山西省太原五中2019届高三上学期10月月考理科数学答案

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2019届高三10月月考数学(理)试卷(含答案)

2019届高三上学期十月知识总结一一理科数学、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 •复数z 满足Z 1 -i = 1 i ，则复数z 在复平面内的对应点位于( )A.第一象限B•第二象限 C •第三象限 D •第四象限X —122. 已知集合 A = {x | 0}, B ={ x | y = lg( -x4x 5)}，则 A 「(C R B)=()x +2A. (-2,—1]B • [-2,一1]C • (-1,1]D • [-1,1]3. 给出下列四个命题： ① 若A^B ，贝U A 或B ；② -[2 * ,都有 x 2 2x ；12 2③ "a”是函数“ y =cos 2ax -sin 2ax 的最小正周期为二”的充要条件;2④ “ x^ R, x 02 2 3x )” 的否定是“ R, x 2 2 乞 3x ”；其中真命题的个数是(立，则f (2018)的值为(A. 1A. 1A. 14.已知函数f(x)是定义在 B. 2 C. 3R 上的偶函数，且f (0) = -1，且对任意D .二-f (2-x)成5.如果实数 x - y 1 — 0,x, y,满足条件2x ，y 「2_0,，贝V z =1 x 十0,2x 3y的最大值为(6.在平行四边形A.ABCDKAD=1,. BAD =60 ,E为CD的中点•若AC BE = 1，则AB的长为(D. 22 2 27.已知数列｛a .｝的前n 项和为S n ，且S n ^2a n ，则使不等式a • a ? V a . :: 86成立的n 的最大值为（）9.若将函数f （x ） =sin （2x •「）「、3cos （2x •「）（0”「r ）的图象向左平移 1个单位长度，平移4后的图象关于点（一,0）对称，则函数g （x ） =cos （x •：:）在［ / ］上的最小值2 2 6、• 3C2cosB 」3sinB =2，则a c 的取值范围是（）H n =2n 1，记数列｛a n -20｝的前n 项和为&，则&最小值为（12.对于函数f x 和g x ,设二三：x f x = 0』，—：xg x =0』，若存在:J ,使得8.两个正实数 x, y 满足A.(-1,4)B.1 4 一 y 21，且不等式x m —3m 有解，则实数m 的取值范围是（x y 4（一①-1）（4, ：：） C.(_4,1) D. (_：：,0) (3,：：)1 A.210.在锐角 ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若凹bA. 3,2'B. C.一2汁3D.11.对于数列{a n },定义H n=a1+2a2川2 an为的{a n }“优值”，现已知某数列的“优值”A. —70C . -64D . -68则称f X 与g x 互为“零点相邻函数” •若函数f x 二 e x4 x - 2 与g x 二 x 2 _ ax _ a 3 互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是（ A. 2,41 B.汀7C.D.2,3】二.填空题（本大题共4小题，每题5分.共20 分）13•已知数列Q =1,a n=a n,+3n (n^2,,则数列牯」的通项公式a n= .?■=•T B■“Y R. =•«14. 已知向量|a—b|=|b|, |a—2b冃b|，则向量a，b的夹角为 _____________________________15. 已知关于x的不等式2x -1 mx2 -1 ,若对于xd, •::不等式恒成立，则实数m的取值范围是In x 1 16•已知函数f x是可导函数，其导函数为 f x，且满足xf (x) • f (x)，且f (e)=-x e，则不等式f (x +1) - f (e +1) AX—e的解集为 ___________________三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分10分)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c, C=60； . 2^ . 3b.(1)求角代B的大小；(2)若D为边AC上一点，且a = 4 , BCD的面积为.3，求BD的长.18. (本小题满分12分)已知数列｛a n｝是公差为正数的等差数列，a2和a5是方程x2-12x • 27 = 0的两个实数根，数列｛bJ满足j 1 b n二na n1 -(n-1)a n(1) 求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(2)设T n为数列｛b n｝的前n项和，求T n.2 1 19.(本小题满分12 分)已知向量m = (.3cosx,1) ,n = (si nx,cos x-1)，函数f(x)=m・ n -(1)若x 0, , f x 3，求cos2x 的值；IL 4 3(2)在ABC中，角A,B,C对边分别是a, b,c，且满足2bcosA乞2c-■■一3a，当B取最大值时,-3 a 亠ca=1“ABC面积为，求的值.sin A +sin C420.(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列｛耳｝的前四项和S4 =14,且a,,a3,a7成等比.(1)求数列｛耳｝的通项公式;1(2)设T n为数列｛ -------- ｝的前n项和，若’T n _ a n勺对一切n三a n a n ■+N*恒成立，求实数■的最大值.2x —121.(本小题满分12分)已知fx二ax-l nx .x(1)若函数f x在x=2处取得极值，求a的值，并求此时曲线程；(2)讨论f x的单调性•y = f x在1, f 1处的切线方22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xln x, g(x) =£ ax2-bx , (1)当a 0，且a为常数时，若函数h(x^x lg(x) 1对任意的成立，试用a表示出b的取值范围；(2)当 a 时，若f(x V)_2 g(x)对x € [0 ,+s)恒成立，其中a,b・R\ x2 _ 4,总有. 0X1 —X2求a的最小值.理科数学月考题答案1~5 AAAAB 6~10 BBBDB 11~12BD3n+ -713. a n 2兀14.614. m _015. -1,e17. (1 ) 18. (1 )A = 75 , B = 45 (2) BD - 13a n =2n -1,6 二4n-1 3nJ⑵ T n = 5 4n-5 2n.319.(1)6(2) 220.(1)O n =n 1(2)' max = 1611 21. a 二y = x —一2222.(1)由题意，得1 3h(x)二xg(x) x 二㊁ax2-bx x在x・[4,；)上单调递增二h'(x)二ax2-2bx 1 _0 在x [4,：：)上恒成立22b乞童-=ax -在x・[4,；)上恒成立x x构造函数F(x) =ax 1 (a 0), x (0,：：)x2 .贝V F '(x)二a -吉二ax2Tx x••• F(x)在(0, a)上单调递减，在(a,；)上单调递增a a(i) 当4，即0 ::：a ：：：去时，F(x)在[4,―彳)上单调递减，在(一乩，；)上单调递增a 16 a a•〔F(x) Lin =F(严)=2 a• 2b岂I.F(x) m in，从而 (」：，• a](ii) 当—-4，即a 一±时，F(x)在(4 ,+s )上单调递增a 162b <F (4) =4a 1，从而b (_：：,2a Q] 8 分4 8综上，当0 :：:a ::: 16 时，b (_：：, a] , a 时，b (_：：, 2a ；]；(2)当b=-|a时，构造函数G(x) =f (x 1) —3g(x) =(x 1)ln(x 1)—*ax2—ax, x [0,：：)由题意，有G(x)乞0对x・[0, •：:)恒成立T G '(x) =ln(x 1) 1 _ax -a, x 二[0,：：)(i) 当a ^0 时，G'(x)=ln(x 1) 1 —a(x 1) 0••• G(x)在[0,;)上单调递增••• G(x) G(0) =0在(0,；)上成立，与题意矛盾.(ii) 当a 0 时，令(x) =G '(x), x [0,二)则：'(x) 斗-a，由于斗(0,1)x +1 x +1①当a _1时，'(X)二丄—a：：：0 , (x)在X [0,二)上单调递减x +1•(X)乞(0) =1 —a 乞0，即G'(x)E0在X [0,：：)上成立• G(x)在x三[0,亠)上单调递减• G(x)乞G(0)=0在[0,；)上成立，符合题意7伙一(1一1)]②当0 ：：a ：：1 时，：'(x)a a,x：=[0,；)x +1 x +1•- (x)在x [0, 1 -1)上单调递增，在x ({ -1,=)上单调递减T (0) =1 -a 0•- (x) 0在x [0, 1 -1)成立，即G '(x) 0 在x [0, 1 -1)成立a a• G(x)在x [0,丄一1)上单调递增a• G(x) G(0) =0在x (0,丄-1)上成立，与题意矛盾a综上，a的最小值为1。

