第13讲二次函数的图象与性质
【精品】2020中考数学考点举一反三讲练第13讲 二次函数及其应用 (学生版)
第13讲 二次函数及其应用一、考点知识梳理【考点1 二次函数的图像及性质】1.二次函数的概念：一般地，如果两个变量x 和y 之间的函数关系，可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a ≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项． 2．三种表示方法：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；(3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标． 3．三种表达式之间的关系 顶点式――→确定一般式――→因式分解两点式 4.图像性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)a ＞0时开口向上， 对称轴：直线x ＝－b 2a ，顶点坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，增减性：在对称轴的左侧，即x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而增大，简记为“左减右增”a ＜0时开口向下，对称轴：直线x ＝－b 2a ，顶点坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，增减性：在对称轴的左侧，即当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而减小，简记为“左增右减”【考点2 二次函数的实际应用】1.二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用．2.出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景．3.设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案．【考点3 二次函数的图像与方程的关系】二次函数与一元二次方程的关系：1．当抛物线与x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根．2．当抛物线与x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根．3．当抛物线与x轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根．【考点4 二次函数的图像与几何图形的关系】1.平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．平移步骤：(1)将抛物线表达式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．2.二次函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据．【考点5 二次函数的图像其它函数的关系】二次函数与一次函数、二次函数与反比例函数、两个二次函数之间的关系是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。
二次函数图像与性质完整归纳
3 2 -2
3 2 0 5…
2
【例 2】 求作函数 y x 2 4 x 3 的图象。
【解】 y x 2 4x 3 ( x2 4x 3)
[( x 2) 2 7] [( x 2) 2 7 先画出图角在对称轴 x 2 的右边部分，列表
x -2 -1 0 1 2 y 76 5 4 3
【点评】 画二次函数图象步骤： (1) 配方； (2) 列表； (3) 描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利 用对称性描出右（左）部分就可。
, 3 ] 上是增函数，在区间 [ 3, 10
29 ymaz 20 ) 上是减函数。
【点评】 要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：
(1) 配方法；如例 3
(2) 公式法：适用于不容易配方题目 ( 二次项系数为负数或分数 ) 如例 4，可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式：
b 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x b
2a
2a
b ，顶点坐标为 2a
b ，4ac b2 ．当 2a 4a
x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x 2a
2
有最大值 4ac b ． 4a
b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x 2a
b 时， y 2a
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： y ax 2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2. 顶点式： y a ( x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；
向下
h ，k
x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y X=h
随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
九年级一对一教案-第12讲-二次函数图像与性质
第13讲二次函数的图像与性质知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.【例题1】（2018•奉贤区一模）下列函数中是二次函数的是（）A．y=2（x﹣1）B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=a（x﹣1）2D．y=2x2﹣1【例题2】函数的图象是抛物线，则m=．知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为.开口向上向下对称轴x＝2ba-顶点坐标24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭增减性当x>2ba-时，y随x的增大而增大；当x＜2ba-时，y随x的增大而减小.当x>2ba-时，y随x的增大而减小；当x＜2ba-时，y随x的增大而增大.最值x=2ba-，y最小＝244ac ba-.x=2ba-，y最大＝244ac ba-.考点1 ：二次函数的图像（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0）然后以原点为中心对称地选取x值求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．xyy=ax2+bx+c(a＞0)Oxyy=ax2+bx+c(a＜0)O【例题剖析】二次函数的图像基本判断【例题1】（2017•河南模拟）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第（）象限．A.一B．二C．三D．四【例题2】（2016秋•慈溪市期末）二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象大致是（）A．B．C．D．【例题3】（2016秋•路北区期末）抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（）A．y=x2B．y=﹣3x2C．y=﹣x2D．y=2x2【例题4】（2017秋•诸暨市校级期中）函数y=x2+1与y=x2+2的图象的不同之处是（）A．对称轴B．开口方向C．顶点D．形状【例题剖析】二次函数与一次函数的综合图像判断【模型A】【例题1】（2017秋•肇源县期末）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【例题2】在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+b的大致图象为（）A．B．C．D．【模型B】【例题1】已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是（）A B C D【例题2】（2017•曲江区校级三模）已知二次函数y=a（x﹣1）2+c的图象如图，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．【例题3】（2017秋•颍州区期中）一次函数y=ax+b（a≠0，b≠0）的图象如图所示，则二次函数y=bx2+a的大致图象是（）A．