2017届山东省日照一中高三下学期开学考试理科数学试题及答案

日照一中2017届高三下学期开学考试理科数学一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1.设全集{}9,8,7,6,5,4,3,2,1=U ，[{}3,1)(=B A U ,{}[4,2)(=B A U ,则集合B= Ａ．{}4,3,2,1 B ．{}5,4,3,2,1 Ｃ．{}9,8,7,6,5 D ．{}9,8,72．若复数3i()12ia z a +=∈+R 实部与虚部相等，则a 的值等于 Ａ．-1 Ｂ．3 Ｃ．-9 Ｄ．9 3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为Ａ．1 B ．13 Ｃ．12 D ．324．设向量(1,sin )θ=a ，(3sin ,1)θ=b ，且//a b ，则cos 2θ等于Ａ．31- B ．32- Ｃ．32D ．315. 下列推理是归纳推理的是Ａ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a ＞|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式Ｃ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇6. 将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为A.6种B.12种C.18种D.24种7．已知A ，B ，C ，D 是函数sin()(0,0)2y x πωω=+Φ><Φ<一个周期内的图象上的四个点，如图所示，(,0),6A π-B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD在x 轴上的投影为12π，则,ωΦ的值为 Ａ．2,3πω=Φ= B ． 2,6πω=Φ=Ｃ． 1,23πω=Φ= D ．1,26πω=Φ=8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足33()()22f x f x -+=+,3(0,)2x ∈时, 2()ln(1)f x x x =-+，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是A ．3B ．5C ．7D ．9 9．下列命题正确的个数 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（1） 命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；（2）函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件；（3）．22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立（4）．“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅< ”。

10. 定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)232,0,1,1,1,2,2x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩则当[)4,2x ∈--时，函数()2142t f x t ≥-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. 23t ≤≤B. 13t ≤≤C. 14t ≤≤D.24t ≤≤11．已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若()0AO AF OF +⋅=，则双曲线的离心率e 为Ａ．2 B ．312．定义在R 上的函数()f x 满足'(1)()0x f x -≤，且)1(+=x f y 为偶函数，当1211x x -<-时，有A ． )2()2(21x f x f -≥-B ．12(2)(2)f x f x -=-C ．12(2)(2)f x f x -<-D ．12(2)(2)f x f x -≤-二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置.13.若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .14. 已知10(2)xa e x dx =+⎰（e 为自然对数的底数），函数ln ,0()2,0x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则21()(log )6f a f +=__________.15．()()51x x a ++的展开式中2x 项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是_______.16.已知点A ，O 为坐标原点，点(,)P x y满足0200y x y ⎧-≤⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪⎩,则||OA OP Z OA ⋅= 的最大值是三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤。

17．（本小题满分12分）已知向量2,1),(cos ,cos ).444x x x m n == 记()f x m n =⋅ . （Ⅰ）若3()2f α=，求2cos()3πα-的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，若()f A =ABC 的形状.18.（本小题满分12分）计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格“并颁发”合格证书“.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为324354、、，在实际操作考试中“合格”的概率依次为653221、、，所有考试是否合格相互之间没有影响。

（Ⅰ）假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得“合格证书”的可能性大？（Ⅱ）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得“合格证书”的概率；（Ⅲ）用X表示甲、乙、丙3人计算机考试获“合格证书”的人数，求X的分布列和数学期望EX。

19. （本题满分12分）在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,且满足AE EB =CFFA=CPPB=12(如图(1)),将△AEF沿EF折起到△1A EF的位置,使二面角1A EF B成直二面角,连接1A B、1A P(如图(2)).(1)求证:1A E⊥平面BEP;(2)求直线1A E与平面1A BP所成角的大小.20. （本小题满分12分）已知数列{}na是等差数列，()*+∈-=Nnaacnnn212（1）判断数列{}nc是否是等差数列，并说明理由；（2）如果()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。

若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由。

21.（本小题满分13分）如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的短轴长。

2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A B 、D E 、。

（1）求1C 、2C 的方程； （2）求证：M A M B ⊥。

（3）记,MAB MDE ∆∆的面积分别为12S S 、若12S S λ=，求λ的取值范围。

22．（本小题满分13分）M ABOD已知函数()ln(1)2ex f x f x '=-⋅，32()()2x a g x f x x=--（其中a R ∈）. （1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()g x 在区间[2,)+∞上为增函数，求a 的取值范围；（3）设函数2()4h x x mx =-+，当1a =时，若存在1(0,1]x ∈，对任意的2[1,2]x ∈，总有12()()g x h x ≥成立，求实数m 的取值范围.答案解析1.Ｃ2.Ａ3. B4. D 5． C 6.A 7．A 8．D ．9．B 10. B 11．C 12．A13. 42≤≤-a 14. 7 15．. 17．解：211()cos cos cos 44422222x x x x x f x =+=++1sin 262x π⎛⎫=++⎪⎝⎭……2分（I ） 由已知32f ()α=得13sin 2622απ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，于是24,3k k παπ=+∈Z ， ∴ 22241333cos()cos k πππαπ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭……6分 （Ⅱ） 根据正弦定理知：()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-= ......8分12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π⇒=+=⇒=⇒=∵()f A =……10分∴ 1sin 262263A A πππ⎛⎫++=⇒+= ⎪⎝⎭或23π3A π⇒=或π 而203A π<<，所以3A π=，因此∆ABC 为等边三角形.……………12分18. 解：解：（I)记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则 9050956532)(,9045213243)(,9036522154)(==⨯===⨯===⨯=C P B P A P 因P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性大。