山西省太原市第五中学2018-2019学年高二上学期10月月考数学(理)试题

太原五中2018-2019学年度第一学期阶段性检测高二数学（理）一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案）1.已知是两条平行直线，且平面，则与的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 在平面内D. 平行或在平面内【答案】D【解析】【分析】根据线面平行的性质去判断b与β的位置关系即可．【详解】因为是两条平行直线，且平面，所以与的位置关系是平行或在平面内. 故选D．【点睛】本题主要考查了直线和平面位置关系的判断，比较基础．2.若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，且此多面体的体积，则（）A. 9B. 3C. 6D. 4【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，几何体为三棱锥，根据公式求解即可．【详解】由三视图可知，几何体为三棱锥，高为2，底边长为a，底面高为2，顶点在底面上的射影是等腰三角形的顶点，所以V=×a××2×2=6，解得a=9．故选：A．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形，且，平行于轴，则这个平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】根据斜二测画法的规则可知：水平放置的图形OABC为一直角梯形，由题意可知上底为OA=2，高为AB=2，下底为BC=2+1=3，∴该图形的面积为．故选：B．【点睛】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，是基础题．4.已知圆柱的高等于，侧面积等于，则这个圆柱的体积等于（）A. B. C. D.【解析】分析：已知圆柱的高等于，侧面积等于，根据圆柱的侧面积公式，求出底面半径，即可得到圆柱的体积.详解：已知圆柱的高等于，侧面积等于，设圆柱的底面半径为根据圆柱的侧面积公式，则圆柱的体积故选D.点睛：本题考查圆柱的侧面积和圆柱的体积，属中档题.5.若表示空间中两条不重合的直线，表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断．【详解】对于A，若n⊂平面α，显然结论错误，故A错误；对于B，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n或m，n异面，故B错误；对于C，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C正确；对于D，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n位置关系不能确定，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题．6.如图，长方体中，，为上一点，则异面直线与所成角的大小是（）A. B. C. D. 随点的移动而变化【答案】C【分析】根据图形，利用长方体的性质，三垂线定理推出BP⊥B1C，得到选项．【详解】∵D1C1⊥面BCC1B1，∴BC1为BP在面BCC1B1内的射影，又BC1=B1C，∴BC1⊥B1C，∴BP⊥B1C．异面直线PB与B1C所成角的大小90°．故选：C．【点睛】本题主要考查长方体的性质和求异面直线所成角的求法，三垂线定理的应用，考查空间想象能力，计算能力．7.如图，在正方体中，分别是的中点，则下列说法错误的是（）A. B. 平面C. D. 平面【答案】C【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），∴MN⊥CC1，故A正确；∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；∵∴MN和AB不平行，故C错误；平面ABCD的法向量又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．故选：C．【点睛】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8.在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】连接交于点，连接，可证∠A1C1O即为所求角，则在Rt△A1C1O中，，即可得到答案.【详解】如图所示：连接交于点，连接，在正方体中，∵AB⊥平面AD1，∴AB⊥A1D，又A1D⊥AD1，且AD1∩AB=A，∴A1D⊥平面AD1C1B，所以∠A1C1O即为所求角，在Rt△A1C1O中，，所以A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为，故选D．【点睛】本题考查线面角的求法，属中档题.9.已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为的正方形，且面，四棱锥的体积为，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把四棱锥P-ABCD扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，求出外接球的半径R，再计算外接球的体积．【详解】四棱锥扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，由四棱锥的体积为，解得；，解得；∴外接球的体积为．故选：B．【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征与其外接球的应用问题，是基础题．10.在长方体中，分别在线段和上，，则三棱锥体积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，可知要使三棱锥D-MNC1的体积最小，则C1到直线MN的距离最小，此时MN 在AC上，C1到直线MN的距离为5，再由棱锥体积公式求解．【详解】如图，∵D到平面MC1N的距离为定值，△MC1N的一边长MN=2，∴要使三棱锥D-MNC1的体积最小，则C1到直线MN的距离最小，此时MN在AC上，C1到直线MN的距离为5，则三棱锥D-MNC1的体积最小值为故选：A．【点睛】本题考查棱锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题（每小题4分，共20分）11.分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是_____.【答案】平行或异面【解析】【分析】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交．【详解】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交，∴分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是平行或异面．故答案为：平行或异面．【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．12.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为的正方形，则该几何体的表面积为_____.【答案】【解析】【分析】该几何体是一个直三棱柱，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】如图所示，该几何体是一个直三棱柱，是以俯视图为底面是三棱柱，棱柱的底面是等腰直角三角形，腰长为1，棱柱的高为1，其左侧面与底侧面都是边长为1的正方形且相互垂直，其三棱柱的表面积．=．故答案为：．【点睛】本题考查了三棱柱的三视图及几何体的表面积的求法，属于基础题．13.已知圆锥的表面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为_______. 【答案】【解析】【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积，可得S=πr2+πr•2r=a，求出半径，即可求这个圆锥的底面直径．【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，因为圆锥的表面积是，所以，又因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，代入①可得，所以圆锥的底面直径为.即答案为.【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．属中档题.14.如图所示，在正方体中，分别是棱的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足_____时，有平面．【答案】在线段上【解析】【分析】根据平面FHN∥平面B1BDD1，可知平面FHN内任意一条直线都与平面B1BDD1平行，而点M在四边形EFGH上及其内部运动，所以M满足条件M∈FH．【详解】∵HN∥DB，FH∥D1D，∴面FHN∥面B1BDD1．∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，故M∈FH．故答案为：M在线段FH上.【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定、面面平行的性质，考查学生空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．15.如图，在直四棱柱中，底面是正方形，．记异面直线与所成的角为，则 _____.【答案】【解析】【分析】由BD∥B1D1，得∠AB1D1是异面直线AB1，与BD所成的角（或所成的角的补角），由此利用余弦定理能求出cosθ．【详解】∵在直四棱柱中，底面是正方形，．，是异面直线与所成的角（或所成的角的补角），设，记异面直线与所成的角为，则，故答案为：．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三、解答题（每小题10分，共40分）16.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，为的中点，过的平面与交于点．（1）求证：点为的中点；（2）四边形是什么平面图形？说明理由，并求其面积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理，证明A1B1∥平面ABFE，A1B1∥EF，可得点F为B1C1的中点；（2）四边形ABFE是直角梯形，先判断四边形ABFE是梯形；再判断梯形ABFE是直角梯形，从而计算直角梯形ABFE的面积．【详解】（1）证明：三棱柱中，，平面，平面，平面，又平面，平面平面，，又为的中点，∴点为的中点；（2）四边形是直角梯形，理由为：由（1）知，，且，∴四边形是梯形；又侧棱B1B⊥底面ABC，∴B1B⊥AB；又AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，又B1B∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1；又BF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥BF；∴梯形ABFE是直角梯形；由BB1=3，B1F=4，∴BF=5；又EF=3，AB=6，∴直角梯形ABFE的面积为S=×（3+6）×5=．【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．17.如图，边长为4的正方形中：（1）点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点.求证：；（2）当时，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A'D⊥A'F且A'D⊥A'E，所以A'D⊥平面A'EF．结合EF⊂平面A'EF，得A'D⊥EF；（2）由勾股定理的逆定理，得△A'EF是以EF为斜边的直角三角形，而A'D是三棱锥D-A'EF 的高线，可以算出三棱锥D-A'EF的体积，即为三棱锥A'-DEF的体积．【详解】（1）证明：由正方形可知：，平面，.（2）正方形边长为4，故折叠后，故的面积，由（1）知，可得三棱锥的体积.【点睛】本题以正方形的翻折为载体，证明两直线异面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查空间垂直关系的证明和锥体体积公式等知识，属于中档题．18.如图，在直三棱柱中，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明线面平行，可以利用线面平行的判定定理，只要证明A1B∥OM可；（2）（可判断BA，BC，BB1两两垂直，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面AMC1的法向量、直线CC1的阐释，向量，代入向量夹角公式，可求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值；【详解】（1）证明：连接交于,连接.在三角形中，是三角形的中位线，所以∥,又因平面，所以∥平面.（2）由ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直，如图以所在的直线为轴, 以所在的直线为轴, 以所在的直线为轴，以的长度为单位长度建立空间直角坐标系.则,,,，,,.设直线与平面所成角为，平面的法向量为.则有,,，令,得，设直线与平面所成角为，则.【点睛】本题考查线面平行，考查线面夹角，考查存在性问题的探究，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确运用向量的方法解决线面角、线线角．19.在四棱锥中，底面为正方形，.（1）证明：面⊥面；（2）若与底面所成的角为，，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC与BD交点为O，则PO⊥BD，而正方形中AC⊥BD，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC和面DPC的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．【详解】（1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD为正方形，∴∵，,∴,又∵,∴又,∴.（2）∵，过点P做,垂足为E∴∵PA与底面ABCD所成的角为，∴,又，设,则如图所示，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系设面法向量为，,∴，，∴同理的法向量，∴求二面角的余弦值【点睛】在立体几何中求角问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来求得空间角（如线面角、二面角）．解题关键是图中相互垂直的直线（最好是过同一点有三条相互垂直的直线）．。

山西省太原五中高三10月月考数学理试题.pdf

太原五中 2012-2013学年度第一学期月考(10月) 高三数学（理）第卷（选择题，共0分）1．设集合等于A.B.C. D. 2．=（） A. B. C. D. 3. “”是“”的充分不必要条Ｂ必要不充分条Ｃ充要条件Ｄ既不充分也不必要条上的增函数又是以为周期的偶函数的函数是（） A． B. C.y＝cos2x D. 5．已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG是边长为2的等边三角形，则的值为( )A．－B．－C. D．－6．,则( ) Ks5u A. B. C. D. 7.直线是曲线的切线的值为（） A．B．C．D．．．和曲线围成的图形面积是（） A. B. C. D. 10． B. C. D. 11．的图象上有一点，此函数图象与轴、直线围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与的函数关系图象可表示为（） 12.已知函数对任意的均满足Ks5u ，则为（）A. 100B. 0C. -2D. -98 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共0分函数14．=．15．的最大值为M，最小值为m,则M+m=_______. 16．的方程在区间上有两个不同的解,则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分17．（本小题满分12分）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间 18．（本小题满分12分）已知，且，求的值． 19．（本小题满分12分），，，且、、分别为的三边、、所对的角。

（1）求角C的大小；（2）若，，成等差数列，且，求边的长。

20．（本小题满分12分），（1）求在上的最大值；（2）设，若是单调递增函数，求的取值范围． 21．（本小题满分12分）设函数，（）若，，求的；（）在（）的，是否存在实常数和，使得和？若存在，求出和的值．若不存在，说明理由．（）设有两个零点和，且成等差数列，试探究值的符号．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。

