第一章 常用逻辑用语 第二讲简单逻辑联结词

第一章常用逻辑用语第二讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词[知识梳理]［知识盘点］一．逻辑联结词1．逻辑联结词：在数学中，有时会使用一些联结词，如.2．“p且q”记作；“p或q”记作；“非p”记作.⌝的真假判断3．命题qp∧，qp∨和p（1）当q⌝为.p∨为；pp∧为；qp,都是真命题时，q（2）当qp∨为.p,有一个是真命题时，qp∧为；q(3)当q⌝为.p∨为；pp∧为；qp,都是假命题时，q上述语句可以描述为：对于qp∨而言“一真必真”；对于p∧而言“一假必假”；对于q⌝而言“真假相反”。

p可以用下表来判断：（即真值表）⌝p∨pp q qp∧q真真真假假真假假二．全称量词与存在量词4．全称量词：短语、在逻辑中通常叫做全称量词，用符号来表示；含有全称量词的命题，叫做.全称命题“对M中任意一个x，有)p成立”可用符号简记为.(x5．存在量词：短语、在逻辑中通常叫做存在量词，用符号来表示；含有存在量词的命题，叫做.存在命题“存在M中一个x，使)p成立”可用符号简记为.(x6．含有一个量词的命题的否定：含有一个量词的全称命题的否定，有以下结论：全称命题p：)x∈∀，它的否定pM(,xp⌝：；即全称命题的否定是. 含有一个量词的特称命题的否定，有以下结论：全称命题p：)x∈∃，它的否定pM(,xp⌝：；即全称命题的否定是. ［特别提醒］1．对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解在集合部分中的学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切，对于理解逻辑联结词“或”“且”“非”很有用处：（1）“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同，在日常生活用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有。

对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈中的“或”是指 “A x ∈”与“B x ∈”中至少有一个成立，可以是“A x ∈且B x ∉”，也可以是“A x ∉且B x ∈”，也可以是“A x ∈且B x ∈”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的； （2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈的“且”是指“A x ∈”、“B x ∈”都要满足的意思，即x 既要属于集合A ，又要属于集合B ；（3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：“非”有否定的意思，一个命题p 经过使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非p ”，当p 为真时，非p 为假，当p 为假时，非p 为真。

若将命题p 对应集合P ，则命题非p 就对应着集合P 在全集U 中的补集P C U ；对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思，如“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题。

一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。

2．由于全称命题的否定变为特称命题，而特称命题的否定变为全称命题，因此，可以通过“举反例”来否定一个全称命题。

[基础闯关]1．在命题“方程1||=x 的解是1±=x ”中使用逻辑联结词的情况是（ ） （A ）没有使用逻辑联结词 （B ）使用了逻辑联结词“或” （C ）使用了逻辑联结词“且” （D ）使用了逻辑联结词“非” 2．（2007年山东省实验中学）有下列四个命题，其中真命题有：①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）③④3．（2006年淄博统考）下列命题中是全称命题的是（ ） （A ）圆有内接四边形（B ）23>（C ）23< （D ）若三角形的三边长分别为3,4，5，则这个三角形为直角三角形 4．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意B x A x ∉∈有, ②A B ⇔=B A φ③A B ⇔A ⊇B④A B ⇔存在B x A x ∉∈使得,其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）5．（2005年济宁期未）写出命题：23,x x N x >∈∀的否定 。

6．给出以下命题：①R x ∈∀，有24x x >；②R ∈∃α，使得ααsin 33sin =；③R a ∈∃，对R x ∈∀，使022<++a x x .其中的假命题是 .[典例精析]例1．在一次模拟射击游戏中，小李连续射击了两次，设命题1p ：“第一次射击中靶”，命题2p ：“第二次射击中靶”，试用1p ，2p 及逻辑连结词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次射击均中靶； （2）两次射击均未中靶； （3）两次射击恰好有一次中靶；（4）两次射击至少有一次中靶.［剖析］此题目是判断复合命题的形式，利用仔细分析命题的构成是解决此类题目的关键。

［解］（1）因为“两次射击均中靶”的意思是“第一次中靶”，“第二次中靶”同时发生了，所以需用逻辑联结词“且”，应为：“1p 且2p ”；（2）“两次射击均未中靶”说明“第一次射击中靶”这件事情没有发生，也就是1p ⌝发生了，且“第二次射击中靶”这件事情也没有发生，也就是2p ⌝发生了，并且是1p ⌝与2p ⌝同时发生的，故用逻辑联结词联结应为：“1p ⌝且2p ⌝”；（3）“两次射击恰好有一次中靶”有可能是“第一次中靶而第二次未中”，即“1p 且2p ⌝”；也有可能是“第一次未中，而第二次射中”即“1p ⌝且2p ”；从而原命题用逻辑联结词联结应为：“1p 且2p ⌝，或1p ⌝且2p ”；（4）“两次射击至少有一次中靶”即“第一次射中”或“第二次射中”应为“1p 或2p ”。

