标为（1，2），则△ABC 的面积可以等于2；③M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是抛物线上两点（x 1＜x 2），若x 1+x 2＞2，则y 1＜y 2； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax 2+bx +c +1＝0的两根为﹣l ，3．其中正确结论的序号为 ．49．（3分）（2020•烟台）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：①ab ＞0；②a +b ﹣1＝0；③a ＞1；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的一个根为1，另一个根为−1a ．其中正确结论的序号是 ．50．（2020山东泰安）（4分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的y 与x 的部分对应值如下表： x ﹣5 ﹣4 ﹣2 02 y6﹣6 ﹣46下列结论： ①a ＞0；②当x ＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y 1），点（8，y 2）在二次函数图象上，则y 1＜y 2； ④方程ax 2+bx +c ＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）三、解答题51.（2020北京）小云在学习过程中遇到一个函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-. 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而 ，且10y >；对于函数221y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而 ，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而 . （2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：综合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大.在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象.（3）过点（0，m ）（0m >）作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则m 的最大值是 .52.（2020北京）在平面直角坐标系xOy 中，1122(,),(,)M x y N x y 为抛物线2(0)y ax bx c a =++>上任意两点，其中12x x <.（1）若抛物线的对称轴为1x =，当12,x x 为何值时，12;y y c ==（2）设抛物线的对称轴为x t =.若对于123x x +>，都有12y y <，求t 的取值范围.53．（2020安徽）（12分）在平面直角坐标系中，已知点(1,2)A ，(2,3)B ，(2,1)C ，直线y x m =+经过点A ，抛物线21y ax bx =++恰好经过A ，B ，C 三点中的两点． （1）判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由； （2）求a ，b 的值；（3）平移抛物线21y ax bx =++，使其顶点仍在直线y x m =+上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．54．（2020成都）（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C -． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记BDE ∆的面积为1S ，ABE ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线//l BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使PQB CAB ∆∆∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．55．（2020广州）（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，抛物线G : 2y ax bx c =++(02)a <<1过点A （1，5c a -），B （x 1，3），C （x 2，3），顶点D 不在第一象限，线段BC 上有一点E ，设△OBE 的面积为S 1，△OCE 的面积为2S ，1232S S =+． （1）用含a 的式子表示b ； （2）求点E 的坐标；（3）若直线DE 与抛物线G 的另一个交点F 的横坐标为63a+，求2y ax bx c =++在1＜x ＜6时的取值范围（用含a 的式子表示）．56.（2020福建）已知直线1:210=-+l y x 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，二次函数的图象过,A B 两点，交x 轴于另一点C ，4BC =，且对于该二次函数图象上的任意两点()111,P x y ，()222,P x y ，当125>≥x x 时，总有12y y >．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线2:(10)=+≠l y mx n n ，求证：当2m =-时，21//l l ；（3）E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线3:2=-+l y x q 过点C 且交直线AE 于点F ，求ABE ∆与CEF ∆面积之和的最小值．57．（2020陕西）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，它的对称轴为直线l ． （1）求该抛物线的表达式；（2）P 是该抛物线上的点，过点P 作l 的垂线，垂足为D ，E 是l 上的点．要使以P 、D 、E 为顶点的三角形与△AOC 全等，求满足条件的点P ，点E 的坐标．58．(2020杭州)（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝x 2+bx +a ，y 2＝ax 2+bx +1（a ，b 是实数，a ≠0）．（1）若函数y 1的对称轴为直线x ＝3，且函数y 1的图象经过点（a ，b ），求函数y 1的表达式．（2）若函数y 1的图象经过点（r ，0），其中r ≠0，求证：函数y 2的图象经过点（1r ，0）．（3）设函数y 1和函数y 2的最小值分别为m 和n ，若m +n ＝0，求m ，n 的值．59．