【最新】人教版八年级数学上册导学案：13.3.2等边三角形性质(第8课时)
八年级数学上册 13.3.2 等边三角形导学案(含解析)(新版)新人教版
等边三角形一、新课导入1、你还记得等腰三角形有哪些性质吗？2、如果一个等腰三角形的底边和腰相等，那么这个特殊的等腰三角形会具有哪些性质呢？二、学习目标1、利用等腰三角形的性质和判定方法探索等边三角形的性质和判定方法；2、利用等边三角形的性质和判定方解决问题。
三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
研读一、认真阅读课本要求：知道等边三角形的定义；了解等边三角形与等腰三角形的关系。
一边阅读一边完成检测一。
检测练习一、1、三条边都相等的三角形是等边三角形；2、如图所示，△ABC中，AB=BC=AC，那么△ABC是等边三角形，如果把BC看作底边，则AB、AC可以看作是腰，如果把AB看作底边，则AC、BC是腰，如果把AC看作底边，则AB、BC是腰；3、等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形，等边三角形也叫正三角形。
研读二、认真阅读课本要求：思考“探究”中的问题，利用等腰三角形的性质探索等边三角形的性质；问题探究：(1)、在等边△ABC中，把BC看作底边，则AB、AC为腰，那么∠B和∠C有什么关系？∠A和∠B有什么关系？∠A和∠C有什么关系？∠A、∠B、∠C之间有什么关系？∠A、∠B、∠C分别是多少度？、在等边△ABC中，如果把BC看作底边，则AB、AC为腰，那么BC边上的高、中线和BC边所对的角平分线三线合一，如果把AB或AC看作底边会有什么结果呢？等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高(中线或这条边所对的角平分线)所在的直线，等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？结论：1、等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°；2、等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一；3、等边三角形是轴对称图形，每条边上的高(中线或这条边所对的角平分线)所在的直线是它的对称轴，等边三角形有3条对称轴。
检测练习二、在等边△ABC中，AB=AC=BC，因为AB=AC，所以∠A = ∠B，②因为AB=BC，所以∠A = ∠C，③因为AC=BC，所以∠A = ∠B，所以在等边△ABC中，∠A = ∠B = ∠C。
人教版八年级数学上册13.3.2等边三角形教学设计
-提问：“这些三角形有什么特别之处？它们的边长有什么关系？”
-学生思考后回答：“这些三角形的边长都相等。”
3.教师揭示课题：今天我们要学习的等边三角形，就是具有三边相等的特殊三角形。
（二）讲授新知，500字
1.教师通过几何画板动态展示等边三角形的性质，让学生直观感受等边三角形的特征。
作业布置要求：
1.作业量适中，确保学生能在规定时间内完成；
2.注重作业质量，培养学生认真、严谨的学习态度；
3.鼓励学生主动思考、积极探索，提高解决问题的能力；
4.教师及时批改作业，给予学生反馈，指导他们改进学习方法，提高学习效果。
-教师适时引导，补充讲解，确保学生准确掌握等边三角形的性质。
3.案例分析，实际应用
-通过典型例题，引导学生运用等边三角形的性质解决问题，巩固所学知识；
-设计实际应用题，让学生体会数学与生活的联系，提高解决实际问题的能力。
4.巩固练习，分层指导
-设计有针对性的练习题，巩固学生对等边三角形性质的理解和应用；
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结等边三角形的性质、判定方法及在实际中的应用。
2.学生分享自己在学习等边三角形过程中的收获和感悟。
3.教师强调本节课的重点知识，布置课后作业，为下一节课的学习做好铺垫。
4.教师鼓励学生在生活中观察、发现等边三角形的应用，激发他们学习数学的兴趣。
-根据学生的认知水平，进行分层指导，确保每个学生都能在原有基础上得到提高。
5.总结反思，拓展延伸
-引导学生总结本节课的学习内容，形成知识结构；
-布置拓展性思考题，激发学生的思维，为下一节课的学习做好铺垫。
人教版八年级数学导学案 等边三角形的性质与判定
第十三章三角形13．3 等腰三角形13．3．2 等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定学习目标：1．探索等边三角形的性质和判定．2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．重点：等边三角形的性质和判定．难点：运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．一、知识链接1．三条边都_________的三角形叫做等边三角形．二、新知预习．要点归纳：_______个角都相等的三角形是等边三角形．三、自学自测1．已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3 cm，则△ABC的周长为______cm．3．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=______度．四、我的疑惑_______________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________一、要点探究探究点1：等边三角形的性质问题1：等边三角形的三个内角之间有什么关系？结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．已知：AB=AC=BC，求证：∠A=∠B=∠C= 60°．问题2：等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？结论：等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”．要点归纳：例1：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质．变式训练：如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．例2：△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等．探究点2：等边三角形的判定类比探究：图形等腰三角形等边三角形判定要点归纳：等边三角形的判定方法：辨一辨：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形．典例精析例3：如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形．想一想：本题还有其他证法吗？变式1：若点D、E分别在边AB、AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？变式2：若点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？变式3：上题中，若将条件DE∥BC改为BD=CE，△ADE还是等边三角形吗?试说明理由．例4：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°．如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．1．等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A．105°B．120°C．135°D．150°2．如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个第2题图第3题图第4题图3．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°4．