……………3分（II ）设3人考试后恰恰有2人获得“合格证书”为事件D ，则3011952153952152942152)()()()(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=BC A P C B A P C AB P D P …………7分（III)X=0，1，2，3。

152942153)0(=⨯⨯==X P ,由（II ）3011)()2(===D P X P ,91952152)3(=⨯⨯==X P ,1879130111521)3()2()0(1)1(=---==-=-=-==X P X P X P X P . …………10分X 的分布列为：19. 解:(1)不妨设正三角形ABC 的边长为3,则在图(1)中,取BE 的中点D,连接DF, ∵EB AE =FA CF =PB CP =21,∴FA=AD=2.又∠A=60°, 则△ADF 是正三角形.又AE=ED=1,∴EF ⊥AD,∴在图(2)中有1A E ⊥EF,BE ⊥EF,∴∠1A EB 为二面角1A EFB 的平面角, ∵二面角1A EFB 为直二面角,∴1A E ⊥BE.又∵BE ∩EF=E,∴1A E ⊥平面BEF,即1A E ⊥平面BEP.(2)由(1)可知1A E ⊥平面BEP,BE ⊥EF,建立如图所示的空间直角坐标系, 则E(0,0,0), 1A (0,0,1),B(2,0,0).连接DP,由(1)知EF DP,DE FP,故点P 的坐标为(1,3,0),∴B A 1=(2,0,-1), BP =(-1,3,0), 1=(0,0,1),不妨设平面1A BP 的法向量1n =(x,y,z),则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-=⋅0302111y x n z x n A ,令y=3,得1n =(3,3,6),∴cos<1n , 11111=346=23,则直线1A E 与平面1A BP 所成角的正弦值为23,故直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小为3π.20. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，则22221121()()n nn n n n c c a a a a ++++-=---2221112()()n n n a a d a d +++=---+22d =-∴数列{}n c 是以22d -为公差的等差数列 (3)（2）1325130a a a +++= 242614313a a a k +++=- ∴两式相减：131313d k =-1d k ∴=-…………6分113(131)1321302a d -∴+⨯=k a 1221+-=…………8分)313()1()1(1-+-=-+=∴k n k d n a a n 22111()()n n n n n n n c a a a a a a +++∴=-=+-22)1)(12(63226k n k k -+-+-=53025)1(222+-+--=k k n k (8)（3）因为当且仅当12n =时n S 最大12130,0c c ∴><有…………12分即2222224(1)2530501819036(1)25305022210k k k k k k k k k k ⎧⎧--+-+>+->⎪⎪⇒⎨⎨--+-+<-+>⎪⎪⎩⎩1191921211k k k k k k ><-⎧⇒⇒<->⎨><⎩或或或 (12)21.（1）222c a b a = （1分）又2b =，得1b =22221:1,:12x C y x C y ∴=-+= （2分）（2）设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =则22101y kx x kx y x =⎧⇒--=⎨=-⎩ （3分）211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ⋅=+⋅+=++++=0M A M B ∴⊥ （5分）（3）设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=-1121122110,(,1)111x k y k x x A k k y y k y x ==-⎧⎧=⎧⎪∴-⎨⎨⎨=-=-=-⎪⎩⎩⎩解得或，同理可得222(,1)B k k -11212S MA MB k = （8分）1212111222221112141120421,(,)11212211212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ⎧==-⎧⎪+=⎧-⎪⎪∴⎨⎨⎨=-++-+=⎩⎪⎪=⎩⎪+⎩解得或 同理可得2222222421(,)1212k k E k k -++212S MD ME ∴== （11分） 212211212152()(12)(12)9161616k S k k k S λ++++===≥ （13分）22. 解：（1）1()(1)f x f x''=-，1(1)1(1),(1)2f f f '''∴=-∴=，1()ln ,(0)22ex f x x x ∴=->，故112()22x f x x x -'=-=. ∴当02x <<时，()0f x '>；当2x >时，()0f x '<.∴()f x 的单调增区间为(0,2)，单调减区间为(2,)+∞.……3分（2）2()2ln 2a ex g x x x =--，则2221222()2a x x a g x x x x-+'=-+=，由题意可知22220x x a x-+≥在[2,)+∞上恒成立，即2220x x a -+≥在[2,)+∞上恒成立，因函数2()22u x x x a =-+开口向上，且对称轴为14x =，故()u x 在[2,)+∞上单调递增，因此只需使(2)0u ≥，解得3a ≥-；易知当3a =-时，()0g x '≥且不恒为0.故3a ≥-.……7分（3）当1a =时，2()2ln 2ex g x x x =--，22221152()2248()0x x x g x x x -+-+'==>，故在(0,1]上()0g x '>，即函数()g x 在(0,1]上单调递增，∴max ()(1)ln 21g x g ==-.……9分 而“存在1(0,1]x ∈，对任意的2[1,2]x ∈，总有12()()g x h x ≥成立”等价于“()g x 在(0,1]上的最大值不小于()h x 在[1,2]上的最大值”.而()h x 在[1,2]上的最大值为(1),(2)h h 中的最大者，记为max{(1),(2)}h h . 所以有(1)ln 21(1)(1)ln 21(2)g h g h =-≥⎧⎨=-≥⎩，(1)ln 215(1)ln 2182g m g m=-≥-⎧∴⎨=-≥-⎩， 6ln 2,6ln 21(9ln 2)2m m m ≥-⎧⎪∴∴≥-⎨≥-⎪⎩. 故实数m 的取值范围为[6ln 2,)-+∞.……13分。