2019届山西省高三10月月考理科数学试卷【含答案及解析】(1)

2019届山西省高三10月月考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设，则的非空真子集的个数为（）A ． 5_________B ． 30_________C ． 31D ． 322. 角的终边过点，且，则的范围是（）A ．______________B ．______________C ．____________________ D ．3. 已知等比数列中，各项都是正数，且，成等差数列，则A ．______________B ．______________C ．___________D ．4. 下列命题中的说法正确的是A ．若向量，则存在唯一的实数使得；B ．命题“若，则”的否命题为“若，则” ；C ．命题“ ，使得”的否定是：“ ，均有” ；D ．“ 且” 是“ ” 的不充分也不必要条件；5. 设，则“ ”是“ ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A ．______________________________B ．___________________________________ C ．____________________________ D ．7. 设为三角形三边，若，则三角形的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形 ________C ．钝角三角形 ________D ．无法确定8. 的角所对的边分别是（其中为斜边），分别以边所在的直线为旋转轴，将旋转一周得到的几何体的体积分别是，则（）A ．_________________________________B ．C ．____________________________D ．9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A ． 4________________________B ． 9______________C ． 7______________________________D ． 510. 已知是平面内互不相等的两个非零向量，且与的夹角为，则的取值范围是（）A ．_________B ．___________C ．D ．11. 已知点P为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且， I为三角形的内心，若成立，则的值为（）A ．B ．C ．_________D ．12. 已知函数是定义域为的偶函数．当时，若关于的方程（）有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是A ． ____________________________B ．C ． _________________________________D ．或二、填空题13. 设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则_________ ．14. 向曲线所围成的区域内任投一点，这点正好落在与轴所围成区域内的概率为 ______________ ．15. 已知点在抛物线的准线上，点M ， N在抛物线C上，且位于轴的两侧， O是坐标原点，若，则点A到动直线MN的最大距离为____________________ ．16. 函数，则此函数的所有零点之和等于______________ ．三、解答题17. 中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且．（1）求的值；（2）设，求的值．18. 甲箱子里装有3个白球个黑球，乙箱子里装有个白球， 2个黑球，在一次试验中，分别从这两个箱子里摸出一个球，若它们都是白球，则获奖（1）当获奖概率最大时，求的值；（2）在（1）的条件下，班长用上述摸奖方法决定参加游戏的人数，班长有4次摸奖机会（有放回摸取），当班长中奖时已试验次数即为参加游戏人数，如4次均未中奖，则，求的分布列和．19. 如图，在多面体中，为菱形，，平面，平面，为的中点，若平面．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值．20. 已知椭圆的离心率为，其左，右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，，其中为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点，且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数的定义域，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数” ；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。

山西省太原市第五中学2019届高三数学上学期10月月考试题文2019022101117

B．命题 p q 是真命题 D．命题 p q 是真命题
11. 0, b 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准 2 a b
y x 6.若实数 x ， y 满足 x y 6 ，则 z 2 x y 的最大值为（ y 3x 2
19.（12 分）如图，已知在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是 16.已知函数 f ( x) 是 . （1）求证：平面 EFG⊥平面 PAD；三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分）已知函数 f ( x) 2 cos x 2 3 sin x cos x( x R ) .

a
n
中，已知 a3 a8 10 ，则 3a5 a7
14. 2018 年 4 月,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测: 爸爸:冠军是甲或丙；妈妈:冠军一定不是乙和丙；孩子:冠军是丁或戊. 比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是．
5. 已知命题 p : x0 R,cos x0 sin x0 ，命题 q : x 0, ,sin x 正确的是（）
1 2 ，则下列说法 sin x
4 2 3
16 2 3
C．
32 2 3
D．
64 2 3
A．命题 p q 是假命题 C．命题 p q 是假命题
1 得 a 2c ， AF1 2 ， AF2 2a 2 ， 2

2019届山西省太原市第五中学高三10月月考数学(理)试题(解析版)

