高考数学第3章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理课时分层训练文

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高考数学第3章三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理教学案(含解析)

第六节正弦定理和余弦定理[考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[常用结论]1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (2)sinA ＋B2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．在△ABC 中，sin A ＞sin B ⇔A ＞B ⇔a ＞b ， cos A ＞cos B ⇔A ＜B ⇔a ＜b. 4．三角形射影定理a ＝b cosc ＋c cos B b ＝a cos C ＋c cos A c ＝a cos B ＋b cos A5．三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若A ＞B ，则必有sin A ＞sin B ．( )(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 为锐角三角形． ( )(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝45°或135°.( )(4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C. ( )[解析] (1)正确．A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B.(2)错误．由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．(3)错误．由b ＜a 知，B ＜A.(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定C [由正弦定理，得a 2R ＝sin A ，b 2R ＝sin B ，c2R＝sin C ，代入得到a 2＋b 2＜c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3D [由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.]4．在△ABC 中，A ＝45°，C ＝30°，c ＝6，则a 等于( ) A ．3 2 B ．6 2C ．2 6D ．3 6B [由正弦定理得a sin A ＝c sinC ，所以a ＝c sin A sin C ＝6×sin 45°sin 30°＝6 2.]5．(教材改编)在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则角B 为( ) A.π6 B.π4C.π3 D.π2C [由2b sin A ＝3a 得2sin B sin A ＝3sin A. ∴sin B ＝32，又B 是锐角或直角． ∴B ＝π3.]【例1】 5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30C.29 D ．2 5(2)(2019·青岛模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于( )A.3π4 B.π3C.π4 D.π6(1)A (2)C [(1)因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A.(2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A. 又a 2＝2b 2(1－sin A )，所以sin A ＝cos A ，即t a n A ＝1，又A 是三角形内角，则A ＝π4，故选C.]求.,求出正弦值，再求角，即已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解灵活利用式子的特点转化：如出现关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30° B．45°C ．60°D ．120°(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝________，c ＝________.(1)A (2)217 3 [(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.(2)因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，所以由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×327＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得c 2－2c －3＝0，所以c ＝3.]【例2】 a ，b ，c .已知b sinC ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．233[由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以bc ＝833，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.](2)(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.①求cos B ；②若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b.[解] ①由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.②)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2 B.π3 C.π4 D.π6C [因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C ．由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.故选C.](2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B.①证明：A ＝2B ；②若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解] ①证明：由b ＋c ＝2a cos B 得 sin B ＋sin C ＝2sin A cos B. 即2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ；所以sin(A －B )＝sin B.又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＋(A －B )＝π或A －B ＝B ，所以A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.②由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，则sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B.由sin B ≠0得sin C ＝cos B. 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B. 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2，当C －B ＝π2时，A ＝π4，综上知A ＝π2或A ＝π4.►考法1 【例3】 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)(2019·广州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B ·sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形(1)D (2)C [(1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由b 2＋c 2＝a 2＋bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.由sin B ·sin C ＝sin 2A 得bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc 得(b －c )2＝0，即b ＝c ，从而△ABC 是等边三角形，故选C.]►考法2 求解几何计算问题【例4】 (2019·哈尔滨模拟)如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．[解] (1)在△ADC 中，∵cos∠ADC ＝17，∴sin∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437，则sin∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin∠ADC ·cos B －cos∠ADC ·sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin∠BADsin∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ·BC cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，即AC ＝7.►考法3 正、余弦定理与三角函数的交汇问题【例5】 (2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．[解] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得t a n B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，理求解；寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果易错警示：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题面积的2倍．(1)求sin Bsin C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，又由(1)知AB ＝2AC ，所以解得AC ＝1.1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sinC －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3B [因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角，故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即t a n A ＝－1.又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6，故选B.]2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.π3[由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A. ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B. ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B. 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.]3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 2113 [在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513， ∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.]4．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.75° [如图，由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴sin B ＝22.又c >b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°.]5．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． [解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知得12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6. 由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