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18 cm，EC =2 cm则△ADE 的周长是__________cm．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E 是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．6．如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小．AA拓展提升：7．图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；（2）如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．参考答案自主学习一、知识链接 1．相等2．两边 边 等角 顶角平分线 底边上的中线 底边上的高 边 等边 二、新知预习类比学习一 三 三个 60° 一边 3 要点归纳 相等 60°类比学习二 两 两 三 三 要点归纳 三 三、自学自测1．C 2．9 3．60 四、我的疑惑 课堂探究一、要点探究探究点1：等边三角形的性质问题1 证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C (等边对等角)． 同理∠A =∠C ．∴∠A =∠B =∠C ．∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠A =∠B =∠C =60°．例1 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°． ∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝60°－40°＝20°． ∵BE ＝DE ，∴∠D ＝∠EBC ＝20°，∴∠CED ＝∠ACB －∠D ＝40°． 变式训练 证明：∵△ABC 是等边三角形，BD 是角平分线， ∴∠ABC =∠ACB =60°，∠DBC =30°．又∵CE =CD ，∴∠CDE =∠CED ． 又∵∠BCD =∠CDE +∠CED ，∴∠CDE =∠CED =30°． ∴∠DBC =∠DEC ．∴DB =DE （等角对等边）．例2 解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC ＝∠C＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC ． 又∵BM ＝CN ，∴△AMB ≌△BNC (SAS)，∴∠BAM ＝∠CBN ， ∴∠BQM ＝∠ABQ ＋∠BAM ＝∠ABQ ＋∠CBN ＝∠ABC ＝60°． 探究点2：等边三角形的判定要点归纳有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形辨一辨：（1）不是（2）是（3）是（4）不一定是（5）是（6）是例3 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A= ∠B= ∠C．∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．变式1 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A =∠ABC =∠ACB =60°．∵DE∥BC，∴∠ABC =∠ADE，∠ACB =∠AED．∴∠A =∠ADE =∠AED．∴△ADE是等边三角形．变式2 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC =∠B =∠C =60°．∵DE∥BC，∴∠B =∠D，∠C =∠E．∴∠EAD =∠BAC =∠D =∠E．∴△ADE是等边三角形．变式3 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，AB=AC．∵AD=AE，∴AB－BD= AC－CE，即AD= AE．又∵∠A=60°，∴△ADE是等边三角形．例4 解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC=60°．∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP＋∠P AC＝60°，∴∠P AQ＝∠CAQ＋∠P AC＝60°，∴△APQ是等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=FE，∴△DEF是等边三角形．当堂检测1．B 2．D 3．B 4．125．证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°．∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠EBC=180°－90°－30°=60°，∴∠F AE=∠EBC．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（ASA）．6．解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形．∴AO=BO，CO=DO，∠AOB=∠COD=60°．∵A、O、D三点共线，∴∠DOB=∠COA=120°．∴△COA≌△DOB(SAS)．∴∠DBO=∠CAO．设OB与EA相交于点F，∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°．拓展提升：7．解：（1）AN＝BM．理由如下：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°．∴∠ACN＝∠MCB．∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM．（2）△CEF是等边三角形．证明如下：∵∠ACE＝∠FCB=60°，∴∠ECF=60°．∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB．∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF．∴△CEF是等边三角形．。
人教版八年级上册 13.3.2教案设计等边三角形的性质与判定
3.课本P80练习2．
4.等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.
5.已知A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.
Ⅳ．课时小结
这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．
∴∠A=∠B=∠C（等边三角形各角相等）．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．
∴∠A=∠ADE=∠AED．
∴△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．
以等腰三角形的定义，复习在小学就已认识的---等边三角形引出新课
板书设计
13.3.2 等边三角形（一）
Ⅴ．课后作业
（一）课本P82─5、6、7、10题．
（二）预习P80～P81．
Ⅵ．活动与探究
探究：如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE．△ADE是等边三角形吗？试说明理由．
过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定．
结果：
已知：三角形ABC为等边三角形．D、E为边AB、AC上两点，且AD=AE．判断△ADE是否是等边三角形，并说明理由．
三.例题解析
例1如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC, 分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形.