B．C．D．【模型C】【例题1】当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【例题2】（2017•广阳区二模）当ab＜0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【例题3】（2016•重庆校级二模）已知正比例函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则二次函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【例题4】（2016秋•宁海县期中）已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当x=2时，y的值为．考点2 ：二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左（右）平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．【例题剖析】二次函数的对称轴【例题1】（2017秋•遵义期末）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（3，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）C．（﹣2，0）D．（﹣1，0）【例题2】（2017•武侯区模拟）二次函数y=2x2+4x﹣3的图象的对称轴为（）A．直线x=2B．直线x=4C．直线x=﹣3D．直线x=﹣1【例题3】（2017秋•潮南区期末）抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为，顶点坐标是．【例题剖析】二次函数的顶点【例题1】抛物线y=2x2﹣4的顶点在（）A．x轴上B．y轴上C．第三象限D．第四象限【例题2】（2018•崇明县一模）抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（）A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣3，﹣4）【例题3】（2017•凉山州二模）若k为任意实数，则抛物线y=﹣2（x﹣k）2+k 的顶点在（）A．直线y=x上B．直线y=﹣x上C．x轴上D．y轴上【例题4】如果二次函数y=x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m=．【例题5】已知二次函数y=ax2﹣2x﹣2（a≠0）图象的顶点为（1，﹣3），则a 的值为（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【例题6】（2017•宁波）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【例题剖析】二次函数的增减性【例题1】二次函数y=x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（）A．12B．11C．10D．9【例题2】（2016秋•文安县期末）在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x＞﹣1D．x＜﹣1【例题3】已知二次函数y=﹣3（x﹣h）2+5，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则有（）A．h≥﹣2B．h≤﹣2C．h＞﹣2D．h＜﹣2【例题剖析】二次函数的性质的综合【例题1】（2017•陕西）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A．（1，﹣5）B．（3，﹣13）C．（2，﹣8）D．（4，﹣20）【例题2】（2017•南雄市模拟）对于二次函数y=2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．当x=﹣1时，取得最小值为y=﹣8C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=﹣1【例题3】关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（）A．它的开口方向是向下B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小C．它的顶点坐标是（2，3）D．当x=0时，y有最大值是3【例题4】对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【练习1】（2017•大石桥市校级一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x…﹣2012…y…7﹣1﹣2﹣1…A．抛物线开口向下B．抛物线的对称轴是y轴C．x＜1时，y随x的增大而减小D．抛物线与y轴交于正半轴【练习2】（2016秋•杭州期末）对于二次函数y=﹣（x﹣4）2+5的图象，有下列说法：①其图象开口向上；②对称轴是直线x=4；③顶点坐标是（﹣4，5）；④与y轴的交点坐标是（0，3），其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【练习3】（2017秋•天津月考）已知二次函数y=（x﹣）2+1，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个系数a、b、c a决定抛物线的开口方向及开口大小当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下.某些特殊形式代数式的符号：①a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.③2a+b的符号，需判断对称轴－b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则－b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a－b的符号，需判断对称轴与－1的大小.a、b决定对称轴（x=－b/2a）的位置当a，b同号，－b/2a＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，－b/2a=0，对称轴为y轴；当a，b异号，－b/2a＞0，对称轴在y轴右边．c决定抛物线与y轴的交点的位置当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式5.二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＜0，无实根例：已经二次函数y=x2－3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2－3x+m=0的两个实数根为2,1.6.二次函数与不等式抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.【例题1】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b＜0；③c＞0；④2a+b=0；⑤a﹣b+c＜0，其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【例题2】（2017秋•遵义期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac，②abc＜0；③a＞c；④4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例题3】（2017秋•定边县期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【例题4】（2017•黔东南州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例题5】（2017•资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【例题6】（2017•黔南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0正确的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【练习1】（2017•济南）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0；④2a+c＜0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【练习2】（2017•遵义）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示．