山西省太原市第五中学2019届高三10月月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. 或D. 或【答案】D【解析】解：由，，或，故A，或．故选：D．先化简A，B，再求出其交集即可．本题考查了集合的交集的运算，属于基础题．2.若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】解：由，得，．复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.设，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由于；，．，，可得．综上可得，，故选：A．由对数的单调性可得，再根据，利用对数的运算法则，判断，从而得到a、b、c的大小关系．本题主要考查对数值大小的比较，换底公式的应用，属于基础题．4.执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，20，则输出的A. 0B. 2C. 4D. 12【答案】C【解析】解：由，，，则；由，则；由，则；由，则输出．故选：C．由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算当前a，b的值，即可得出结论．本题考查了算法和程序框图的应用问题，也考查了古代数学文化的应用问题，是基础题．5.已知数列的前n项和，且，则A. 27B.C.D. 31【答案】C【解析】解：，且，，解得．时，，化为：，，，即，则，故选：C．，且，可得，解得时，，化为：，，利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有种，和等于30的有，，，共3种，则对应的概率，故选：C．利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键．7.在中，，，，则的面积等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由二倍角公式可得，由，可得，所以，，由正弦定理可得，得，因此，的面积为，故选：D．先求出，利用同角三角函数求出，利用正弦定理求出b，最后利用三角形的面积公式计算出的面积．本题考察正弦定理与三角形的面积，关键在于选择合适的定理求三角形的边和角，属于中等题．8.若函数在R上是增函数，则a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，函数在R上是增函数，则有，解可得：，则a的范围是；故选：A．根据题意，由函数单调性的定义和二次函数的性质分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数单调性的综合应用，关键是掌握函数单调性的定义．9.已知向量、夹角为，且，，则A. 2B.C. 3D.【答案】C【解析】解：，，即，，即，解得．故选：C．由得，展开左边后代入数量积公式，化为关于的一元二次方程求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查一元二次方程的解法，是基础题．10.已知函数其中，，的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为，则对于下列判断：直线是函数图象的一条对称轴；点是函数的一个对称中心；函数与的图象的所有交点的横坐标之和为．其中正确的判断是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数其中，，的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为，则：，，进一步解得：，．由于函数其中，，的图象关于点成中心对称，，解得：，由于，当时，．当时，，故不正确；由，解得：，当时，对称中心为：，故正确；由于：，则：，函数的图象与有6个交点．根据函数的交点设横坐标为、、、、、，根据函数的图象的所有交点的横坐标之和为故正确．正确的判断是．故选：C．首先根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查正弦型函数的解析式的求法，主要确定A，、的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于中档题．11.已知椭圆：长轴两个端点分别为A、B，椭圆上一动点不同于A，和A、B的连线的斜率之积为常数，则椭圆C的离心率为A. B. D.【答案】A【解析】解：椭圆：长轴两个端点分别为A、B，，设P点坐标为，则，，，，整理可得，，，故选：A．根据直线的斜率公式，即可求得椭圆方程，求得，利用椭圆的离心率公式即可求得离心率e的值；本题考查轨迹方程的求法，注意运用直线的斜率公式，考查直线的斜率之积为定值，属于中档题12.已知函数，，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设是函数上的点，则，，则点关于对应的点为在上，即有解，即，当时，不满足条件．当时，，设，则，当时，，则，，即由，得，得，即，时，函数为增函数，由，得，得，即时，函数为减函数，即当时，函数取得极小值同时也是最小值，又，，函数的最大值为3e，即的取值范围是，则m的取值范围是，故选：D．在函数与上分别设出关于直线对称的点的坐标，利用消参法，转化为关于a的表达式，构造函数，求函数的导数研究函数的最值进行求解即可．本题主要考查导数的综合应用，根据点的对称性，建立方程关系，构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.定积分，则展开式中的系数是______．【答案】80【解析】解：定积分，则，它的开式中的系数是，故答案为：80．求定积分得到a的值，再根据二项展开式的通项公式，求得展开式中的系数．本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知表示不超过实数x的最大整数，函数，是函数的零点，则______．【答案】2【解析】解：函数，在单调递增．，，根据零点判定定理可得，，故答案为：2；根据函数的单调性判断：，即可取整求解．本题考查了函数的零点判断，取整函数，属于中档题，关键是能够看出函数是单调递增函数．15.已知数列中，是其前n项和，，则______【答案】【解析】解：由，得，则；当时，，得：．当n为偶数时，有，则，为奇数；当n为奇数时，有，，即．为偶数．．故答案为：．首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用分组求和与等比数列的前n项求解．解：本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了数列的分组求和与等比数列前n项和的求法，是中档题．16.已知四边形ABCD中，，，设与面积分别为，则的最大值为______．【答案】【解析】解：四边形ABCD中，，，设与面积分别为，，则，．在中，利用余弦定理：，所以：．在中，利用余弦定理：，所以：．所以：．则当时，最大值，最大值为，故答案为：．直接利用已知条件，建立等量关系式，利用三角形的面积公式和余弦定理及三角函数关系式的恒等变换求出结果本题考查的知识要点：三角形的面积公式的应用，余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数的性质的应用属于中档题．三、解答题（本大题共7小题）17.已知的内角A，B，C满足．求角A；若的外接圆半径为1，求的面积S的最大值．