变式 △ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB,AC上，如果∠ADE=∠AED，那么△ADE是等边三角形吗？为什么？（上中图）
四．课堂小结：
1.等腰三角形、等边三角形性质比较：
人教版八年级数学上册13.3.2《等边三角形(2)》说课稿
人教版八年级数学上册13.3.2《等边三角形(2)》说课稿一. 教材分析等边三角形是初中数学中的重要内容，它既有三角形的普遍性质，又有自身独特的性质。
人教版八年级数学上册13.3.2《等边三角形(2)》这一节，主要让学生进一步理解等边三角形的性质，并学会运用等边三角形的性质解决一些实际问题。
教材通过一些典型的例题和练习，让学生在实践中掌握等边三角形的性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学过三角形的性质，对三角形有一定的了解。
但是，对于等边三角形的性质，他们可能还不是很清楚，需要通过实例来进一步理解和掌握。
同时，学生在学习过程中可能存在对等边三角形性质的认识误区，需要教师进行引导和纠正。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握等边三角形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、实践、探究等方法，让学生学会发现和总结等边三角形的性质。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：等边三角形的性质及其运用。
2.教学难点：等边三角形性质的推导和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的相关知识，引入等边三角形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：讲解等边三角形的性质，引导学生通过观察、实践、探究等方法，发现和总结等边三角形的性质。
3.练习：给出一些练习题，让学生运用所学的等边三角形的性质进行解答，巩固所学知识。
4.拓展：给出一些综合性的问题，让学生进行思考和讨论，培养学生的解决问题能力和团队合作意识。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调等边三角形的性质及其应用。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出等边三角形的性质。
【最新】人教版八年级数学上册《13.3.2等边三角形》导学案
探究等边三角形的性质与判定方法， 等边三角形的性质与判定的运用 自主探究，合作交流 课件 学案 设计
教 学 过 程 设 计
一、 创设情境导入课题 活动 1：观察与思考 看一组图片：上海世博会永久性标志建筑之一世博轴、跳棋、警示牌、国旗、等，感受“等边
活动何关系？
3、例题：如图，△ABC 是等边三角形，若点 D、E 分别在 AB、AC 上，当点 D、E 满足什么条件 边三角形？请说明理由。
四、课时小结： 这节课我们有什么收获？
1、教科书 习题 13.3
13.3.1 等边三角形
一、探究 二、 等边三角形的性质 三、等边三角形判定 四、课堂练习
课 后 反 思
三、解决问题、巩固提高 1、 （1）等边三角形每个外角都等于 120° （2）有两个角是 60° 的三角形是等边三角形
教 学 过 程 设 计
（3）有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）有两个角相等的等腰三角形是等边三角形
2、如右图，课外活动小组在一次测量中测得∠AP B=60°，AP=BP=200 米，他们便能得到池塘 米，你能说明为什么吗？
新人教版八年级数学上册《13.3.2 等边三角形》导学案
知识目标 能力目标 情感目标 教学重点 教学难点 教学方法 教学准备 导案设计 经历 探究等边三角形的性质和判定方法的过程，并能进行简单的应用。
经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎 积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
二、探究活动 活动 3： 探究等边三角形的性质 （1）等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？ （2）通过折 叠你发现等边三角形的角有那些性质，你能证明吗 等边三角形的性质： 1、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 2、等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60° 活动 4：探究等边三角形的判定 1、 思考：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 2、 思考：一个等腰三角形满足什么条件就是等边三角形？ 3、动画演示说明。 小结等边三角形常用 的判定方法： 边：三边相等的三角形是等边三角形 角：三角相等的三角形是等边三角形 边角：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形
八年级数学上册13.3.2等边三角形1导学案新版新人教版2
13.3.2 ☞☞等边三角形（1）学习目标：1理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题学习重点：等边三角形判定定理的发现与证明学习难点：等边三角形性质和判定的应用一、自主学习→问题导读：1.等边三角形有那些性质，分别是什么？2.等边三角形有那些判定定理，分别是什么？预习自测：1、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的相等（2）等腰三角形、、互相重合2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是三角形，即叫等边三角形。
二、合作探究探究点一：等边三角形的性质1、思考：（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？2、归纳：（1）等边三角形的性质：等边三角形的探究点二：等边三角形的判定1、思考：（1）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？（2）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？已知： A求证：证明：B C2、归纳等边三角形的判定：我的疑惑：1.2.三、课堂检测：（1、2题为必做题；3、4 题为选做题。
）1.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BE＝DC2.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。
求证：△ADE是等边三角形。
3. 如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数。