则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）A．①③B．②③C．②④D．②③④【练习3】（2017•烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【练习4】（2017•南充）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．4ac＜b2B．abc＜0C．b+c＞3a D．a＜b【练习5】（2017•安顺）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m ≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点3 ：二次函数图像上的点的坐标特征二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x=﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=．【例题剖析】二次函数的坐标点特征【例题1】抛物线y=2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，﹣1）D．（0，0）【例题2】若抛物线y=ax2（a≠0）过点（﹣1，3），则a等于（）A．3B．﹣3C．﹣D．【例题3】抛物线y=﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴的交点坐标为（）A．（0，3）B．（0，﹣5）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【例题4】抛物线y=ax2+bx﹣3经过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）A．3B．9C．15D．﹣15【例题剖析】二次函数的坐标特征应用【例题1】已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1【例题2】（2017秋•余姚市期末）已知：点（﹣1，y1），（0，y2），（4，y3）都在抛物线y=ax2﹣2ax+5（a＞0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1【例题3】设点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y=﹣2（x﹣1）2+m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y1＞y3＞y2【例题4】（2017•连云港）已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0【例题5】（2017•姑苏区校级二模）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y=﹣（x+2）2﹣1上，则（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y22.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c①顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;①交点式：y=a(x－x1)(x－x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.【例题1】（2018•静安区一模）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．【例题2】（2017秋•荔湾区期末）已知抛物线y=x2+mx+n的图象经过点（﹣3，0），点（1，0）（1）求抛物线解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．【例题3】已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．【例题4】已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．【例题5】已知抛物线y=x2﹣bx+2经过点A（﹣2，8）．（1）求此抛物线的函数解析式，并写出此抛物线的对称轴．（2）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．知识点三 ：二次函数的平移4.平移与解析式的关系注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式失分点警示：抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.例：将抛物线y =x 2沿x 轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y =（x －2）2．【例题1】 将抛物线y=（x +m ）2向右平移2个单位后，对称轴是y 轴，那么m的值是 ．【例题2】 抛物线y=2x 2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为 ．【例题3】 把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是 ．【例题4】 如果将抛物线y=x 2﹣2x ﹣1向上平移，使它经过点A （0，3），那么所得新抛物线的表达式是 ．平移|k |个单位平移|h |个单位向上(k ＞0)或向下(k ＜0)向左(h ＜0)或向右(h ＞0)y =a (x －h )2＋k 的图象y =a (x －h )2的图象y =ax 2的图象第13讲二次函数的应用知识点一：二次函数的应用关键点拨实物抛物线一般步骤若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；①使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.①据题意，结合函数图象求出函数解析式；①确定自变量的取值范围；①根据图象，结合所求解析式解决问题.实际问题中求最值①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；① 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；⑤解决提出的实际问题.解决最值应用题要注意两点：①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；①求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；③利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.。
中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第三单元 函数 第13讲 二次函数的图象与性质
提升数学核心素 养
1．(2020·岳阳)对于一个函数，自变量x取c时，函
数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的
二次函数y＝－x2－10x＋m(m≠0)有两个不相等的
零点x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋10x－m－2
＝0有A两个不相等的非零实数根x3，x4(x3＜x4)，
则下A列．关0＜系xx31式＜1一定正确B的.xx是13＞(1)
(1)解：乙求得的结果不正确，理由如下： 根据题意，知图象经过点(0，0)，(1，0)， 所以y＝x(x－1)， 当x＝1/2时，y＝1/2×(1/2－1)＝－1/4≠－1/2， 所以乙求得的结果不正确．
(2)解：函数图象的对称轴为 x＝x1＋2 x2， 当 x＝x1＋2 x2时，函数有最小值 M， ∴M＝(x1＋2 x2－x1)(x1＋2 x2－x2)＝－（x1－4x2）2. (3)证明：因为 y＝(x－x1)(x－x2)，
延伸训 练
4．(2020·自贡)函数y＝k/x与y＝ax2＋bx＋c的图象
如图所示，则函数Dy＝kx－b的大致图象为()
5．如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线
l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象
沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，
得到一个新图象．若新图象对应C的函数的最大值与
所以 m＝x1x2，n＝(1－x1)(1－x2)，
所以 mn＝x1x2(1－x1)(1－x2)＝(x1－x12)(x2－x22)＝
－（x1－12）2＋14·－（x2－12）2＋14.