【答案】解：设内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，根据，可得，，分，分又，；分由正弦定理得，，分由余弦定理得，分的面积为，当且仅当时取等号，面积S的最大值为分【解析】根据题意，利用正弦、余弦定理，即可求出角A的值；由正弦、余弦定理，利用三角形面积公式与基本不等式，即可求得面积的最大值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式与基本不等式的应用问题，是中档题．18.某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如表：统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占，该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品每人一件．试确定a，b的值，并估计每日应准备纪念品的数量；现有5人前去该商场购物，求获得纪念品的人数的分布列与数学期望．【答案】解：由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有，；．该商场每日应准备纪念品的数量大约为．由可知1人购物获得纪念品的频率即为概率故5人购物获得纪念品的人数服从二项分布，即～，，，，，，，的分布列为：数学期望为．【解析】通过已知条件，结合100位顾客中购物款不低于150元的顾客占，求解b，然后求解a．判断5人购物获得纪念品的人数服从二项分布，求出的可能值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．19.如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为中点．Ⅰ求证：面；Ⅱ求二面角的余弦．【答案】Ⅰ证明：取BC中点O，连结AO，为正三角形，，正三棱柱中，平面平面，平面，连结，在正方形中，O、D分别为BC、的中点，，，在正方形中，，平面．Ⅱ解：设与交于点C，在平面中，作于F，连结AF，由Ⅰ得平面，为二面角的平面角，在中，由等面积法可求得，又，，．二面角的余弦值为．【解析】Ⅰ取BC中点O，连结AO，由已知条件推导出平面，连结，则，，，由此能证明平面．Ⅱ设与交于点C，在平面中，作于F，连结AF，则为二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.已知，抛物线：与抛物线：异于原点O的交点为M，且抛物线在点M处的切线与x轴交于点A，抛物线在点M处的切线与x轴交于点B，与y轴交于点C．若直线与抛物线交于点P，Q，且，求；证明：的面积与四边形AOCM的面积之比为定值．【答案】解：根据题意，若直线与抛物线交于点P，Q，设P，Q的坐标分别为，，由，消去y得．则，．，，．．证明：由，得或，则．设直线AM：，与联立得．由，得，．设直线BM：，与联立得．由，得，．故直线AM：，直线BM：，从而不难求得，，，，，的面积与四边形AOCM的面积之比为为定值．【解析】根据题意，设P，Q的坐标分别为，，联立直线与抛物线的方程可得，结合根与系数的关系用p表示的值，分析可得p的值，进而由数量积的计算公式可得，结合根与系数的关系分析可得答案；根据题意，联立与的方程，可得M的值，联立直线与抛物线的方程，可以用P表示：的面积与四边形AOCM的面积之比，验证即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的几何性质，属于综合题．21.已知函数．Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；Ⅱ当时，证明：．【答案】Ⅰ解：当时，，所以分所以，分所以曲线在点处的切线方程为．即分Ⅱ证法一：当时，．要证明，只需证明分以下给出三种思路证明．思路1：设，则．设，则，所以函数在上单调递增分因为，0'/>，所以函数在上有唯一零点，且分因为时，所以，即分当时，；当时，0'/>．所以当时，取得最小值分故．综上可知，当时，分思路2：先证明分设，则．因为当时，，当时，0'/>，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．所以．所以当且仅当时取等号分所以要证明，只需证明分下面证明．设，则．当时，，当时，0'/>，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．所以．所以当且仅当时取等号分由于取等号的条件不同，所以．综上可知，当时，分若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！思路3：先证明．因为曲线与曲线的图象关于直线对称，设直线与曲线，分别交于点A，B，点A，B到直线的距离分别为，，则．其中，．设，则．因为，所以0'/>．所以在上单调递增，则．所以．设，则．因为当时，；当时，0'/>，所以当时，单调递减；当时，单调递增．所以．所以．所以．综上可知，当时，分证法二：因为，要证明，只需证明分以下给出两种思路证明．思路1：设，则．设，则．所以函数在上单调递增分因为，0'/>，所以函数在上有唯一零点，且分因为，所以，即分当时，；当时，0'/>．所以当时，取得最小值分故．综上可知，当时，分思路2：先证明，且分设，则．因为当时，；当时，0'/>，所以在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值．所以，即当且仅当时取等号分由，得当且仅当时取等号分所以当且仅当时取等号分再证明．因为，，且与不同时取等号，所以．综上可知，当时，分【解析】Ⅰ求得时，的导数，可得切点坐标和切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程；Ⅱ证法一：运用分析法证明，当时，要证明，只需证明，思路1：设，求得导数，求得单调区间，可得最小值，证明大于0即可；思路2：先证明，设，求得导数和单调区间，可得最小值大于0；证明设，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，即可得证；思路3：先证明：因为曲线与曲线的图象关于直线对称，结合点到直线的距离公式，求得两曲线上的点的距离，即可得证；证法二：因为，要证明，只需证明．思路1：设，求得导数和单调区间，求得最小值，证明大于0，即可得证；思路2：先证明，且设，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，再证明，运用不等式的性质，即可得证．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用不等式的传递性和构造函数法，运用导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy中，直线：，曲线：，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求，的极坐标方程；Ⅱ直线l的极坐标方程为，若l与交于点P，l与的交点为O，Q，求的面积．【答案】解：Ⅰ因为，，的极坐标方程为．曲线的直角坐标方程为从而曲线的极坐标方程为．Ⅱ将代入，得，即，将代入，得，即，从而，因为到直线l的距离为，则的面积为．【解析】Ⅰ直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．Ⅱ利用的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若关于x的不等式的解集不是空集，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ；当时，由，解得；当时，，不成立；当时，由，解得；综上可知：不等式的解集为．Ⅱ，又不等式的解集不是空集，，故实数a的取值范围是．【解析】Ⅰ去掉绝对值符号，利用分段函数否定求解不等式的解集即可；Ⅱ求出函数的最小值，不等式的解集不是空集，转化求解即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力．。