E DCAB4.如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，求证：△DEF•是等边三角形D AF2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（）A．6 B．8 C．14 D．282．如图，将△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，则下列结论错误的是()A．∠BDO＝60°B．∠BOC＝25°C．OC＝4 D．BD＝43．如图，点A1、B1、C1分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，点A2、B2、C2分别为△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，若△ABC的面积为1，则△A2B2C2的面积为（）A．13B．14C．18D．1164．下列数中不是有理数的是（）A．﹣3.14 B．0 C．227D．π5．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．三角形B．圆C．角D．平行四边形6．下列各式成立的是A()222-=-B255=-C2x x=D()266-=7．随着人民生活水平的提高，中国春节已经成为中国公民旅游黄金周．国家旅游局数据显示，2017年春节中国公民出境旅游约615万人次，2018，2019两年出境旅游人数持续增长，在2019年春节出境旅游达到700万人次，设2018年与2019年春节出境旅游总量较上一年春节的平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）．A ．615(1+x)=700B ．615(1+2x)=700C ．()26151700x +=D ．()()261516151700x x +++= 8．若一个三角形的三边长为3,4,x ，则使得此三角形是直角三角形的的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．5或79．如图，周长为34的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A ．280B ．140C ．70D ．19610．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比（黄金分割比≈0.618）著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是黄金分割比．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为103cm ，头顶至脖子下端的长度为25cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．170cmC ．175cmD ．180cm二、填空题 11．一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇后都停下来休息，快车休息2个小时后，以原速的65继续向甲行驶，慢车休息3小时后，接到紧急任务，以原速的43返回甲地，结果快车比慢车早2.25小时到达甲地，两车之间的距离S （千米）与慢车出发的时间t （小时）的函数图象如图所示，则当快车到达甲地时，慢车距乙地______千米．12．计算：()23＝．∠的角平分线上取一点F 13．如图1，在菱形ABCD中，60∠=︒，点E在AB的延长线上，在CBEBAD（含端点B），连结AF并过点C作AF所在直线的垂线，垂足为G．设线段AF的长为x，CG的长为y，y关于x的函数图象及有关数据如图2所示，点Q为图象的端点，则3y=时，x=_____，BF=_____．14．如图，△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，已知∠AOB=40°，则∠AOD的度数为_____．15．点P在第四象限内，P到轴的距离是3，到轴的距离是5，那么点P的坐标为．16．矩形（非正方形）四个内角的平分线围成的四边形是__________形.（埴特殊四边形）17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD，AE与BE相交于点E．若CD＝2，则四边形ADBE的面积是_____．三、解答题18．先化简，再求值：（223x y x y +-﹣222x x y -）÷22x y x y xy +-，其中x=2+1，y=2﹣1． 19．（6分）图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.（1）用实线把图①分割成六个全等图形；（2）用实线把图②分割成四个全等图形.20．（6分）观察下列等式：第1个等式：a 1=212=+-1， 第2个等式：a 2=3223=-+， 第3个等式：a 3=32+=2-3， 第4个等式：a 4=525=+-2， …按上述规律,回答以下问题：(1)请写出第n 个等式：a n =__________.(2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________.21．（6分）中国的高铁技术已经然走在了世界前列，2018年的“复兴号”高铁列车较“和谐号”速度增加每小时70公里．上海火车站到北京站铁路距离约为1400公里，如果选择“复兴号”高铁，全程可以少用1小时，求上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间．22．（8分）如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是它的一条对角线，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：四边形BEDF 是平行四边形．23．（8分）先化简，再求值：21111x x x ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭，其中x=3+1． 24．（10分）已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．25．（10分）把下列各式因式分解：（1）a 3﹣4a 2+4a（2）a 2（x ﹣y ）+b 2（y ﹣x ）参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．D【解析】【分析】首先根据题意求出AD 的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出·AO BO 的值，最后结合三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，AB BC CD DA ===，菱形ABCD 的周长为24，6AD AB ∴==，16AC BD +=，8AO BO ∴+=，22264AO BO AO BO ∴++=，222 AO BO AB+=，·14AO BO∴=，∴菱形的面积4=⨯三角形AOD的面积1414282=⨯⨯=，故选D．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出·AO BO的值．2．D【解析】【分析】由△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD知∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，据此可判断C；由△AOC、△BOD是等边三角形可判断A选项；由∠AOB=35°，∠AOC=60°可判断B选项，据此可得答案．【详解】解：∵△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，故C选项正确；则△AOC、△BOD是等边三角形，∴∠BDO=60°，故A选项正确；∵∠AOB=35°，∠AOC=60°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-35°=25°，故B选项正确.故选D．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质．3．D【解析】【分析】由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A1B1C1∽△ABC，且相似比为12，面积比为14，就可求出△A1B1C1的面积=14，同样的方法得出△A2B2C2的面积=116．【详解】解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，∴A1B1、A1C1、B1C1是△ABC的中位线，∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为12，∴S△A1B1C1：S△ABC=1：4，且S△ABC=1，∴S△A1B1C1=14．∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，∴△A1B1C1∽△A2B2C2且相似比为12，∴△A2B2C2的面积=14×S△A1B1C1=116．故选：D．【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用．根据中位线定理得出三角形相似是解决此题的关键．4．D【解析】【分析】根据有理数的定义选出正确答案，有理数：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式．【详解】解：A、﹣3.14是有理数，故本选项不符合题意；B、0是整数，是有理数，故本选项不符合题意；C、227是分数，是有理数，故本选项不符合题意；D、π是无理数，不是有理数，故本选项符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查了有理数的定义，特别注意：有理数是整数和分数的统称，π是无理数．5．B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断可得答案．【详解】解：A、三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B 、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；C 、角是轴对称图形，不一定是中心对称图形，故本选项错误；D 、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；故选：B ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．D【解析】分析：根据二次根式的性质逐项化简即可.详解：A. ∵ 2==,故不正确;B. ∵ 5= ,故不正确;C. ∵当x<0x =- ,故不正确;D. ∵ 6== ,故正确;故选D.()0a a =≥是解答本题的关键.7．C【解析】【分析】设2018年与2019年春节出境旅游总量较上一年春节的平均增长率为x ,根据2017年及2019年出境旅游人数，即可得出关于x 的一元二次方程，即可得解；【详解】由题意可得：()26151+700x =故选：C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，充分理解题意是解决本题的关键.8．D【解析】【分析】根据勾股定理即可求解.【详解】当4为斜边时，x=22437-=当x 为斜边是，x=22435+=故选D.【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据题意分情况讨论.9．C【解析】解：设小长方形的长、宽分别为x 、y ，依题意得：，解得：，则矩形ABCD 的面积为7×2×5=1． 故选C ．【点评】考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，首先会根据图示找到所需要的数量关系，然后利用这些关系列出方程组解决问题．10．B 【解析】【分析】以腿长103cm 视为从肚脐至足底的高度，求出身高下限；）以头顶到脖子下端长度25cm 视为头顶至咽喉长度求出身高上限，由此确定身高的范围即可得到答案.【详解】（1）以腿长103cm 视为从肚脐至足底的高度，求出身高下限：1031+0.618167⨯≈（），（2）以头顶到脖子下端长度25cm 视为头顶至咽喉长度求出身高上限： ①咽喉至肚脐：25400.618≈cm ， ②肚脐至足底： 25+401050.618≈cm ， ∴身高上限为：25+40+105=170cm ，∴身高范围为： 167cm 170cm ，故选：B.【点睛】此题考查黄金分割，正确理解各段之间的比例关系，确定身高的上下限，即可得到答案.二、填空题11．620【解析】【分析】设慢车的速度为a千米/时，快车的速度为b千米/时，根据题意可得5（a+b）=800，55121 46435a aa b-=-，联立求出a、b的值即可解答．【详解】解：设慢车的速度为a千米/时，快车的速度为b千米/时，由图可知两车5个小时后相遇，且总路程为800千米，则5a+5b=800，即a+b=160，再根据题意快车休息2个小时后，以原速的65继续向甲行驶，则快车到达甲地的时间为：56 5a b÷，同理慢车回到甲地的时间为：53a4a÷，而快车比慢车早到2.25小时，但是由题意知快车为休息2小时出发而慢车是休息3小时，即实际慢车比快车晚出发1小时，即实际快车到甲地所花时间比慢车快2.25-1=1.25小时，即：5512146435a aa b-=-，化简得5a=3b，联立得16053a ba b+=⎧⎨=⎩，解得60100ab=⎧⎨=⎩，所以两车相遇的时候距离乙地为5b=500千米，快车到位甲地的时间为56 5a b÷=2.5小时，而慢车比快车多休息一个小时则此时慢车应该往甲地行驶了1.5小时，此时慢车往甲地行驶了41.5603⨯⨯=120千米，所以此时慢车距离乙地为500+120=620千米，即快车到达甲地时，慢车距乙地620千米．故答案为：620.【点睛】本题主要考查的是一次函数的应用，根据图象得出相应的信息是解题的关键．12．3【解析】分析：23=．13．8 -【解析】【分析】先根据Q 为图象端点，得到Q 此时与B 点重合，故得到AB=4，再根据60CBE ∠=︒，根据CG AE ⊥，得到sin 60CG BC ︒=,从而得到y =y =x ，过点F 作FH AE ⊥于H ．设BF m =，根据1302FBE EBC ∠=∠=︒，利用三角函数表示出12FH m =，BH =，故在Rt AFH 中，利用222AF AH FH =+得到方程即可求出m 的值．【详解】解∵Q 为图象端点，∴Q 与B 重合，∴4AB =．∵四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，∴60CBE ∠=︒，此时CG AE ⊥，∵sin 60CG BC ︒==2∴2CG ==，即y x =．∴当y =8x =，即8AF =；过点F 作FH AE ⊥于H ．设BF m =． ∵1302FBE EBC ∠=∠=︒，∴1sin 302FH BF m =︒=，cos302BH BF m =︒=． 在Rt AFH 中，∴222AF AH FH=+，即223164422m m⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴21523m=-，即21523BF=-．故答案为：8；21523-．【点睛】此题主要考查菱形的动点问题，解题的关键是熟知菱形的性质、勾股定理及解直角三角形的方法．14．50°【解析】【分析】根据旋转的性质得出全等，根据全等三角形性质求出∠DOC=40°，代入∠AOD=∠AOC﹣∠DOC求出即可．【详解】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，∠AOB=40°，∴△OAB≌△OCD，∠COA=90°，∴∠DOC=∠AOB=40°，∴∠AOD=∠AOC﹣∠COD=90°﹣40°=50°，故答案为50°15．（5，-1）．【解析】试题分析：已知点P在第四象限，可得点P的横、纵坐标分别为正数、负数，又因为点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为5，所以点P的横坐标为5或-5，纵坐标为1或-1．所以点P的坐标为（5，-1）．考点：各象限内点的坐标的特征．16．正方【解析】【分析】此类题根据矩形性质，三角形内角和定理及角平分线定义得到所求的四边形的各个角为90°，进而求解．【详解】∵AF，BE是矩形的内角平分线．∴∠ABF=∠BAF-90°．故∠1=∠2=90°．同理可证四边形GMON四个内角都是90°，则四边形GMON为矩形．又∵有矩形ABCD且AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD四角的平分线，∴有等腰直角△DOC，等腰直角△AMD，等腰直角△BNC，AD=BC．∴OD=OC，△AMD≌△BNC，∴NC=DM，∴NC-OC=DM-OD，即OM=ON，∴矩形GMON为正方形，故答案为正方．【点睛】本题考查的是矩形性质，角平分线定义，联系三角形内角和的知识可求解．