2020理科数学习题：第三篇三角函数、解三角形(必修4、必修5) 第6节正弦定理和余弦定理及其应用

正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号利用正、余弦定理解三角形1,2,7与三角形面积有关的计算6,8三角形形状的判断3几何计算问题12,13实际问题与综合问题4,5,9,10,11,14基础巩固(时间:30分钟)1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b等于(　D　)(A)(B)(C)2(D)3解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3（b=-舍去）,选D.2.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A等于(　D　)(A)(B)(C)(D)解析: 如图,设BC边上的高为AD,因为B=,所以∠BAD=.所以BD=AD,又AD=BC,所以DC=2AD,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)=sin 45°cos∠DAC+cos45°sin∠DAC=×+×=.故选D.3.(2018·杭州模拟)在△ABC中,cos =,则△ABC一定是(　A　)(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)无法确定解析:由cos =得2cos2-1=cos A=cos B,所以A=B,故选A.4.(2018·通辽模拟)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10n mile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC等于(　D　)(A)10n mile(B)n mile(C)5n mile (D)5n mile解析:由题意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,所以∠C=45°,由正弦定理得=,所以BC=5.5.(2018·南宁模拟)在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是(　C　)(A)(0,］(B)［,π)(C)(0,］(D)［,π)解析:由正弦定理角化边,得a2≤b2+c2-bc.所以b2+c2-a2≥bc,所以cos A=≥,所以0<A≤.6.(2018·淄博一模)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”,与著名的海伦公式等价,其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减小,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=.现有周长为2+的△ABC满足:sin A∶sin B∶sin C=(-1)∶∶(+1).试用“三斜求积术”求得△ABC 的面积为(　A　)(A)(B)(C)(D)解析:因为sin A∶sin B∶sin C=(-1)∶∶(+1),由正弦定理得a∶b∶c=(-1)∶∶(+1).因为a+b+c=2+,所以a=-1,b=,c=+1.所以ac=2-1=1.c2+a2-b2=1.所以S==.故选A.7.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A= .解析:由正弦定理=得=,所以sin B=,又b<c,所以B<C,所以B=45°,A=180°-60°-45°=75°.答案:75°8.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= . 解析:依题意作出图形,如图所示.则sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则cos∠ABC=,sin∠ABC=.所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC=×2×2×=.因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-==,所以CD=.由余弦定理,得cos∠BDC==.答案:　能力提升(时间:15分钟)9.(2018·宁波模拟)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且cos 2B+3cos (A+C)+2=0,b=,则c∶sin C等于(　D　)(A)3∶1(B)∶1(C)∶1(D)2∶1解析:由cos 2B+3cos (A+C)+2=0,得2cos2B-3cos B+1=0,解得cosB=1(舍去)或cos B=,所以sin B=,所以由正弦定理知c∶sin C=b∶sin B=2∶1.10.(2018·石家庄一模)在△ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为(　D　)(A)(B)2(C)3(D)4解析:由正弦定理可得,====4.因为A+B=.所以AC+BC=4sin B+4sin A=4sin B+4sin(-B)=4sin B+4(cos B+sin B)=2cos B+10sin B=4sin(B+θ)(tan θ=),因为0<B<,故AC+BC的最大值为4.11. (2018·内蒙古赤峰模拟)如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为 m.(取≈1.4,≈1.7)解析: 如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420=21 000(m).又在△ABC中,=,所以BC=×sin 15°=10 500(-)(m).因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin ∠DBC=10 500(-)×=10 500(-1)≈7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m).答案:2 65012. (2018·四川泸州二珍)如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=b(sin C+cos C).若A=,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,则四边形ABDC面积的最大值为 .解析:因为a=b(sin C+cos C),所以由正弦定理得sin A=sin∠ABC(sin C+cos C).即sin(∠ABC+C)=sin∠ABC(sin C+cos C),所以cos∠ABCsin C=sin∠ABCsin C.因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以tan∠ABC=1.又∠ABC∈(0,π),所以∠ABC=.在△BCD中,因为DB=2,DC=1,所以BC2=12+22-2×2×1·cos D=5-4cos D.又因为A=,∠ABC=,所以△ABC为等腰直角三角形.所以S△ABC=BC2=-cos D.又因为S△BCD=·BD·CD·sin D=sin D.所以S四边形ABDC=-cos D+sin D=+sin(D-).所以当D=时,S四边形ABDC最大.最大值为+.答案:+13. (2018·福建宁德一检)如图,△ABC中,D为AB边上一点,BC=1, B=.(1)若△BCD的面积为,求CD的长;(2)若A=,=,求的值.解:(1)BC=1,B=,S△BCD=BC·BD·sin B=×1×BD×=,BD=.在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B=1+2-2×1××=1,所以CD=1.(2)在△ACD中,由正弦定理得=,所以sin ∠ACD===,在△BCD中,由正弦定理得=,所以sin ∠DCB===,所以==×=.14.(2018·江西联考)已知函数f(x)=2sin 2x-2sin 2(x-),x∈R. (1)求函数y=f(x)的对称中心;(2)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f（+）=,△ABC的外接圆半径为,求△ABC周长的最大值.解:由f(x)=1-cos 2x-（1-cos[2（x-）］=cos(2x-)-cos 2x=cos2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin(2x-).(1)令2x-=kπ(k∈Z),则x=+(k∈Z),所以函数y=f(x)的对称中心为(+,0),k∈Z.(2)由f(+)=得sin（B+）=⇒sin B+cos B=⇒asin B+acos B=b+c,由正弦定理得sin Asin B+sin Acos B=sin B+sin C⇒sin AsinB=sin B+cos Asin B,又因为sin B≠0,所以sin A-cos A=1⇒sin(A-)=.由0<A<π得-<A-<,所以A-=,即A=.又△ABC的外接圆的半径为,所以a=2sin A=3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(b+c)2=.即b+c≤6,当且仅当b=c时取等号,所以△ABC周长的最大值为9.。