山西省太原市第五中学校2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题(解析版)

高三数学(文)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项)1.若集合(){}{}210,A x x x B y y x =-<==，则（）A. A B =B. A B ⊆C. AB R = D. B A ⊆【答案】B 【解析】由题意，集合(){}{}210{|01},{|0}A x x x x x B y y x y y =-<=<<===≥，所以A B ⊆，故选B.2.若复数11iz i-=+，则z = A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】C 【解析】由已知21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-，则z = i .故选C.3.设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A. ∀x ∈Q ，有x ∈P B. ∀x ∉Q ，有x ∉P C. ∃x 0∉Q ，使得x 0∈P D. ∃x 0∈P ，使得x 0∉Q【答案】B 【解析】【分析】根据P 和Q 的交集为P 可知P 是Q 的子集，根据子集的性质可知任意P 中的任意元素都属于Q ，不属于Q的元素一定不属于P 【详解】P Q P ⋂=，所以P Q ⊆，即P 是Q 的子集，x P ∴∀∈，有x Q ∈，所以x Q ∀∉，有x P ∉，故选B【点睛】本题主要考查了集合之间的关系的应用，当一个集合P 中的任意元素都属于另一个集合Q ，则称P 是Q 的子集，掌握子集的定义和性质是解题的关键。

4.已知324log 2,3,7a b log c log ===，则,,a b c 的大小关系为（） A. a b c << B. b a c <<C. c a b <<D. a c b <<【答案】D 【解析】分析：可以先比较同底的对数大小，再结合中间值1,进行比较即可.详解：324log 21,31,71a b log c log ====>,22log log 3<故a c b <<，选D.点睛：考查对数函数的基本性质和运算公式，比较大小通常先比较同底的然后借助中间值判断不同底的即可.属于基础题.5.已知ABC ∆中，E 是BC 上一点，2BE EC =，若AB AE AC λμ=+，则λμ+=（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量基本定理将AE 用AB 、AC 表示出来，与已知数据对比，即可找到λ和μ的值，可得到答案．【详解】∵2BE EC =，∴23BE BC =， ∴23AE AB BE AB BC =+=+=()23AB AC AB +- 1233AB AC =+，∴32AE AB AC =+，即32AB AE AC =-，λ=3，μ2=- 所以λ+μ1= 故选：A ．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．6.5y A sin x x R 66ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦如图是函数（）（）在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点A. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C. 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D. 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π-=kπ，k z ∈，取ϕ=3π，得y=sin （2x+3π），故只要将y=sinx （x∈R ）的图象上所有点向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变,故选A. 考点：本题主要考查三角函数图象变换，三角函数解析式.点评：基础题，根据图象求函数解析式及三角函数图象的变换均是高考常见题目，本题将二者结合在一起，解得思路明确，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求ϕ. 【此处有视频，请去附件查看】7.函数2()ln 8x f x x =- 图象大致为( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域，极限，单调性判断．【详解】f （x ）的定义域为{x |x ＞0}，排除A ．当x →0+时，f （x ）→+∞，排除D ．当x ＞1时，f （x ）＝lnx 28x -，f ′（x ）14x x =-，令f ′（x ）＝0解得x ＝2，当x ＞2时，f ′（x ）＜0，∴f （x ）在（2，+∞）上是减函数，排除B ．故选：C ．【点睛】本题考查了函数图象的判断，通常从函数的单调性，特殊点等方面采用排除法判断．8.如图，在圆O 中，若弦6AB =，弦10AC =，则AO ·BC 的值是A. －16B. －2C. 32D. 16【答案】C 【解析】取AC 的中点M ，AB 的中点N ，则半径的长为r,则()(22)2()AO BC AO AC AB AO AM AN AO AM AO AN ⋅=⋅-=⋅-=⋅-⋅532(53)32r r r r=⨯⨯-⨯⨯=.9.已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点，那么PA PB ⋅的最小值为A. 3-+B. 3-C. 4-+D. 4-【答案】A 【解析】【详解】试题分析：如图所示：设()0OP x x =>，则1,2,sin ,PA PB APO APB xααα==∠=∠==()()()4222222222322.cos 2112sin 1133x x PA PB PA PB x x x x x x αα-+⎛⎫⋅==--=--==+-≥ ⎪⎝⎭所以当且仅当2x =“=”，故最小值为3-+考点：向量的数量积的应用【此处有视频，请去附件查看】10.在ABC ∆中，若23()2||CA AB CB AB AB ⋅+⋅=，则1tan tan A B+的最小值为（）A. B. C.D.2【答案】B 【解析】设ABC △的内角A ，B ，C 所对应的三条边分别为a b c ，，，则有3(?·)CA AB CB AB +=23(cos cos )2bc A ac B c -+=，由正弦定理得：()()3sinBcosA sinAcosB 22sin sinC B C -+==+展开可得sin cos 5cos sin A B A B =，所以tan 5tan A B =，则1tan tan A B+=15tan tan B B +≥当且仅当tan B =时，等号成立，故选B ．点睛：当方程左右两边关于边或角为齐次式时，可以利用正弦定理统一化为边或化为角来处理；在三角形中要注重利用条件A B C π++=进行化简运算；用均值不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.11.若π,π4α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且π3cos24sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin2α的值为 ()A.79 B.19C. 79-D.- 19【答案】D 【解析】【分析】运用二倍角公式和两角差的正弦公式进行化简，再结合同角三角函数关系求出结果【详解】π,π4α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且3244cos sin παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2234cos 22cos sin αααα⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭化简可得()3cos sin αα+= 两边平方可得81sin29α+= 则812199sin α=-=- 故选D【点睛】本题主要考查了三角函数两角和与差公式和倍角公式，熟练掌握各个公式是解题的关键，属于基础题。