17．428+【解析】【分析】过D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得出DF=CD=2.由△ABC是等腰直角三角形得出∠ABC=45°，再证明△BDF是等腰直角三角形，求出22，2=AC.易证四边形ADBE是平行四边形，得出2，然后根据平行四边形ADBE的面积=BD⨯AC，代入数值计算即可求解.【详解】解：如图，过D 作DF ⊥AB 于F ，∵AD 平分∠BAC ，∠C=90°，∴DF=CD=2.∵Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，∴∠ABC=45°，∴△BDF 是等腰直角三角形，∵BF=DF=2，22，∴2，2.∵AE//BC ，BE ⊥AD ，∴四边形ADBE 是平行四边形，∴2，∴平行四边形ADBE 的面积=2(222)28BD AC =⋅=+= . 故答案为428.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行四边形的面积.求出BD 的长是解题的关键．三、解答题18．原式=xy x y +2 【解析】分析：首先将分式进行通分，然后根据除法的计算法则进行约分化简，最后将x 和y 的值代入化简后的式子进行计算得出答案．详解：解：原式=()()() xy x y3x y2x xy·x y x y x y x y-+-=+-++，当x=2+1，y=2﹣1时，原式=()(212124212122+-==++-．点睛：本题主要考查的就是分式的化简求值以及二次根式的计算，属于简单题型．在解答这个问题的时候，明确分式的化简法则是基础．19． (1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】设正方形的面积为2，则等腰直角三角形的面积为1，（1）根据题意，分成的每一个图形的面积为12，分成六等腰个直角三角形即可；（2）根据题意，分成的每一个图形的面积为34，分成四个直角梯形即可．【详解】解：如图所示：【点睛】本题考查复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键，难度中等，但不容易考虑．20．（1）1nan n=++1n n+（211n+．【解析】【分析】（1）根据题意可知，12112a==+，23223a==+32332a==+，45225a ==-+，…由此得出第n 个等式：a n =11n n n n =+-++； （2）将每一个等式化简即可求得答案．【详解】解：（1）∵第1个等式：12112a ==-+， 第2个等式：23223a ==-+， 第3个等式：3 2332a ==-+， 第4个等式：4 5225a ==-+， ∴第n 个等式：a n =11n n n n =+-++； （2）a 1+a 2+a 3+…+a n=（()()()()()2-1+3-2+2-3+5-2++n+1n - =11n +-．故答案为11n n n n =+-++；11n +-．【点睛】 此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 21．4小时.【解析】【分析】设复兴号用时x 小时，根据“复兴号”较“和谐号”速度增加每小时70公里，列出方程即可.【详解】解：设复兴号用时x 小时，则和谐号用时（x+1）小时，根据题意得：=70+，解得：x=4或x=-5（舍去），答：上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间为4小时．故答案为：4小时.【点睛】本题考查了分式方程的应用.22．见试题解析【解析】【分析】通过全等三角形（△ABE ≌△CDF ）的对应边相等推知BE=DF ，由“一组对边平行且相等四边形是平行四边形“证得四边形BEDF 是平行四边形．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC ，且AB ∥DC ，∴∠BAE=∠DCF ．又∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠AEB=∠CFD=90°．在△ABE 与△CDF 中，AEB CFD BAE CDF AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴BE=DF ；∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴BE ∥DF ，∴四边形BEDF 是平行四边形．考点： 平行四边形的判定与性质．23．11x -【解析】试题分析：根据分式混合运算的法则先算括号里面的，再算除法，最后把x 的值代入进行计算即可． 试题解析：原式=()()111x x x x x ÷-++=()()1•11x x x x x +-+=11x -，当x=3+1时，原式=3．24．15+【解析】【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可【详解】解：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC225AB BC+=在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝12AB•BC+12AC•CD，＝12×1×2+12×52，＝5故四边形ABCD的面积为5【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握运算法则是解题关键25．（1）a（a﹣2）2；（2）（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．【解析】【分析】（1）原式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．【详解】（1）a3﹣4a2+4a＝a（a2﹣4a+4）＝a（a﹣2）2；（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．关于一次函数y=x ﹣1，下列说法：①图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣1）；②y 随x 的增大而增大；③图象经过第一、二、三象限； ④直线y=x ﹣1可以看作由直线y=x 向右平移1个单位得到．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知一元二次方程2210x x -+=，则它的一次项系数为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．点()15,A y -和()22,B y -都在直线32y x =-+上，则1y 与2y 的关系是( )A ．12y y ≤B ．12y y =C ．12y y <D ．12y y >4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D ，E ，F 分别为AB ，AD ，AC 的中点，若CB=4，则EF 的长度为（ ）A ．2B ．1C ．32D ．235．平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）A ．8和16B ．10和16C ．8和14D ．8和126．如图，菱形ABCD 的面积为2120cm ，正方形AECF 的面积为250cm ，则菱形的边长为( )A ．13B ．12C ．5D ．773x -有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3x ＜B ．3x ≠C ．3x ≤D ．3x ≥8．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE=DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO=OE ；（4）AOB DEOF S S 四边形∆=中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．