因为 0<x1<x2<1，结合函数 y＝x(1－x)的图象，可得 0<－(x1－12)2＋14≤14，
课件1二次函数的图像和性质
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
x
-2
-4
-6
-8
y = - x2
-10
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.
二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？
知识要点
抛物线： 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y ax2 bx c 的图象叫做抛物线 y ax2 bx c。
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影 响
(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交 流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快 生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。
(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得 快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社 会生活。
y= 2x2
y=x2
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y= 0.5x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2
-3 -4
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x
-10
y=－2x2 y=x2
a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的 大小决定抛物线开口的大小，|a|越大开 口越小
北师大版九年级下册数学《二次函数的图象与性质》二次函数说课教学复习课件拔高
-6 -7
x＜-1时，y随x的增大而增大；
-8 -9
x＞-1时，y随x的增大而减小.
-10
讲授新课
试一试
2.画出函数y= 2（x+1）2-2图象，并说出抛物线
的开口方向、对称轴、顶点及增减性.
y
开口方向向上； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2); x＜-1时，y随x的增大而减小； x＞-1时，y随x的增大而增大.
讲授新课
例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数
关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a = 1 ，
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1(x－3)2.
8 6 4 2 -4 -2 O 2 4 x -2
讲授新课
要点归纳
二次函数 y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标 最值
增减性
（h,k）
（h,k）
当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k
当x＜h时，y随x的增 当x＞h时，y随x的增 大而减小；x＞h时， 大而减小；x＜h时， y随x的增大而增大. y随x的增大而增大.
复习
y=ax2+k y=ax2
探索y=a(x-h)2 的图象及性质
描点法
图象的画法
平移法
图象的特征 顶点坐标（h,0）
平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变.
二次函数函数及其图象
12．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 13－5 所示，根据 图象解答下列问题：
(1)写出方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根； (2)写出不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集； (3)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围； (4)若方程 ax2＋bx＋c＝k 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范 围．
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 二次函数的定义
二次函数 的定义
二次函数的 自变量的取
值范围
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c都是常数，且 a__≠__0__)
一般的二次函数自变量的取值范围是全体实数， 而特殊的实际应用中的二次函数除外
第13讲┃ 二次函数的图象与性质
1.若二次函数 y＝x2＋2x－7 的函数值为 8，则对应的 x 的值是
第13讲┃ 二次函数的图象与性质
9．二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(4，0)，点C在y轴正半轴上，且AB＝OC.
(1)求C的坐标； (2)求二次函数的解析式，并求出函数最大值．
图13－2
第13讲┃ 二次函数的图象与性质
解：(1)∵A(－1，0)，B(4，0)， ∴AO＝1，OB＝4， AB＝AO＋OB＝1＋4＝5， ∴OC＝5，即点C的坐标为(0，5)；
图 13－3
[解析] ∵抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，而对称轴为x＝1， ∴抛物线与x轴的另一交点是(－1，0)．
当y＝ax2＋bx＋c＞0时，图象在x轴上方，此时x＜－1或x＞3.
第13讲┃ 二次函数的图象与性质
11．如图 13－4，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开 口向上，图象经过点(－1，2)和点(1，0)，且与 y 轴交 于负半轴，给出下面四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞ 0；③a＋c＝1；④b2－4ac＞0.其中正确结论的序号是 ___②__③__④_．(请将正确结论的序号都填上)