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理教学案含解析理

第六节正弦定理和余弦定理[考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[常用结论]1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (2)sinA ＋B2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．在△ABC 中，sin A ＞sin B ⇔A ＞B ⇔a ＞b ， cos A ＞cos B ⇔A ＜B ⇔a ＜b. 4．三角形射影定理a ＝b cosc ＋c cos B b ＝a cos C ＋c cos A c ＝a cos B ＋b cos A5．三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若A ＞B ，则必有sin A ＞sin B ．( )(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 为锐角三角形． ( )(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝45°或135°.( )(4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C. ( )[解析] (1)正确．A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B.(2)错误．由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．(3)错误．由b ＜a 知，B ＜A.(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定C [由正弦定理，得a 2R ＝sin A ，b 2R ＝sin B ，c2R＝sin C ，代入得到a 2＋b 2＜c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3D [由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.]4．在△ABC 中，A ＝45°，C ＝30°，c ＝6，则a 等于( ) A ．3 2 B ．6 2C ．2 6D ．3 6B [由正弦定理得a sin A ＝c sinC ，所以a ＝c sin A sin C ＝6×sin 45°sin 30°＝6 2.]5．(教材改编)在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则角B 为( ) A.π6 B.π4C.π3 D.π2C [由2b sin A ＝3a 得2sin B sin A ＝3sin A. ∴sin B ＝32，又B 是锐角或直角． ∴B ＝π3.]【例1】 5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30C.29 D ．2 5(2)(2019·青岛模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于( )A.3π4 B.π3C.π4 D.π6(1)A (2)C [(1)因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A.(2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A. 又a 2＝2b 2(1－sin A )，所以sin A ＝cos A ，即t a n A ＝1，又A 是三角形内角，则A ＝π4，故选C.]求.,求出正弦值，再求角，即已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解灵活利用式子的特点转化：如出现关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30° B．45°C ．60°D ．120°(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝________，c ＝________.(1)A (2)217 3 [(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.(2)因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，所以由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×327＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得c 2－2c －3＝0，所以c ＝3.]【例2】 a ，b ，c .已知b sinC ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．233[由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以bc ＝833，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.](2)(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.①求cos B ；②若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b.[解] ①由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.②)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2 B.π3 C.π4 D.π6C [因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C ．由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.故选C.](2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B.①证明：A ＝2B ；②若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解] ①证明：由b ＋c ＝2a cos B 得 sin B ＋sin C ＝2sin A cos B. 即2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ；所以sin(A －B )＝sin B.又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＋(A －B )＝π或A －B ＝B ，所以A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.②由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，则sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B.由sin B ≠0得sin C ＝cos B. 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B. 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2，当C －B ＝π2时，A ＝π4，综上知A ＝π2或A ＝π4.►考法1 【例3】 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)(2019·广州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B ·sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形(1)D (2)C [(1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由b 2＋c 2＝a 2＋bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.由sin B ·sin C ＝sin 2A 得bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc 得(b －c )2＝0，即b ＝c ，从而△ABC 是等边三角形，故选C.]►考法2 求解几何计算问题【例4】 (2019·哈尔滨模拟)如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．[解] (1)在△ADC 中，∵cos∠ADC ＝17，∴sin∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437，则sin∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin∠ADC ·cos B －cos∠ADC ·sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin∠BADsin∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ·BC cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，即AC ＝7.►考法3 正、余弦定理与三角函数的交汇问题【例5】 (2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．[解] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得t a n B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，理求解；寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果易错警示：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题面积的2倍．(1)求sin Bsin C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，又由(1)知AB ＝2AC ，所以解得AC ＝1.1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sinC －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3B [因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角，故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即t a n A ＝－1.又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6，故选B.]2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.π3[由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A. ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B. ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B. 又sin B ≠0，∴co s B ＝12.∴B ＝π3.]3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 2113 [在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513， ∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.]4．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.75° [如图，由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴sin B ＝22.又c >b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°.]5．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． [解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知得12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6. 由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

