5.2.2 二次根式的乘法和除法(2)
二次根式的混合运算顺序
二次根式的混合运算顺序二次根式是数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
二次根式的混合运算顺序是指在一个数学式中，多个二次根式按照一定的运算顺序进行计算的过程。
正确的运算顺序可以保证计算结果的准确性，并提高计算的效率，因此在学习二次根式时，混合运算顺序是一个非常重要的知识点。
一、二次根式的基本概念在数学中，二次根式是指形如√a的数学式，其中a为一个非负实数。
二次根式的值是一个非负实数，即√a≥0。
如果a为正实数，则√a的值为正实数；如果a为0，则√a的值为0；如果a为负实数，则√a的值不存在。
因此，在进行二次根式的混合运算时，要注意判断每一个二次根式中的a是否为非负实数，以确定其是否存在实数解。
二、二次根式的混合运算顺序在进行二次根式的混合运算时，需要注意以下几个顺序：1.先进行括号内的运算如果一个数学式中包含有括号，那么首先需要进行括号内的运算。
例如，如果一个数学式为2√3+(1+√2)，那么首先需要计算括号内的(1+√2)，得到一个数值，然后再将这个数值与2√3相加。
2.先进行指数运算如果一个数学式中包含有指数运算，那么需要先进行指数运算。
例如，如果一个数学式为√2^2+1，那么首先需要计算指数运算2^2，得到4，然后再将4+1进行二次根式运算。
3.先进行乘法和除法运算在进行乘法和除法运算时，需要注意以下两点：（1）二次根式的乘法运算对于两个二次根式的乘法运算，可以先将其化简为一个二次根式，再进行计算。
例如，2√3×3√2=6√6。
（2）二次根式的除法运算对于两个二次根式的除法运算，可以将其化简为一个带有根号的分数形式，再进行计算。
例如，2√3÷3√2=2√3/3√2。
4.最后进行加法和减法运算在进行加法和减法运算时，需要注意以下两点：（1）二次根式的同类项运算如果一个数学式中包含有多个二次根式，那么需要先将同类项进行合并，再进行计算。
例如，2√3+3√3=5√3。
二次根式的乘除运算
二次根式的乘除运算二次根式是指具有形式$\sqrt{a} $的数。
其中，$a$为一个非负实数。
二次根式的乘除运算可以通过简化根式的形式来实现。
在本文中，我们将重点讨论二次根式的乘法和除法运算。
一、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以使用分配律来进行简化。
具体而言，当我们要计算两个二次根式相乘时，可以按照以下步骤进行操作：Step 1：将两个二次根式的根号内的数相乘；Step 2：将两个二次根式的根号外的系数相乘；Step 3：将上述两个结果合并在一起，得到最终的乘积。
举个例子，让我们计算$\sqrt{2} \times \sqrt{3}$。
Step 1：$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6}$；Step 2：根号外的系数为1，可以省略；Step 3：最终结果为$\sqrt{6}$。
由此可见，$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$。
在进行乘法运算时，我们通过简化根号内的数来得到结果。
二、二次根式的除法运算二次根式的除法运算通常需要利用有理化的方法，即通过乘以适当的有理化因子，将除数的分母中的根号消去，从而将除法转化为乘法。
具体而言，在计算两个二次根式相除时，可以按照以下步骤进行操作：Step 1：将除数的分母有理化；Step 2：将除法转化为乘法，即将除号改为乘号；Step 3：按照乘法运算的方法进行简化。
让我们通过一个例子来说明如何计算$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$。
Step 1：有理化除数的分母。
我们将分母$\sqrt{2}$有理化为$\sqrt{2} \times \sqrt{2}$，即$2$。
Step 2：将除号改为乘号，得到$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{2}}$。
Step 3：进行乘法运算并简化。
二次根式乘除运算法则
二次根式乘除运算法则1.二次根式乘法法则：两个二次根式相乘时，我们可以将它们的系数相乘，并将根号内的值相乘，然后合并同类项。
例如：√2*√3=√(2*3)=√6当系数为负数时，我们可以先将负号移到根号前，然后再进行乘法运算。
例如：-√2*√3=-(√2*√3)=-√(2*3)=-√6如果两个二次根式都有分子和分母，我们可以对分子和分母分别进行乘法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√2/√3)*(√5/√7)=(√(2*5)/√(3*7))=(√10/√21)2.二次根式除法法则：两个二次根式相除时，我们可以将它们的系数相除，并将根号内的值相除，然后将同类项合并。