山西省太原市第五中学2019～2020学年度高一10月阶段性检测数学试题及参考答案解析

2019～2020学年度山西省太原五中高一第一学期10月段考数学试卷一、选择题(本大题共10小题)1.设集合1,2,3,,,,则A. B. C.2, D.2.如图所示的韦恩图中,全集为U,A,B是U非空子集,则图中阴影部分表示的集合是A. B.C. D.3.集合0,,A的子集中,含有元素0的子集共有A.2个B.4个C.6个D.8个4.函数图象可以分布在四个象限的函数只可能为A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数5.不等式的解集是,则的值为A.2B.C.0D.16.已知实数,则的最小值为A.4B.6C.7D.107.下列四个函数中,既是偶函数,又在上为增函数的是A. B. C. D.8.已知函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,则等于A. B.1 C.17 D.259.已知函数是R上的增函数,则a的取值范围是A. B. C. D.10.设函数,若互不相等的实数,,满足,则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题(本大题共5小题)11.设,则______.12.函数的值域是______.13.已知函数,则不等式的解集是______.14.已知函数是定义在R上的奇函数,给出下列四个结论：；若在上有最小值,则在上有最大值1；若在上为增函数,则在上为减函数；若时,,则时,；其中正确结论的序号为______；15.当时,不等式恒成立,则m的取值范围是______.三、解答题(本大题共4小题)16.已知集合,,,.求,；若,求a的取值范围.17.作出该函数的图象,求的值；若,求实数a的值；18.已知函数为定义在上的偶函数,在上单调递减,并且,求实数m的取值范围.19.已知函数b为实数,,.Ⅰ当函数的图象过点,且方程有且只有一个根,求的表达式；Ⅱ在Ⅰ的条件下,当时,是单调函数,求实数k的取值范围；Ⅲ若当,,,且函数为偶函数时,试判断能否大于0？答案和解析1.【参考答案】A【试题分析】解：集合1,2,3,,,,3,,1,,.故选：A.利用补集、交集的定义直接求解.本题考查集合运算,考查补集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.【参考答案】D【试题分析】解：根据图形,图中阴影部分表示的集合中元素,,且,；故选：D.根据图形,图中阴影部分表示的集合中元素一定不在集合中,因此在中,这些元素都在中,因此在与交集中. 本题主要考查集合的基本运算,利用图象先确定集合关系是解决本题的关键,属于基础题.3.【参考答案】B【试题分析】解：根据题意,在集合A的子集中,含有元素0的子集有、、、0,,四个；故选：B.根据题意,列举出A的子集中,含有元素0的子集,进而可得答案.元素数目较少时,宜用列举法,当元素数目较多时,可以使用并集的思想.4.【参考答案】D【试题分析】解：正比例函数只能过两个象限,B.反比例函数也只能过两个象限,C.一次函数可以过三个象限,D.二次函数可以分布在四个象限,故选：D.分布根据四类函数的图象特点进行判断即可.本题主要考查函数图象的理解,结合四类图象特点是解决本题的关键.比较基础.5.【参考答案】C【试题分析】解：由不等式的解集是,得和1是方程的解,由根与系数的关系知,,解得,；所以.故选：C.由一元二次不等式与对应方程的关系,利用根与系数的关系列方程组求出b、c的值,再求和.本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题,是基础题.6.【参考答案】C【试题分析】解：,则,当且仅当即时取等号,故选：C.由即可求解最小值.本题主要考查了利用基本不等式求解最值,属于基础试题.7.【参考答案】C【试题分析】解：由题意可知,,,为非奇非偶函数,,,故为偶函数,且当时,单调递增,符合题意,故选：C.结合函数奇偶性的定义及单调性分别对各选项进行检验即可判断.本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断,属于基础试题.8.【参考答案】D【试题分析】解：函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,故函数的图象关于直线对称；故解得故故选D由已知中函数的单调区间,可得函数的图象关于直线对称,由对称轴直线方程求出m值后,代入可得的值. 本题考查的知识点是函数的单调性及应用,函数的值,其中根据函数的单调区间求出对称轴方程,进而确定函数的解析式是解答的关键.9.【参考答案】C【试题分析】解：函数是R上的增函数,则,求得,故选：C.由题意根据函数的单调性的性质可得,由此求得a的范围.本题主要考查函数的单调性的性质,属于基础题.10.【参考答案】A【试题分析】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.先作出函数的图象,如图,不妨设,则,关于直线对称,得到,且；最后结合求得的取值范围即可.【试题答案】解：函数的图象,如图,若互不相等的实数,,,满足等价于平行于x轴的直线与函数的图像有三个不同的交点,且交点的横坐标分别为,,不妨设,则,关于直线对称,故,且满足；则的取值范围是：；即.故选：A.11.【参考答案】15【试题分析】解：令解得,.故答案为：15.令求出对应的,即求出了中的x,再代入即可求出结论.本题主要考查函数的值的计算.解决本题的关键在于令求出对应的,即求出了中的x.12.【参考答案】【试题分析】值域问题应先确定定义域,此题对根号下二次函数进行配方,利用对称轴与区间的位置关系求出最值进而确定值域本题考察闭区间上复合函数函数的值域,先求得定义域后,再计算根号下二次函数的最值,进而确定复合函数的值域,属于基础题.【试题答案】解：定义域应满足：,即,所以当时,,当或4时,所以函数的值域为,故答案为.13.【参考答案】【试题分析】解：当时,,则,,,解得,；当时,,则,即,恒成立；综上所述,原不等式的解集为；故答案为：.分别考虑时；时的原不等式的解集,最后求并集.本题考查分段函数的应用,考查分段函数值应考虑自变量对应的情况,属于基础题.14.【参考答案】【试题分析】解：由题意可得：函数是定义在R上的奇函数.；故正确.若在上有最小值,的图象关于对称,在上最大值为1,故正确；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.若在上为增函数,则在上为增函数；故错误；奇函数,若时,,则时,；故正确.故正确结论的序号为：.故答案为：.根据奇函数的基本概念,逐一分析四个答案结论的真假,可得答案.考查了奇函数的基本概念,难度不大,属于基础题.15.【参考答案】【试题分析】解：设函数,当时,恒成立,函数的图象需满足如图所示形状：,即,解得：,故答案为：.利用二次函数的图象列出不等式组,即可求出m的取值范围.本题主要考查了二次函数的图象和性质,是基础题.16.【参考答案】解：,,,,或,则,,,且,,即a的取值范围为.【试题分析】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键,属于基础题. 由A与B,求出两集合的并集,求出A的补集,找出A补集与B的交集即可；根据A与C的交集不为空集,求出a的范围即可.17.【参考答案】解：图象如图所示,；结合图象可知,当时,有,故.【试题分析】结合一次函数与二次函数的图象可作图,先求,进而可求的值,结合函数的图象即可求解.本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.18.【参考答案】解：由题设可得,即,故可化为,即,又,,函数在上单调递减,故,解可得,且,故.【试题分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求a,然后结合函数在上单调递减,可知函数在上单调递增,从而可求.本题主要考查不等式的解法,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键,综合考查函数性质的应用.19.【参考答案】解：Ⅰ因为,所以分因为方程有且只有一个根,所以.所以即,分所以分Ⅱ因为分所以当或时,即或时,是单调函数.分Ⅲ为偶函数,所以所以.所以分因为,不妨设,则.又因为,所以.所以分此时.所以分【试题分析】Ⅰ根据,可得,再根据方程有且只有一个根,利用根的判别式再列出一个a和b的关系式,联立方程组即可解得a和b的值.Ⅱ首先求出的函数关系式,然后根据函数的单调性进行解答,即可求出k的取值范围.Ⅲ由为偶函数,求出,设,则,又知,故可得,最后把m和n代入求出.本题主要考查函数解析式的求法、函数单调性的性质和奇偶性与单调性综合运用的知识点,解答本题的关键是熟练掌握函数单调性的性质,利用奇偶性进行解题,此题难度不是很大.。