2020高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理教师用书文新人教A版

【2019最新】精选高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理教师用书文新人教A版————————————————————————————————[考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理和余弦定理2.(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．( )(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．( )(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝45°或135°.()(4)在△ABC中，＝.( )[解析] (1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.(2)错误．由cos A＝＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．(3)错误．由b＜a知，B＜A.(4)正确．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确．[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定C [由正弦定理，得＝sin A，＝sin B，＝sin C，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cos C＝＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．] 3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )A. B.C．2 D．3D [由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.]4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.π或[由正弦定理＝，代入可求得sin B＝，故B＝或B＝.]35．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．2 [由题意及余弦定理得cos A＝＝＝，解得c＝2，所以S＝bcsin A＝×4×2×sin 60°＝2.]AD的长．【导学号：31222129】[解] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝3.6分又由正弦定理得sin B＝＝＝，由题设知0＜B＜，所以cos B＝＝＝.9分在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝＝＝＝.12分[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．[变式训练1] (1)(2017·郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，则角B的大小为( ) A．30°B．45°C．60°D．120°(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.(1)A (2) [(1)由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝ac.又∵cos B＝，∴cos B＝，∴B＝30°.(2)在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.又∵＝，∴b＝＝＝.](1)(20分别为角A，B，C的对边，满足acos A＝bcos B，则△ABC的形状为( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形(2)(2016·安徽安庆二模)设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A＋B＜C”是“△ABC是钝角三角形”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)D (2)A [(1)因为acos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由A＋B＋C＝π，A＋B＜C，可得C＞，故三角形ABC为钝角三角形，反之不成立．故选A.][规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．[变式训练2] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形B [法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.]C的对边，sin2B＝2sin Asin C.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．[解] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.2分又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝＝.5分(2)由(1)知b2＝2ac.7分因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝.9分所以△ABC的面积为××＝1.12分[规律方法] 三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[变式训练3] (2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．[解] (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，即2cos Csin(A＋B)＝sin C，3分故2sin Ccos C＝sin C.可得cos C＝，所以C＝.5分(2)由已知得absin C＝.又C＝，所以ab＝6.9分由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋.12分[思想与方法]1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.[易错与防范]1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：2.课时分层训练(二十二)正弦定理和余弦定理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )【导学号：31222130】A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B [由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝.]2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )【导学号：31222131】A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定C [由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝＞1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( ) A．1 B．2C．3 D．4A[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为( )A. B.C. D.32B [依题意得cos C＝＝，C＝60°，因此△ABC的面积等于absin C＝××＝，故选B.]5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝( )A. B.C. D.31010D [过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝.∵B＝，∴AD＝BD，∴BD＝AD＝，DC＝a，∴AC＝＝a，在△ABC中，由正弦定理得＝，∴sin ∠BAC＝，故选D.]二、填空题6．(2017·郴州模拟)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝__________.6[由正弦定理可得＝，所以sin B＝，再由b＜a，可得B为锐角，3所以cos B＝＝.]7．(2016·青岛模拟)如图361所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．图3613[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，∴BD＝.]8．已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sin C＝cos C，则△ABC的面积为________. 【导学号：31222132】3[由sin C＝cos C得tan C＝＞0，所以C＝.2根据正弦定理可得＝，即＝＝2，所以sin A＝.因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝，所以B＝，即三角形为直角三角形，故S△ABC＝××1＝.]三、解答题9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B ＝. 【导学号：31222133】(1)求b的值；(2)求sin C的值．[解] (1)因为b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17，所以b＝.5分(2)因为cos B＝，所以sin B＝，7分由正弦定理＝，得＝，所以sin C＝.12分10．(2017·云南二次统一检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m ＝(sin B,5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直．(1)求sin A的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．[解] (1)∵m＝(sin B,5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直，∴m·n＝5sin2B－6sin Bsin C＋5sin2C－5sin2A＝0，即sin2B＋sin2C－sin2A＝.3分根据正弦定理得b2＋c2－a2＝，由余弦定理得cos A＝＝.∵A是△ABC的内角，∴sin A＝＝.6分(2)由(1)知b2＋c2－a2＝，∴＝b2＋c2－a2≥2bc－a2.8分又∵a＝2，∴bc≤10.∵△ABC的面积S＝bcsin A＝≤4，∴△ABC的面积S的最大值为4.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)△AB C中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )A. B.C. D.π6C [∵b＝c，∴B＝C.又由A＋B＋C＝π得B＝－.由正弦定理及a2＝2b2(1－sin A)得sin2A＝2sin2B(1－sin A)，即sin2A＝2sin2(1－sin A)，即sin2A＝2cos2(1－sin A)，即4sin2cos2＝2cos2(1－sin A)，整理得cos2＝0，即cos2(cos A－sin A)＝0.∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴cos ≠0，∴cos A＝sin A．又0＜A＜π，∴A＝.]2．如图362，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的点，AD＝5，AC＝7，DC ＝3，则AB的长为________．图36256[在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，2...精品由余弦定理得cos ∠ADC＝＝－，所以∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得＝，所以AB＝.]3．在△ABC中，cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根．(1)求角C；(2)当a＋b＝10时，求△ABC周长的最小值．[解] (1)因为2x2－3x－2＝0，所以x1＝2，x2＝－.2分又因为cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，所以cos C＝－，所以C＝.5分(2)由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－2ab·＝(a＋b)2－ab，7分则c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75，当a＝5时，c最小且c＝＝5，此时a＋b＋c＝10＋5，所以△ABC周长的最小值为10＋5.12分。