例如：√6/√2=√(6/2)=√3当系数为负数时，同样可以先将负号移到根号前，然后再进行除法运算。
例如：-√6/√2=-(√6/√2)=-√(6/2)=-√3如果被除数和除数都有分子和分母，我们需要对被除数和除数的分子和分母进行分别进行除法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√10/√2)/(√5/√3)=(√10*√3)/(√2*√5)=(√(10*3)/√(2*5))=(√30/√10)=(√(30/10))=√33.提取公因式的技巧：当需要进行二次根式的加减运算时，我们可以先提取公因式，再合并同类项。
例如：√16+√36=4√1+6√1=4+6=10如果二次根式中的根号内的表达式可以进行因式分解，我们可以先将根号内的表达式进行因式分解，然后再进行合并。
例如：√20+√8=√(4*5)+√(4*2)=2√5+2√2=2(√5+√2)4.合并同类项的方法：当有多个二次根式需要进行合并时，我们需要保证它们的根号内的表达式相同，然后将它们的系数相加或相减，保持根号不变。
例如：2√5+3√5=(2+3)√5=5√5以上就是二次根式乘除运算的基本法则和技巧。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些法则和技巧，以便在解决问题时快速而准确地进行计算。
初中数学_二次根式的乘除法教学设计学情分析教材分析课后反思
数学八年级下册第九章《二次根式》第三节《二次根式乘除法》第1课时教学设计数学八年级下册第九章《二次根式》第三节《二次根式乘除法》第1课时学情分析一、思想状况分析八年级10班大部分学生的学习目的性明确、学习积极性高，能主动地学习，部分同学有上进心，但主动性不够，需要老师的引导。
八年级10班的学生学习目的不明确，不能积极主动地完成学业，甚至不能完成老师布置的作业。
大部分学生正处在生长发育的高峰期，一方面他们对因青春期生理、心理急剧变化而产生的丰富而深刻的感受和体验，有诸多成长的烦恼；另一方面面对沉重的学习、开放的社会环境带来的各种刺激和诱惑，难免不知所措。
二、学习状况分析八年级是一个产生剧烈变化的时期，更是一个危险的时期，也是一个爬坡的时期，是一个分水岭。
第一类:学习有一定的基础和很浓厚的兴趣.学生成绩稳定.第二类:基础差,但热情高,方法不当第三类：学习有一定的基础，但因各种原因成绩（如懒、上课纪律差易开小差注意力不集中、不想上学的思想作怪等）就是提不上来。
第四类:基础差,没有太大的兴趣,但尽量跟住老师.这些孩子的家长当然也在督促。
第五类:跟不上正常的进度.另外，大部分学生有学习目标，学习态度端正，学习积极性高，有一定的理解能力和分析判断推理能力，但学习自主性不太强，基础较薄弱，通过小学的精心培养，学生们已经养成了良好的学习习惯和行为习惯。
语言文明，思想健康，积极、认真、扎实。
但有的学生对自己的学习没信心，在自动放弃学习。
三、今后措施1、在教学中必须立足基础知识，加强基础知识的教学，要让学生通过历史知识的学习，养成良好的思维习惯，培养学生良好的学习习惯和严谨认真的学习态度，加强规范语言训练，提高答题得分率。
2、运用科学探究的方法，获取相应的知识，培养学生的情感和态度，扎扎实实打好基础，引领学生进入阅读世界、注重文献史料的积累借鉴，引导学生系统、牢固地掌握各课的知识考点，并培养他们运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
八年级数学上册第5章二次根式5.2二次根式的乘法和除法二次根式的乘法
10．计算－ 40×(－12 90)的结果是( A )
A．30
B.3 10
C．－3 10
D.－30
11．设 2＝m， 3＝n，用含 m、n 的式子表示 54，则下列表示正确的是( B )
A．mn
B.3mn
C．mn2
D.m2n
第八页，共十四页。
12．已知 m＝(－ 33)×(－2 21)，则有( A )
解：原式＝2aa－－bb2÷a－abb＝a－2 b·aa－bb＝a2b.
5＋1 5－1 5－1
当 a＝ 5＋1，b＝ 5－1 时，原式＝
2
＝ 2 ＝2.
第十三页，共十四页。
内容 总结 (nèiróng)
第5章 二次根式(gēnshì)。6
第十四页，共十四页。
自我诊断 1. 计算 81× 4＝ 18 ；
2× 18＝ 6 .
二次根式的乘法计算结果，一定要化为 最简二次根式(gēnshì).
自我诊断 2. 计算： 45× 27.
解：原式＝3 5×3 3＝9 15.
第二页，共十四页。
1．计算 8× 12的结果为( B )
A．1
B.2
C．3
D.5
2．下列各等式成立的是( D )
A．5＜m＜6
B.4＜m＜5
C．－5＜m＜－4
D.－6＜m＜－5
13．计算( 10＋3)2017·( 10－3)2018 的结果是( D )
A. 10＋3
B.3
C．－3
D. 10－3
14．如果 27× 2a是一个整数，那么 a 的最小正整数值为 6 .