在同一条道路上，甲车从A 地到B 地，乙车从B 地到A 地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y （千米）与行驶时间x （小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ）A ．乙先出发的时间为0.5小时B ．甲的速度是80千米/小时C ．甲出发0.5小时后两车相遇D ．甲到B 地比乙到A 地早112小时 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、C 、F 在坐标轴上，E 是OA 的中点，四边形AOCB 是矩形，四边形BDEF 是正方形，若点C 的坐标为（3，0），则点D 的坐标为（ ）A ．（1，2.5）B ．（1，1+ 3C ．（1，3）D 3﹣1，1+ 3）二、填空题 11．若正比例函数y=kx 的图象经过点（1，2），则k=_______．12．如图，BD 是矩形ABCD 的一条对角线，点E 、F 分别是BD 、BC 的中点，若AB ＝8，BC ＝6，则AE+EF 的长为_____．13．点P 的坐标为(4,2)-，则点P 到x 轴的距离是________，点P 到y 轴的距离是________． 14．函数y=x 5+中，自变量x 的取值范围是___________． 15．已知函数2(1)3m y m x =-+是关于x 的一次函数，则m 的值为_____．16．函数3y x =+中自变量x 的取值范围是_______.17．计算:(188)2÷=-____ .三、解答题18．上合组织峰会期间，甲、乙两家商场都将平时以同样价格出售相同的商品进行让利酬宾，其中甲商场所有商品按7折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打6折．（1）以x （单位：元）表示商品原价，y （单位：元）表示付款金额，分别就两家商场的让利方式写出y 与x 之间的函数解析式；（2）上合组织峰会期问如何选择这两家商场去购物更省钱？19．（6分）如图，直线MN 与x 轴，y 轴分别相交于A ，C 两点，分别过A ，C 两点作x 轴，y 轴的垂线相交于B 点，且OA ，OC （OA ＞OC ）的长分别是一元二次方程x 2﹣14x+48=0的两个实数根．（1）求C 点坐标；（2）求直线MN 的解析式；（3）在直线MN 上存在点P ，使以点P ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标．20．（6分）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的郊野公园。
最新人教版初中数学八年级上册 13.3.2 等边三角形教案
13.3.2 等边三角形课标要求探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
教学目标知识技能1.探索等边三角形的性质和判定．2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．数学思考通过探究，培养学生的类比、转化、分类讨论等数学思想，进一步发展学生的概括能力.解决问题通过探究活动，激发学生的学习兴趣，渗透类比、分类、转化思想，学会用数学思想和方法研究数学问题．情感态度积极参与数学学习活动，增强对数学有好奇心和求知欲.重点等边三角形的概念、性质和判定.难点等边三角形判定定理的探究与证明，并灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题.学情分析在学生学习了轴对称和等腰三角形的性质和判定的基础上，可通过类比、转化、分类讨论等方法引导学生继续探索等边三角形的性质和判定方法．教法操作、演示、讲解学法观察、操作、合作学习教具等边三角形纸片、三角板、圆规教学程序设计教学环节教学内容师生活动设计意图一、情境引入提问：下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？追问1：满足什么条件的三角形是等边三角形？三条边都相等的三角形是等边三角形．追问2：等腰三角形与等边三角形有什么区别和联系？联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条.提问：等腰三角形有哪些特殊的性质呢？从边的角度：两腰相等；从角的角度：等边对等角；从对称性的角度：轴对称图形、三线合一．师出示图片及问题，学生回答.通过情境引入课题，并通过回顾旧知，体会等腰三角形概念及与等腰三角形的联系与区别，为类比等腰三角形的性质及判定为本节课所学知识做好铺垫.二、观察探究思考：将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？学生填表，并小组讨论，班内交流.引导学生探究等边三角形的性质.教学环节教学内容师生活动设计意图追问：对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进行证明.归纳：等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.符号语言：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°．思考：利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴.问题：等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？思考1：一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？思考2：一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？结论：三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三角形．请你将得到的这两个命题进行证明.归纳：等边三角形的判定定理：定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．符号语言：在△ABC 中，∵∠A=∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形．定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．符号语言：在△ABC 中，∵BC =AC，∠A =60°，∴△ABC 是等边三角形．学生证明，师板演.师生共同归纳.学生操作后，小组进行探究，班内汇报，师生共同总结.学生口述证明过程，师板演.对所得命题进行证明，来说明猜想的正确性.明确等边三角形的性质，并规范符号语言的表达形式.引导学生探究等边三角形的判定方法.明确等边三角形的判定定理，并规范符号语言的表达形式.三、应用提高例4：如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形.追问：本题还有其他证法吗？学生尝试练习.对等边三角形的性质与判定进行简单的综合运用.开拓学生的思小组讨论，班内交流维.教学环节教学内容师生活动设计意图变式1：若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？变式2：若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？学生独立完成（部分学生板演），师生共同验证.培养学生的发散维与应用能力.四、巩固练习课堂练习课本P80页练习第1、2题.学生练习后全班交流，师讲评.对学习本节课所学知识进行巩固应用.五、体验收获谈谈你的收获和体会（1）本节课学习了等边三角形的性质和判定；（2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？共有几种判定等边三角形的方法？（3）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法．师引导学生归纳总结.旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，提高认识.