(山东专用)版高考数学一轮复习练案(25)第三章三角函数、解三角形第六讲正弦定理、余弦定理(

[练案25]第六讲正弦定理、余弦定理A 组基础巩固一、单择题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( C ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.故选C.2．已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( D )A ．2B ．1C ． 3D ． 2[解析] 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得1sin π6＝b sinπ4，所以112＝b 22，所以b ＝ 2. 3．已知△ABC 中，A ︰B ︰C ＝1︰1︰4，则a ︰b ︰c ＝( A ) A ．1︰1︰ 3 B ．2︰2︰ 3 C ．1︰1︰2D ．1︰1︰4[解析] △ABC 中，A ︰B ︰C ＝1︰1︰4，所以A ＝π6，B ＝π6，C ＝23π，a ︰b ︰c ＝sin A︰sin B ︰sin C ＝12︰12︰32＝1︰1︰ 3.4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( C )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6[解析] 由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以sin C ＝cos C ．因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.故选C.5．(2020·某某武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，…，解得b ＝6，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( B )A ．A ＝30°，B ＝45° B ．C ＝75°，A ＝45° C ．B ＝60°，c ＝3D ．c ＝1，cos C ＝13[解析] 由C ＝75°，A ＝45°可知B ＝60°，又asin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝2sin 60°sin 45°＝322＝6，符合题意，故选B.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状是( C )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∴△ABC 是等边三角形，故选C.二、多选题7．在△ABC 中，a ＝4，b ＝8，A ＝30°，则此三角形的边角情况可能是( ACD ) A ．B ＝90° B ．C ＝120° C ．c ＝4 3 D ．C ＝60°[解析] ∵asin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a＝1，∴B ＝90°，C ＝60°，c ＝4 3.故选A 、C 、D.8．(2020·某某某某期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是( ACD )A ．在△ABC 中，a ︰b ︰c ＝sin A ︰sinB ︰sinC B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝BC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin BD ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋csin B ＋sin C[解析] 对于A ，在△ABC 中，由正弦定理可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ，故A 正确；对于B ，若sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，可得A ＝B 或A ＋B ＝π2，故B 错误；对于C ，若sin A >sin B ，根据正弦定理a＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，得a >b ，再根据大边对大角可得A >B .若A >B ，则a >b ，由正弦定理a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，得sin A >sin B ，故C 正确；对于D ，由a sin A ＝b sin B ＝csin C，再根据比例式的性质可知D 正确．故选A 、C 、D.三、填空题9．(2015·某某卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝__1__. [解析] ∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或5π6，又C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由a sin A ＝b sin B ，得3sin 2π3＝bsinπ6，∴b ＝1.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝__2__ [解析] 解法一：由正弦定理sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin (B ＋C )＝sin A ＝2sin B ，有a b ＝sin Asin B＝2.解法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简得a ＝2b ，因此，ab＝2.解法三：由三角形射影定理，知b cos C ＋c cos B ＝a ，所以a ＝2b ，所以ab＝2.故填2. 11．(2017·某某节选)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是152.[解析] 取BC 中点E ，由题意，AE ⊥BC .△ABE 中，cos ∠ABC ＝BE AB ＝14，所以cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154，所以S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin ∠DBC ＝152.