15．定义一种新运算“ ”的运算法则为 a b＝ a× b，则 6 8＝ 4 3 .
八年级数学上第5章二次根式5.2二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法课湘教
(3)a
3bc a ·2
2bac(a＞0，b＞0，c≥0)．
解：原式＝2a 3abc·2bac＝2a 6c2＝2 6ac.
*11.将 a －1a根号外的因式移到根号内为( A. －a B．－ －a C．－ a
) D. a
错解：A 诊断：本题学生容易把 a 直接从外面平方后 移到根号内化简，即 a －1a＝ a2·－1a＝ －a.忽视了 a 的取值为负数，应先留负号在根号外，然后再平方后 移到根号内化简．
9．一个直角三角形的两条直角边长分别为 a＝2 3，b＝3
6，那么这个直角三角形的面积是( C )
A．8 2
B．7 2
C．9 2
D. 2
10．计算：
(1)2 3×5 15；
解：原式＝2×5× 3×15＝10 3×3×5＝30 5.
(2)
2a 3·
18ab(a≥0，b≥0)；
原式＝ 23a·18ab＝ 12a2b＝2a 3b.
2 (3)b
ab3·－32
a3b·3
ab(a>0，b>0)．
解：原式＝2b·－32·3· ab3·a3b·ab＝－9b a5b3＝－9a2 ab.
13．把下列根号外的因式移到根号内： (1)a 1a； 【点拨】要想把根号外的因式移到根号内，需利用 a＝ a2(a≥0)将根号外的因式转化为二次根式的形式． 解：因为 a＞0，所以 a＝ a2. 所以 a 1a＝ a2· 1a＝ a2·1a＝ a.
(3)－2a 21a； 【点拨】要想把根号外的因式移到根号内，需利用 a＝
a2(a≥0)将根号外的因式转化为二次根式的形式． 解：因为21a＞0，所以 2a＞0.所以－2a＝－ (2a)2.所以－ 2a 21a＝－ (2a)2·21a ＝－ 2a.
数学概念知识点总结之同类二次根式
数学概念知识点总结之同类二次根式同类二次根式是指具有相同根次和相同根指数的二次根式。
在数学中，二次根式是指根号下面的式子为一个二次方程的根。
我们将同类二次根式进行集合，并合并同类项，就可以进行简化和比较大小。
下面是关于同类二次根式的知识点总结。
一、同类二次根式的定义同类二次根式具有相同的根次和相同的根指数。
根次指的是根号下面的数字的次数，根指数指的是根号的指数。
例如，√2和√3就是同类二次根式，因为它们的根次都是2，根指数都是1二、同类二次根式的加法和减法1.加法：同类二次根式的加法要求根次和根指数都相同，才能进行相加。
例如，√2+√3=√2+√3；但是√2+√4是不同类的二次根式，不能进行相加。
2.减法：同类二次根式的减法也要求根次和根指数都相同，才能进行相减。
例如，√6-√2=√6-√2；但是√6-√4是不同类的二次根式，不能进行相减。
三、同类二次根式的乘法和除法1.乘法：同类二次根式的乘法是将根号里面的数字相乘，然后将根号保留，根次和根指数不变。
例如，√2×√3=√(2×3)=√6；但是√2×√4=√(2×4)=√8=2√22.除法：同类二次根式的除法是将根号里面的数字相除，然后将根号保留，根次和根指数不变。
例如，√6÷√2=√(6÷2)=√3；但是√6÷√4=√(6÷4)=√(3/2)。
四、同类二次根式的化简对于同类二次根式，我们可以将可以化简的二次根式进行化简。
具体的化简方法如下：1.化简含有平方数的二次根式：对于能够约分的二次根式，我们可以将其化为简单的数。
例如，√8=√(4×2)=2√2；√12=√(4×3)=2√32.加减同类项：对于同类项，我们可以进行合并，得到更简单的表达。
例如，√3+√3=2√3；2√2+3√2=5√23.简化系数：对于最后的结果，我们可以将系数进行化简。
例如，2√7+3√7=5√7五、对同类二次根式的比较大小1.同类二次根式的比较大小，可以先将二次根式化为最简形式，然后比较根号里面的数字的大小。
2024年中考数学复习专题讲义：二次根式(含答案)
2024年中考数学复习专题讲义：二次根式知识点讲解1、二次根式的定义 一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式的基本性质①2a =(a ≥0)； a = (a ≥0)； a = (a 取全体实数)。
3、二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①ab b a =⋅； ②b a ab ⋅= (a ≥0， b ≥0)。
(2)二次根式的除法：= = (a ≥0， b ＞0)。
4、最简二次根式 最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