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证明：由，得或，则 .
设直线：，与联立得 .
由，得，∴ .
设直线：，与联立得 .
由，得，∴ .
故直线：，直线：，
从而不难求得，，，
∴ ，，
∴ 的面积与四边形的面积之比为（为定值）.
21.解析：（Ⅰ）解：当时，，
所以．
所以， .
（Ⅱ）将代入，得，即，
将代入，得，即，从而，
因为到直线的距离为，则的面积为 .
23.解:（Ⅰ）；
当时，由，解得；
当时，，不成立；
当时，由，解得；
综上可知：不等式的解集为 .
（Ⅱ）∵ ，
又∵不等式的解集不是空集
∴
故实数的取值范围是 .
要证明，只需证明 .
设，则 .
设，则．
所以函数在上单调递增．因为，，
所以函数在上有唯一零点，且 .因为，所以，即．
当时，；当时， .
所以当时，取得最小值．
故．
综上可知，当时，．
22．解：（Ⅰ）因为，
∴ 的极坐标方程为 .
曲线的直角坐标方程为
从而曲线的极坐标方程为 .
山西省太原五中2019届高三上学期10月月考
理科数学答案
一、选择题
1.B2.A3.D4.C5.C6.C
7.D8.A9.D10.C11.A12.D
二、填空题
13.80；14.2；15. 16.
三、解答题
17.解：（1）设内角，，所对的边分别为，，．
根据，可得，
所以，
又因为，所以．
（2），
所以，所以（时取等号）．
18.解：（1）由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有，；．
该商场每日应准备纪念品的数量大约为．
（2）由（1）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率，·
故5人购物获得纪念品的人数服从二项分布，即，
，，，，，
的分布列为：
0
1
2
3
4
5
∴ ，，∴ ，，∴AB1 平面A1BD．
（Ⅱ）设平面A1AD的法向量为．，．
∵ ，，∴ ，∴ ，，令得为平面A1AD的一个法向量．由（1）知
AB 1 平面A1BD，为平面A1BD的法向量，
∴ ．
∴二面角A－A1D－B的大小的余弦值为
20.解：（1）由，消去得 .
设，的坐标分别为，，则， .
所以曲线在点处的切线方程为．
即 .
（Ⅱ）证法一：当时， .
要证明，只需证明 .
设，则 .
设，则，
所以函数在上单调递增．
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且 .
因为时，所以，即 .
当时，；当时， .
所以当时，取得最小值
故．
综上可知，当时， .
证法二：因为，
P
数学期望为．
19.解:（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1．
取B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间
直角坐标系：，如图所示，则 B(1， 0，0)，D( 1，1，0)，A1(0，2， )，A(0，0， )，B1(1，2，0)，∴ ，，．