故填152. 12．(2019·某某)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝1225，cos ∠ABD ＝7210.[解析] 在Rt △ABC 中，易得AC ＝5，sin C ＝AB AC ＝45.在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝BCsin ∠BDC×sin ∠BCD ＝322×45＝1225，sin ∠DBC ＝sin [π－(∠BCD ＋∠BDC )]＝sin (∠BCD ＋∠BDC )＝sin ∠BCD cos ∠BDC ＋cos ∠BCD ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.又∠ABD ＋∠DBC ＝π2，所以cos ∠ABD ＝sin ∠DBC ＝7210. 三、解答题13．(2019·)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin (B ＋C )的值．[解析] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝32＋c 2－2×3×c ×(－12)．因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×(－12)．解得c ＝5. 所以b ＝7.(2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin A ＝a b sin B ＝3314.在△ABC 中，B ＋C ＝π－A . 所以sin (B ＋C )＝sin A ＝3314.14．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[解析] 由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin (120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos (C ＋60°)＝－22. 由于0°<C <120°，所以sin (C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin (C ＋60°－60°)＝sin (C ＋60°)cos 60°－cos (C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. B 组能力提升1．(2020·某某省级示X 性高中联合体联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sin A ＝2sin C ，b ＝5，cos C ＝－13，则a ＝(C)A ．3B ．4C ．6D ．8[解析] 由3sin A ＝2sin C 及正弦定理，得3a ＝2c ，设a ＝2k (k >0)，则c ＝3k .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25－5k 220k ＝－13，解得k ＝3或k ＝－53(舍去)，从而a ＝6.故选C.2．(2020·某某某某七中一诊)设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b ＋c )sin (A ＋C )＝(a ＋c )·(sin A －sin C )，则A ＝(C)A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] 依题意，知(b ＋c )sin B ＝(a ＋c )(sin A －sin C )，由正弦定理，得(b ＋c )b ＝(a ＋c )·(a －c )，即b 2＋c 2－a 2＝－bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，所以A ＝120°.故选C.3．(2020·某某四校摸底调研)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin Asin B ＋sin C ＋ba ＋c＝1，则C ＝(B)A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 由正弦定理及sin A sin B ＋sin C ＋b a ＋c ＝1，得a b ＋c ＋b a ＋c＝1，整理可得a 2＋b 2－c2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.故选B.4．(2020·某某某某部分重点中学第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为(B)A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形[解析] 由2a cos B ＝c 及正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C ．在△ABC 中，因为sin C＝sin (A ＋B )，所以2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，整理得sin (A －B )＝0，又A ，B ∈(0，π)，所以A ＝B .因为sin A sin B (2－cosC )＝sin 2C 2＋12，所以sin A sin B [2－(1－2sin 2C 2)]＝sin 2C 2＋12，即sin A sin B (1＋2sin 2C 2)＝12(1＋2sin 2C 2)，所以sin A sin B ＝12.又A＝B ，且A ，B ∈(0，π)，所以A ＝B ＝π4，所以C ＝π－A －B ＝π2，所以△ABC 是等腰直角三角形．故选B.5．(2019·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin (B ＋π2)的值．[解析] (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，得23＝3c 2＋c 2－222×3c ×c ，即c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255. 因此sin (B ＋π2)＝cos B ＝255.。