专题练习一、选择题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√12B ．√8C ．√13D ．√0.22．若二次根式√x +2有意义，则x 的取值范围是（ ）．A ．x >−2B ．x ≥−2C ．x <−2D ．x ≥23．化简√(−3)2的结果是（ ）A ．−3B ．±3C ．3D ．94．估计(√27−√6)÷√3的值应在（ ）A ．0到1之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间5．下列计算错误的是（ ）A ．3√2−√2=3B ．√60÷√5=2√3C ．√25a +√9a =8√aD ．√14×√7=7√26．若 x =√m −√n,y =√m +√n ，则 xy 的值是( ）.A ．2√mB ．m −nC ．m +nD ．2√n 7．计算：√12×√13−√8÷√2的结果是（ ） A ．2 B ．0 C ．-2 D ．−√28．用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形 ABCD (如图)，它的面积是 48， 已知长方形的一边长 AE =3√3， 图中空白部分是一个正方形，则这个小正方形的周长为( )A ．2√3B ．4√3C ．8√3D ．16√3二、填空题9．化简√3= 10．若√a +√3=3√3，则a = ． 11．计算(2√2+1)(2√2−1)的结果等于 ．12．若二次根式√x+3x 有意义，则x 的取值范围为 ．13．当m ＝ 时，二次根式√m −2取到最小值．三、解答题14．计算 （1）√16÷√2−√13×√6； （2）32√4x +2√x 9−x √1x +4√x4．15．已知2x =+2y =（1）试求22x y +的值； （2）试求x y y x-的值． 16．某居民小区有一块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC 为√162m ，宽AB 为√128m （即图中阴影部分），长方形花坛的长为(√13+1)m ，宽为(√13−1)m ，（1）长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？17．已知x=2−√3，y=2+√3．（1）求x2+y2−xy的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．参考答案1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．B8．C9．√33 10．1211．712．x ≥−3且x ≠013．214．解：（1）原式=√16÷2−√13×6＝2√2−√2=√2；（2）原式＝3√x +23√x −√x +2√x=143√x ．15．（1）解：∵2x =， 2y =∴x+y=22+，xy=(22+=1 ∴()2222242114x y x y xy +=+-=-⨯= ；（2）解：∵2x =+，2y =-∴x+y=22+，x-y=((2222--=+=xy=(22=1∴()()22x y x yx y x yy x xy xy+---====16．（1）解：长方形ABCD的周长=2(√162+√128)=2(9√2+8√2)=34√2(m)，答：长方形ABCD的周长是34√2m；（2）解：购买地砖需要花费=50[9√2×8√2−(√13+1)(√13−1)]=50(144−13+1)=50×132=6600（元）答：购买地砖需要花费6600元．17．（1）解：∵x=2−√3，y=2+√3，∴xy=(2−√3)(2+√3)=4−3=1，(x−y)2=(2−√3−2−√3)2=(−2√3)2=12，∴x2+y2−xy=(x−y)2+xy=12+1=13；（2）解：∵1<3<4，∴1<√3<2，∴3<2+√3<4，∴2+√3的整数部分是3，∴b=3，∵1<√3<2，∴−2<−√3<−1，∴0<2−√3<1，∴2−√3的整数部分是0，小数部分=2−√3−0=2−√3，∴a=2−√3，∴ax−by=(2−√3)(2−√3)−3(2+√3)=7−4√3+6−3√3=13−7√3，∴ax−by的值为13−7√3．）解：①(30x -2)x -②0020x x -22))(2)x -，又232x -+30x -+代数式当2x =时，代数式。
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5.2.2 二次根式的乘法和除法（2）
5.2 2. .2 2 二次根式 的 乘、除 法 （2 2 ）
【 教学目
标】 1.了解商的算术平方根性质. 2.利用公式
进行二次根式的化简和除法运算. 【 教学重点】 简单的二
次根式的除法运算，利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.
【 教学难点】 探索二次根式的除法法则. 【 教学过程】 一、新
课引
入 计算下列各式
，
，二、自主探究 问题：
49 49； 1649 1649. 归纳：
反过来，
例 1 化简下列二次根式： ①7;16 ②9 .5 例 2 计算：
例 3 电
视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节
目信号的区域就越广.已知电视塔高 ( ) h km 与电视节目信号的传
播半径 （其中 R 是地球半径）.现有两座高分别为1 2400 ,
的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？
三、应用迁移 （ 一 ）变式运用 ⒈设 计算：
⑴318;2a ba ⑵3243aa ⒉化简：
( 三) 综合运用⒈已知则 , a b 的
关系是（）
若则
的值等于（） 2 3.3A 3.3B . 3 C 3. 33D 或四、归纳小结商
的算术平方根的性质：
五、巩固提升★⒈计算：
；
计算：
计算：
六、课后练习 A
层：
教材 P165 A 组 2、3、4 B 层：
教材 P166B 组 6 七、教学反思。