(2020天津)已知点()1,0A 是抛物线2y ax bx m =++（a ，b ，m 为常数，0a ≠，0m <）与x 轴的一个交点．（I ）当1a =，3m =-时，求该抛物线的顶点坐标；（II ）若抛物线与x 轴的另一个交点为(),0M m ，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =①当点E 落在抛物线上（不与点C 重合），且AE EF =时，求点F 的坐标；①取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是2？60.（2020河南）.如图，抛物线22y xx c =-++与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,A B ，且,OA OB =点G 为抛物线的顶点．()1求抛物线的解析式及点G 的坐标；()2点,M N 为抛物线上两点(点M 在点N 的左侧) ，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q 为抛物线上点,M N 之间(含点,M N )的一个动点，求点Q 的纵坐标Q y 的取值范围．61．（2020贵州黔西南）（16分）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．62．（2020齐齐哈尔）（（14分）综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为，cos∠ABO ＝；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为；（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．63．(2020山东枣庄)（10分）如图，抛物线24=++交x轴于(3,0)y ax bxA-，(4,0)B两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM x⊥轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PN BCM m，请用含m的代数式表⊥，垂足为点N．设M点的坐标为(,0)示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．64．（2020湖南岳阳）（10分）（2020•岳阳）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x−25）2+6415与x轴交于点A（−65，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线F1的表达式；（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．①求点D的坐标；②判断△BCD的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．65．（2020广西南宁）（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x ＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；（2）s关于t的函数解析式为s＝，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．66．（12分）（2020•玉林）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A 在B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．67．（10分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．（1）点E的坐标为：；（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．68．（2020贵州遵义）（14分）如图，抛物线y ＝ax 2+94x +c 经过点A （﹣1，0）和点C （0，3）与x 轴的另一交点为点B ，点M 是直线BC 上一动点，过点M 作MP ∥y 轴，交抛物线于点P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q ，使得△QCO 是等边三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M 为圆心，MP 为半径作⊙M ，当⊙M 与坐标轴相切时，求出⊙M 的半径．69．（10分）（2020•荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x 天（x 为正整数）的销售价格p （元/千克）关于x 的函数关系式为p ={25x +4(0＜x ≤20)−15x +12(20＜x ≤30)，销售量y （千克）与x 之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）70．（12分）（2020•荆门）如图，抛物线L：y=12x2−54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线L：y=12x2−54x﹣3向右平移得到抛物线L'，直线AB与抛物线L'交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L'的解析式．71．（13分）（2020•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．72．（2020山西）（13分）综合与探究如图，抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．2020年中考数学试题分类汇编之13二次函数一、选择题1．（2020安徽）（4分）如图，ABC ∆和DEF ∆都是边长为2的等边三角形，它们的边BC ，EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合．现将ABC ∆在直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动．在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图1所示：当02x <时，过点G 作GH BF ⊥于H ．ABC ∆和DEF ∆均为等边三角形， GEJ ∴∆为等边三角形．GH ∴==， 2132y EJ GH ∴==．当2x =时，y = 如图2所示：24x <时，过点G 作GH BF ⊥于H ．213)2y FJ GH x ==-，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上． 