高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理课时分层训练文北师大版

课时分层训练(二十一) 正弦定理和余弦定理A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B [由正弦定理得sin B cosC ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2.]2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )【导学号：66482174】A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定C [由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．(2016·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.]4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )【导学号：66482175】A.34 B ．34 C ．32D ．32B [依题意得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34，故选B.] 5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310 B ．1010C ．55D ．31010D [过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π4，∴AD ＝BD ，∴BD ＝AD ＝a3，DC ＝23a ，∴AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a ，在△ABC 中，由正弦定理得a sin ∠BAC ＝53a sin 45°，∴sin ∠BAC ＝31010.]二、填空题6．(2017·郴州模拟)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝__________. 63 [由正弦定理可得1532＝10sin B，所以sin B ＝33，再由b ＜a ，可得B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝63.] 7．(2016·青岛模拟)如图361所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图3613 [∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD －2AB ·AD cos ∠BAD ，∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3.]8．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________.【导学号：66482176】32 [由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.]三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值； (2)求sin C 的值.【导学号：66482177】[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17. 5分(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，7分由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，所以sin C ＝41717. 12分10．(2017·云南二次统一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(sinB,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直．(1)求sin A 的值；(2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．[解] (1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sin C ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0，即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝6sinB sinC 5. 3分根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.∵A 是△ABC 的内角，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45. 6分(2)由(1)知b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，∴6bc 5＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2. 8分又∵a ＝22，∴bc ≤10.∵△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2bc5≤4，∴△ABC 的面积S 的最大值为4. 12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B ．π3C ．π4D ．π6C [∵b ＝c ，∴B ＝C .又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A2.由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )，即sin 2A ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2(1－sin A )，即sin 2A ＝2cos 2A2(1－sin A )，即4sin 2A2cos 2A2＝2cos 2A2(1－sin A )，整理得cos 2A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A －2sin 2A 2＝0，即cos 2A2(cos A －sin A )＝0.∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A2≠0，∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π4.]2．如图362，图362在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上的点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为________． 562[在△ADC 中，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝－12，所以∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝5，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，所以AB ＝562.]3．(2017·陕西质检(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，a ＋c ＝3 3.(1)求cos B 的最小值； (2)若BA →·BC →＝3，求A 的大小.【导学号：66482178】[解] (1)∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2－2ac －b 22ac＝32－2ac －92ac＝9ac－1≥9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22－1＝13.当且仅当a ＝c ＝332时，取到最小值13.(2)∵BA →·BC →＝3，∴ac cos B ＝3. 由(1)中可得cos B ＝9ac－1，∴cos B ＝12，∴ac ＝6.由a ＋c ＝33及ac ＝6，解得a ＝23或a ＝ 3. 由正弦定理a sin A ＝bsin B 可得当a ＝23时，sin A ＝a b sin B ＝233·32＝1， ∴A ＝π2.同理，当a ＝3时，求得A ＝π6.综上，A 的大小为π2或π6.。

浙江专版高考数学第3章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理课时分层训练

课时分层训练(二十) 正弦定理和余弦定理A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B [由正弦定理得sin B cosC ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2.]2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )【导学号：51062122】A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定C [由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.]4．(2017·台州二次适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34 B.34 C.32D.32B [依题意得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34，故选B.] 5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310 B.1010 C.55D.31010D [过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π4，∴AD ＝BD ，∴BD ＝AD ＝a3，DC ＝23a ，∴AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a ，在△ABC 中，由正弦定理得a sin ∠BAC ＝53a sin 45°，∴sin ∠BAC ＝31010，故选D.]二、填空题6．(2017·嘉兴模拟)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝__________. 63 [由正弦定理可得1532＝10sin B，所以sin B ＝33，再由b ＜a ，可得B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝63.] 7．(2017·青岛模拟)如图361所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图3613 [∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD －2AB ·AD cos ∠BAD ，∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3.]8．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________． 32 [由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.]三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值；(2)求sin C 的值. 【导学号：51062123】[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.6分(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，10分由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，所以sin C ＝41717.14分10．(2017·云南二次统一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(sinB,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直．(1)求sin A 的值；(2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．[解] (1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sinC ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0，即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝6sinB sinC 5.4分根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.∵A 是△ABC 的内角， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝45.7分(2)由(1)知b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，∴6bc 5＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2.10分又∵a ＝22，∴bc ≤10.∵△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2bc5≤4，∴△ABC 的面积S 的最大值为4.14分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4 B.π3 C.π4D.π6C [∵b ＝c ，∴B ＝C .又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A2.由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )，即sin 2A ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2(1－sin A )，即sin 2A ＝2cos 2A2(1－sin A )，即4sin 2A2cos 2A2＝2cos 2A2(1－sin A )，整理得cos 2A 2⎝⎛⎭⎪⎫1－sin A －2sin 2A2＝0，即cos 2A2(cos A －sin A )＝0.∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A2≠0，∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π4.]2．(2017·浙江高考冲刺卷(一))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B ＝________；若b ＝3，a ＋c ＝3，则△ABC的面积为________. 【导学号：51062124】π3 32[依条件有a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，则有sin B ＝2sin B cos B ，由sin B ≠0，得cos B ＝12，又B ∈(0，π)，故B ＝π3.由余弦定理得a 2＋c 2－ac ＝3，即(a ＋c )2－3ac ＝3，所以ac ＝2，则S △ABC ＝12ac sin B ＝32.]3．在△ABC 中，cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根． (1)求角C ；(2)当a ＋b ＝10时，求△ABC 周长的最小值．[解] (1)因为2x 2－3x －2＝0，所以x 1＝2，x 2＝－12.2分又因为cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，所以cos C ＝－12，所以C ＝2π3.6分(2)由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(a ＋b )2－ab ，10分则c 2＝100－a (10－a )＝(a －5)2＋75，当a ＝5时，c 最小且c ＝75＝53，此时a ＋b ＋c ＝10＋53，所以△ABC 周长的最小值为10＋5 3.14分。

