第13讲 二次函数的图象和性质

②设点 D 的横坐标为 m，则坐标为(m，m2－3m＋54)，∴E 点的坐标
为(m，－12m＋54)，设 DE 的长度为 d，∵点 D 是直线 BC 下方抛物线上
一点，则 d＝－12m＋54－(m2－3m＋45)，整理得，d＝－m2＋52m，∵a＝－
1＜0，∴当
5 m＝－b2a＝－2×（2 －1）＝54时，d
①求 A，B 两点的坐标； ②若 tan∠PDB＝54，求这个二次函数的关系式．
解：①过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，∵y＝ax2－2ax＋c，∴该二次函数的对称 轴为 x＝1，∴OE＝1，∵OC∥BD，∴CP∶PD＝OE∶EB，∴OE∶EB＝2∶3， ∴EB＝32，∴OB＝OE＋EB＝52，∴B(52，0)，∵A 与 B 关于直线 x＝1 对称，∴ A(－12，0)；
中考数学一轮复习系列课件
第三章 函数及其图象
第13讲 二次函数的图象和性质
1．定义：形如函数__y_＝__ax_2_＋__b_x_＋__c_(_其__中__a_，__b_，__c是__常__数__，__且__a_≠_0_)__ 叫做二次函数．
2 ． 利 用 配 方 ， 可 以 把 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 表 示 成 ___y_＝__a_(x_＋__2_ba_)_2_＋_4_a_c_4－_a_b_2______．
2．抛物线的顶点常见的三种变动方式 (1)两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反； (2)两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变； (3)开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反． 3．二次函数与二次方程间的关系 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为k，求自变量x的值，就是解 一元二次方程ax2＋bx＋c＝k；反过来，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k ，就是把二次函数y＝ax2＋bx＋c－k的函数值看作0，求自变量x的值． 4．二次函数与二次不等式间的关系 “一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“y＞0，y＜0或 y≥0，y≤0”，从图象上看是指抛物线在x轴上方或x轴下方的情况．
(2)(2016·宁波)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点 ，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．
①求m的值及抛物线的顶点坐标． ②点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P 的坐标．
解：①把点B的坐标为(3，0)代入抛物线y＝－x2＋mx＋3得：0＝－32 ＋3m＋3，解得：m＝2，∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点坐标 为：(1，4)．
解得ka＝＝－28518，，所以 y＝－18(x－3)2＋285＝－18x2＋34x＋2，综上所述，抛物线的函
数解析式为 y＝18x2－14x＋2 或 y＝－18x2＋34x＋2.故答案为 y＝18x2－14x＋2 或 y＝
－18x2＋34x＋2
(2)(导学号：01262198)(2016·无锡)已知二次函数 y＝ax2－2ax＋c(a ＞0)的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A，B 两点，与 y 轴交于 点 C，它的顶点为 P，直线 CP 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 D， 且 CP∶PD＝2∶3.
解：①∵抛物线 y＝x2－3x＋45与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相 交于点 C，∴令 y＝0，可得 x＝21或 x＝52，∴A(12，0)，B(52，0)；令 x ＝0，则 y＝54，∴C 点坐标为(0，54)，设直线 BC 的解析式为：y＝kx＋b，
则有b25k＝＋54，b＝0，解得：kb＝＝45－，12，∴直线 BC 的解析式为：y＝－21x＋54；
最大＝4ac4－a b2＝0－－2445＝2156，
∴D 点的坐标为(54，－1156)．
待定系数法确定二次函数的解析式
【例2】 (1)(2016·淄博)如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个 公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线 段AB的中点．
(1)求这条抛物线对应的函数解析式； (2)求直线AB对应的函数解析式．
[对应训练] 1．(1)(2016·孝感)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其 顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下 列结论： ①a－b＋c＞0； ②3a＋b＝0； ③b2＝4a(c－n)； ④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
结合几何图形的函数综合题
【例3】 (2016·贺州)如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上， 点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处 ，E点坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．
(1)求此抛物线的解析式； (2)求AD的长； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点， 当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．
[对应训练]
2．(1)设抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过 A(0，2)，B(4，3)，C 三点，
其中点 C 在直线 x＝2 上，且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1，则抛 物线的函数解析式为_y_＝__18_x_2_－__14_x_＋_x_＋_．2
5．(2016·攀枝花)如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)图象的顶点为 D，其图象与 x 轴的交点 A，B 的横坐标分别为－1 和 3，则下列结论正 确的是( D )
A．2a－b＝0 B．a＋b＋c＞0 C．3a－c＝0 D．当 a＝21时，△ABD 是等腰直角三角形
二次函数的图象及性质
【例1】 (2016·齐齐哈尔)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴 为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示， 下列结论：
①4ac＜b2； ②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3； ③3a＋c＞0； ④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3； ⑤当x＜0时，y随x增大而增大． 其中结论正确的个数是 ( B ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点评】 (1) 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，二次项系数a决定抛 物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物 线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与 b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴侧左； 当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴 在y轴侧右．(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线 与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ＝b2－4ac＞0时， 抛物线与x轴有两个交点；Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．(2) 此题考查了二次函数的性 质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P的位置是解此 题的关键．
【点评】 根据不同条件，选择不同设法．(1)若已知图象上的三个点 ，则设所求的二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入 ，列方程组，求出a，b，c的值；(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴， 函数最值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)，将已知 条件代入，求出待定系数；(3)若已知抛物线与x轴的交点，则设抛物线 的解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，再将另一条件代入，可求 出a值．
3．图象与性质
4.图象的平移
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c与系数a、b、c的关系
1．二次函数的三种解析式 (1)一般式 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)； (2)交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2 是常数，a≠0)； (3)顶点式 y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k 是常数，a≠0)． 三种解析式之间的关系： 顶点式―配―方→一般式因―式―分→解交点式
解：(1)∵四边形 ABCD 是矩形，B(10，8)，∴A(10，0)，又抛物线
经过 A，E，O 三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得
13c＝060a＋0a＋，6b10＋b＋c＝c＝8，0，解得bac＝＝＝－013，031，，∴抛物线的解析式为 y＝－13x2＋130
3．(2016·益阳)关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是( D ) A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 4．(2016·荆门)若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方 程x2＋mx＝7的解为( D ) A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝－7 D．x1＝－1，x2＝7
②过点 C 作 CF⊥BD 于点 F，交 PE 于点 G，令 x＝1 代入 y＝ax2－2ax＋c， ∴y＝c－a，令 x＝0 代入 y＝ax2－2ax＋c，∴y＝c，∴PG＝a，∵CF＝OB＝52， ∴tan∠PDB＝FCDF，∴FD＝2，∵PG∥BD，∴△CPG∽△CDF，∴PFGD＝CCDP ＝25， ∴PG＝45，∴a＝45，∴y＝45x2－85x＋c，把 A(－12，0)代入 y＝45x2－85x＋c，解得： c＝－1，∴该二次函数解析式为 y＝45x2－85x－1.
点拨：∵点 C 在直线 x＝2 上，且到抛物线的对称轴的距离等于 1，∴抛物
线的对称轴为直线 x＝1 或 x＝3，当对称轴为直线 x＝1 时，设抛物线解析式为
a＋k＝2，
a＝18，
y＝a(x－1)2＋k，则9a＋k＝3，解得k＝185，所以
y＝18(x－1)2＋185＝18x2－14x＋
9a＋k＝2， 2，当对称轴为直线 x＝3 时，设抛物线解析式为 y＝a(x－3)2＋k，则a＋k＝3，
1．(2016·怀化)二次函数y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是( A )