24.3圆周角(2)

E A O
O 图(1)
F
C
B
●
C
图(2)
由此你能得出什么结论?
圆周角定理的推论2
A O
B
●
C
用于判断某个圆周角是否是直 角或判断某条直线是否过圆心
半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
（1）相等的圆周角所对的弧也相等。（
（2）90 的角所对的弦是直径。
（3）同弦所对的圆周角相等。
B
●
A
O
CEΒιβλιοθήκη A、B、C在半径为2cm的⊙O上，若
60°或120° 。 BC=2 3 cm，则∠A的度数为___________
如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1, ⊙O的弦AD交⊙O1于C,则 垂 直 (1)OC与AD的位置关系是_______; 平 行 (2)OC与BD的位置关系是_______; 4 (3)若OC = 2cm,则BD = ____cm 。
O
C B
如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上， ∠A=45°，BC=6，求⊙O的半径。
解：连接BO，CO ∵∠A=45° ∴∠BOC=2∠A=90° 又OB=OC ∴∠OBC=∠OCB=45° ∴OB=OC=BC· sin45°
2 =6× 2
A
B C
●
O
= 3 2
生活实践

当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
∴当x=2.4时，水池DEFN的面积最大，最大值是12。
船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否会 遇到暗礁。如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两 点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点， ∠ACB 就是“危险角”。当船与两个灯塔的夹角大于“危险角” 时，就有可能触礁。 （1）当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时， 船位于哪个区域？为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时， αP 船位于哪个区域？为什么？ E C 分析 ：船所处区域有三种情况：
C N M A D G E B F
解：（1）
AB为直径 ACB 90 在RtABC中，AB 8 6 10 1 1 S ABC AC BC AB CG 2 2 8 6 10h
2 2
h 4.8
（2）设水池DEFN的面积为y ∵NF∥AB ∴△CNF∽△CAB
。
（
（
C
X X X
）
）
）
A
B C
O
A
O E
B
A
D
(1)如图所示, ∠BAC= ∠BDC,∠DAC=
∠DBC
.
B
A
C
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm, C为⊙O上一点,∠BAC=30°, 则BC= 5 cm
●
O C
B
如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,则⊙O的直径为 8 _____
O D B E C
4、已知BC为半圆O的直径，点F为半圆上异于B、 ︵ C的一点，点A是BF的中点，AD⊥BC于点D，BF 交AD于点E. 求证：（1）AE=BE； （2）BE· BF=BD· BC .

A
F
E B D O C
5.如图：已知BC为⊙Ｏ的直径，AD⊥BC， 垂足为D，BF交AD于E，且AE=BE． ︵ ︵ （１）求证：AB=AF 3 （２）若sin∠FBC＝ , AB 4 5 , 求AD 的长。 5
1.什么是圆周角？
D
B
●
O C
E
A
顶点在圆上,它的两边分 别与圆还有另一个交点, 像这样的角,叫做圆周角.
2.圆周角定理的内容是什么？
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的一半.
A C
●
A C
●
A C B
●
O
O
O
B B
即∠ABC =
1 ∠AOC. 2
100º ，所对的圆周 1.100º的弧所对的圆心角等于_______ 50º 角等于_______ 2、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的 36º 或144º 4倍，则这弦所对的圆周角度数为______________ 3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º，则∠BOC=______ 64º 4、如图，⊙O中，∠ACB = 130º，则∠AOB=______ 100º
证明：连结BE ∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90° ∵ AD是△ABC的高，∴∠ADC=90° ∴∠ADC =∠ABE=900， B ∠C =∠E ∴△ADC∽ △ABE ∴ AC AD
AE AB
A
O D E
C
∴AB ·AC = AE ·AD
2、在圆的内接△ABC中，AB+AC=12，
C
P
· O α
E
A
B
1、本节课我们学习了哪些知识？
圆周角定理的两个推论
2、本节课我们学习了哪些方法？
作辅助线的方法：
（1）构造直径上的圆周角。
（2）构造同弧所对的圆周角。
（1）在⊙O上；（2）在⊙O内；
（3）在⊙O外。 A
·
o
B
分这三种情况逐一讨论，便可说明。
解： （1）当船与两个灯塔的夹角α大于“危险角” 时，船位于暗礁区域内（ ⊙O内）。理由如下： ①假设船在⊙O上，则∠ α＝ ∠C，这与∠ α> ∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O上； ②假设船在⊙O外，如图，则∠ α< ∠AEB， ∠AEB＝ ∠C，即∠ α< ∠C，这与∠ α> ∠C矛盾， 所以船不可能在⊙O外； 综上所述，船只能在⊙O内。
AD⊥BC于D，且AD=3，设⊙O的半径为y， AB的长为x. （1）用含x的代数式表示y； （2）当AB长为多少时，⊙O的面积最大？并 求出最大面积.
A
B
O
D
C
E
3、已知：点A、B、C在⊙O上，AB=AC，点D是 BC边上一点，点E是直线AD和圆的交点. （1）探索：AB、AD、AE之间的关系. （2）当D为BC延长线上一点时，上述结论还 成立吗？如果成立，请画图给予证明；若不 A 成立，说明理由.
A
O
C
B A
O B C
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC， ∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？
解：∠ACB=2∠BAC.理由是: ∵∠AOB=2∠ACB ∠BOC=2∠BAC ∠AOB=2∠BOC ∴2∠ACB =2（2∠BAC） ∴∠ACB=2∠BAC
A 请同学们认真观察 ∠AOB与∠ACB， ∠BOC与∠BAC的关 系。
D C
A
O1
O
B
如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长 BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系 ?为什么?
解： BD=CD
理由是：连接AD A
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90° 即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD（三线合一） C D B
●
O
1、如图，AE⊙O的直径, △ABC的顶点都 在⊙O上,AD是△ABC的高; 求证：AB · AC = AE · AD
CM NF 4.8 x NF CG AB 4.8 10 48 10x NF 4.8 48 10x 25 2 y D N NF x x 10x 4.8 12 b 10 当x 2.4时， 2a 25 2 12 102 y max 12 25 4 12
Ａ Ｅ Ｏ Ｆ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域，使 三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分 别为6和8，现要建造一个矩形水池DEFN，使D、E在 AB上，N在AC上，F在BC上。设计如图所示的方案。
（1）求△ABC中AB边上的高h； （2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？ 最大值是多少？
α
P
C
E
· A
o
B
解： （2）当船与两个灯塔的夹角α小于“危险角” 时，船位于暗礁区域外（ ⊙O外）。理由如下： ①假设船在⊙O上，则∠ α＝ ∠C，这与∠ α< ∠C矛 盾，所以船不可能在⊙O上； ②假设船在⊙O内，如图，延长AP交⊙O于E，连接 BE，则∠E＝ ∠C。因为 ∠ α> ∠E， 所以∠ α> ∠C，这与∠ α< ∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内； 综上所述，船只能在⊙O外。
图2
圆周角定理的推论1：
用于找相 等的角
在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.
用于找相 等的弧
问题讨论 1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上 任一点，你能确定∠BAC的度数吗? 2.如图(2)，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过 圆心O吗？为什么？
A B
A B
●
O
D
C
E
1.如图1,在⊙O中,∠ABC,∠ADC,∠AEC有什么 共同特征？它们的大小有什么关系?为什么?
D B
●
A E E
●
O C
O
B D
图1(2)
C
A
图1(1)
∠ABC = ∠ADC = ∠AEC
2. 如图 2,在⊙O中,若AB等于 EF.能否得到∠C =∠G呢？
C G
⌒
⌒
A B
O F E