2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理课件文

题型 3 与三角形有关的最值角度 1 与三角形边长有关的最值
典例 (2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形 ABC 的内
角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，且
a＝bcosC＋
3 3 csinB.
(1)求 B；
(2)若 b＝2，求 ac 的最大值．
本题采用转化法．
解 (1)在△ABC 中，∵a＝bcosC＋ 33csinB， ∴sinA＝sinBcosC＋ 33sinCsinB， ∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋ 33sinCsinB，化为 cosBsinC＝ 33sinCsinB，sinC≠0，可得 tanB＝ 3，B∈(0，π)，∴B＝π3.
(2)(2016·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
为
a，b，c，若
cosA＝45，cosC＝153，a＝1，则
21 b＝____1_3___.
解析由已知可得 sinA＝35，sinC＝1123，则 sinB＝sin(A
＋C)＝35×153＋54×1123＝6635，再由正弦定理可得sianA＝sibnB⇒b
[条件探究 1] 将本典例条件变为“若 2sinAcosB＝
sinC”，那么△ABC 一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析解法一：由已知得 2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB，即 sin(A－B)＝0，
1 (2)S＝21bcsinA＝ 2acsinB
＝
1 2absinC .
(3)S＝21r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．

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课时分层训练(二十一) 正弦定理和余弦定理A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B [由正弦定理得sin B cosC ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2.]2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )【导学号：66482174】A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定C [由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．(2016·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.]4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )【导学号：66482175】A.34 B ．34 C ．32D ．32B[依题意得cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，C＝60°，因此△ABC的面积等于12ab sin C＝12×3×32＝34，故选B.]5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则sin A＝( ) A.310B．1010C．55D．31010D[过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝a3.∵B＝π4，∴AD＝BD，∴BD＝AD＝a3，DC＝23a，∴AC＝⎝⎛⎭⎪⎫a32＋⎝⎛⎭⎪⎫23a2＝53a，在△ABC中，由正弦定理得asin∠BAC＝53asin 45°，∴sin ∠BAC＝31010.]二、填空题6．(2017·郴州模拟)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝__________.63[由正弦定理可得1532＝10sin B，所以sin B＝33，再由b＜a，可得B为锐角，所以cos B＝1－sin2B＝63.]7．(2016·青岛模拟)如图361所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin ∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．图3613[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝223，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD－2AB·AD cos∠BAD，∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3.]8．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________.【导学号：66482176】32 [由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.]三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值； (2)求sin C 的值.【导学号：66482177】[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17. 5分(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，7分由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，所以sin C ＝41717. 12分10．(2017·云南二次统一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(sinB,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直．(1)求sin A 的值；(2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．[解] (1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sin C ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0，即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝6sinB sinC 5. 3分根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.∵A 是△ABC 的内角，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45. 6分(2)由(1)知b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，∴6bc 5＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2. 8分又∵a ＝22，∴bc ≤10.∵△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2bc5≤4，∴△ABC 的面积S 的最大值为4. 12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B ．π3C ．π4D ．π6C [∵b ＝c ，∴B ＝C .又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A2.由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )，即sin 2A ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2(1－sin A )，即sin 2A ＝2cos 2A2(1－sin A )，即4sin 2A2cos 2A2＝2cos 2A2(1－sin A )，整理得cos 2A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A －2sin 2A 2＝0，即cos 2A2(cos A －sin A )＝0.∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A2≠0，∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π4.]2．如图362，图362在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上的点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为________． 562[在△ADC 中，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝－12，所以∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝5，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，所以AB ＝562.]3．(2017·陕西质检(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，a ＋c ＝3 3.(1)求cos B 的最小值； (2)若BA →·BC →＝3，求A 的大小.【导学号：66482178】[解] (1)∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2－2ac －b 22ac＝332－2ac －92ac＝9ac－1≥9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22－1＝13.当且仅当a ＝c ＝332时，取到最小值13.(2)∵BA →·BC →＝3，∴ac cos B ＝3. 由(1)中可得cos B ＝9ac－1，∴cos B ＝12，∴ac ＝6.由a ＋c ＝33及ac ＝6，解得a ＝23或a ＝ 3. 由正弦定理a sin A ＝bsin B 可得当a ＝23时，sin A ＝a b sin B ＝233·32＝1， ∴A ＝π2.同理，当a ＝3时，求得A ＝π6.综上，A 的大小为π2或π6.。