［警示］逻辑联结词是用来联结命题的，利用逻辑联结词可以将几个简单命题组合成较为复杂的命题。

［变式训练］1． 分别指出下列各命题的构成的“p 或q ” 、“p 且q ”和“非p ”的形式。

（1）3:p 是无理数，3:q 是实数；（2）64:>p ，1064:≤+q ； （3）8或6是30的约数； （4）矩形的对角线垂直平分。

例2．（05年西安市模拟）指出下列命题的真假（1）命题“不等式0|2|≤+x 没有实数解”； （2）命题“－1是偶数或奇数”； （3）命题“2属于集合Q ，也属于集合R ”；（4）命题“B A A ⊆” ［剖析］先找出逻辑联结词，再判定命题的真假。

［解］ （1）此命题为“非p ”的形式，其中p ：“不等式0|2|≤+x 有实数解”，因为2-=x 是该不等式的一个解，所以p 是真命题，即非p 是假命题，所以原命题是真命题。

（2）此命题是“p 或q ”的形式，其中p ：“－1是偶数”，q ：“－1是奇数”，因为p 为假命题，q 为真命题，所以p 或q 是真命题，故原命题是真命题。

（3）此命题是“p 且q ”的形式，其中p ：“2属于集合Q ”，q ：“2属于集合R ”，因为p 为假命题，q 为真命题，所以p 且q 是假命题，故原命题是假命题。

（4）此命题是“非p ” 的形式，其中p ：“B A A ⊆”，因为p 为真命题，所以“非p ”为假命题，故原命题是假命题。

［警示］为了正确判断含有逻辑联结词命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据真值表判定所构成的新命题的真假。

关于复合命题，要理解以下两点：①当且仅当n 个复合命题n p p p ,,,21 中至少有一个真命题时，复合命题“n p p p 或或或 21”是真命题，简称为“一真必真”；当且仅当n 个复合命题n p p p ,,,21 中至少有一个假命题时，复合命题“n p p p 且且且 21”是假命题，简称为“一假必假”；②复合命题“n p p p 或或或 21”的否定命题是“n p p p ⌝⌝⌝且且且 21”；复合命题“n p p p 且且且 21”的否定是“n p p p ⌝⌝⌝或或或 21”. ［变式训练］2．判断下列复合命题的真假（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； （2）方程0232=++x x 的根是1±； （3）对所有的正实数p ，p 为正数，且p ＜p ；（4）对于实数x ，若0762=--x x ，则0762≥--x x .例3．（2007年华师附中）已知命题p ：方程0222=-+ax x a 在[]1,1-上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220,x ax a ++≤若命题""p q 或是假命题，求a 的取值范围. ［剖析］先将p ，q 化简，由“p 或q ”为真命题时推出a 的取值范围，而""p q 或是假命题为其反面情况，进而求解。

［解］由0222=-+ax x a ，得0)1)(2(=-+ax ax ，显然0≠a ，ax 2-=∴或ax 1=]1,1[-∈x ，故1|2|≤a 或1|1|≤a，1||≥∴a ，又“只有一个实数满足0222≤++a ax x ”即抛物线a ax x y 222++=与x 轴只有一个交点，0842=-=∆∴a a ，0=∴a 或2=a ，∴命题“p 或q ”为真命题时，1||≥a 或0=a 命题“p 或q ”是假命题，a ∴的取值范围为01|{<<-a a 或}10<<a .［警示］本题涉及一元二次方程、一元二次不等式（组）、补集、“p 或q ”的复合问题，其实关于“p 或q ”与“p 且q ”这两类复合命题的判断与解答题目，在解答时只注意层层推进先将q p ,化简，然后根据题设条件推出所有的情况。

［变式训练］3．已知命题:P 不等式|||1|x x m +->的解集为R ,命题:Q ()()52xf x m =--是减函数,若P 或Q 为真命题, P 且Q 为假命题,求实数m 的取值范围.例4．写出下列命题的否定，并判断真假（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数； （3）有些实数的绝对值是正数； （4）某此平行四边形是菱形。

［剖析］首先弄清楚是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定。

对于（1）来说，其否命题是：“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是“存在一个矩形不是平行四边形”，它与“所有的矩形都不是平行四边形”有区别，前者是指“存在一个矩形不是平行四边形”，并不排除有其它的矩形是平行四边形的可能。

［解］（1）存在一个矩形不是平行四边形；假命题； （2）存在一个素数不是奇数；真命题；（3）所有的实数的绝对值都不是正数；假命题；（4）每一个平行四边形都不是菱形，假命题。