六、实践延伸课后作业:课本P83页习题13.3第12、14题检测学生对本节知识的掌握情况.教学反思：本节课主要研究等边三角形的性质及判定，由于等边三角形是特殊的等腰三角形，学生对等边三角形的性质及判定的探究可类比等腰三角形来完成，学生参与的好，讨论热烈，在对其性质及判定的应用上，文字语言符号转化为符号语言时，有部分学生应用的不好，今后要注意性质的应用. 课题：§13.3.5 等边三角形（二）课标要求探索等边三角形的性质定理：（在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半.）教学目知识技能1.探索含30°角的直角三角形的性质．2.理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算．数学思考通过探究，培养学生分析问题的能力，进一步发展学生的概括能力.标解决问题通过探究活动，激发学生的学习兴趣，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力．情感态度积极参与数学学习活动，增强对数学有好奇心和求知欲. 重点探索并理解含30°角的直角三角形的性质.难点探索含30°角的直角三角形的性质．并会应用它进行有关的证明和计算．学情分析本节课在学习了轴对称、等边三角形的性质及判定的基础上，可引导学生进一步等边三角形性质的推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半.教法操作、演示、讲解学法观察、操作、合作学习教具等边三角形纸片、三角板、圆规教学程序设计教学环节教学内容师生活动设计意图一、情境引入问题：已知△ABC 中，∠A =60°,（）.请你在括号内补充一个条件，使△ABC 能成为等边三角形.思考1：等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？思考2：这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？学生回答问题后，师出示两个思考.通过问题情境进行引入，先复习等边三角形的判定，后通过问题激起学生的学习兴趣，为探究直角三角形的性质做好准备.二、观察探究探究：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由．提问：你能借助第一个图形，找到含30°角的直角△ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗？猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.证明猜想.归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.学生操作，观察并小组交流，班内汇报.学生对命题进行证明.师生共同归纳总结.师板书性质及符号语言.通过操作引导学生探究直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.培养学生的逻辑推理能力.让学生再次体会，并规范符号语言表达形式.教学环节教学内容师生活动设计意图三、应用提高练习1：如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A = 30°，AB =10，则BC 的长为．练习2：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .例5：如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？练习3：Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB与BC 之间有什么关系？（课本P81页练习题）学生练习后全班交流，师讲评.对学习本节课所学知识进行巩固应用.五、体验收获谈谈你的收获和体会（1）本节课学习了哪些内容？（2）在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决哪些问题？需要注意哪些问题？师引导学生归纳总结.旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，提高认识.六、实践延伸课后作业:课本P83页习题13.32第15题检测学生对本节知识的掌握情况.教学反思：在本课的教学中，学生通过等边三角形的性质，对：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.这一性质的得出及推理证明能狠好的完成，但在课堂练习这一环节中，有部分同学不会用，没有体会到含有30°角的直角三角形与等边三角形的内在联系，在今后教学中应让学生注重两种图形的内在联系（可重复演示思考1：等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？的操作.）。
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新人教版八年级数学上册导学案：13.3.2等边三角形性质（第8课时）
【学习目标】
知识技能方面：理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法 过程方法方面：能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题 【学习重难点】等边三角形判定定理的发现与证明 【学习难点】等边三角形性质和判定的应用 【自主探究】
一、导引自学 教材第P79--80面，填空。
1、 叫等腰三角形． 叫等边三角形． 等边三角形是 等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：① ② 学习过程：
（一）探索等边三角形的性质和判定：
总结：等边三角形的性质：等边三角形 ，并且每一个角都等于 °； 等边三角形的判定：1、 是等边三角形．
2、 的等腰三角形是等边三角形．
3、用符号语言表示上述性质和判定：
性质：
判定1： 判定2：
___________________________
二、自我检测
1. 如图, 等边△ABC,延长BC 至D,使AC=CD,连结AD,则∠BAD 的度数是_____.
2. 如图6,等边△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BI C 等于______. 3．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；
B
•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有_________. 三、知新有疑
通过自学，我又知道了： 但还有困惑： 【范例精析】
例1 如图，AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ， 求∠DBC 的度数。
例2 已知△ABC 是等边三角形,D,E,F 分别是各边上的一点,且AD=BE=CF.
试说明△DEF 是等边三角形.
【达标测评】
1、 如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，交AB ，AC 于D ，E 。
求证：△ADE 是等边三角形。
2．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和CDE ，AD 与交于点O ，AD 与BC 交于点P ，与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下结论正确的有（ ）个 ①PQ ∥AE ； ②AP=BQ ； ③∠AOB=60°； ④CP=CQ ； ⑤△CPQ 是等边三角形； ⑥连接OC ，则OC 平分∠AOE; ⑦分别取AD ，BE 的中点M 、N ，连接CM 、CN ，则△CMN 是等边三角形。
3、思考：在第2
题的图形上把△CDE 旋转一定的角度，刚上述正确的结论中还有几个成立，说明理由。
E D C
A
B
C
A
B
通过本节课的学习，你又有了新的收获和体验。