故选：A ．2.（2020福建）已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22y ax ax =-上的点，下列命题正确的是（ ）A. 若12|1||1|->-x x ，则12y y >B. 若12|1||1|->-x x ，则12y y <C. 若12|1||1|-=-x x ，则12y y =D. 若12y y =，则12x x =【答案】C3．（2020陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m （m ＞1）沿y 轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解答】解：∵y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m ＝（x ﹣）2+m ﹣，∴该抛物线顶点坐标是（，m ﹣），∴将其沿y 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m ﹣﹣3），∵m ＞1， ∴m ﹣1＞0， ∴＞0，∵m ﹣﹣3＝＝＝﹣﹣1＜0，∴点（，m ﹣﹣3）在第四象限；故选：D ．4．（2020哈尔滨）（3分）将抛物线2y x =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为( ) A ．2(3)5y x =++B ．2(3)5y x =-+C ．2(5)3y x =++D ．2(5)3y x =-+【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线2y x =向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：23y x =+；由“左加右减”的原则可知，将抛物线23y x =+向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：2(5)3y x =-+； 故选：D ．5．(2020杭州)（3分）设函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ，h ，k 是实数，a ≠0），当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，（ ） A ．若h ＝4，则a ＜0 B ．若h ＝5，则a ＞0C ．若h ＝6，则a ＜0D ．若h ＝7，则a ＞0解：当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8；代入函数式得：{1=a(1−ℎ)2+k8=a(8−ℎ)2+k ，∴a （8﹣h ）2﹣a （1﹣h ）2＝7， 整理得：a （9﹣2h ）＝1，当h ＝4，则a ＝1，故A 错误； 当h ＝5，则a ＝﹣1，故B 错误； 当h ＝6，则a =−13，故C 正确； 当h ＝7，则a =−15，故D 错误； 选：C ．6．(2020杭州)（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝x 2+ax +1，y 2＝x 2+bx +2，y 3＝x 2+cx +4，其中a ，b ，c 是正实数，且满足b 2＝ac ．设函数y 1，y 2，y 3的图象与x 轴的交点个数分别为M 1，M 2，M 3，（ ） A ．若M 1＝2，M 2＝2，则M 3＝0 B ．若M 1＝1，M 2＝0，则M 3＝0 C ．若M 1＝0，M 2＝2，则M 3＝0 D ．若M 1＝0，M 2＝0，则M 3＝0解：选项B 正确． 理由：∵M 1＝1，M 2＝0，∴a 2﹣4＝0，b 2﹣8＜0，∵a ，b ，c 是正实数， ∴a ＝2，∵b 2＝ac ， ∴c =12b 2，在二次函数y 3＝x 2+cx +4中，则有△＝c 2﹣16=14b 2﹣16=14（b 2﹣64）＜0， ∴M 3＝0， ∴选项B 正确， 故选：B ．7．(2020天津)已知抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论： ①①关于的方程有两个不等的实数根；①． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．B ．C ．D ．2y ax bx c =++a b c 0a ≠1c >()2,012x =0abc >x 2ax bx c a ++=12a <-0123答案:C8.（2020河北）如图，现要在抛物线(4)y x x =-上找点(,)P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下， 甲：若5b =，则点P 的个数为0； 乙：若4b =，则点P 的个数为1； 丙：若3b =，则点P 的个数为1． 下列判断正确的是（ ）A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对【答案】C【详解】当b =5时，令x （4-x ）=5，整理得：x 2-4x ＋5=0，①=(-4)2-4×5=-6<0，因此点P 的个数为0，甲的说法正确；当b =4时，令x （4-x ）=4，整理得：x 2-4x+4=0，①=(-4)2-4×4=0，因此点P 有1个，乙的说法正确；当b =3时，令x （4-x ）=3，整理得：x 2-4x +3=0，①=(-4)2-4×3=4>0，因此点P 有2个，丙的说法不正确； 故选：C ．9.（2020江西）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB ∆向右上方平移，得到'''Rt O A B ∆，且点'O ，'A 落在抛物线的对称轴上，点'B 落在抛物线上，则直线''A B 的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+ C ．12y x =+ D ．2y x =+ 【解析】将抛物线322--=x x y 配方可得4)1(2--=x y ，①对称轴为直线1=x ，抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为)0,3(),0,1(-，①B （3,0）与y 轴交点)3,0(-A ，①OA=3，OB=4根据平移的规律可得3==''OB B O 且1='O x ，①4='B x ，代入抛物线可得5='B y ，直线AB 的解析式为3-=x y ，根据AB ①B A ''可得直线B A ''的解析式为m x y +=，再将)5,4(B '代入可得1=m ，①直线B A ''的解析式为1+=x y ，故选B10.（2020四川绵阳）三孔桥横截面的三个孔都是呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同。

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